Optionen bewerten mithilfe des Black-Scholes-Modells auf Basis der Apple Aktie "AAPL"

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis III

Symbolverzeichnis IV

1 Einleitung
1.1 Problemstellung und die Relevanz der Thematik
1.2 Zielsetzung und Vorgehensweise

2 Optionen
2.1 Definition
2.2 Arten und Preis

3 Black-Scholes-Modell
3.1 Annahmen
3.2 Black-Scholes-Formel

4 Praxisbeispiel anhand der AAPL-Aktie

5 Fazit

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Ausübungsmodalitäten von Optionen 3

Abbildung 2: Innerer Wert und Moneyness von Optionen 4

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

1.1 Problemstellung und die Relevanz der Thematik

Der Kundenwunsch nach Flexibilität bei Finanzprodukten nimmt stetig zu.^[1] Aufgrund des von der Europäischen Zentralbank vorgegebenen niedrigen Zinsniveaus sind Darlehen und Kredite bei privaten Sparern beliebt.^[2] Doch auch institutionelle Anleger setzen immer weniger auf Anleihen und fokussieren sich mehr auf Aktien. Seit Jahren befinden sich auch alternative Anlagen im Aufschwung, wie die Umfrage Mercer European Asset Allocation Survey 2017 zeigt.^[3] Optionen auf Aktienindizes bieten die Möglichkeit mit relativ wenig Einsatz hohe Gewinne zu erzielen.^[4] Die Finanzkrise im Jahr 2007 zeigt, dass dies in Verbindung mit einem hohen Risiko steht.^[5] Um eine Optionsbewertung durchzuführen wird das Black-Scholes-Modell verwendet, dessen Anwendung in den 70er Jahren zu einem Aufschwung an den Kapitalmärkten führte.^[6] Problematisch anzusehen ist, dass die Anleger dieser Bewertung vertrauen und somit das Restrisiko, welches durch dieses Modell entsteht, aufgrund der Einfachheit eingegangen wird. Dabei ist es wichtig zu verstehen, dass das Black-Scholes-Modell Risiken nicht eliminiert, sondern quantifiziert.^[7] Es gilt herauszufinden wie Optionspreise, basierend auf dem Black-Scholes-Modell zu bewerten sind. Weiterhin ist kritisch zu hinterfragen, ob die Ergebnisse des Modells in der Praxis valide sind. Die Ergebnisse werden im weiteren Verlauf dieser Arbeit untersucht.

1.2 Zielsetzung und Vorgehensweise

Aufbauend auf den gezeigten Herausforderungen ist das Ziel dieser Arbeit eine Call - bzw. Put - Option mithilfe des Black-Scholes-Modells zu bewerten. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Berechnung der Formel und deren Risiken. Im weiteren Verlauf werden die Erkenntnisse auf ein Praxisbeispiel übertragen. Die Schlussanalyse bezieht sich auf die Anwendbarkeit der Formel und die damit aufkommenden Defizite. Abschließend ist innerhalb der Schlussanalyse festzustellen, ob das Black-Scholes-Modell weiterhin zu nutzen ist oder besser gemieden werden sollte. Die Arbeit ist in zwei wesentliche Teile gegliedert. Im ersten Teil dieser Arbeit werden theoretische Grundlagen zum Thema Optionen dargestellt und wesentliche Fachtermini wie Call und Put erläutert. Der zweite Teil befasst sich sowohl mit den Voraussetzungen der Formel, als auch mit der Erläuterung des Aufbaus dieser. Im Nachgang wird die Untersuchung auf ein Praxisbeispiel übertragen und methodisch analysiert. Abgeschlossen wird diese Arbeit durch ein Fazit.

2 Optionen

2.1 Definition

Das Wort Option hat seinen Ursprung in der lateinischen Vokabel optio und bedeutet freier Wille. Diese Bezeichnung beschreibt die Kernfunktion von Optionen.^[8] Eine Option ist ein Vertrag, der dem Käufer der Option innerhalb einer festgelegten Kontraktlaufzeit das Op-tionsrecht einräumt, eine bestimmte Menge eines Gutes, zu einem im Voraus festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen.^[9] Der Käufer einer Option hat die Möglichkeit das Recht diese auszuüben oder verfallen zu lassen.^[10] Optionen lassen sich in zwei Gruppen unterteilen. Zum einen gibt es die Option, die zum Kauf eines beim Abschluss vereinbarten Kurses, auch Basispreis genannt, berechtigt. Sie wird als Kaufoption oder Call definiert. Zum anderen gibt es eine Option, die zum Verkauf eines Basispreises berechtigt. Sie wird als Verkaufsoption oder Put bezeichnet. Der Verkäufer einer Option befindet sich in der Stillhaltposition und muss der zukünftigen Entscheidung des Optionskäufers nachkommen. Im Gegenzug dafür erhält der Verkäufer eine Entschädigung bzw. eine Optionsprämie. Der Käufer einer Option hingegen, behält die Handlungsfreiheit zum Erwerb Call-Option oder zur Veräußerung Put-Option des zukünftigen Basiswerts.^[11] Der zugrundeliegende Basiswert wird als Underlying bezeichnet.^[12] Weiterhin wird in amerikanische und europäische Optionen unterschieden. Dessen Ursprung liegt jedoch nicht im geografischen. Eine amerikanische Option kann jederzeit bis zum Fälligkeitstermin ausgeübt werden. Bei einer europäischen hingegen, kann nur am Fälligkeitstermin selbst die Option wahrgenommen werden. In der Regel werden amerikanische Optionen an den Börsen gehandelt, obwohl europäische Optionen im Allgemeinen simpler zu analysieren sind.^[13] Anzumerken ist, dass einige Eigenschaften einer amerikanischen Option aus denen des europäischen Gegenstücks hergeleitet sind.^[14] Der folgende Abschnitt geht näher auf die Optionsarten und die Preisbewertung ein.

2.2 Arten und Preis

Es wird zwischen zwei Arten von Optionen unterschieden, die in Abbildung 1 zusammengefasst sind:^[15]

- Die Call-Option berechtigt den Inhaber, zu festgesetzten Konditionen vom Verkäufer einen bestimmten Währungsbetrag am Fälligkeitstag oder während einer vereinbarten Laufzeit zu übernehmen.
- Die Put-Option berechtigt den Inhaber eine Währung vereinbarungsgemäß an den Stillhalter zu verkaufen.

Abbildung 1: Ausübungsmodalitäten von Optionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Souren, L., Call und Put, 1995, S. 78

Bevor der Käufer ein Optionsausübungsrecht erwirbt, muss ein Preis für die Option ermittelt werden. Zur Preisermittlung werden zwei Komponenten benötigt. Diese sind der innere Wert und der Zeitwert.^[16]

Der innere Wert wird aus der Differenz errechnet, die aus dem Basispreis und dem aktuellen Börsenkurs der jeweiligen Währungen entsteht.^[17] Es ist üblich, dass eine Option aus dem Geld günstiger ist als eine Option im Geld.^[18] Befindet sich der Kurs des Basiswerts oberhalb des Ausübungspreises und weist somit die Call-Option einen inneren Wert auf, übt der Käufer die Call-Option aus. Der Verkäufer erwirbt den Basiswert zum Ausübungspreis und kann ihn gleichzeitig zu einem höheren Preis an der Börse verkaufen. Eine Put-Option verhält sich gegensätzlich. Der Käufer hat das Recht mit einer Put-Option einen Basiswert zum Ausübungspreis zu verkaufen. Je niedriger der Kurs oder Preis der Aktie, desto höher ist der Wert des Puts. Die Option befindet sich im Geld, wie in der Abbildung 2 dargestellt ist.^[19]

Abbildung 2: Innerer Wert und Moneyness von Optionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Rieger, M., Zwei Gruppen von Optionen, 2016, S. 50

Neben dem inneren Wert beeinflusst auch der Zeitwert den Preis einer Option. So ist es verständlich, dass eine Option mit einer längeren Restlaufzeit teurer sein kann, als eine kurz laufende Option. Die Wahrscheinlichkeit bei einer längeren Laufzeit ist höher, dass die Option im Geld kommt.^[20] Somit verkörpert der Zeitwert einer Option die Chance, dass sich die Erwartungen des Optionskäufers während der Laufzeit erfüllen und besagt, um wie viel der Erwerb der Option teurer ist als der direkte Call oder Put des Underlyings an der Börse. Unter anderem wird der Zeitwert auch als Aufgeld oder Prämie bezeichnet und gibt somit die Mehrkosten an, die durch die Optionsposition entstehen.^[21]

3 Black-Scholes-Modell

Alle modernen Kapitalmärkte verzeichneten seit Beginn der 70er Jahre eine Expansion von Optionshandelsplätzen. Durch die in dieser Zeit von Black und Scholes erstellten Arbeiten waren die wichtigsten Grundlagen der Bewertungstheorie gelegt.^[22] Die Black-Scholes-Formel ist ein mathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen. Dazugehörig sind einige Einflussfaktoren, wie der Aktienkurs, der Basispreis, der Zinssatz, die Volatilität und die Restlaufzeit.^[23] Im Rahmen des Black-Scholes-Modells muss zur Berechnung des Preises einer Option von einigen Prämissen ausgegangen werden. Diese werden im weiteren Abschnitt erläutert.

3.1 Annahmen

Die Formel von Black und Scholes wurde am Beispiel einer Kaufoption hergeleitet und legt folgende Voraussetzungen zugrunde:^[24]

- Kurzfristige risikolose Anlagen haben einen konstanten Marktzinssatz und jedes Individuum kann zu diesem Zinssatz ohne jede Beschränkung leihen sowie verleihen Sollzinssatz = Habenzinssatz.
- Es werden keine Dividendenzahlungen generiert.
- Es ist nur am Verfalltag möglich eine Option auszuüben europäische Option.
- Transaktionskosten sind am Kapitalmarkt nicht vorhanden und Steuern sind für alle Transaktionen sowie Marktteilnehmer identisch.
- Es ist möglich eine unbeschränkte Anzahl an Leerverkäufen zu tätigen.
- Für Aktienkurse gilt, dass diese einem kontinuierlichem Zufallspfad folgen und log-normal verteilt, mit konstanter Varianz pro Zeitintervall im Zeitablauf sind.

Unter diesen Voraussetzungen hängt der Wert einer Option nur von der Höhe des Aktienkurses, der Restlaufzeit der Option und Parametern, die als konstant unterstellt werden ab. Darunter zählt der Basispreis der Option, die erwartete Varianz der Aktienkurse und der risikolose Zinssatz.^[25] Erst durch diese Annahmen wird die Optionsbewertung zu einem weniger komplexen Modell reduziert. Aus diesem Grund ist zu hinterfragen, ob die Black-Scholes-Formel in der Praxis realitätsnahe Ergebnisse liefert oder zu irrtümlichen Entscheidungen führen kann.

3.2 Black-Scholes-Formel

Die Black-Scholes-Formel ist eine geschlossene Formel für den Wert einer europäischen Call-Option oder Put-Option, welche den Wert bzw. einer Kaufoption oder Verkaufsoption liefert:^[26] mit Innerhalb dieser Formel ist der Aktienkurs zum Zeitpunkt , der Basispreis, der risikolose Zins, die Restlaufzeit der Option, der natürliche Logarithmus, die Eulersche Zahl =2,7183, die Normalfunktion und die Varianz des Aktienkurses, als Maß für die Aktienkursvolitalität.^[27] Davon ist die Funktion die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable mit einer Standardnormalverteilung kleiner als oder gleich ist.^[28] Obwohl die Black und Scholes Optionsbewertungsformel mathematisch komplex ist, ist es eine der am meisten in der Praxis angewandte Formel der Finanzmathematik. Deshalb wurde sie für Investoren und Börsenhändler weltweit ein wichtiges Instrument.^[29] Die Anwendung dieser Formel wird im nächsten Abschnitt dargestellt.

4 Praxisbeispiel anhand der AAPL-Aktie

Schlussendlich ist zu prüfen, ob die Formel auch in der praktischen Anwendung einen Nutzen generiert. Hierzu wird der Preis einer Aktie benötigt, welcher sich in diesem Beispiel auf die Apple Aktie AAPL bezieht. Das Unternehmen Apple wurde 1976 von Steve Jobs und Steve Wozniak im Silicon Valley Kalifornien gegründet.^[30] Der Macintosh war der erste Computer mit grafischer Benutzeroberfläche, der von Apple in der Gründungszeit veröffentlicht wurde.^[31] Heutzutage ist das Unternehmen Apple einer der erfolgreichsten Entwickler und Hersteller von Software, Computer, Smartphone und Computerdisplays zugleich.^[32] Apple wurde erstmals auf dem globalen Aktienmarkt im Dezember 1980 notiert.^[33] Am 1. Oktober 2017 lag der Aktienpreis der AAPL-Aktie bei 153,81 Dollar.^[34] Zur weiteren Darstellung wird nun von der Annahme ausgegangen, dass nach sechs Monaten der Basispreis der Aktie bei 130 Dollar liegt und der risikolose Zinssatz in Deutschland aufgerundet bei 0,5% liegt.^[35] Bei der Verwendung der Black-Scholes-Formel, wird eine konkrete Varianz benötigt. Die Varianz der AAPL-Aktie nach sechs Monaten liegt bei 15,17%.^[36] Anhand dieser Paramater wird der Optionspreis mithilfe der Black-Scholes-Formel berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[37]

Somit beträgt der Preis einer Call-Option 24,53 Dollar und der Preis für eine Put-Option 0,40 Dollar.

Durch die zuvor genannten Voraussetzungen lässt sich der Preis einer Option annähernd berechnen. Dies ist auch ein Vorteil des Black-Scholes-Modells, welches in der praktischen Handhabbarkeit liegt.^[38] Es werden keine speziellen mathematischen Kenntnisse benötigt, um die Formel errechnen zu können. Deshalb ist dieses Modell auch für unerfahrene Marktteilnehmer attraktiv, da alternative Modelle ein komplexeres Verständnis erfordern.^[39] Dennoch sind die zuvor genannten Annahmen kritisch anzusehen, da diese zu irrtümlichen Ergebnissen führen können. Insbesondere bei kurzer Laufzeit liefert das Modell zu hohe Werte.^[40] Aufgrund der restriktiven Annahmen, sind in der Verwendung des Black-Scholes-Modells bei komplexen Handlungssituationen enge Grenzen gesetzt. Somit ist die Abbildungsgenauigkeit in erheblichem Maße eingeschränkt.^[41] Zu dem kommt, dass weder die Normalverteilungsannahme, noch die Annahme konstanter Volatilitäten, in Zusammenhang mit den Beobachtungen auf den realen Finanzmärkten vorzufinden sind. Aus diesen Gründen ist die Formel in der Grundform nur ein Modell, welches sich dem tatsächlichen Ergebnis annähert aber dieses nicht korrekt darstellt.^[42] Abschließend ist zu sagen, dass mit der Black-Scholes-Formel eine zeitsparende und praktische Berechnung von Optionspreisen möglich ist. Dennoch sollten die Ergebnisse kritisch hinterfragt werden, da die zuvor genannten Annahmen das Resultat verzerren.

5 Fazit

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Modell von Black und Scholes mit einer Reihe von mehr oder weniger ausgeprägten Schwachstellen ausgestattet ist. Dennoch wird dieses Modell aufgrund der einfachen Handhabbarkeit oftmals zur Bewertung von Optionspreisen genutzt. Die Anwender vertrauen der Üblichkeit der Verwendung dieser Formel, da die Attraktivität durch den simplen Einstieg in den Optionenmarkt mit der Black-Scholes-Formel gegeben ist. Wie innerhalb des Praxisteils beschrieben, handelt es sich hierbei um ein Modell. Ein Modell ist eine vereinfachte Form einer Problemstellung. Durch das Festlegen von Annahmen wird versucht eine schemenhafte Vereinfachung der Problemstellung aufzuführen. Deshalb stellen Optionspreise mit dem Black-Scholes-Modell lediglich verzerrte Ergebnisse dar. Für eine präzisere Bewertung wird eine Erweiterung des Modells benötigt, um mehrere Faktoren bzw. Beeinflussungen innerhalb der Formel berücksichtigen zu können. Dies führt dazu, dass das Modell komplexer wird und somit an Attraktivität verliert. Aus diesem Grund und mangels geeigneter Alternativen ist das Black-Scholes-Modell seit 1970 immer noch präsent. Schlussendlich wurde einleitend die Frage gestellt, ob die Ergebnisse dieser Formel valide sind. Die Ergebnisse entsprechen nur teilweise der Korrektheit, da hierfür mehr Einflussfaktoren zu berücksichtigen sind. Das Modell zeigt nur eine Tendenz auf. Zur genaueren Ermittlung von Optionspreisen sollten alternative Optionsbewertungsmodell genutzt werden, die mehr Einflussfaktoren berücksichtigen.

[...]

^[1] Vgl. Blonczewski, C., Stöckl, S., Allgemeine Finanzlage, 2017, S. 165.

^[2] Vgl. Hermle, M., Zinsniveau, 2017, S.76.

^[3] Vgl. Widrat, S., Alternative Investitionsanlagen, 2017, S. 54.

^[4] Vgl. Schwerdtfeger, H., Optionen und Gewinne, 2017, S. 88.

^[5] Vgl. Fuest, C., Finanzkrise, 2017, S.73.

^[6] Vgl. Mai, J., Marktkrise, 2017, S. 1.

^[7] Vgl. Wallmeier, M., Informationsgehalt von Optionspreisen, 2013, S. 149.

^[8] Vgl. Beike, R., Schlütz, J., Definition Option, 2000, S. 8.

^[9] Vgl. Imo, C., Gith, T., Einführung Optionshandel, 1989, S. 7.

^[10] Vgl. Hull, J., Einführung Optionsmärkte, 2001, S. 250.

^[11] Vgl. Rieger, M., Zwei Gruppen von Optionen, 2016, S. 49.

^[12] Vgl. Eck, C. et al., Basiswert einer Option, 2013, S. 57.

^[13] Vgl. Hull, J., Einführung Optionsmärkte, 2001, S. 250 f.

^[14] Vgl. Hull, J., Fälligkeit einer Option, 2015, S. 31.

^[15] Vgl. Souren, L., Call und Put, 1995, S. 78.

^[16] Vgl. Götte, R., Komponenten des Optionspreises, 2001, S. 190.

^[17] Vgl. Karl, P. et al., Innere Wert, 2017, S. 237.

^[18] Vgl. Götte, R., Bedeutung innerer Wert, 2007, S. 28.

^[19] Vgl. Rieger, M., Zwei Gruppen von Optionen, 2016, S. 50.

^[20] Vgl. Eck, C., Riechert, M., Zeitwert einer Option, 2006, S. 59.

^[21] Vgl. Michalky, M., Schittler, R., Erläuterung Zeitwert, 2008, S. 635.

^[22] Vgl. Kaserer, C., Black-Scholes-Modell Entstehung, 1993, S. 1.

^[23] Vgl. o. V., Begriffe an der Börse, 2016, S. 41.

^[24] Vgl. Kuhner, C., Maltry, H., Annahmen Black Scholes, 2017, S. 326; Spremann, K., Annahmen Black Scholes, 2010, S. 287.

^[25] Vgl. Lingner, U., Annahmen Parameter, 1987, S. 90.

^[26] Vgl. Spremann, K., Annahmen Black Scholes, 2010, S. 285; Daume, P., Formel, 2009, S. 56 f.

^[27] Vgl. Lingner, U., Annahmen Parameter, 1987, S. 91.

^[28] Vgl. Hull, J., Fälligkeit einer Option, 2015, S. 398.

^[29] Vgl. Liebler, H., Praxis Formel, 1996, S. 131.

^[30] Vgl. Kowalsky, M., Gründung Apple, 2004, S. 34.

^[31] Vgl. Eder, J., Erster Macintosh, 2005, S. 118.

^[32] Vgl. Hohensee, M., Apple Produkte, 2007, S. 100.

^[33] Vgl. Billina, J., IPO Apple, 2017, S. 24.

^[34] Vgl. o. V., Kurs AAPL, 2017, o. S.

^[35] Vgl. o. V., Risikolose Zinssatz Deutschland, 2017, o. S.

^[36] Vgl. o. V., Volatilität Apple Aktie, 2017, o. S.

^[37] Vgl. Anhang 1 und Anhang 2

^[38] Vgl. Schmeisser, W., Krimphove, D., Vorteil Black Scholes, 2010, S. 115.

^[39] Vgl. Bolek, A., Mathematische Kenntnisse, 1999, S. 193.

^[40] Vgl. Oehler, A., Kritik Black Scholes, 2002, S. 87.

^[41] Vgl. Faaß, H., Grenzen Black Scholes, 2007, S. 236.

^[42] Vgl. Schredelseker, K., Beobachtungen Black Scholes, 2013, S. 119.