Risikoquantifizierung durch das Konzept des Value at Risk

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen
2.1 Risikoidentifikation
2.2 Risikoquantifizierung und -steuerung

3 Value at Risk
3.1 Definition
3.2 Schritte zur Berechnung
3.3 VaR eines einzelnen Finanztitels
3.4 Methoden

4 Varianz-Kovarianz-Ansatz
4.1 VaR eines einzelnen Finanztitels
4.2 VaR eines Portfolios
4.3 Risikoverbundeffekte

5 Simulationsverfahren
5.1 Historische Simulation
5.2 Monte-Carlo-Simulation

6 Kritische Betrachtung

7 Zusammenfassung

8 Anhangverzeichnis

9 Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Verteilung der Marktwertabweichungen

Abbildung 2 Darstellung des VaR durch TriRisk

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Z-Werte der Standardnormalverteilung

Tabelle 2 TriRisk-Analogie

Tabelle 3 Simulation von möglichen Zinssätzen

1 Einleitung

In den vergangenen Jahren hat das Risikobewusstsein von Unternehmen und Banken stark zugenommen. Diese Entwicklung ist nicht zuletzt auf viele Insolvenzen und damit im Zusammenhang stehende Auflagen bzw. Anforderungen von Aufsichtsbehörden an ein Risikomanagement, wie die neuen Baseler Eigenkapitalrichtlinien, zurückzuführen. Da das Bankgeschäft üblicherweise als das Managen von Risiken bezeichnet wird, ist es nicht verwunderlich, dass gerade dort umfangreiche Bestrebungen für neue Modelle zur Messung von Risiken entwickelt wurden. Während früher das Kreditgeschäft Hauptaugenmerk der Kontrolle war, sind nun zunehmend Marktrisiken im Focus der Unternehmensführung.^[1]

Der Value at Risk-Ansatz entstand Anfang der 90er Jahre in amerikanischen Investmentbanken. Insbesondere der Einsatz von Derivaten und anderen Finanzinnovationen führte zu immer komplexeren und unüberschaubareren Risiken. Der Value at Risk (VaR) beschreibt das Risiko eines Portfolios in einer einzigen Kennzahl. Mittlerweile ist das Konzept des VaR einer der anerkanntesten und am meisten diskutierten Ansätze zur Risikoquantifizierung. Für ihn existieren auch alternative Bezeichnungen, wie z. B. Capital at Risk oder Money at Risk.^[2]

Mit dem Abschnitt „Grundlagen“ dieser Arbeit wird kurz der Prozess der Risikoanalyse angesprochen, um die Risikoquantifizierung in den Gesamtprozess des Risikomanagements einzuordnen. Mit Hilfe einiger statistischer Kennzahlen erfolgt dann eine Überleitung zum eigentlichen Ansatz des VaR.

Der dritte Abschnitt stellt das VaR-Konzept ausführlich vor. Zuerst erfolgt eine Definition des Ansatzes. Danach werden die im Vorfeld zu treffenden Maßnahmen bzw. Annahmen aufgezeigt. Mit der Hilfe eines Beispiels wird anschließend näher auf die eigentliche Berechnung eingegangen. Darauf aufbauend werden unterschiedliche Methoden zur Berechnung des VaR genannt.

Eine dieser Methoden ist der Korrelationsansatz. Anhand mehrerer Beispiele wird dieses analytisch vereinfachte Verfahren detailliert vorgestellt und der VaR berechnet, zuerst für einen einzelnen Finanztitel und dann für ein Portfolios, das aus zwei Werten besteht. Dem folgt die Erläuterung der Problematik von Risikoverbundeffekten. Warum können Risiken nicht einfach summiert werden?

Zwei weitere in der Praxis häufiger eingesetzte Methoden der VaR-Berechnung werden im Abschnitt „Simulationsverfahren“ angesprochen. Als Erstes die wohl einfachste Methode, die der Historischen Simulation. Als Zweites erfolgt dann ein kurzer Exkurs zur Monte-Carlo-Simulation.

Im sechsten Abschnitt werden die vorgestellten Verfahren kritisch betrachtet und die Vor- und Nachteile aufgezählt. Anschließend wird generell zum VaR als Ansatz der Risikoquantifizierung Stellung genommen.

Im letzten Abschnitt erfolgt eine kurze Zusammenfassung.

2 Grundlagen

2.1 Risikoidentifikation

Wenn Risiken quantifiziert werden sollen, müssen diese erst einmal identifiziert werden. Dazu ist eine Auseinandersetzung mit dem Begriff „Risiko“ unerlässlich. Für die Einteilung von Risiken existieren vielfältige Systematisierungsansätze und umfangreiche Literatur, die sich allein mit diesem Thema beschäftigt. Eine unfassende bzw. allgemeingültige Zusammenfassung ist insbesondere aufgrund einer dazu notwendigen klaren Abgrenzung von Risiken unmöglich. Viele Risiken sind situationsspezifisch und komplex, deshalb erfolgt meist eine Nebeneinanderstellung.^[3]

Risiko i. w. S. wird umgangssprachlich mit Unsicherheit gleichgesetzt. Darunter ist die Möglichkeit einer Abweichung von einem erwarteten Wert zu verstehen. Diese Abweichungen können sowohl als negative Gefahr oder als positive Chance auftreten.^[4]

In Unsicherheitssituationen ist weiterhin zwischen Ungewissheit und Risiko i. e. S. zu unterscheiden. In Ungewissheitssituationen stehen dem Entscheider keinerlei Informationen zur Verfügung. Eine Risikosituationen zeichnet sich dadurch aus, dass Eintrittswahrscheinlichkeiten von auftretenden Szenarien und die Ergebnisse von Handlungsalternativen bekannt sind. Da sich das Risikomanagement mit der ungünstigen Entwicklung von Szenarien beschäftigt, erscheint es sinnvoll das Risiko noch genauer als die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes oder die negative Abweichung von einem erwarteten Gewinn zu definieren.^[5]

Um die Höhe des Verlustes zu bestimmen, ist, wenn auch schwierig, eine Abgrenzung von Risikokategorien erforderlich. Erst im Anschluss können Maßnahmen zur Steuerung eingeleitet werden. Meistens erfolgt eine Trennung hinsichtlich des Zeithorizonts in strategische und operative Risiken. Eine weitere Möglichkeit ist die Systematisierung nach der Herkunft in externe und interne Risiken (A1). Dabei wird davon ausgegangen, dass Risiken immer eine Ursache, verschiedene Einflussgrößen und eine Wirkung haben. Die Wirkung wiederum bezieht sich auf ein bestimmtes Objekt. Eine klare Abgrenzung von Risiken ist aber auch bei dieser Einteilung problematisch. Fast alle Risiken beinhalten sowohl externe als auch interne Komponenten.^[6]

Beispiel: Ursache → Marktveränderungen

Einflussgröße → steigende Zinsen

Wirkung → eingetretener Wertverlust

Objekt → ein festverzinsliches Wertpapier

2.2 Risikoquantifizierung und -steuerung

Im Prozess der Risikoanalyse erfolgt nach der Identifikation des Risikos seine Bewertung. Das Risiko drückt eine mögliche Abweichung von einem Ziel oder einer Erwartungshaltung aus. Demzufolge müsste die Quantifizierung das Ausmaß dieser Abweichung beschreiben. Qualitativ wird dabei eine Grobeinteilung vorgenommen. Man trennt zwischen kleinen, mittleren, und großen Risiken. Kleine Risiken treten zwar häufiger auf, stellen aber keine ernste Bedrohung für das Unternehmen dar und sind leicht zu beheben. Mittlere sind bereits erhebliche Abweichungen und führen zu einer Neuausrichtung der Erwartungen. Großrisiken stellen für das Unternehmen eine ernstzunehmende Bedrohung der Existenz dar. Diese Unterscheidung ist für eine exakte Bewertung zu oberflächlich. Die einfachste Form der Verdichtung zu einer Messzahl ist die multiplikative Verknüpfung von Eintrittswahrscheinlichkeit und Risikoausmaß. Das Ergebnis ist der Erwartungswert (m).^[7]

Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen: In einem Unternehmen existiert ein Eigenkapital von 100 EUR. Zwei mögliche Szenarien von Geschäften sollen miteinander verglichen werden. Die erste Alternative erwartet einen maximalen Verlust von 90 EUR, die zweite lediglich einen Verlust von 10 EUR. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ersteres eintritt, liegt bei 10% und im zweiten Szenario bei 90%. Es ergibt sich in beiden Fällen ein Erwartungswert von 9 EUR. Szenario 2 enthält aber offensichtlich durch sein niedrigeres Ausmaß (10 EUR) ein geringeres Risiko. Der Verlust von 90 EUR aus Szenario 1 kann hingegen die Existenz des Unternehmens bedrohen. Der Erwartungswert allein ist demnach zur Quantifizierung des Risikos nicht ausreichend. Durch Indifferenzlinien können auf Erwartungswerten basierende Vergleiche zweidimensional dargestellt werden (A2).

Da stets mehrere Szenarien mit unterschiedlichem Ausmaß auftreten, existiert ein eindeutiger Risikoeintritt nicht. Der Umfang des möglichen Risikos wird also durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung unterschiedlicher Ausmaße dargestellt. Für die Bestimmung eines einzelnen Ausmaßes als Maßzahl existieren zwei Ansätze, der Maximum Possible Loss (MPL) und der Probable Maximum Loss (PML). Wie aus dem Namen ablesbar, ist der MPL der maximal mögliche Höchstschaden. Er beinhaltet eine sehr pessimistische Sichtweise und legt dem Entscheider eine Risikovermeidung nahe. Ein weiterer Nachteil ist, dass er in einigen Fällen auch unbegrenzt sein kann, z.B. für den Stillhalter einer Option. Weiterhin wird keine Aussage darüber getroffen, wann der Schaden eintritt, d.h. die zeitliche Dimension bleibt unberücksichtigt. All diese Nachteile werden beim PML, dem wahrscheinlichen Höchstschaden, überwunden. Er gibt das Ausmaß an, dass über einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, z.B. 95 % liegt. Damit werden nahezu unmögliche Szenarien nicht in die Betrachtung einbezogen (A3).^[8]

Als ergänzende Größen zur Beurteilung des Risikos werden sogenannte Streuungsmaße betrachtet. Dazu zählen Varianz (s2) und Standardabweichung (s). Sie geben Auskunft über die symmetrische Schwankung der Abweichungen vom Erwartungswert. Dabei ist eine höhere Schwankung mit einem höheren Risiko verbunden. Anschaulicher als die Varianz ist die sog. Semivarianz. Sie misst lediglich die negative Abweichung vom Mittelwert (downside risk) und entspricht daher besser der Risikovorstellung.^[9]

Auch der PML und der VaR sind einseitige, verlustorientierte Risikomaße.^[10]

Im Anschluss an die Risikoanalyse können Steuerungsmaßnahmen ergriffen werden. Die Risikosteuerung soll sicherstellen, dass nur die Risiken vorhanden sind, die auch erwünscht sind. Das kann sowohl aktiv erfolgen, indem ungewollte Risiken durch Gegengeschäfte ausgeglichen bzw. verringert werden (Hedging) oder passiv erreicht werden, indem einzugehende Risiken limitiert werden. Eine Risikolimitierung nach dem VaR-Konzept würde bspw. deutlich machen, dass mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nur ein bestimmter Verlust in einer vorgegebenen Zeit zu erwarten ist. Daraus ergibt sich die notwendige Kapitalreserve, die für unerwartete Verluste bereitgestellt werden muss.^[11]

3 Value at Risk

3.1 Definition

Der VaR ist der mögliche, maximale Wertverlust, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (z.B. 95%) innerhalb eines festgelegten Zeitraums nicht überschritten wird.^[12]

Er beschreibt damit ausschließlich einen Verlust. Er wird aber als positive Zahl angegeben, da er den Geldbetrag anzeigt, der zum Ausgleich der Verluste notwendig wäre. Aus statistischer Sicht ist der VaR ein bestimmtes z1-a-Quantil einer Verteilung möglicher Wertveränderungen von Finanztiteln. Falls bei einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit noch Gewinne auftreten, ist der VaR gleich Null. Er versucht keine Aussage über zukünftige Verluste zu treffen, sondern ist vielmehr eine Verlustschwelle. Anders ausgedrückt sind größere Verluste unter normalen Bedingungen zukünftig nur mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit zu erwarten. Man könnte ihn auch als Trennlinie zwischen Normal- und Restrisiko bezeichnen.^[13]

3.2 Schritte zur Berechnung

Vor der eigentlichen Berechnung des VaR sind einige Parameter festzulegen (A4).

Zuerst muss das Risikoportfolio eingegrenzt werden, d.h. was für ein Risiko soll eigentlich bewertet werden. Das kann sowohl das Einzelrisiko eines Finanzinstrumentes oder auch das Gesamtrisiko von mehreren Wertpapieren sein. Sinnvoll ist dabei entweder eine Einteilung nach Verantwortungsbereichen oder von Finanzinstrumenten gleicher Art.^[14]

Im Anschluss müssen die Markt- oder Risikoparameter identifiziert werden. Damit sind Marktgrößen gemeint, die den Portfoliowert beeinflussen, z.B. Zinssätze oder Aktienkurse. Wichtig dabei ist, dass der ausgeübte Einfluss, möglichst als Formel, abgebildet werden kann. Im einfachsten Fall besteht ein linearer Zusammenhang, wie bei steigenden Zinsen und einem fallenden Barwert bei der Bewertung eines festverzinslichen Wertpapiers.

Als Nächstes ist der Beobachtungszeitraum zu bestimmen. Er ist von entscheidender Bedeutung für die Qualität der späteren Berechnungen, da die enthaltenen Daten auf Vergangenheitswerten basieren. In der Statistik wird ein Ergebnis umso genauer, je umfangreicher Schätzdaten vorliegen. Dieser Grundsatz muss bei der Zeitreihenanalyse nicht immer zutreffen. Am Beispiel der Zinsentwicklung lässt sich dies verdeutlichen. Anfang der 90er Jahre waren die Zinsen auf einem sehr hohen Niveau. Damit waren auch die absoluten Schwankungen größer. Es ist nachvollziehbar, dass diese Abweichungen beim heute niedrigen Zinsniveau für eine Zukunftsprognose nicht sehr aussagekräftig wären und das Risiko unverhältnismäßig hoch ausweisen würden.

Ebenso entscheidend wie der Beobachtungszeitraum ist die Wahl der Haltedauer. Sie drückt die Liquidierbarkeit des Portfolios aus. Bei Investmentaktivitäten ist die Haltedauer mit 25 Tagen bis zu einem Jahr deshalb bedeutend länger als bei Handelsaktivitäten mit nur einem Tag. Das quantifizierte Risiko einer Haltedauer kann vereinfacht mithilfe des sog. Wurzelgesetzes auf eine andere Haltedauer umgerechnet werden, z. B. wenn der VaR für einen Tag Haltedauer 100 EUR beträgt, dann ergibt sich für 10 Tage ein VaR von 316,23 EUR.^[15]

Als Letztes ist das Wahrscheinlichkeitsniveau festzulegen. In der Literatur findet man synonym den statistischen Begriff Konfidenzniveau (a). Die gewählte Höhe für a drückt die Risikoeinstellung aus. Üblich sind relativ hohe Konfidenzniveaus zwischen 95% und 99%. Je höher das Wahrscheinlichkeitsniveau festgelegt wird, desto größer wird auch der VaR.^[16]

[...]

^[1] Vgl. Jendruschewitz, (1997), S. 5.

^[2] Vgl. Rau-Bredow (2001), S. 315.

^[3] Vgl. Schulte (1997), S. 18.

^[4] Vgl. Perridon / Steiner (1995), S. 95.

^[5] Vgl. Jendruschewitz, (1997), S. 8 f.

^[6] Vgl. Jendruschewitz (1997), S. 10.

^[7] Vgl. Kremers (2002), S. 107 ff.

^[8] Vgl. Kremers (2002), S. 115.

^[9] Vgl. Steiner / Bruns (1995), S. 470.

^[10] Vgl. Huschens: Anmerkungen zur Value-at-Risk Definition (2000), S. 15.

^[11] Vgl. Jendruschewitz (1997), S. 21.

^[12] Vgl. Rau-Bredow (2001), S. 315.

^[13] Vgl. Kremers (2002), S. 122 ff.

^[14] Vgl. Jendruschewitz (1997), S. 22 ff.

^[15] 100 EUR * Quadratwurzel aus (10/1).

^[16] Vgl. Jendruschewitz (1997), S. 22 ff.