Einführung einer kombinatorischen Fragestellung. Finden von Anordnungen und Entwicklung von Strategien (4. Klasse Grundschule)

Inhaltsverzeichnis

1. Begründungszusammenhang
1.1 Legitimation des Themas
1.2 Gegenwartsbedeutung, Exemplarität und Zukunftsbedeutung

2. Ausgangsbedingungen der Lerngruppe
2.1 Arbeitsbedingungen und Voraussetzungen der Lerngruppe
2.2 Kompetenzprofil einzelner Schüler/ Schülergruppen

3. Thematische Strukturierung
3.1 Aufriss der Unterrichtseinheit „Kombinatorik“
3.2 Sachanalyse
3.3 Didaktische Reduktion
3.4 Lern- und Handlungsschwerpunkte
3.4.1 Lernschwerpunkt
3.4.2 Wissens- und Kompetenzentwicklungen (Bezüge zu den Bildungsstandards in Klammern)

4. Methodische Strukturierung
4.1 Begründung der Methodenkonzeption der Stunde
4.2 Begründung der wesentlichen methodischen Schritte

5. Unterrichtsskizze
5.1 Stundenverlauf
5.2 Visualisierungen
5.3 Sitzplan

6. Literaturverzeichnis

7. Anhang

1. Begründungszusammenhang

1.1 Legitimation des Themas

Die Unterrichtsstunde wird durch folgende, im Teilrahmenplan Mathematik und den Bildungs-standards festgeschriebene, Kompetenzen sowie Ziele begründet:

Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich

- Allgemeine mathematische Kompetenzen:

Durch die kombinatorische Aufgabenstellung der vorliegenden Stunde werden alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen angesprochen und ausgebaut. Die Schüler übersetzen das Sachproblem in die Sprache der Mathematik, lösen es innermathematisch und beziehen die Lösung auf die Ausgangssituation. Dabei entwickeln sie Lösungsstrategien, fertigen eine für das Bearbeiten des Problems möglichst systematische Darstellung an, über die sie mit ihren Mitschülern diskutieren und dabei argumentieren.^[1]

- Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:

Von inhaltlicher Seite her lässt sich das Stundenthema insbesondere der Leitidee „Zahlen und Operationen“ und hierin der Leitkompetenz „in Kontexten rechnen“ zuordnen: An dieser Stelle wird das Lösen „einfache[r] kombinatorische[r] Aufgaben durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen“^[2] explizit benannt.

Teilrahmenplan Mathematik

Den Begriff „Kombinatorik“ sucht man im Teilrahmenplan vergeblich. Als Teil des Sachrechnens lassen sich kombinatorische Aufgaben aber vielen Lernleistungen zuordnen:

- Leistungsprofil Mathematik:

Die Auseinandersetzung mit kombinatorischen Fragestellungen bietet den Schülern die Möglichkeit reale Situationen ihrer Lebenswelt unter mathematischen Aspekten wahrzunehmen und diese in ein mathematisches Modell zu übertragen. Darüber hinaus werden die Kompetenzen im Finden, Erklären, Darstellen und Begründen von Strategien zur Lösung von außer- und innermathematischen Problemen ausgebaut.^[3]

- Wissens- und Kompetenzentwicklung:

Im Bereich des „anschlussfähigen Wissens“ werden flexible Zählstrategien und Problemlösefähigkeiten weiterentwickelt; im Bereich des „anwendungsfähigen Wissens“ die Kompetenzen des Modellierens, Argumentierens sowie das Nutzen von Kreativität gefördert. Die Kinder lernen in diesem Zusammenhang Fachbegriffe, mathematische Zeichen und Notationsformen kennen bzw. nutzen und erfahren ihre Notwendigkeit.^[4]

- Orientierungsrahmen:

Im Inhaltsbereich „Sachrechnen und Größen“ werden für alle Klassenstufen unter dem Stichpunkt „Sachaufgaben“ Punkte wie „authentische Aufgaben“, „Übersetzen von Sachproblemen in einfache mathematische Modelle und umgekehrt“ sowie „unterschiedliche Lösungsstrategien“ aufgeführt.^[5]

1.2 Gegenwartsbedeutung, Exemplarität und Zukunftsbedeutung

Heinze betrachtet kombinatorische Problemstellungen als spezielle Form von Sachaufgaben, in denen Sachzusammenhänge geschildert werden, „[…] die Grundschüler in ihren Lebenswirklichkeiten durchaus wieder finden“^[6]. Wenn man genauer darüber nachdenkt, begegnen sie den Schülern sogar sehr häufig: verschiedene Kleidungsstücke werden zu einem Outfit zusammengestellt, beim Kaufen von Eisbällchen wird aus einem großen Angebot eine Auswahl getroffen, beim Fahrradschloss wird ein bestimmter Zahlencode festgelegt und auch im Handy kann ein PIN eingegeben werden. Allerdings fragen sich die Kinder eher selten, wie viele Kombinationen im jeweiligen Fall denn überhaupt möglich wären. Der Mathematikunterricht der Grundschule thematisiert hingegen genau diesen Sachverhalt. Strategisches Zählen liefert den Schülern Einsichten in die Vielfalt der Kombinationen und damit auch in den Aspekt der Sicherheit, z.B. bei einem Zahlenschloss.

Da sich kombinatorische Fragestellungen leicht auf die Lebenswelt der Kinder beziehen lassen, treffen sie schnell das Interesse der Schüler. Zudem ermöglichen sie eine natürliche Differenzierung, dienen dem Entwickeln von strategischem Denken und bilden wichtige Grundlagen für ein Verständnis von Wahrscheinlichkeiten.^[7] Nicht zuletzt bedient die Kombinatorik in hohem Maße auch die allgemeinen mathematischen Kompetenzen, welche nachhaltig die Leistungsfähigkeit der Schüler, nicht nur im Fach Mathematik, verbessern: die Problemlösefähigkeiten und das Problembewusstsein, Modellierungsfähigkeiten, flexibles Rechen, Kommunizieren sowie Argumentieren.^[8]

In den weiterführenden Schulen spielt die Auseinandersetzung mit kombinatorischen Fragestellungen immer wieder eine Rolle, u.a. weil die Kombinatorik eine Hilfsdisziplin für die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung darstellt. Dabei verschiebt sich die Lösungsfindung zunehmend auf die abstrakte symbolische Ebene. Eine auf verinnerlichten Handlungen aufbauende Verständnisgrundlage kann gerade deshalb nicht hoch genug eingeschätzt werden.

2. Ausgangsbedingungen der Lerngruppe

2.1 Arbeitsbedingungen und Voraussetzungen der Lerngruppe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Kompetenzprofil einzelner Schüler/ Schülergruppen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Thematische Strukturierung

3.1 Aufriss der Unterrichtseinheit „Kombinatorik“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Sachanalyse

Die Kombinatorik ist neben der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung eines von drei Teilgebieten der Stochastik. Sie geht im Wesentlichen zwei Fragen nach:

- Welche Möglichkeiten gibt es, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen auszuwählen oder anzuordnen?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es dabei insgesamt?^[9]

Vor dem Hintergrund dieser Fragen unterscheidet man drei Teilbereiche der Kombinatorik: die Kombination, die Variation und die Permutation. Kombination und Variation sind Auswahlprobleme, bei denen nicht alle Elemente der endlichen Menge verwendet werden müssen. Spielt die Reihenfolge der ausgewählten Elemente eine Rolle, spricht man von Variationen; ist die Reihenfolge irrelevant, spricht man von Kombinationen. Bei der Permutation handelt es sich um ein Anordnungsproblem. Es werden Möglichkeiten gesucht, alle Elemente einer Menge anzuordnen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt. Sie ist somit ein Spezialfall der Variation. Zusätzlich gilt es bei allen Teilbereichen zu unterscheiden, ob ein Element der Menge einfach oder wiederholt ausgewählt werden darf.^[10]

In der vorliegenden Unterrichtsstunde beschäftigen sich die Kinder mit einer 4-elementigen Permutation ohne Wiederholung – konkret ermitteln sie die Anzahl aller Anordnungen der Ziffern 1, 3, 9, 8, wobei jede Ziffer genau einmal vorkommt.

Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung aus n Elementen beträgt - gemäß dem allgemeinen Zählprinzip der Kombinatorik - p (n) = n! = n ∙ (n-1) ∙….∙ 3 ∙ 2 ∙ 1. Hieraus ergibt sich für die Aufgabenstellung der Stunde mit n = 4: p(4) = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙1 = 24.^[11]

Neben dieser rechnerischen Lösung sind weitere systematische Herangehensweisen zum Finden aller Anordnungen geeignet. Die Wichtigsten sind nachfolgend dargestellt:^[12] 1) Tachometerzählerprinzip: Dabei werden die Elemente der ersten bzw. der ersten beiden Ebenen (bei 4-elementigen Mengen) so lange konstant gehalten, bis die Elemente auf den verbleibenden Ebenen alle Möglichkeiten durchlaufen haben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2) Geordnete Darstellung (z.B. im Stellenwertsystem) mit dem Ziel, die möglichen vierstelligen Zahlen der Größe nach zu sortieren.

3) Baumdiagramm

3.3 Didaktische Reduktion

Selbstverständlich werden die Schüler nicht mit den oben genannten Fachbegriffen konfrontiert. Dies ist Aufgabe der weiterführenden Schulen. Im Laufe der Unterrichtseinheit setzen sich die Schüler mit handlungs- und problemorientierten kombinatorischen Fragestellungen auseinander und lernen zu unterscheiden, ob Elemente wiederholt auftreten können oder nicht und ob die Reihenfolge dabei von Bedeutung ist. Dabei sind kindgemäße Begriffe wie „Anordnungen“, „Möglichkeiten“, „Kombinationen“ o.ä. legitim und werden synonym verwendet.

In der vorliegenden Einführungsstunde sollen sie durch eine Permutation von vier vorgegebenen Zahlen in ihrer Kreativität und Problemlösefähigkeit herausgefordert werden. Nach den Erfahrungen von Neubert (2003) fällt dieser Aufgabentyp Kindern am leichtesten und wird daher für den Einstieg in die Thematik empfohlen.^[13]

Die Anzahl der möglichen Anordnungen (24) ist dabei einerseits noch so überschaubar, dass alle Lösungen einzeln notiert und ggf. auch durch Probieren gefunden werden können, gleichzeitig so anspruchsvoll, dass eine gewisse Herausforderung entsteht und - zumindest für das Begründen der Vollständigkeit - ein systematisches Vorgehen erforderlich wird. Dieses mögliche Bearbeitungsspektrum von „Versuch und Irrtum“ bis „zielgerichtetes Vorgehen und Beweisen“ ist im Sinne der natürlichen Differenzierung legitim und ermöglicht ein Arbeiten auf individuellem Niveau. In der Präsentation kommt es dann allerdings darauf an, dass die leistungsschwächeren Kinder an den Ergebnissen der leistungsstärken teilhaben und auf diese Weise alle Schüler an das strategische Denken herangeführt werden.

Das Baumdiagramm oder die Tabelle als weitere Hilfsmittel zum systematischen Zusammenstellen und Sortieren aller Lösungsmöglichkeiten werden erst in den Folgestunden thematisiert, es sei denn eine Gruppe sollte dies zur Lösungsfindung genutzt haben. Auch die o.g. Produktregel spielt keine Rolle.

3.4 Lern- und Handlungsschwerpunkte

3.4.1 Lernschwerpunkt

Die S. finden möglichst viele Anordnungen für einen vierstelligen Zahlencode (Ziffern 1,3,8,9 ohne Wd.) und entwickeln dafür Strategien.

3.4.2 Wissens- und Kompetenzentwicklungen (Bezüge zu den Bildungsstandards in Klammern)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Methodische Strukturierung

4.1 Begründung der Methodenkonzeption der Stunde

Die vorliegende Mathematikstunde ist der Großmethode des problemorientierten Lernens zuzuordnen. Sie ist vorwiegend an den Artikulationsmodellen von Leutenbauer und Weiser orientiert. Zu Beginn steht im Sinne Leutenbauers die Phase der Problemausbreitung und -erfassung, in der das Problem von den Schülern, auf Basis der Impulse, formuliert wird. Die Problemerarbeitung und -lösung erfolgt handlungsorientiert und durch die Methode des kooperativen Lernens. Dadurch können sich zunächst individuelle Entdeckungen auf der Basis verschiedener Vorkenntnisse entfalten und dann in der Gruppe zusammengetragen bzw. erweitert werden. Abschließend werden die Ergebnisse im Plenum verbalisiert und verglichen. Diese letzte Phase wurde aus dem Konzept von Weiser ergänzt. Durch dieses Vorgehen werden viele Forderungen der Bildungsstandards (allgemeine math. Kompetenzen) umgesetzt.

4.2 Begründung der wesentlichen methodischen Schritte

Motivation, Problemausbreitung und -erfassung:

Nach der Begrüßung kommen die Schüler durch einen Bildimpuls in einen Stuhlhalbkreis, der eine dichtere Gesprächsatmosphäre bietet und die Aufmerksamkeit auf die genutzten Materialien sowie die Tafel zentriert. Die Unterrichtsreihe zum Thema Kombinatorik ist in den Rahmen einer „Schatzsuche“ eingebettet, in deren Verlauf verschiedene kombinatorische Probleme gelöst werden müssen, um am Ende einen Schatz in den Händen halten zu können. In dieser Stunde erfolgt der Einstieg durch die Präsentation einer „alten Truhe“, die mit einem vierstelligen Zahlenschloss verriegelt ist. Durch eine Lehrererzählung wird auf den Ursprung der Kiste verwiesen und eine beigefügte Schriftrolle gibt Hinweise auf die Aufgabenstellung. Durch diese Impulse soll einerseits ein Lebensweltbezug geschaffen und das Interesse der Schüler geweckt werden, andererseits wird unmittelbar auf die heutige Problemstellung hingeführt. Diese sollte möglichst von den Schülern (als Tafelüberschrift) benannt werden, wobei hier in der Vergangenheit häufig viel Hilfe benötigt wurde.

Das gemeinsame Ausprobieren und Sammeln einiger Zahlenkombinationen sowie das Aufstellen von Vermutungen über die mögliche Gesamtzahl soll ein gedankliches Befassen mit dem Problem bewirken und das Verständnis sichern. Dabei werden bereits an der Tafel farbige Zahlenkarten verwendet, die im Kleinformat analog in der EA und GA genutzt werden können.

Problemerarbeitung/ Problemlösung:

Für die Phase des Problemlösens habe ich die Methode des kooperativen Lernens nach dem „Ich-Du-Wir-Prinzip“ ausgewählt. Sie ist den Kindern vertraut und ermöglicht es, dass sich jeder Schüler zunächst individuell mit dem Problem auseinandersetzt, gleichzeitig bei der Lösung aber nicht auf sich allein gestellt bleibt.

Der Arbeitsauftrag ist dabei – entsprechend den Zäsuren der Methode – in zwei Teile (EA, GA) zerlegt und wird jeweils gemeinsam besprochen. Dadurch sollten die weiteren Arbeitsschritte unmittelbar klar sein.

Für die Einzelarbeit erhalten die Schüler ein Arbeitsblatt und vier farbige Zahlenkarten. Dies ermöglicht zwar eine enaktive Herangehensweise, wodurch für alle Kinder ein Zugang geschaffen wird; gleichzeitig kann aber immer nur eine Anordnung gelegt werden, sodass das Notieren der Ergebnisse unmittelbar erforderlich wird. Dies war mir wichtig, damit die Schüler mit ersten „mobilen“, schriftlichen Ergebnissen und Strategieansätzen in die Gruppenarbeit starten.

[...]

^[1] Vgl. Kultusministerkonferenz 2005, S.7f.

^[2] ebd., S.10.

^[3] Vgl. Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend 2002, S.22.

^[4] Vgl. ebd., S.23f.

^[5] Vgl. ebd. S.34.

^[6] Vgl. Heinze 2003, S. 19.

^[7] Vgl. Radatz/ Schipper/ Dröge/ Ebeling 1999, S. 117.

^[8] Vgl. Rasch/ Schütte 2010, S.84ff.

^[9] Vgl. Kütting/ Sauer 2009, S. 138.

^[10] Vgl. Hell 2009, S.27f; Kütting/ Sauer 2009, S. 138.

^[11] Vgl. Kütting/ Sauer 2009, S. 138.

^[12] Vgl. Hoffmann 2003, S. 169-176.

^[13] Vgl. Neubert 2003, S. 97