El presente trabajo de investigación, nace de la inquietud por mostrar una de las poderosas aplicaciones que tiene la matemática abstracta en los fenómenos económicos como son las medidas de riesgo financiero los cuales tienen sus bases en la teoría de la medida así como en la convexidad pues hoy en día se busca obtener indicadores de manera precisa. Por ello, durante años, numerosas instituciones e investigadores han realizado diversos estudios para obtener medidas que gestionen e cientemente los riesgos a los que se ven sometidos. En ese sentido, uno de los pasos crticos es construir una apropiada medida de riesgo. Posiblemente reforzada por las nuevas tendencias en la regulacion de instituciones nancieras y la reaccion de la comunidad academica a los requerimientos prácticos, las medidas de riesgo es uno de los temas de rápida evolución tanto en lo teórico como en el campo práctico. Un ejemplo importante es el de JP Morgan, cuya metodología " RiskMetrics" fue divulgada en el año 1995, lo cual supuso una revolucion en la gestion de riesgos moderna, dando paso al conocido Value at Risk (VaR) y, en los ultimos años, el Expected Shortfall (ES). En ese sentido, la optimizacion de carteras que minimizan el riesgo de mercado es una de las preocupaciones en la gestion de carteras de renta variable y renta ja, enfatizando la importancia de comparar las bondades de estas medidas.
Índice general
Introducción
1. Conceptos Preliminares
1.1. Teoría de Probabilidad
1.2. Teoría Convexidad
1.3. Diversificación
2. Teoría de Riesgo
2.1. Medidas de Riesgo
2.2. Value-at-risk
2.3. Expected Shortfall
3. Aplicación
3.1. Retorno de portafolio
3.2. Métodos de estimación
3.3. Caso de Aplicación
3.3.1. Cálculo del VaR y Expected Shortfall
4. Conclusiones
5. Recomendaciones
A. Basilea
B. Expected Shortfall
C. Aplicación: Especificaciones
Objetivos y temas de investigación
El presente trabajo tiene como objetivo principal explorar la fundamentación matemática detrás de las medidas de riesgo financiero, específicamente el Value-at-Risk (VaR) y el Expected Shortfall (ES), analizando su coherencia y comparando su eficacia en la gestión de carteras de inversión.
- Fundamentos matemáticos de las medidas de riesgo coherentes.
- Comparativa teórica y práctica entre VaR y Expected Shortfall.
- Análisis de la subaditividad y su impacto en la gestión de capital.
- Aplicación empírica utilizando datos del Índice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL).
- Evaluación de métodos de estimación paramétricos y no paramétricos.
Auszug aus dem Buch
2.3. Expected Shortfall
Artzner (1997) propone como medida de riesgo alternativa el uso del expected shortfall (también llamado VaR condicional). El expected shortfall es la esperanza condicional de las pérdidas dada que las pérdida esta por encima del VaR. El expected shortfall es definido como sigue
Definición 2.9 Expected Shortfall. Para una pérdida L con E(|L|) < ∞ y función de distribución FL el expected shortfall con un nivel de confianza α ∈ (0, 1) es definido como
ESα = 1 / (1 − α) * ∫(1, α) qu(FL)du
donde qu(FL) = F ← L (u) es la función quantil de FL El expected shortfall es por lo tanto relacionado al VaR por
ESα = 1 / (1 − α) * ∫(1, α) VaRu(L)du
Lema 2.10 Para una pérdida integrable L con función de distribución continua FL y α ∈ (0, 1), tenemos
ESα = E(L;L ≥ qα(L)) / (1 − α) = E(L|L ≥ VaRα)
donde empleamos la siguiente notación E(X; A) = E(X.IA) para una variable aleatoria integrable genérica y un conjunto genérico A ∈ F
Resumen de los capítulos
1. Conceptos Preliminares: Este capítulo establece las bases matemáticas sobre la teoría de probabilidad, convexidad y diversificación necesarias para la gestión de riesgos.
2. Teoría de Riesgo: Se definen formalmente las medidas de riesgo, los axiomas de coherencia y se analizan detalladamente el Value-at-Risk (VaR) y el Expected Shortfall (ES).
3. Aplicación: Se presenta un estudio empírico basado en el IGBVL, donde se aplican métodos de estimación para comparar el comportamiento práctico del VaR y el ES.
4. Conclusiones: Se sintetizan los hallazgos principales, subrayando la importancia de la subaditividad y la superioridad del ES en la cobertura de riesgos extremos.
5. Recomendaciones: Se proponen directrices para instituciones financieras sobre el uso de medidas de riesgo coherentes y la interpretación del Expected Shortfall.
A. Basilea: Proporciona un marco de referencia sobre los acuerdos internacionales de capital y sus limitaciones en la sensibilidad al riesgo.
B. Expected Shortfall: Detalla el soporte técnico y las demostraciones matemáticas relacionadas con la propiedad de subaditividad del Expected Shortfall.
C. Aplicación: Especificaciones: Describe el entorno de software R y las metodologías utilizadas para la replicación del análisis realizado.
Palabras clave
VaR, Expected Shortfall, Medidas de riesgo coherentes, Subaditividad, Gestión de riesgos financieros, IGBVL, Portafolio, Convexidad, Valor en riesgo, Probabilidad, Estimación, Basilea, Capital, Distribución normal, Riesgo de mercado.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el enfoque principal de esta tesis?
El trabajo analiza las medidas de riesgo financiero desde una perspectiva matemática rigurosa, evaluando por qué medidas como el VaR fallan en ciertos aspectos y por qué el Expected Shortfall se presenta como una alternativa más robusta.
¿Qué temas centrales se abordan en la investigación?
Se cubren los conceptos de teoría de probabilidad y convexidad, la axiomatización de medidas de riesgo coherentes y su implementación práctica en mercados bursátiles.
¿Cuál es la hipótesis o pregunta central de investigación?
La investigación busca demostrar matemáticamente que el Expected Shortfall, al cumplir con el axioma de subaditividad, permite una mejor gestión del capital frente a riesgos extremos en comparación con el VaR tradicional.
¿Qué metodología científica se emplea?
Se utiliza una combinación de fundamentación teórica matemática (teoría de la medida, probabilidad) y análisis empírico no paramétrico aplicado a series de tiempo bursátiles mediante el software R.
¿Qué se trata en la parte principal del libro?
La parte principal se enfoca en el Capítulo 2 (Teoría) y el Capítulo 3 (Aplicación), donde se desarrollan las definiciones formales, se exponen los axiomas y se contrastan los resultados de las medidas aplicadas al IGBVL.
¿Qué términos clave definen esta obra?
Los términos más relevantes son VaR, Expected Shortfall, subaditividad, medidas de riesgo coherentes y gestión de portafolios.
¿Cómo demuestra el autor la debilidad del VaR en el caso de las opciones digitales?
El autor utiliza el ejemplo de dos opciones digitales para mostrar que la suma del VaR individual es menor que el VaR del portafolio combinado, demostrando así la falta de subaditividad en esta medida.
¿Qué revela el análisis del IGBVL sobre el Expected Shortfall?
El análisis empírico revela que el Expected Shortfall es más conservador que el VaR, ya que captura de forma más precisa las pérdidas en las colas de la distribución de retornos.
- Quote paper
- Jhoan Aldana (Author), Luis Purizaca (Author), 2013, Enfonque de las medidas de riesgo VaR y Expected Shortfall, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/424944
