Zur Geometrie der Dreieckspyramiden

Inhaltsverzeichnis

0. Einleitung.. 2

1. Konstruktion eines Tetraeders nach Euklid.. 5

2. Der dreidimensionale Satz des Pythagoras.. 13

3. Das räumliche Analogon zum Satz von Viviani.. 16

4. Die Raumhöhen der Dreieckspyramide.. 25

5. Kugeln an der Dreieckspyramide.. 34

5.1. Die Umkugel.. 34

5.2. Die Inkugel.. 37

5.3. Die Ankugeln.. 40

5.3.1. Die Ankugeln erster Art.. 41

5.3.2. Die Ankugeln zweiter Art.. 44

5.4. Die Kantenkugel.. 52

6. Zur Winkelsumme bei Dreieckspyramiden.. 61

7. Resümee.. 70

Literaturverzeichnis.. 72

Anhang.. 73

Einleitung

Wie schon der Titel andeutet, sollen in dieser Arbeit geometrische Eigenschaften von Dreieckspyramiden (Im Folgenden auch: Pyramiden) erarbeitet werden. Diese Pyramiden besitzen vier Ecken, sechs Kanten und vier dreieckige Seitenflächen. Daher werden diese Polyeder in der Literatur aufgrund des griechischen Wortes für Vierflächner (tetráedron) meist als „Tetraeder“ bezeichnet. Im weiteren Verlauf werde ich diesen Begriff jedoch für den bekannten platonischen Körper reservieren, der eine regelmäßige Dreieckspyramide darstellt.

Den allgemeinen (also auch unregelmäßigen) Dreieckspyramiden kommt bis heute sowohl im Schulunterricht als auch in der Fachliteratur eine Außenseiterrolle zu. Dies liegt meiner Ansicht nach zum einen an dem bevorzugten Blick auf die Geometrie des Tetraeders als Element der platonischen Körper und zum zweiten daran, dass andere Pyramiden, allen voran die quadratischen Pyramiden als Bauwerke aus den alten Kulturen, eine größere Popularität genießen. Dies ist jedoch neben der sogleich folgenden interessanten Fragestellung nur ein Aspekt, der für die Erarbeitung der Eigenschaften dieser „Ausnahmepyramiden“ spricht.

Die Dreieckspyramide kann als räumliches Analogon zum Dreieck aufgefasst werden. Die Herleitung dieses Verständnisses ergibt sich aus dem Zusammenhang ihrer Definitionen: Während drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ein Dreieck festlegen, bestimmen vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen (und drei von ihnen nicht kollinear sind), eine Dreieckspyramide. Diese Analogie zwischen Ebene und Raum motiviert die vorrangige Fragestellung dieser Arbeit. Ausgehend von Sätzen und Sachverhalten aus der Dreiecksgeometrie soll untersucht werden, inwiefern sich Analogien im Raum für die Dreieckspyramiden ergeben. Dabei wird sich zeigen, dass beim Übergang von der Ebene in den Raum nicht alle ebenen Tatsachen übertragbar sind. Es kann jedoch auch vorkommen, dass gefundene Analogien nur dann existieren, wenn sie an bestimmte Bedingungen geknüpft sind.

Zu Beginn der Untersuchungen werde ich die von Euklid überlieferte Konstruktion eines Tetraeders darstellen. Er zeigt dabei neben seinem Konstruktionsverfahren, welches allein durch Zirkel und Lineal durchgeführt werden kann, dass eine Beziehung zwischen dem Radius der Umkugel und Kantenlänge des Tetraeders hergeleitet werden kann.

Danach folgt eine Abhandlung über eine Möglichkeit, den berühmten - für rechtwinklige Dreiecke geltenden - Satz des Pythagoras auf rechtwinklige Dreieckspyramiden zu übertragen. Dabei ist vor allem interessant, wie man Rechtwinkligkeit bei Pyramiden definiert und wie man den Satz so formuliert, dass er für eine solche Pyramide zutrifft.

Als nächstes geht es um eine Analogiebildung bzgl. eines eher unbekannten Satz aus der ebenen Geometrie. Beim Satz von Viviani geht es um die Konstanz der Längensumme der Lote eines inneren Punktes eines gleichseitigen Dreiecks auf die Dreiecksseiten. Dabei soll auf zwei verschiedene Weisen bewiesen werden, dass sich der ebene Satz auch auf die regelmäßige Pyramide (Tetraeder) übertragen lässt.

Im nächsten Kapitel stellt der Satz über den Schnittpunkt der Dreieckshöhen den Ausgangspunkt für die Überlegungen zur Analogiebildung dar. Es soll dabei herausgefunden werden, ob sich die räumlichen Höhen der Pyramide – wie die Höhen des Dreiecks - stets in einem Punkt schneiden oder ob bestimmte Bedingungen dafür gelten müssen.

Daraufhin werde ich mich – ausgehend von verschiedenen Kreisen am Dreieck – mit entsprechenden Kugeln an der Pyramide beschäftigen. Zu den dort thematisierten Kugeln gehört die Umkugel, die Inkugel, die Ankugeln und die Kantenkugel, wobei letztere aus keiner Analogie zu einem Kreis am Dreieck hervorgeht. Vorrangig bei diesem Thema wird es sein, herauszufinden, unter welchen Bedingungen diese Kugeln exstieren und wo der geometrische Ort ihres jeweiligen Mittelpunkts zu finden ist.

Als letzten Aspekt dieser Arbeit werde ich den auf Analogie bedachten Zusammenhang zwischen Dreieck und Pyramide bzgl. der Innenwinkelsumme darstellen. Die Frage wird hier lauten, was die entsprechenden Innenwinkel einer Pyramide sind und ob auch bei der Pyramide ein Satz formuliert werden kann, der – wie beim Dreieck - eine konstante Winkelsumme angibt.

1. Konstruktion eines Tetraeders nach Euklid

Es ist bekannt, dass man mit Zirkel und Lineal ein gleichseitiges Dreieck konstruieren kann. Dazu konstruiert man zunächst einen Kreis k mit dem Radius r und schlägt dann einen weiteren Kreis mit Radius r um einen beliebigen Punkt auf k. Die Verbindungsstrecke zwischen den dabei im Schnitt mit dem Kreis k entstandenen Punkten A und B ist eine Seite des zu konstruierenden Dreiecks. Nun schlägt man einen weiteren Kreis um A oder B mit dem Radius |AB| und man erhält als Schnittpunkt mit k den Punkt C des gleichseitigen Dreiecks. Dies bedeutet zum einen, dass der Umkreis k als Hilfskonstruktion dient, aber andererseits auch, dass man jedem vorgegebenen Kreis ein gleichseitiges Dreieck einbeschreiben kann, also die Eckpunkte des Dreiecks auf dem Kreis liegen. Dies ist schon alleine deshalb immer möglich, da bekanntlich ein Kreis durch drei nicht kollineare Punkte seines Bogens eindeutig festgelegt ist.

Diesen Sachverhalt kann man nun von der Ebene auf den Raum übertragen. So beschreibt man in Analogie zum Dreieck und Kreis ein Tetraeder in eine vorgegebene Kugel ein bzw. konstruiert mit Hilfe der Kugel ein Tetraeder.

Euklid hat diesbezüglich im Buch XIII seiner „Elemente“ in §13 (A.1) ein Konstruktionsverfahren angegeben, um „eine Pyramide zu errichten und mit einer gegebenen Kugel zu umschließen; […]“ ([7], S. 398). Dieses werde ich im Folgenden skizzieren.

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