Extrait
Inhaltsverzeichnis
I
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS ... I
ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS ... III
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ... V
TABELLENVERZEICHNIS ... VII
1
EINLEITUNG ... 1
2
THEORETISCHE GRUNDLAGEN ... 2
2.1
F
INANZDERIVATE
... 2
2.1.1
Derivate ... 2
2.1.2
Optionen ... 4
2.1.3
Exotische Optionen ... 8
2.2
B
EWERTUNGSMETHODEN
... 11
2.2.1
Bewertungsgrundsätze ... 11
2.2.1.1
Arbitragefreiheit ... 11
2.2.1.2
Duplikationsprinzip ... 12
2.2.1.3
Risikoneutralität ... 13
2.2.1.4
Stochastische Prozesse ... 14
2.2.2
Bewertungsmodelle ... 17
2.2.2.1
BlackScholesMerton Modell ... 17
2.2.2.2
Binomialmodell ... 21
2.2.2.3
MonteCarlo Simulation ... 28
2.2.2.4
Finite Differenzen ... 29
3
BEWERTUNG VON BARRIER OPTIONEN ... 31
3.1
B
ARRIER
O
PTIONEN
... 31
3.1.1
Definition ... 31
3.1.2
Varianten ... 33
3.1.3
Allgemeine Wertaussagen ... 36
3.2
A
NPASSUNG DER
B
EWERTUNGSMODELLE AN
B
ARRIER
O
PTIONEN
... 39
3.2.1
Binomialmodell ... 39
3.2.2
Geschlossene Bewertungsformel ... 46
3.2.3
Sonstige Bewertungsansätze ... 47
3.3
I
MPLEMENTIERUNG DES
B
INOMIALMODELLS IN
MS
E
XCEL
VBA ... 47
3.4
B
EISPIELBEWERTUNG
... 50
3.4.1
Ergebnisanalyse ... 50
3.4.2
Numerische Konvergenzanalyse ... 55
3.4.3
Grenzfallanalyse ... 58
3.4.4
Parameteranalyse ... 60
3.5
B
EWERTUNG GEHANDELTER
O
PTIONEN
... 69
3.5.1
Wahl der Variablen ... 69
3.5.2
Bewertungen ... 72
3.5.2.1
Bewertungen von Downandout Call Optionen ... 72
3.5.2.2
Bewertungen von Upandout Put Optionen ... 75
3.5.3
Auswertung ... 76
Inhaltsverzeichnis
II
4
HEDGING MIT BARRIER OPTIONEN ... 79
4.1
H
EDGING
P
RINZIP
... 79
4.2
H
EDGING
K
ENNZAHLEN
(G
RIECHEN
) ... 79
4.3
H
EDGING
B
EISPIEL
... 88
5
FAZIT ... 97
ANHANG ... VIII
LITERATURVERZEICHNIS ... LXXIV
Abkürzungsverzeichnis
III
Abkürzungsverzeichnis
WpHG
Wertpapierhandelsgesetz
OTC
Over-the-Counter
EONIA
Euro Overnight Index Average
EURIBOR
Euro Interbank Offered Rate
LIBOR
London Interbank Offered Rate
VBA
Visual Basic for Applications
BSM
Black-Scholes-Merton Modell
MCS
Monte-Carlo Simulation
ISIN
Internationale Wertpapierkennnummer
K
Basispreis, Ausübungspreis (engl. ,,Strike")
S
Kurs des Basiswertes (engl. ,,Underlying")
t
0
Tag der Betrachtung (heute)
T
Tag der Fälligkeit, (engl. ,,Maturity") oder
Restlaufzeit
T-t
0
Restlaufzeit, Zeit bis Fälligkeit
Volatilität
µ
Erwartungswert
r
f
(risikoloser) Zinssatz
C(0)
Wert einer Call Option zum Zeitpunkt 0
C(t)
Wert einer Call Option zum Zeitpunkt t
C(T)
Wert einer Call Option bei Fälligkeit
P(0)
Wert einer Put Option zum Zeitpunkt 0
C
do
Down-and-out Call Option
e
rT
Aufzinsungsfaktor bei stetiger Verzinsung
e
-rT
Abzinsungsfaktor bei stetiger Verzinsung
(1+r)
T
Aufzinsungsfaktor bei diskreter Verzinsung
(1+r)
-T
Abzinsungsfaktor bei diskreter Verzinsung
Abkürzungsverzeichnis
IV
B
risikolose Anlage
p
Aufwärtswahrscheinlichkeit
q
Abwärtswahrscheinlichkeit
u
Aufwärtsfaktor
d
Abwärtsfaktor
A
u
Anzahl ,,toter" Pfade für eine obere Barriere
A
d
Anzahl ,,toter" Pfade für eine untere Barriere
x
kleinste Anzahl an direkten Abwärtsschritten
von S
0
zu H
dz
Einfache Wiener Prozess
dx
Allgemeiner Wiener Prozess
partielle Ableitung
Delta
Gamma
Vega
Rho
Theta
Element von
ansteigend, positiv oder auch weniger stark
fallend
fallend, negativ oder auch weniger stark
steigend
[X]
+
Gibt das Maximum von X und null aus
XY
Maximaler Wert von X und Y
Abbildungsverzeichnis
V
Abbildungsverzeichnis
A
BBILDUNG
1:
A
USZAHLUNGSPROFIL VON
S
TANDARD
O
PTIONEN
... 5
A
BBILDUNG
2:
W
ERT EINER
C
ALL
O
PTION VOR
F
ÄLLIGKEIT
... 6
A
BBILDUNG
3:
A
LLGEMEINER
W
IENER
P
ROZESS
... 16
A
BBILDUNG
4:
B
INOMIALMODELL
EINE
P
ERIODE
... 22
A
BBILDUNG
5:
B
INOMIALMODELL
ZWEI
P
ERIODEN
... 26
A
BBILDUNG
6:
B
INOMIALMODELL
Z
WEI
P
ERIODEN
B
EISPIEL
... 27
A
BBILDUNG
7:
B
INOMIALMODELL
NP
ERIODEN
B
EISPIEL
... 27
A
BBILDUNG
8:
G
ITTER
F
INITER
D
IFFERENZEN
... 31
A
BBILDUNG
9:
M
ÖGLICHE
K
URSVERLÄUFE EINES
B
ASISWERTES FÜR EINE
D
OWN
AND
OUT
B
ARRIER
O
PTION
... 33
A
BBILDUNG
10:
B
INOMIALMODELL
Z
WEI
P
ERIODEN
B
EISPIEL FÜR
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
... 41
A
BBILDUNG
11:
B
ESTIMMUNG DER
,,
TOTEN
"
P
FADE
A
D
... 42
A
BBILDUNG
12:
B
INOMIALMODELL
NP
ERIODEN
B
EISPIEL FÜR
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
... 44
A
BBILDUNG
13:
B
EWERTUNG EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 51
A
BBILDUNG
14:
B
EWERTUNG EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION MIT VERÄNDERTEN
P
ARAMETERN
... 52
A
BBILDUNG
15:
B
EWERTUNG EINER
S
TANDARD
C
ALL
O
PTION
... 52
A
BBILDUNG
16:
L
AGE DER
B
ARRIERE IM
B
INOMIALBAUM
... 54
A
BBILDUNG
17:
A
BWEICHUNGSFEHLER DES
B
INOMIALMODELLS EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 57
A
BBILDUNG
18:
A
BWEICHUNGSFEHLER DES
B
INOMIALMODELLS EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION MIT
VERÄNDERTEN
P
ARAMETERN
... 57
A
BBILDUNG
19:
A
BWEICHUNGSFEHLER DES
B
INOMIALMODELLS EINER
S
TANDARD
C
ALL
O
PTION
... 58
A
BBILDUNG
20:
G
RENZVERHALTEN EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 59
A
BBILDUNG
21:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DER
V
OLATILITÄT MIT VERSCHIEDENEN
B
ASISPREISEN
... 62
A
BBILDUNG
22:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DER
V
OLATILITÄT MIT VERSCHIEDENEN
A
KTIENKURSEN
... 63
A
BBILDUNG
23:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DER
V
OLATILITÄT MIT VERSCHIEDENEN
B
ARRIEREN
... 63
A
BBILDUNG
24:
E
INFLUSS DER
P
ERIODENANZAHL AUF DEN
O
PTIONSWERT
... 64
A
BBILDUNG
25:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DES
A
KTIENKURSES MIT VERSCHIEDENEN
B
ASISPREISEN
... 65
A
BBILDUNG
26:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DER
R
ESTLAUFZEIT
... 66
A
BBILDUNG
27:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DER
R
ESTLAUFZEIT MIT VERSCHIEDENEN
B
ASISPREISEN
... 67
A
BBILDUNG
28:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DES
B
ASISPREISES MIT VERSCHIEDENEN
A
KTIENKURSEN
... 68
A
BBILDUNG
29:
O
PTIONSPREIS IN
A
BHÄNGIGKEIT DES
Z
INSSATZES MIT VERSCHIEDENEN
B
ASISPREISEN
... 69
A
BBILDUNG
30:
D
ELTA EINER
S
TANDARD
O
PTION
... 81
A
BBILDUNG
31:
D
ELTA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 82
A
BBILDUNG
32:
D
ELTA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 82
A
BBILDUNG
33:
A
BSICHERUNGSFEHLER DES
O
PTIONSDELTAS
... 83
A
BBILDUNG
34:
G
AMMA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 84
A
BBILDUNG
35:
G
AMMA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 84
A
BBILDUNG
36:
T
HETA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 85
A
BBILDUNG
37:
T
HETA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 86
A
BBILDUNG
38:
V
EGA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 87
A
BBILDUNG
39:
V
EGA EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 87
A
BBILDUNG
40:
R
HO EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 88
A
BBILDUNG
41:
O
PTIONSDELTA MIT DEM
B
INOMIALMODELL
... 90
A
BBILDUNG
42:
B
EWERTUNG EINER
D
OWN
AND
IN
C
ALL
O
PTION
... LXVI
A
BBILDUNG
43:
B
EWERTUNG EINER
U
P
AND
OUT
P
UT
O
PTION
... LXVII
A
BBILDUNG
44:
B
EWERTUNG EINER
U
P
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... LXVII
A
BBILDUNG
45:
B
EWERTUNG EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... LXVIII
Abbildungsverzeichnis
VI
A
BBILDUNG
46:
G
ITTER
F
INITER
D
IFFERENZEN
... LXX
A
BBILDUNG
47:
E
XPLIZITER
A
NSATZ
F
INITER
D
IFFERENZEN
... LXXI
A
BBILDUNG
48:
I
MPLIZITER
A
NSATZ
F
INITER
D
IFFERENZEN
... LXXII
Tabellenverzeichnis
VII
Tabellenverzeichnis
T
ABELLE
1:
E
INTEILUNG
E
XOTISCHER
O
PTIONEN
... 9
T
ABELLE
2:
A
USZAHLUNGSPROFILE VON
B
ARRIER
O
PTIONEN
... 35
T
ABELLE
3:
B
ASISTYPEN VON
B
ARRIER
O
PTIONEN
... 38
T
ABELLE
4:
EURIBOR
Z
INSSÄTZE
... 72
T
ABELLE
5:
B
EWERTUNG REALER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTIONEN
... 74
T
ABELLE
6:
B
EWERTUNG REALER
U
P
AND
OUT
P
UT
O
PTIONEN
... 76
T
ABELLE
7:
O
PTIONSPARAMETER
... 91
T
ABELLE
8:
D
YNAMISCHES
D
ELTAHEDGING EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 95
T
ABELLE
9:
D
YNAMISCHES
D
ELTA
&
G
AMMAHEDGING EINER
D
OWN
AND
OUT
C
ALL
O
PTION
... 96
T
ABELLE
10:
H
EDGINGERGEBNIS
... 97
Einleitung
1
1 Einleitung
,,Das Gesetz der Wirtschaft verbietet es, für wenig Geld viel Wert zu erhalten."
- John Ruskin (1819 - 1900)
Der Finanzmarkt gestaltet sich als umfangreiche Plattform für unterschiedlichste
Gruppen von Marktteilnehmern. Diese reichen von Privatpersonen über staatliche
Organisationen bis hin zu multinationalen Konzernen. So unterschiedlich die
Marktteilnehmer sind, so unterschiedlich sind auch die Meinungen und Bedürfnisse
der einzelnen Akteure. Um den immer spezieller werdenden Wünschen gerecht zu
werden, wurden Derivate entwickelt, die es ermöglichen, Risiken (und Chancen)
zu handeln, ohne dabei Inhaberrechte zu transferieren. Der Käufer/Verkäufer eines
Derivates kann dabei eine spezifische Menge Risiko aufnehmen oder abgeben, ohne
das Bezugsobjekt zu erwerben bzw. zu veräußern. Der Vertragsvielfalt solcher
Derivate sind dabei kaum Grenzen gesetzt und sie umspannen u.a. Optionen und
Barrier Optionen.
Die zunehmende Professionalität des Finanzmarktes verlangt aber auch nach einer
besseren Quantifizierung und Objektivierung von Preisen und Werten. So wurden
unterschiedlichste mathematische Modelle entwickelt, welche die komplexen
Strukturen und Wertzusammenhänge der Finanzprodukte erfassen und dadurch
einen ,,fairen" Preis für Derivate ermitteln. Zwei dieser bahnbrechenden Modelle
waren das Black-Scholes-Merton Modell von 1973
1
und das daran angelehnte Cox-
Ross-Rubinstein Modell von 1979
2
, das auch unter dem Namen Binomialmodell
bekannt ist. Es war nun erstmalig möglich, mittels einer Formel bzw. eines
Algorithmus einen ,,fairen" Wert einer Option zu bestimmen. Die herausragende
Bedeutung dieser Modelle wurde durch die Verleihung des Nobelpreises an Myron
Scholes und Robert Merton 1997 unterstrichen.
Wie der Titel ,,Bewertung und Hedging von Barrier Optionen mit dem
Binomialmodell" besagt, ist es Ziel dieser Arbeit, die spezielle Vorgehensweise bei
der Bewertung und dem Hedging von Barrier Optionen zu erläutern und
anschaulich darzustellen. Als Bewertungsmodell dient das flexible
Binomialmodell. Es werden dabei die konkreten Fragestellungen verfolgt, auf
1
Vgl. (Spremann & Gantenbein, 2017, S. 244)
2
Vgl. (Rieger, 2009, S. 67)
Theoretische Grundlagen
2
welche Weise die praktische Umsetzung des theoretischen Modells für Barrier
Optionen implementiert werden kann und wie die Bewertung real existierender
Optionen möglich ist. Zudem sollen Erkenntnisse über das Wertverhalten und das
Hedging von Barrier Optionen gewonnen werden.
Der allgemeinen Verständlichkeit dieser Arbeit dient es, zunächst den Begriff der
Barrier Option in einen umfassenden Rahmen einzuordnen und zu erläutern.
Anschließend werden Bewertungsgrundsätze beschrieben, die in den meisten
Bewertungsmodellen
zur
Anwendung
kommen.
Die
beschriebenen
Bewertungsmodelle, speziell das Black-Scholes-Merton und das Binomialmodell,
werden anschließend an die spezielle Gestaltung der Barrier Optionen angepasst
und in Excel-VBA implementiert. Das daraus entstandene Simulationsprogramm
wird zur Untersuchung des Wertverhaltens und der Konvergenzen von Down-and-
out Call Optionen genutzt. In Kapitel 3.5 der Arbeit werden schließlich real
gehandelte Optionen bewertet und die sich dabei ergebenden Herausforderungen
erläutert. Im letzten Abschnitt dieser Arbeit wird das Hedging von Barrier Optionen
erklärt und beispielhaft vorgeführt, bevor in einem abschließenden Resümee die
Ergebnisse nochmals aufgegriffen und eingeordnet werden.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Finanzderivate
2.1.1 Derivate
Der Begriff ,,Derivat" leitet sich aus dem lateinischen ,,derivare" (,,ableiten") ab
und beschreibt damit die wesentliche Grundeigenschaft dieses Finanzinstrumentes.
Ein Derivat beschreibt einen Vertrag, dessen Wert sich durch die Abhängigkeit zu
einer bestimmten Basis- bzw. Referenzgröße (engl. ,,Underlying") begründet
3
.
Dieser Definition folgt auch der Gesetzgeber, wonach gemäß WpHG §2 Abs.2
,,Derivate im Sinne dieses Gesetzes sind, Kauf, Tausch oder anderweitig
ausgestaltete Festgeschäfte oder Optionsgeschäfte, die zeitlich verzögert zu erfüllen
sind und deren Wert sich unmittelbar oder mittelbar vom Preis oder Maß eines
Basiswertes ableitet (Termingeschäfte)". Bei den Referenzgrößen kann es sich
einerseits um Wertpapiere (z.B. Aktien) und Waren aber auch Ereignisse oder
3
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 15)
Theoretische Grundlagen
3
andere Derivate handeln. In der Praxis spielen vor allem Waren- sowie Wertpapier-
, Zins- und Währungsderivate eine bedeutende Rolle
4
.
Grundsätzlich sind Derivate ein Instrument um Risiken zu transferieren. Es kann
sich dabei um Markt-, Kredit-, oder sonstige Risiken, wie das einer Zinsänderung,
handeln. Dabei können die Akteure im Derivatehandel unterschiedliche Motive
verfolgen
5
. Sie können zum einen als Absicherer (engl. ,,Hedger") daran interessiert
sein, eine real bestehende Risikoposition ihres Unternehmens bzw. Kassaposition
mit Abschluss eines Derivates zu eliminieren, indem sie beispielsweise
Rohstoffpreise oder Wechselkurse absichern. Dabei sollte die Korrelation beider
Geschäfte stark negativ sein, um das Risiko möglichst vollständig zu eliminieren.
Die Verluste/Gewinne aus der Kassaposition heben sich im Idealfall mit den
Gewinnen/Verlusten der Derivateposition auf. Es ist dadurch ersichtlich, dass nicht
nur Risiken reduziert, sondern auch gleichzeitig Chancen auf Gewinne gesenkt
werden. Als Gegenpartei für einen solchen Handel kann entweder ein anderer
Hedger auftreten, welcher eine entsprechende Gegenposition absichern möchte
oder ein Spekulant. Dieser setzt auf die sich ergebende Gewinnchance der
eingegangenen Risikoposition. Unternehmen können dabei auch durch
Hinzunahme und Abgabe von Risiken aus bestimmten Branchen und
Wirtschaftsbereichen ihr Risikoportfolio diversifizieren, was durch operative
Geschäftstätigkeiten meist nicht so einfach wäre. Zum anderen können Händler als
sog. Arbitrageure auftreten. Diese machen sich kleinste Ungleichgewichte im
Markt zu Nutze, die durch die Unvollkommenheit des Marktes entstehen, wodurch
sie einen risikolosen Gewinn erzielen können (vgl. Kapitel 2.2.1.1)
6
. Jede dieser
Händlergruppen nutzt dabei Derivate unterschiedlichster Art um Risiken
aufzunehmen oder abzugeben
7
.
Zur Klasse der Derivate zählen sehr viele Finanzprodukte, welche sich vor allem
dadurch von klassischen Anlageprodukten wie Aktien oder Anleihen
unterscheiden, dass Vertragsabschluss (,,Kauf" des Derivates) und Erfüllung
(Ausübung des Derivates) zeitlich auseinanderfallen, weshalb sie am Terminmarkt
und nicht am sog. Kassamarkt (Vertragsabschluss und Erfüllung fallen zusammen)
4
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 17)
5
Vgl. (Rieger, 2009, S. 112)
6
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 33 f.)
7
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 32)
Theoretische Grundlagen
4
gehandelt werden
8
. Derivate können danach unterschieden werden, welche Rechte
und Pflichten die Vertragspartner besitzen und wo der Handel stattfindet. Während
sehr standardisierte Instrumente wie Futures oder Standard Optionen an Börsen
gehandelt werden, sind Forwards und Swaps meist Teil eines bilateralen Geschäftes
zweier Marktteilnehmer, dem sogenannten Over-the-counter (OTC) Geschäft
9
.
Diese Einteilung lässt sich nicht immer klar vornehmen, da beispielsweise Optionen
sowohl OTC- als auch börsengehandelt werden. OTC Geschäfte bieten eine viel
stärkere Individualisierung der Derivate, bergen aber gleichzeitig das Risiko auf
Ausfall der Gegenpartei. Gerade seit der Finanzkrise geht der Trend hin zu immer
umfangreicherer Standardisierung und somit weg vom OTC Geschäft, um die
Anfälligkeit des Finanzsystems zu reduzieren
10
.
Ein weiteres Unterscheidungskriterium bilden Rechte und Pflichten. Derivate
können dabei zur Gruppe der unbedingten Finanzkontrakte gezählt werden, sprich
sie bilden ein verpflichtendes Geschäft für beide Vertragspartner. Bei bedingten
Finanzkontrakten besitzt die Käuferseite eines solchen Derivates eine
Wahlmöglichkeit hinsichtlich der Ausübung, während der Verkäufer weiterhin an
die Vertragserfüllung gebunden ist. Als Vertreter von unbedingten Instrumenten
zählen beispielsweise Futures und Swaps. Optionen und Swaptions sind Beispiel
für bedingte Finanzderivate
11
.
2.1.2 Optionen
Optionen zählen zur Klasse der bedingten Termingeschäfte und werden sowohl an
der Börse, als auch OTC gehandelt. Klassische Standard Optionen (,,Plain-Vanilla"
Optionen) garantieren dem Käufer der Option ein Recht, einen bestimmten
Basiswert (S) zu einem späteren Zeitpunkt (T), zu einem vorher festgelegten
Basispreis (engl. ,,Strike" oder K), zu kaufen bzw. zu verkaufen
12
. Handelt es sich
um das Recht einen Basiswert zu kaufen, so spricht man von einer Call Option, im
Falle des Verkaufens, von einer Put Option. Der Erwerber der Option hält dabei
eine long-Position, der Veräußerer der Option hält während der Laufzeit die short-
Position inne. Die short-Position besitzt hinsichtlich der Ausübung kein Wahlrecht,
8
Vgl. (Schlütermann & Pilz, 2010, S. 5)
9
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 17)
10
Vgl. (Hull, 2015, S. 27)
11
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 17)
12
Vgl. (Rieger, 2009, S. 49)
Theoretische Grundlagen
5
weshalb der Käufer eine Prämie an den Verkäufer zu entrichten hat (entspricht dem
Optionspreis), um dieses Ungleichgewicht zu kompensieren
13
. Sollte die Option
ausgeübt werden, kann es tatsächlich zur Lieferung des Basiswertes kommen (engl.
,,Physical Settlement") oder der Wert der Option wird in Bar beglichen (engl. ,,Cash
Settlement").
Optionen lassen sich in Optionen des europäischen und des amerikanischen Typs
differenzieren. Während Europäische Plain-Vanilla Optionen dem Käufer nur zum
Ende der Laufzeit (engl. ,,Maturity") die Möglichkeit der Ausübung bieten, können
Besitzer einer Amerikanischen Option von diesem Recht zu jeder Zeit zwischen
Kauf (Zeitpunkt t
0
) und Maturity (Zeitpunkt T) Gebrauch machen
14
. Im weiteren
Verlauf wird der Fokus meist auf Optionen des europäischen Typs liegen. Besitzer
solcher Europäischen Standard Optionen können für den Zeitpunkt der Fälligkeit
in Abhängigkeit des Kurses des Underlyings mit bestimmten Zahlungen rechnen
(vgl. Abbildung 1):
Abbildung 1: Auszahlungsprofil von Standard Optionen
Quelle: Eigene Darstellung
15
13
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 40 f.)
14
Vgl. (Hull, 2015, S. 32)
15
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 22 ff.)
Theoretische Grundlagen
6
In Abbildung 1 sind die vier Grundpositionen einer Option zu erkennen:
1. Kauf einer Kaufoption (long Call), Notation C
long.
2. Verkauf einer Kaufoption (short Call), Notation C
short.
3. Kauf einer Verkaufsoption (long Put), Notation P
long.
4. Verkauf einer Verkaufsoption (short Put), Notation P
short.
Betrachtet man nun beispielsweise die Bruttoauszahlungsprofile von long Call und
long Put so erkennt man, dass stets
/
0 ist (die entsprechenden
short-Positionen zeigen analog dazu ein streng negatives Verhalten auf). Dieses
streng positive Wertverhalten lässt sich ökonomisch damit erklären, dass eine
Option für den Käufer lediglich ein Recht darstellt und keine Verpflichtungen
bestehen, ähnlich einer Versicherung
16
. Sie wird also nur in vorteilhaften
Situationen ausgeübt und andernfalls verfallen gelassen. Aus diesem
Missverhältnis heraus ergibt sich die Notwendigkeit, dass der Käufer der Option
dem Stillhalter (short-Position) eine Prämie
/
bezahlt. Diese Prämie
/
für
spiegelt den jeweiligen Optionswert zu einem beliebigen Zeitpunkt
zwischen Emission und Fälligkeit wider. Im Nettoauszahlungsprofil wird für den
Zeitpunkt T zusätzlich der aufgezinste Optionspreis
/
abgezogen
17
.
Abbildung 2: Wert einer Call Option vor Fälligkeit
Quelle: Eigene Darstellung
18
16
Vgl. (Tietze, 2010, S. 382)
17
Vgl. (Sandmann, 2010, S. 13 f.)
18
Vgl. (Tietze, 2010, S. 385)
Theoretische Grundlagen
7
In Abbildung 2 wird am Beispiel eines long Call betrachtet, wie sich der
Optionspreis
/
in Abhängigkeit vom Wert des Underlyings während der
Laufzeit der Option zusammensetzt (diese Zusammensetzung ist auf alle vier
Grundpositionen übertragbar). Der tatsächliche Wert einer Option
für
verläuft nicht streng linear und setzt sich dabei aus folgenden Komponenten
zusammen (dasselbe gilt analog für
). Jede Option besitzt dabei einen
Inneren Wert, welcher für einen Call angibt, um wie viel der Aktienkurs über dem
abgezinsten Basispreis liegt. Somit gilt für einen long Call:
, 0
(2.1)
bzw. für einen Put:
, 0 .
(2.2)
Die short-Positionen sind:
bzw.
19
.
Optionen können je nach Entwicklung der Bezugsgröße (S) und damit
korrespondierend zum Inneren Wert der Option, eingeordnet werden. Wenn für
einen long Call gilt
, so liegt die Option aus dem Geld (,,Out-of-the-
Money"), d.h. der Innere Wert ist null. Entspricht S(t) dem Strike K so ist die Option
am Geld (,,At-the-Money"), wobei sich der Innere Wert im Übergang zu einem
positiven Wert befindet. Ist
, so liegt die Option im Geld (,,In-the-
Money") und der Innere Wert ist positiv
20
.
Die zweite Komponente aus der sich der Optionspreis C
long
neben dem Inneren Wert
zusammensetzt, ist der Zeitwert, welcher als Chance auf zukünftigen Wertzuwachs
der Option verstanden werden kann. Der Zeitwert konvergiert deshalb mit
abnehmender Restlaufzeit gegen null. Für
besteht der Optionspreis nur
noch aus Zeitwert. Diese Prämie wird für die Möglichkeit gezahlt, dass die Option
am Ende der Laufzeit doch noch im Geld liegen wird. Der Zeitwert steigt an, je
näher S(t) an K heranrückt. Für alle
ist der Zeitwert wieder rückläufig
und konvergiert für sehr große (und kleine) S(t) gegen null, da eine Unsicherheit
bezüglich der Ausübung (fast) nicht mehr besteht. Sein Maximum liegt demnach
direkt beim Strike K. Das bedeutet, dass die Unsicherheit auf Ausübung zum
19
Vgl. (Tietze, 2010, S. 383)
20
Vgl. (Wohlschlägl-Aschberger, 2013, S. 65)
Theoretische Grundlagen
8
Fälligkeitszeitpunkt dort am größten ist
21
. Neben dem aktuellen Wert des
Underlyings, haben aber auch noch andere Faktoren, wie die Restlaufzeit und
Volatilität einen Einfluss auf den Zeitwert. Eine Beschreibung für Barrier Optionen
ist in Kapitel 3.4.4 zu finden.
Betrachtet man Wertgrenzen von Standard Optionen so gilt
22
:
1. Wertobergrenze eines Calls entspricht dem Preis des Basiswertes.
2. Wertuntergrenze eines Calls entspricht dem Inneren Wert der Option.
3. Wertobergrenze eines Puts entspricht dem Strike.
4. Wertuntergrenze eines Puts entspricht dem Inneren Wert der Option.
Einen wichtigen Zusammenhang im Bezug zu Optionspreisbewertungen bildet die
sogenannte Put-Call Parität. Sie besagt, dass der Wertzusammenhang eines
Europäischen Calls und eines gleichartigen Puts mit identischen Parametern (S, K,
T) in einem festen Verhältnis steht. Dabei gilt
23
:
1
.
(2.3)
2.1.3 Exotische Optionen
Unter dem Begriff Exotische Optionen lassen sich viele verschiedene Arten von
Optionen subsumieren, die sich aufgrund von einer besonderen Vertragsgestaltung
nicht den Standard Optionen zurechnen lassen. Die Gestaltung zielt auf diverse
Zusatzbedingungen ab, welche die Auszahlung der Option beeinflussen. Entwickelt
wurden diese Optionen aus dem Verlangen heraus, noch individuellere und
passendere Instrumente zu den jeweiligen Bedürfnissen und Marktmeinungen zu
schaffen. Dieser Variantenreichtum macht es auch so schwierig Exotische Optionen
zu kategorisieren. Ein Ansatz folgt dabei der Gliederung in Tabelle 1:
21
Vgl. (Tietze, 2010, S. 385)
22
Vgl. (Tietze, 2010, S. 385, 392)
23
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 252)
Theoretische Grundlagen
9
Anzahl
Basiswerte
Pfadabhängigkeit
Nein
Ja
Einen
Pseudoexotische Optionen
Bsp.: Digital Optionen
Pfadabhängige Optionen
Bsp.: Barrier Optionen
Mehrere
Korrelationsabhängige Optionen
Bsp.: Basket Optionen
Mischformen
Bsp.: Outside Barrier Optionen
Tabelle 1: Einteilung Exotischer Optionen
Quelle: (Schäfer, 1998, S. 6)
Gemäß dieser Einteilung werden Exotische Optionen danach beurteilt, ob ihr Wert
von einem oder mehreren Basiswerten abhängig ist. Zusätzlich kann es nötig sein,
Kenntnisse nur über den aktuellen Kurs oder den gesamten Kursverlauf des
Basiswertes zu besitzen, um eine Berechnung der Auszahlung dieser Optionen
vorzunehmen. Somit ergeben sich vier verschiedene Kategorien.
Pseudoexotische Optionen zeigen die engste Verwandtschaft mit Standard
Optionen. Sie sind ebenfalls nur von einem Basiswert abhängig und ihre
Auszahlung ist lediglich auf den aktuellen Kurswert bezogen. Als Beispiel dieser
Klasse sind Digital Optionen zu erwähnen, deren Auszahlung C(S,T) nur zwei
verschiedene Zustände annehmen kann. Diese sind:
,
1,
0,
.
(2.4)
Mit dieser Option wird nur auf die Richtung der Kursentwicklung spekuliert, nicht
jedoch auf die Höhe des Ausschlages. Der Unterschied zu Standard Optionen
besteht also nur in der Auszahlungshöhe, nicht jedoch in der
Auszahlungswahrscheinlichkeit
24
.
Als Beispiel für Korrelationsabhängige Optionen können Basket Optionen
angeführt werden. Der Wert dieser Optionen ist ebenfalls nur vom Schlusskurs
abhängig, korreliert jedoch mit der Entwicklung mehrerer Basiswerte. Zur
Bestimmung von Basket Optionen wird ein gewichtetes, arithmetisches Mittel
mehrerer gebündelter Basiswerte herangezogen. Die Auszahlung lässt sich damit
folgendermaßen beschreiben:
, , ... , ,
,
(2.5)
24
Vgl. (Schäfer, 1998, S. 6 f.)
Theoretische Grundlagen
10
wobei S
1,
S
2,...,
S
n
die Kurse von n verschiedenen Basiswerten beschreiben und
1,
2,...,
n
für die jeweiligen Gewichtungsfaktoren stehen. Mit dieser speziellen
Gestaltung können Marktteilnehmer auf die Entwicklung einer ganzen Branche
bzw. eines Wirtschaftszweiges setzen oder ein vorhandenes, (branchen-)
fokussiertes Portfolio absichern
25
.
Für die Auszahlung von Pfadabhängigen Optionen ist zwar nur die Entwicklung
eines Basiswertes von Bedeutung, allerdings werden zusätzliche Kenntnisse über
die historische Kursentwicklung benötigt. Von besonderer Bedeutung sind meist
nur die während der Laufzeit der Option auftretenden Extrem- (Höchst- oder
Tiefstwerte) oder Durchschnittswerte. Die Bewertung solcher Pfadabhängigen
Optionen ist, durch die Berücksichtigung der historischen Kursentwicklung des
Underlyings, deutlich komplizierter als die der Standard Optionen. Dadurch
existieren nicht immer geschlossene Lösungsformeln und numerische Verfahren
gestalten sich deutlich rechenintensiver. Als bekannter Vertreter dieser Kategorie
und bedeutender Gegenstand dieser Arbeit, sind Barrier Optionen zu nennen. Die
Auszahlung dieser Optionen hängt dabei, neben dem Schlusskurs, auch vom
Erreichen einer vorher definierten Kursschranke während der Optionslaufzeit ab.
Eine genauere Beschreibung zu Ausgestaltungsmöglichkeiten und Bewertungen ist
in Kapitel 3 zu finden.
Als vierte Kategorie lassen sich Mischformen erwähnen. Diese weisen sowohl
Pfadabhängigkeit als auch Korrelationsabhängigkeit auf. Am einfachsten sind diese
Optionen als Kombination von beispielsweise Barrier Optionen (pfadabhängig) und
Basket Optionen (korrelationsabhängig) zu veranschaulichen. Dabei entscheidet
zunächst das Über-/Unterschreiten einer Kursschranke während der Laufzeit, ob es
zu einer Auszahlung kommt. Die Auszahlungshöhe erfolgt dann analog einer
Basket Option
26
.
Die aufgeführte Aufteilung lässt sich in einigen Fällen noch konkretisieren. So
können beispielsweise Pfadabhängige Optionen dahingehend unterteilt werden, ob
die Auszahlung mit oder ohne Schranke beeinflusst wird. Diese weitere
Verfeinerung lässt sich in (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 353) finden. Eine etwas
andere Aufteilung schlägt (Willnow, 1996, S. 98) vor, der sich auf die stärkere
25
Vgl. (Schäfer, 1998, S. 9 f.)
26
Vgl. (Schäfer, 1998, S. 12 f.)
Theoretische Grundlagen
11
Untergliederung von Pfadabhängigen Optionen konzentriert, außerdem werden
dort auch Exotische Optionen angeführt, die sich nicht nach Pfadabhängigkeit und
Anzahl der Basiswerte gliedern lassen.
2.2 Bewertungsmethoden
2.2.1 Bewertungsgrundsätze
2.2.1.1
Arbitragefreiheit
Um das Bewertungsschema der folgenden Kapitel nachvollziehen zu können,
müssen zunächst einige Bewertungsgrundsätze erläutert werden, die Anwendung
in den Bewertungsmodellen für Optionen finden. Ähnlich vieler
Bewertungsmodelle in den Naturwissenschaften, werden zur Modellierung einer
komplexen Umwelt auch in der Finanzmathematik zahleiche Annahmen getroffen,
um ein vereinfachtes, aber dennoch annähernd realistisches Bild der Umwelt zu
simulieren und Verhaltensmuster besser zu erfassen. Dabei basiert die große
Mehrheit der existierenden Bewertungsmodelle für Finanzinstrumente auf
identischen Hypothesen über die Bewertungsobjekte und den Finanzmarkt selbst.
Eine wichtige Annahme zur Bestimmung von Preisen ist der vollkommene
Finanzmarkt, welcher in der BWL und VWL gleichermaßen Anwendung findet.
Eigenschaften eines vollkommenen Finanzmarktes sind unter anderem die
beliebige Teilbarkeit von Wertpapieren oder das Nichtberücksichtigen von Steuern
und Transaktionskosten. Als eine Bedingung des vollkommenen Finanzmarktes gilt
das Prinzip der Arbitragefreiheit
27
. Im Gegensatz dazu beschreibt eine
Arbitragemöglichkeit einen Marktzustand, der es Marktteilnehmern ermöglicht,
ohne Einsatz von Kapital oder das Eingehen von Risiken, Gewinne zu erzielen.
Durch das Ausnutzen einer Arbitragemöglichkeit und die daraus resultierende
Verschiebung von Angebot und Nachfrage, werden solche Arbitragemöglichkeiten
in der Praxis jedoch nur eine sehr begrenzte Zeit zur Verfügung stehen.
Arbitrageure machen sich dabei die, in der realen Welt existierende,
Unvollkommenheit der Märkte und die daraus resultierenden räumlichen oder
zeitlichen Preisverschiebungen zu nutze. Die Strategie folgt dabei stets dem
Prinzip, den unterbewerteten Wert billig zu kaufen und den überbewerteten Wert
teuer zu verkaufen. Existieren unterschiedliche Preise für mehrere Portfolios (oder
27
Vgl. (Trautmann, 2007, S. 6 ff.)
Theoretische Grundlagen
12
Aktien), die die gleichen Rückflüsse garantieren, so besteht eine
Arbitragemöglichkeit
28
. Anders definiert ,,darf kein Portfolio aus Titeln des
Finanzmarktes existieren, welches einerseits mit Sicherheit zu einem nicht-
negativen Rückfluss führt und andererseits einen negativen Preis am Anfang der
Periode aufweist"
29
.
Arbitrageure erfüllen durch ihr Handeln eine sehr wichtige Aufgabe für die
Finanzmärkte. Sie sorgen für die Effizienz der Märkte und gleichen
Marktungleichgewichte aus. Durch ständige Kontrolle aller Preise und Relationen
und das Ausnutzen der sich daraus ergebenen Arbitragemöglichkeiten, können
selbst unerfahrene Markteilnehmer von ,,fair" bewerteten Preisen ausgehen.
Dadurch bewegt sich der Markt näher an einen vollkommenen Markt heran. Diese
Tatsache ist unter anderem der Grund, warum in Bewertungsmodellen meist von
einem arbitragefreien Markt ausgegangen wird
30
.
2.2.1.2
Duplikationsprinzip
Bei der Bewertung von Finanzinstrumenten mit Duplikationsportfolios bedient man
sich auch dem Prinzip der Arbitragefreiheit. Mittels dieser Strategie wird versucht,
Kenntnisse über bestehende Wertpapiere zu nutzen, um damit den unbekannten
Preis eines Wertpapieres zu ermitteln. Es wird ein Portfolio aus bekannten
Wertpapieren zusammengestellt, welches zu jedem Zeitpunkt das gleiche
Auszahlungsprofil besitzt, wie das unbekannte Wertpapier. Wenn das Prinzip der
Arbitragefreiheit gilt, so muss auch der Wert eines solchen Portfolios dem Wert des
unbekannten Wertpapiers entsprechen
31
. Sollte dies nicht gelten, so würden sich
Arbitragemöglichkeiten ergeben
32
.
Dieses Prinzip ermöglicht Bewertungen von Wertpapieren, die in einem
bestimmten Verhältnis zueinanderstehen (z.B. Derivate)
33
. Anwendung findet das
Duplikationsprinzip vor allem bei der Beschreibung des Binomialmodells in
Kapitel 2.2.2.2.
28
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 267 ff.)
29
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 268)
30
Vgl. (Rieger, 2009, S. 66)
31
Vgl. (Rieger, 2009, S. 66)
32
Vgl. (Korn & Korn, 2009, S. 94 f.)
33
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 273)
Theoretische Grundlagen
13
2.2.1.3
Risikoneutralität
Der Satz der Risikoneutralität spielt eine wichtige Rolle für die Bewertung von
Optionen mit dem Binomialmodell. In einer risikoneutralen Welt haben Anleger
keine Risikopräferenzen. Das bedeutet, dass Anleger keine zusätzliche Vergütung
für die Übernahme von Risiken verlangen. Demnach ist die erwartete Rendite eines
jeden Wertpapiers (z.B. Aktie, Anleihe, Option) in der risikoneutralen Welt gleich
dem risikolosen Zinssatz r
f
34
. Auch für den Diskontierungszinssatz ist folglich der
risikolose Zinssatz r
f
heranzuziehen. Unsere Welt ist bekanntlich nicht
risikoneutral. Wenn Investoren in risikobehaftete Anlagen investieren, so verlangen
sie in der Regel eine zusätzliche Vergütung. Man spricht dabei von einem
risikoaversen Verhalten. Damit liegt die erwartete Rendite von risikobehafteten
Wertpapieren über dem ,,risikofreien" Zinssatz und somit auch über dem
dazugehörigen Diskontierungszinssatz.
Die Ergebnisse die durch die Annahme einer risikoneutralen Welt erlangt werden,
gelten auch für (unsere) risikoaverse Welt. Die Annahme der risikolosen Welt dient
dabei lediglich der Herleitung von Modellen. Beim Schritt von einer risikoneutralen
Welt hin zu einer risikoaversen Welt ändern sich die Variablen hinsichtlich des
Diskontierungszinses und der erwarteten Kursentwicklung. Beide Effekte sind
jedoch gegenläufig und heben sich auf. Somit greifen die entwickelten Modelle
ebenfalls in beiden Welten. Zur Herleitung dieses Prinzips siehe auch (Hull,
2015, S. 354 f.).
Das Binomialmodell geht ebenfalls von der Annahme einer
risikolosen Welt aus, weshalb auch die verwendeten Parameter an die risikolose
Welt angepasst werden müssen. Für die Wahl der Volatilität bedeutet dies, sie
müsste entsprechend der Auf- und Abwärtswahrscheinlichkeiten in der risikolosen
Welt gewählt werden. Es ist jedoch so, dass sich beim Übergang von der normalen
in die risikolose Welt und umgekehrt zwar der Erwartungswert ändert, nicht jedoch
die Volatilität. Somit kann die Volatilität in unserer realen Welt auch für das
Binomialmodell verwendet werden
35
. In der Praxis wird ohnehin die Impliziete
Volatilität verwendet, wodurch eine umständliche Schätzung der zukünftigen
Volatilität entfällt (vgl. Kapitel 2.2.2.1). Die Annahme einer risikoneutralen Welt
ist deshalb von entscheidender Bedeutung, weil zur Diskontierung immer der
34
Vgl. (Hull, 2015, S. 418)
35
Vgl. (Hull, 2015, S. 365)
Theoretische Grundlagen
14
risikolose Zins herangezogen werden kann und damit die schwierige Ermittlung des
realen Abzinsungsfaktors erspart bleibt.
2.2.1.4
Stochastische Prozesse
Ein stochastischer Prozess kann als Folge
,
, ... ,
oder Menge
;
0
von Zufallsgrößen definiert werden, wobei eine Realisation
, , ... ,
oder
;
0 des Prozesses als Pfad bezeichnet wird. Ein Pfad entspricht dabei auch
einer Folge oder Menge von Realisationen der zugrundeliegenden Zufallsvariablen.
Im weiteren Verlauf werden solche Prozesse zur Modellierung von Aktienkursen
und Renditeverläufen verwendet. Es wird nämlich meist davon ausgegangen, dass
Aktienkurse kein völlig beliebiges Verhalten aufweisen, sondern einer bestimmten
Verteilungsform folgen
36
. Folgende Prozesse sind dabei von besonderer
Bedeutung:
Martingale:
Als Martingal wird ein stochastischer Prozess verstanden, der einen Drift von null
aufweist. Das bedeutet, dass eine Folge von X
0,
X
1...,
X
i
Variablen ein Martingal ist,
wenn der Erwartungswert E(X
i
|X
0,
X
1
,...,X
i-1
)=X
i-1
ist
und dies für alle
0 gilt.
Demnach entspricht der Erwartungswert eines Martingals für den Zeitpunkt i gleich
dem heutigen Wert für i-1. Anders ausgedrückt ist der morgige erwartete Wert einer
Variable X
i
unter Kenntnis aller historischen Zustände X
0,
X
1,...
X
i-1
gleich dem
heutigen Wert X
i-1
. Die Änderung von X
i
ist dabei normalverteilt
37
. Es gilt
außerdem, dass Wertzuwächse bei einem Martingal zeitlich unkorreliert sind. Dies
bedeutet auch, dass lineare Prognoseverfahren zur Schätzung zukünftiger Werte
ungeeignet sind. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden im Zuge der Bewertung
von Barrier Optionen mit dem Binomialmodell aus der Eigenschaft der Martingale,
Martingalmaße als Wahrscheinlichkeitsmaße abgeleitet. Die diskontierten
Kursverläufe besitzen dabei die Martingaleigenschaft
38
.
Markov Prozess:
Als Markov Prozess wird ein stochastischer Prozess beschrieben, bei welchem nur
der aktuelle Wert einer Variablen ausschlaggebend für die Prognose zukünftiger
36
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 187)
37
Vgl. (Hull, 2015, S. 803 f.)
38
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 280)
Theoretische Grundlagen
15
Werte ist. Dies bedeutet, dass historische Werte dieser Variablen nicht die Prognose
zukünftiger Werte beeinflussen. Angewendet auf Aktien würde dies bedeuten, dass
die Prognose zukünftiger Kurse einer bestimmten Aktie nicht vom historischen
Kursverlauf derselben abhängig ist, sondern einzig vom aktuellen Preis. Demnach
würden Anlagestrategien, die alleine auf technischer Chartanalyse basieren, keine
Überrenditen erzielen können. Sollten bestimmte technische Chartmuster
Überrenditen versprechen, würde diese Situation vermehrt genutzt und durch
Verschiebung von Angebot und Nachfrage verschwinden. Die Markov Eigenschaft
von Aktienkursen steht in enger Verbindung mit der schwachen Form der
Markteffizienz, die besagt, dass alle historischen Kursinformationen bereits im
aktuellen Kurs eingeflossen sind
39
. Allgemein wird als Markteffizienz ,,ein Markt,
dessen Preise jederzeit alle verfügbaren Informationen beinhalten", definiert
40
.
Daneben existieren noch die Form der semi-starken Markteffizienz, bei der
außerdem noch alle öffentlich verfügbaren Informationen im Kurs enthalten sind
und die starke Form der Markteffizienz, die zusätzlich alle Insiderinformationen
umfasst
41
.
Der Wiener Prozess:
Der Wiener Prozess wird als ein spezieller Markov Prozess mit einem
Erwartungswert von null und einer Varianz von eins pro Periode aufgefasst. Eine
Variable z folgt dabei einem Wiener Prozess, wenn
42
:
1. in einem Zeitraum T-t der in N gleiche, kleine Zeiträume
gegliedert
ist,
die
Änderung
beträgt
und
standardnormalverteilt ist.
2.
selbst normalverteilt ist.
3. zwei beliebige Zeiträume t stochastisch unabhängig voneinander sind.
Die Standardabweichung der Variable z ist somit
. Der einfache Wiener
Prozess wird auch als dz notiert, wenn sich t null annähert und ist ein Martingal
43
.
39
Vgl. (Hull, 2015, S. 383)
40
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 287)
41
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 288)
42
Vgl. (Hull, 2015, S. 384) & (Albrecht & Maurer, 2016, S. 196)
43
Vgl. (Korn & Korn, 2009, S. 19)
Theoretische Grundlagen
16
Diese Eigenschaften können zu einem allgemeinen Wiener Prozess
weiterentwickelt werden. Der Prozess besitzt dann einen Driftparameter a, der als
mittlere Änderung des Prozesses pro Zeiteinheit betrachtet werden kann und einer
Varianzrate b, die als Varianz pro Zeiteinheit angesehen werden kann. Dieser
allgemeine Wiener Prozess wird dargestellt durch
44
:
,
(2.6)
mit dz ~ N(0,1) als standardnormalverteilte Zufallsvariable und den konstanten
Parametern a und b. Der Ausdruck dz beschreibt dabei einen einfachen Wiener
Prozess. Ein allgemeiner Wiener Prozess ist in Abbildung 3 dargestellt. Der Term
beschreibt den erwarteten Verlauf über die Zeit. Der Wiener Prozess
beschreibt die zufällige, standardnormalverteilte Bewegung des Prozesses um die
Abszisse herum. Durch die Zusammenführung beider Elemente und der
Gewichtung des einfachen Wiener Prozesses mit dem Faktor , ergibt sich der
allgemeine Wiener Prozess
.
Abbildung 3: Allgemeiner Wiener Prozess
Quelle: Eigene Darstellung
45
44
Vgl. (Hull, 2015, S. 385) & (Albrecht & Maurer, 2016, S. 196 f.)
45
Vgl. (Hull, 2015, S. 388)
Theoretische Grundlagen
17
Um Aktienkurse zu modellieren reicht diese Prozessgestaltung jedoch nicht aus.
Bei Aktienkursen kann man im Allgemeinen nämlich nicht von einem konstanten
Drift, also einem konstanten Wertzuwachs des Aktienkurses ausgehen. Vielmehr
sind es konstante Renditen, die von Investoren erwartet werden. So verlangt ein
Investor beispielsweise 10% Rendite von einem Investment, unabhängig davon, ob
die Aktie bei 10 oder 1000 notiert. Somit ist also nicht der Drift, sondern der
Term
/
konstant. Da auch die Ungewissheit, sprich die
Standardabweichung ebenfalls proportional dem Aktienkurs sein soll, können die
Parameter a und b folgendermaßen ersetzt werden
46
:
.
(2.7)
Die Variable µ beschreibt dabei die erwartete Aktienrendite und die
Standardabweichung, wobei ² die Varianzrate darstellt. Diese stochastische
Differentialgleichung beschreibt das am weitesten verbreitete Modell für
Aktienkurse der realen Welt. Sie wird auch als geometrisch Brown'sche Bewegung
bezeichnet. In einer risikoneutralen Welt muss der Faktor µ durch den risikolosen
Zins r
f
ersetzt werden
47
.
Als explizite Darstellung der Gleichung (2.7) für
0 ergibt sich
48
:
.
(2.8)
Die sich daraus ergebenden Aktienkurse sind lognormalverteilt, während die
Renditen normalverteilt sind
49
.
2.2.2 Bewertungsmodelle
2.2.2.1
Black-Scholes-Merton Modell
Als notwendige Grundlage für die Bewertung von Barrier Optionen werden an
dieser Stelle allgemeine Bewertungsmodelle angesprochen, die sowohl bei
Standard Optionen als auch bei Barrier Optionen zum Einsatz kommen. Die
meisten Beispiele in diesem Kapitel nutzen eine Europäische Call Option auf eine
46
Vgl. (Hull, 2015, S. 389)
47
Vgl. (Hull, 2015, S. 389 f.)
48
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 201)
49
Vgl. (Sandmann, 2010, S. 303)
Theoretische Grundlagen
18
dividendengeschützte Aktie zur Veranschaulichung. Jedoch sind die Beispiele auch
auf andere Optionsvarianten übertragbar. Die Beschreibung in diesem Abschnitt
folgt sinngemäß den Ausführungen in (Hull, 2015, S. 414 ff.).
Als eines der bedeutendsten Bewertungsmodelle der Finanzmathematik wurde von
Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton 1973 das zeitstetige Black-
Scholes-Merton Modell (BSM Modell) entworfen. Mit diesem Modell lassen sich
Optionen mit Hilfe einer Differentialgleichung bewerten. Diese bahnbrechende
Entwicklung verhalf dem Derivatenhandel zu einem enormen Wachstum. Neben
den in Kapitel 2.2.1 aufgezeigten Bewertungsgrundsätzen werden im BSM Modell
folgende Annahmen getroffen
50
:
1. Der Aktienkurs folgt einer geometrischen Braun'schen Bewegung mit
konstanten Parametern µ und .
2. Es ist der Leerverkauf von Aktien möglich unter Verwendung der
Einnahmen.
3. Transaktionskosten und Steuern werden nicht berücksichtigt.
4. Wertpapiere sind beliebig teilbar.
5. Es gibt keine Dividendenzahlung während der Laufzeit des Derivates.
6. Es besteht ein fortlaufender Handel.
7. Über die gesamte Laufzeit ist der risikolose Zinssatz r
f
konstant.
8. Es existieren keine Arbitragemöglichkeiten.
Die Grundidee von Black-Scholes-Merton war es, ein Portfolio aus Aktie und
Derivat zu entwickeln, welches risikolos ist und dessen Erwartungswert demnach
dem risikolosen Zins r
f
entspricht. Für einen sehr kurzen Zeitraum entsprechen sich
die Entwicklungen der Aktie und des Derivates, da beide durch die Schwankung
des Aktienkurses beeinflusst werden. Da der Zusammenhang zwischen dem Kurs
des Basiswertes und des Derivates nicht linear ist, hält dieser Zustand nur für eine
sehr kurze Zeit an, weshalb es ständig zur Neuausrichtung des Portfolios kommen
muss. Es wird beispielhaft angenommen, dass eine sehr kleine Aktienkursänderung
S in folgender Beziehung zu einer sehr kleinen Optionspreisänderung C steht:
0,6 . Somit ergibt sich ein, für einen sehr kleinen Zeitraum
risikoneutrales Portfolio, mit der Zusammensetzung von 100 short-Positionen der
50
Vgl. (Hull, 2015, S. 415)
Theoretische Grundlagen
19
Kaufoption und 60 long-Positionen der Aktie. Die möglichen Gewinne aus der
Aktienposition und die Verluste aus der Optionsposition gleichen sich dabei aus
und umgekehrt. Das Verhältnis S wird auch als Hedgeratio bezeichnet. Mit Hilfe
dieses Zusammenhanges wird nun eine Differentialgleichung entwickelt, die es
erlaubt, das Derivat zu bewerten. Zur Modellierung des Aktienkurses wird die
Gleichung (2.7) aus Kapitel 2.2.1.4 herangezogen:
. Sie
beschreibt die Kursentwicklung des Basiswertes als geometrischen Wiener Prozess.
Unter Bezugnahme auf das Lemma von Itô (siehe auch (Haug, 2007, S. 15)) werden
die Parameter µ und durch Funktionen ersetzt. Es folgt
51
:
²
²
² ²
.
(2.9)
Da sich die zugrundeliegenden Wiener Prozesse von C und S entsprechen, kann
man ein Portfolio mit dem Wert V zusammenstellen, das aus -1 Derivaten und
+
/ Aktien besteht und nicht mehr abhängig vom Wiener Prozess selbst ist.
Der Wert eines solchen Portfolios V ist:
(2.10)
und für den Wertzuwachs V muss gelten:
.
(2.11)
Die Gleichung (2.11) wird in Verbindung mit den diskreten Versionen
52
der
Gleichungen (2.7) und (2.9) somit zu
53
:
² ² .
(2.12)
Diese Gleichung zeigt nun ein zeitabhängiges Portfolio welches keinen Wiener
Prozess (z) mehr enthält und somit risikolos für den Zeitraum t ist. Aus dieser
Erkenntnis heraus muss der Erwartungswert des Portfolios, dem des risikolosen
Zinssatzes r
f
entsprechen. Also wird für die Wertänderung angenommen:
.
(2.13)
51
Vgl. (Hull, 2015, S. 416)
52
Bei der diskreten Version werden die Parameter dS,dt,dz und dC durch S,t,z und C ersetzt.
53
Vgl. (Hull, 2015, S. 416 f.)
Theoretische Grundlagen
20
Aus Gleichung (2.10) und (2.12) eingesetzt in (2.13) resultiert die bekannte Black-
Scholes-Merton Differentialgleichung
54
:
.
(2.14)
Diese Gleichung besitzt sehr viele Lösungen und kann deshalb zur Bewertung
vieler unterschiedlicher Optionen herangezogen werden. Durch Vorgabe
bestimmter Randbedingungen kann die Gleichung konkretisiert werden, wodurch
sie das Bewertungsergebnis einer bestimmten Option liefert. Es ergibt sich durch
Lösung der aufgestellten Differentialgleichung (2.14) unter der Nebenbedingung
max
, 0 , ü
für eine Europäische Kaufoption folgende
Gleichung
55
:
(2.15)
mit
1
,
2
.
N(x) ist dabei die kumulierte Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung,
r
f
der risikolose stetige Zinssatz und T die Restlaufzeit der Option. Ökonomisch
lassen sich die einzelnen Formelbestandteile dabei folgendermaßen interpretieren:
N(d
2
) spiegelt die Wahrscheinlichkeit wider, dass die Call Option ausgeübt wird.
1
ist der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt T in einer risikoneutralen
Welt, wobei Kurse unterhalb des Basispreises genullt werden. Somit entspricht die
BSM Gleichung der diskontierten erwarteten Auszahlung der Option
56
.
Für einen
beispielhaften Call mit den Parametern:
C:=
100;
90;
1;
0,05;
0,3
ergibt sich damit ein Wert von
19,6974.
54
In dieser und vorangehenden Formeln dieses Abschnitts wird C als allgemeiner Wert einer
Option beschrieben und nicht ausschließlich einer Call Option
55
Vgl. (Neftci, 2000, S. 297)
56
Vgl. (Hull, 2015, S. 421)
Theoretische Grundlagen
21
Alle benötigten Parameter sind für die BSM Gleichung objektiv am Markt
beobachtbar. Die einzige Ausnahme dabei bildet die erwartete zukünftige
Volatilität. Diese kann entweder aus historischen Kursreihen berechnet und in die
Zukunft extrapoliert werden oder aus der Meinung der Marktteilnehmer gewonnen
werden. Da die BSM Gleichung sehr verbreitet ist und man davon ausgeht, dass
diese zur Bewertung von allen Marktteilnehmern genutzt wird, kann man durch die
inverse Nutzung der Gleichung die sog. Impliziete Volatilität berechnen, sprich die
Volatilität, welche die Marktteilnehmer nutzen. Da die Gleichung nicht analytisch
nach der Volatilität umgestellt werden kann, muss sie iterativ genutzt werden, um
unter Verwendung einer bestimmten Volatilität den an der Börse gehandelten Preis
zu erhalten. Die Volatilität, mit der die BSM Differenzialgleichung den aktuellen
Marktpreis der Option widergibt, ist die Impliziete Volatilität und spiegelt den
Querschnitt der Marktmeinungen über die zukünftige Kursschwankung wider
57
.
2.2.2.2
Binomialmodell
Als alternative Herangehensweise zum Black-Scholes-Merton Modell wurde von
J. Cox, S. Ross und M. Rubinstein 1979 ein numerisches, zeitdiskretes Verfahren
entwickelt, welches auch als Binomialmodell bekannt ist. Großer Vorteil dieses
Verfahrens ist es, selbst ausgefallene Instrumente bewerten zu können, zu denen
keine geschlossene Formel im Sinne der BSM Formel existiert. Es zeigt sich dabei,
dass das Grenzverhalten des Bewertungsergebnisses des Binomialmodells für
Europäische Standard Optionen gegen das Ergebnis der BSM Formel konvergiert,
wenn die Periodenlänge t gegen null läuft
58
. Bei der Anwendung des
Binomialmodells werden die Grundsätze aus Kapitel 2.2.1 sowie die Annahmen
des Black-Scholes-Merton Modells verwendet.
Betrachtet wird zunächst ein ein-periodisches Binomialmodell. Wie in Abbildung
4 zu erkennen ist, wird ein zeitdiskretes Modell beschrieben, in dem es zunächst
nur zwei Zeitpunkte t
0
und t
1
gibt. Ein Wertpapier mit dem Anfangswert S
0
kann im
Übergang von t
0
zu t
1
nur zwei mögliche Zustände annehmen: S
0
kann mit der
Wahrscheinlichkeit p einen Aufwärtsschritt in Höhe des Faktors u vollziehen oder
mit der Wahrscheinlichkeit
1
einen Abwärtsschritt um den Faktor d
machen. Somit kann die Aktie S für den Zeitpunkt t
1
entweder den Wert uS
0
57
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 287 f.)
58
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 760)
Theoretische Grundlagen
22
annehmen, wenn die Aktie um den Faktor u angestiegen ist oder dS
0,
wenn die Aktie
um den Faktor d gefallen ist. Die Faktoren u und d sind dabei so definiert, dass gilt:
1
. Sollte dies nicht gelten, würden sich Arbitragemöglichkeiten
ergeben
59
.
Abbildung 4: Binomialmodell - eine Periode
Quelle: Eigene Darstellung
Um mit diesem Modell Optionen zu bewerten, wird mit Hilfe des
Duplikationsprinzips ein Portfolio aus einer Aktie S und einer risikolosen Anlage
B zusammengestellt, welches das Auszahlungsprofil einer Option zum Zeitpunkt t
1
nachbilden soll. Gemäß dem Satz der Arbitragefreiheit, muss der heutige Wert
dieses Portfolios dem heutigen Wert der Option C
0
entsprechen
60
. Da der Wert der
Option an die Kursentwicklung der Aktie gebunden ist, wird im Falle einer
Aufwärtsbewegung von C
u
und im Falle einer Abwärtsbewegung von C
d
als
Optionswert gesprochen. Da keine Unsicherheit über die Wertentwicklung der
risikolosen Anlage B herrscht, ist sie unabhängig von den Parametern u und d und
nur abhängig vom risikolosen Zins r
f
. Um das Portfolio passend
zusammenzustellen, müssen S und B entsprechend gewichtet werden.
59
Vgl. (Rudolph & Schäfer, 2005, S. 260)
60
Vgl. (Albrecht & Maurer, 2016, S. 750)
Theoretische Grundlagen
23
So gilt
61
:
Für t
0
.
(2.16)
Für t
1
1
1
.
(2.17)
Umgestellt und aufgelöst ergibt sich für B und
62
:
,
(2.18)
.
(2.19)
Delta wird auch als Hedgeratio bezeichnet und gibt an, wie viele Aktien benötigt
werden, um das o.g. Portfolio zu bilden. Für einen Call ergibt sich nun aus
Gleichung (2.16) in Verbindung mit den Gleichungen (2.18) und (2.19) die
folgende Formel
63
:
1
(2.20)
mit
(2.21)
und
1
.
(2.22)
Sowohl p als auch q können dabei als (pseudo) Wahrscheinlichkeit eines Aufwärts-
bzw. Abwärtsschrittes interpretiert werden und verlaufen zwischen 0 und 1. Eine
alternative Herangehensweise, die den gleichen Sachverhalt darstellt, ist die
Erzeugung eines risikoneutralen Portfolios aus Aktie und Option. Die erwartete
Rendite dieses Portfolios muss dann der einer risikolosen Anlage entsprechen, da
das Portfolio ebenfalls risikolos ist, also
64
:
.
(2.23)
Die Risikofreiheit des Portfolios führt dazu, dass die Werte für eine Auf- und
Abwärtsbewegung identisch sein müssen,
61
Vgl. (Sandmann, 2010, S. 203)
62
Vgl. (Cox , Ross & Rubinstein, 1979, S. 233)
63
Vgl. (Cox , Ross & Rubinstein, 1979, S. 234)
64
Vgl. (Hull, 2015, S. 353)
Fin de l'extrait de 151 pages
- Citation du texte
- Johannes-Wolfgang Anton Geisbüsch (Auteur), 2017, Bewertung und Hedging von Barrier Optionen mit dem Binomialmodell, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/388423
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