Wie schon der Titel andeutet, sollen in dieser Arbeit geometrische Eigenschaften von Dreieckspyramiden (Im Folgenden auch: Pyramiden) erarbeitet werden. Diese Pyramiden besitzen vier Ecken, sechs Kanten und vier dreieckige Seitenflächen. Daher werden diese Polyeder in der Literatur aufgrund des griechischen Wortes für Vierflächner (tetráedron) meist als „Tetraeder“ bezeichnet. Im weiteren Verlauf werde ich diesen Begriff jedoch für den bekannten platonischen Körper reservieren, der eine regelmäßige Dreieckspyramide darstellt.
Den allgemeinen (also auch unregelmäßigen) Dreieckspyramiden kommt bis heute sowohl im Schulunterricht als auch in der Fachliteratur eine Außenseiterrolle zu. Dies liegt meiner Ansicht nach zum einen an dem bevorzugten Blick auf die Geometrie des Tetraeders als Element der platonischen Körper und zum zweiten daran, dass andere Pyramiden, allen voran die quadratischen Pyramiden als Bauwerke aus den alten Kulturen, eine größere Popularität genießen. Dies ist jedoch neben der sogleich folgenden interessanten Fragestellung nur ein Aspekt, der für die Erarbeitung der Eigenschaften dieser „Ausnahmepyramiden“ spricht.
Die Dreieckspyramide kann als räumliches Analogon zum Dreieck aufgefasst werden. Die Herleitung dieses Verständnisses ergibt sich aus dem Zusammenhang ihrer Definitionen: Während drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ein Dreieck festlegen, bestimmen vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen (und drei von ihnen nicht kollinear sind), eine Dreieckspyramide. Diese Analogie zwischen Ebene und Raum motiviert die vorrangige Fragestellung dieser Arbeit. Ausgehend von Sätzen und Sachverhalten aus der Dreiecksgeometrie soll untersucht werden, inwiefern sich Analogien im Raum für die Dreieckspyramiden ergeben. Dabei wird sich zeigen, dass beim Übergang von der Ebene in den Raum nicht alle ebenen Tatsachen übertragbar sind. Es kann jedoch auch vorkommen, dass gefundene Analogien nur dann existieren, wenn sie an bestimmte Bedingungen geknüpft sind.
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Inhaltsverzeichnis
- 0. Einleitung
- 1. Konstruktion eines Tetraeders nach Euklid
- 2. Der dreidimensionale Satz des Pythagoras
- 3. Das räumliche Analogon zum Satz von Viviani
- 4. Die Raumhöhen der Dreieckspyramide
- 5. Kugeln an der Dreieckspyramide
- 5.1. Die Umkugel
- 5.2. Die Inkugel
- 5.3. Die Ankugeln
- 5.3.1. Die Ankugeln erster Art
- 5.3.2. Die Ankugeln zweiter Art
- 5.4. Die Kantenkugel
- 6. Zur Winkelsumme bei Dreieckspyramiden
- 7. Resümee
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit geometrischen Eigenschaften von Dreieckspyramiden, auch als Pyramiden bezeichnet. Das Hauptziel ist es, Analogien zwischen Dreiecksgeometrie und der Geometrie von Dreieckspyramiden zu untersuchen und herauszufinden, welche geometrischen Sachverhalte sich vom ebenen Raum in den dreidimensionalen Raum übertragen lassen.
- Konstruktion eines Tetraeders nach Euklid
- Übertragung des Satzes des Pythagoras auf rechtwinklige Dreieckspyramiden
- Analogie des Satzes von Viviani für regelmäßige Pyramiden
- Schnittpunkt der Raumhöhen einer Dreieckspyramide
- Kugeln an der Dreieckspyramide (Umkugel, Inkugel, Ankugeln, Kantenkugel)
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 0. Einleitung: In der Einleitung wird die Thematik der Arbeit vorgestellt und die Bedeutung der Dreieckspyramide im Kontext der Geometrie beleuchtet. Die Arbeit zielt darauf ab, Analogien zwischen ebenen und räumlichen geometrischen Sachverhalten zu untersuchen.
Kapitel 1. Konstruktion eines Tetraeders nach Euklid: Dieses Kapitel befasst sich mit der Konstruktion eines Tetraeders nach Euklids Methode. Es wird gezeigt, wie ein Tetraeder in eine vorgegebene Kugel einbeschrieben werden kann und welche Beziehung zwischen dem Radius der Umkugel und der Kantenlänge des Tetraeders besteht.
Kapitel 2. Der dreidimensionale Satz des Pythagoras: Dieses Kapitel behandelt die Übertragung des Satzes des Pythagoras auf rechtwinklige Dreieckspyramiden. Es werden die Definitionen der Rechtwinkligkeit bei Pyramiden sowie die Formulierung des Satzes für Dreieckspyramiden erläutert.
Kapitel 3. Das räumliche Analogon zum Satz von Viviani: Hier wird der Satz von Viviani, der sich mit der Konstanz der Längensumme der Lote eines inneren Punktes eines gleichseitigen Dreiecks auf die Dreiecksseiten befasst, auf regelmäßige Pyramiden übertragen. Zwei unterschiedliche Beweismethoden werden vorgestellt.
Kapitel 4. Die Raumhöhen der Dreieckspyramide: Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den räumlichen Höhen einer Dreieckspyramide. Es wird untersucht, ob die Höhen einer Pyramide wie die Höhen eines Dreiecks stets in einem Punkt schneiden oder ob dafür bestimmte Bedingungen gelten.
Kapitel 5. Kugeln an der Dreieckspyramide: Dieses Kapitel behandelt verschiedene Kugeln, die mit der Dreieckspyramide in Verbindung stehen, wie die Umkugel, die Inkugel, die Ankugeln und die Kantenkugel. Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen diese Kugeln existieren und wo sich der geometrische Ort ihres Mittelpunkts befindet.
Schlüsselwörter
Dreieckspyramide, Tetraeder, Geometrie, Analogie, Satz des Pythagoras, Satz von Viviani, Raumhöhen, Umkugel, Inkugel, Ankugeln, Kantenkugel, Winkelsumme.
- Citation du texte
- Jan Meckeler (Auteur), 2007, Zur Geometrie der Dreieckspyramiden, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/383073
