Bewertung von Schülerlösungen zu Modellierungsaufgaben im Mathematikunterricht

Inhalt

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Einbettung
2.1 Elementare Begriffsdefinitionen
2.2 Modellierung und Modellierungsaufgaben
2.2.1 Ziele und Perspektiven von Modellierungsaufgaben
2.2.2 Empirische Untersuchungen zu Modellierungen und Modellierungsaufgaben
2.3 Aufgabenkultur im Fach Mathematik und Schulische Leistungsbeurteilung
2.3.1 Aufgabenkultur im Fach Mathematik
2.3.2 Funktionen schulischer Leistungsfeststellung
2.3.3 Problemstellen zwischen Aufgabenkultur und Klassenarbeiten
2.4 Bewertung von Modellierungsaufgaben
2.4.1 Formate zur Beurteilung von Schülerlösungen zu offenen Aufgaben
2.4.2 Empirische Befunde und Bewertungsschemata zu Modellierungen

3. Empirische Untersuchung zur Bewertung von Schülerlösungen.
3.1. Forschungsfragen
3.2 Planung und Durchführung der Untersuchung
3.2.1 Untersuchungsdesign
3.2.2 Auswahl der Untersuchungsmethode
3.2.3 Die Modellierungsaufgaben
3.2.4 Das Bewertungsschema nach Maaß
3.2.5 Auswahl der Stichprobe
3.2.6 Durchführung der Untersuchung
3.2.7 Auswertungsplanung
3.3 Überprüfung der Einhaltung der Gütekriterien
3.4 Deskriptive Ergebnisauswertung und Interpretation
3.4.1 Deskriptive Ergebnisauswertung
3.4.2 Interpretation der Ergebnisse und Diskussion

4. Fazit und Ausblick

5. Literaturverzeichnis

Anhang

A.[Aufgabenblätter entfernt

B. Bewertungsschema mit Präzisierungen

C. Tabellarische Übersicht der statistischen Verteilungen
C.1 Vollständige, codierte Auswertungen
C.2 Sortierung der Leistungskategorien
C.2.1 Verstehen und Vereinfachen
C.2.2 Mathematisieren
C.2.3 Interpretieren
C.2.4 Kontrollieren/Validieren
C.2.5 Gesamt
C.3 Statistik
C.4 Analyse der Leistungskategorien

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Darstellung des Modellierungsprozesses nach Maaß (2005, S.117)

Abbildung 2: Beispielitem von Haines et al. (2000, S. 3)

Abbildung 3: Bewertungsschema nach Maaß (2007, S. 40)

Abbildung 4: Verteilung der Leistungskategorien, Gesamtmodellierung

Abbildung 5: Verteilung der Leistungskategorien, Verstehen und Vereinfachen

Abbildung 6: Verteilung der Leistungskategorien, Kontrollieren

Abbildung 7: Verteilung der Leistungskategorien, Aufgabe Tower

Abbildung 8: Lösungsquote und Mittelwert

Abbildung 9: Verteilung der Leistungskategorien, Aufgabe Supermarkt

Abbildung 10: Leistungskategorien, Gesamtmodellierung und Teilkompetenzen

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Teilkompetenzen und Indikatoren nach Greefrath et al. (2013, S.19)

Tabelle 2: Idealtypisches Modellierungsverhalten nach Maaß (2004, S. 174).

Tabelle 3: Punktevergabe im Schritt Verstehen und Vereinfachen

Tabelle 4: Punktevergabe im Schritt Mathematisieren .

Tabelle 5: Bereiche der Leistungskategorien

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

„ Das Mathebuch ist der einzige Ort, in dem es normal ist, dass eine einzige Person 103 Melonen kauft.“ (Unbekannt)

Wie passend beschreibt dieses Zitat, dass der Umgang mit der Realität ein großes fachdidak- tisches Problem in der Schulmathematik darstellt? Der Schulunterricht soll Kindern den Weg zu einem mündigen und reifen Erwachsenendasein ebnen. Der Mathematikunterricht im Spe- ziellen dient dazu, den Schülerinnen und Schülern die Handhabung und Berührungspunkte ihrer Umwelt zu erleichtern, indem er mathematische Werkzeuge zu Verfügung stellt. Mit Hilfe dieser Werkzeuge sollen die Lernenden ihre Wirklichkeit besser greifen und verstehen können. Doch wie sollen diese Werkzeuge greifen, wenn der Schulunterricht viel zu kurzfris- tig ausgelegt ist und das Erlernen eines Schemas schon genügt, um die anstehende Klassenar- beit gut zu meistern?

Schon seit Jahrzehnten spielen Realitätsbezüge und Modelle in der didaktischen Diskussion zu einem lerngerechteren Mathematikunterricht eine bedeutende Rolle. Seit einigen Jahren finden sich diese sogar in den Curricula und Bildungsstandards für die Unterrichtspraxis (vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007, S. 11). Doch bis diese fester Bestandteil jedes Unterrichts im Fach Mathematik werden, müssen noch einige Hindernisse überwunden werden.

Eines dieser Hindernisse ist die Tatsache, dass viele Lehrerinnen und Lehrer Modellierungs- aufgaben nicht würdigen. Sie sehen keinen Sinn darin, offene Aufgaben in der Unterrichtszeit üben zu lassen, wenn sie im Anschluss nicht Teil der Klausuraufgaben sind. Schon 2005 wie- sen Leuders und Maaß darauf hin, dass auch Schülerinnen und Schüler diese „ungewohnten“ Aufgaben nur ernst nehmen, wenn sie selbstverständlich in die Leistungsmessung integriert werden. Unter diesem Zugzwang ergibt sich aber ein neues Problem: Wie sollen Aufgaben, für die es keinen einheitlichen Lösungsweg gibt, ja nicht einmal richtige und falsche Antwor- ten, überhaupt auswerten, geschweige denn bewerten? Diese Schwierigkeit stellt die Grund- problematik dieser Arbeit dar.

2007 veröffentliche Maaß den Vorschlag eines Bewertungshorizonts, der sich tendenziell an dem von ihr entwickelten Modellierungskreislauf orientiert. Unter zu Hilfenahme dieses Be- wertungsschemas sollen Schülerlösungen zu allen offenen Aufgaben bzw. Modellierungsauf- gaben in der Schule bewerten werden können. Jedoch wurde die Brauchbarkeit dieses Bewer- tungshorizontes nie geprüft.

In dieser Arbeit soll auf Grundlage einer empirischen Untersuchung analysiert werden, inwie- fern das von Maaß entwickelte Bewertungsschema für den Schulunterricht brauchbar ist. Für die Durchführung wird die Punkteverteilung, wie sie von Maaß (2007) für den Horizont vor- geschlagen wurde, präzisiert, jedoch werden keine Anpassungen an die jeweilige Aufgabe durchgeführt. Für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Untersuchung wird der Lösungs- raum somit nicht eingeschränkt, sodass sie faktisch offene Aufgaben bearbeiten können. Au- genmerk dieser Studie soll es sein, zu prüfen, ob besagtes Schema die tatsächlichen (Model- lierungs-) Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler misst. Diese tatsächlichen Fähigkeiten und Fertigkeiten werden mit Hilfe einer aktuell laufenden Studie erhoben. Nur in dem Fall, dass das Schema die Fähigkeiten und Fertigkeiten der Lernenden präzise erhebt, ist eine Ver- wendung in der schulischen Leistungsmessung angebracht.

Zunächst sollen im Rahmen dieser Arbeit elementare Definitionen sowie die theoretischen Grundlagen zu Modellierungen und Modellierungsaufgaben vorgestellt werden. Anschlie- ßend liegt ein Schwerpunkt auf der Aufgaben- und Leistungskultur im Fach Mathematik. Nachfolgend wird eine Verbindung der beiden vorherigen Abschnitte hergestellt, sodass die Möglichkeiten der Bewertung von Modellierungsaufgaben die theoretische Einbettung und die wissenschaftliche Vorbereitung der Studie abschließen. Im Anschluss an diese Verknüp- fung soll die empirische Untersuchung zur Beantwortung der im Zentrum stehenden For- schungsfragen vorgestellt werden. Die Begründung der Methodik und des Aufbaus der Studie sowie das Vorgehen bei der Untersuchung werden dargelegt. Nach der deskriptiven Darstel- lung der Ergebnisse werden diese schließlich interpretiert und diskutiert.

2. Theoretische Einbettung

2.1 Elementare Begriffsdefinitionen

Die folgenden Begrifflichkeiten werden im Rahmen dieser Arbeit verwendet und sollen daher zunächst an dieser Stelle eingeführt sowie voneinander abgegrenzt werden. Zunächst soll mit dem Begriff Anwendung der Gebrauch von Mathematik in außer- und innermathematischen Fragen oder Problemen beschrieben werden (Maaß 2005, S. 114). Realitätsbezüge beziehen sich allein auf außermathematische Problemstellung. Klassifizierungen von Aufgaben mit Re- alitätsbezügen liefern unter anderem Förster (1997, S. 137) sowie Galbraith und Stillman (2001, S. 301). Kaiser unterscheidet Einkleidungen mathematischer Probleme in die Sprache des Alltags, Veranschaulichungen mathematischer Begriffe, Anwendung mathematischer Standartverfahren und Modellbildungen (Kaiser 1995, S. 67). Das Augenmerk dieser Arbeit liegt auf Modellierungen. Da beim Modellieren ein mathematisches Modell konstruiert wird, soll zunächst dieser Begriff diskutiert werden, bevor anschließend die Tätigkeit des Model- lierens und die Modellierungskreisläufe näher betrachtet werden.

Ein Modell ist eine vereinfachende, nur gewisse, hinreichend objektivierbare Teilaspekte be- rücksichtigende Darstellung der Realität (Henn und Maaß 2003, S. 2; Hinrichs 2008, S. 8). Dabei wird bewusst darauf verzichtet, die komplexe Realität vollständig darzustellen, weil gerade die überschaubare Verarbeitung von realen Daten ein Grund für die Erstellung eines Modells ist (Greefrath et al. 2013, S. 12). Im Kontext der Konstituierung gibt es keine „rich- tigen“ und „falschen“, sondern nur „angemessene“ und „weniger angemessene“ Modelle, um einen Sachverhalt aus der Realität darzustellen (Hinrichs 2008, S. 9). Damit ein Modell als angemessen gilt, muss es widerspruchsfrei, stimmig und zweckmäßig sein. Stimmig meint in diesem Fall, dass wesentliche Beziehungen der realen Situation im Modell abgebildet werden. Ob ein Modell zweckmäßig ist, kann nur mit Hilfe des zu bearbeitenden Problems beantwortet werden, indem geprüft wird, ob die Informationen des Modells sich eignen, um das Problem zu bearbeiten (Greefrath et al. 2013, S. 13). Die Klassifizierung von mathematischen Model- len erfolgt hinsichtlich ihrer beabsichtigten Verwendung:

- Normative Modelle dienen gewissermaßen als „Vorbild“ für die reale Problemsituation, z.B. bei Steuerfestlegungen
- Deskriptive Modelle dienen gewissermaßen als „Nachbild“ der realen Problemsitua- tion, z.B. bei der Beschreibung der Planetenumlaufbahnen (Freudenthal 1978, S. 128; Eine genauere Differenzierung von Deskriptiven Modellen findet man bei Greefrath et al. 2013, 13f)

M odellierungsprobleme oder -aufgaben sind demnach „komplexe, offene, realitätsbezogene und authentische Problemstellungen, zu deren Lösung problemlösendes, divergentes Denken erforderlich ist“ (Maaß 2005, S. 117). Zur Bearbeitung solcher Probleme oder Aufgaben kommt die Tätigkeit des Modellierens bzw. ein Modellierungsprozess in Frage: Modellieren wird zumeist idealisiert als Durchlauf eines Kreislaufs betrachtet. Ein solcher Modellierungs- kreislauf ist somit selbst ein Modell des mathematischen Modellierens (Greefrath et al. 2013, S. 14).¹ Ausgangspunkt des Modellierens ist eine komplexe Situation in der Realität, welche zur besseren Bearbeitung vereinfacht und strukturiert wird. Diese Idealisierungen bilden das Realmodel, welches durch Mathematisieren in ein mathematisches Modell überführt wird, womit der Bereich der Mathematik betreten wird. In diesem mathematischen Modell kann nun mit Hilfe von Heurismen und mathematischer Kenntnisse gearbeitet werden, sodass ma- thematische Resultate entstehen, welche im Hinblick auf die reale Situation interpretiert wer- den müssen. Mit der Interpretation wird somit wieder der Bereich der Realität erreicht. Ab- schließend findet eine Validierung des Ergebnisses und des gewählten Vorgehens unter hin- zuziehen von Vergleichswerten statt, um entscheiden zu können, ob einzelne Schritte oder der gesamte Kreislauf neu durchlaufen werden muss (Blum 1985, S. 200).²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Darstellung des Modellierungsprozesses nach Maaß (2005, S.117)

M athematisches Modellieren gilt weiterhin als eine der sechs allgemeinen Kompetenzen in den Bildungsstandards für das Fach Mathematik und lassen sich somit auch in den Anforde- rungen des Kernlehrplans wieder finden (Ministerium für Schule und Weiterbildung des Lan- des Nordrhein-Westfalen 2007, S. 12).³ Darin wird die zu erwerbende Fähigkeit von Schüle- rinnen und Schülern beschrieben, an verschiedenen mathematischen Inhalten zwischen Ma- thematik und Realität in beide Richtungen zu übersetzen. Noch genauer wird Modellierungs- kompetenz bei Blum (2007, S. 3–5) als die Fähigkeit bezeichnet, die jeweils nötigen Prozess- schritte beim ständigen Wechsel zwischen Realität und Mathematik auf das Problem bezogen angemessen auszuführen und gegebene Modelle zu analysieren bzw. zu vergleichen. Je nach Auswahl des Modellierungskreislaufs werden verschiedene Teilprozesse unterschiedlich ak-zentuiert. Diese Teilprozesse werden als Teilkompetenzen des Modellierens angesehen (Maaß 2004, S. 37–39; Greefrath et al. 2013, S. 18), können aber nicht als vollständig angesehen werden⁴. Die im obigen Kreislauf dargestellten Teilkompetenzen werden in Tabelle 1 genauer erläutert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Teilkompetenzen und Indikatoren nach Greefrath et al. (2013, S.19).

Der Begriff der Leistungsmessung und der der - bewertung sind in dieser Arbeit als die Art von Beurteilung zu verstehen, wie sie aus dem schulischen Umfeld bekannt ist. Der Prozess, der zur Beurteilung einer Schülerleistung gebraucht wird, gliedert sich in zwei Teilbereiche: die Leistungsmessung (oder Leistungsfeststellung) und die Leistungsbewertung (Ingenkamp und Lissmann 2008, S. 130–136). Letztlich meint Bewertung also die Einordnung einer ge- messenen Leistung in ein Beurteilungssystem. Dieses wird in diesem Fall durch eine Punkte- vergütung und das (deutsche) schulische Notenspektrum dargestellt. Als Messinstrument für die Leistungsfeststellung dient in dieser Untersuchung ein B ewertungsschema bzw. ein Er- wartungshorizont. Diese beiden Begriffe, sowie mögliche Abkürzungen dieser, werden in der vorliegenden Arbeit synonym verwendet.

2.2 Modellierung und Modellierungsaufgaben

2.2.1 Ziele und Perspektiven von Modellierungsaufgaben

Eine Modellierungsaufgabe ist eine Aufgabe, zu deren Lösung eine oder mehrere der in Ta- belle 1 vorgestellten Teilkompetenzen benötigt werden. Der Einsatz von Modellierungsauf- gaben hat vielfältige Ziele vorzuweisen. Mittlerweile hat sich eine Dreiteilung der Ziele in Kategorien durchgesetzt (Blum 1996; Greefrath 2010; Kaiser-Meßmer 1986; Niss et al. 2007), jedoch werden auch andere Einteilungen benutzt (Brand 2014). Diese Arbeit folgt der oben erwähnten Dreiteilung in i nhaltsorientierte Ziele, p rozessbezogene Ziele und Allgemeine Z iele. Unter dieser Komponente werden auch die allgemeindidaktischen Ziele genannt.

Unter Inhaltsorientierten Zielen wird die pragmatische Sicht, dass sich Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben auch immer mit ihrer Umwelt befas- sen und ihre Umgebung mit mathematischen Mitteln erschließen (Greefrath et al. 2013, S. 20), zusammengefasst. Modellierungen können als gutes Beispiel für die erste Wintersche Grunderfahrung dienen, da sie eine Verbesserung der Wahrnehmung und des Verständnisses von Erscheinungen in unserer Welt ermöglichen (Winter 2003, S. 6–9). Prozessbezogene Ziele von Modellierungen zeigen sich auch in den allgemeinen mathematischen Kompeten- zen, die es bedarf, um Anwendungen im Mathematikunterricht zu bearbeiten. So fordern und fördern derartige Aufgaben beispielweise die Verwendung von heuristischen Strategien. Hin- richs (2008, S. 39–40) verweist auf den starken Bezug zur dritten Winterschen Grunderfah- rung. Auch die prozessbezogenen Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren (Minis- terium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007, S. 12) werden besonders gefördert. Lernpsychologisch gesehen können Schülerinnen und Schüler mathema- tische Inhalte besser verstehen und verinnerlichen, wenn sie diese mit Modellierungsaufgaben erlernt haben, was auf eine erhöhte Motivation und ein verstärktes Interesse von Lernenden an realitätsbezogenen Aufgaben deutet (Greefrath et al. 2013, S. 21). Allgemeine Ziele zeigen sich vor allem in der Tatsache, dass die Verwendung von Mathematik in der Umwelt wichtig für die Genese der Wissenschaft und der demokratischen Gesellschaft ist, wie sich beispiels- weise an der kritischen Beurteilung von Steuermodellen zeigen lässt. Dazu ist es nötig, dass Lernenden „[mit den] Inhalte[n] des Mathematikunterrichts […] ein ausgewogenes Bild von Mathematik als Wissenschaft vermittel[t] [wird]“ (Greefrath et al. 2013, S. 20). Hinrichs (2008, S. 38) weist darauf hin, dass gebildete und mündige Bürger Argumentationen, die auf Zahlen basieren, kritisch beurteilen können müssen und auch um die Grenzen der Mathema- tisierbarkeit wissen. Allgemeindidaktische Ziele zeigen sich in der Förderung des Austauschs über verschiedene Lösungswege und -ideen. Der Modellierungskreislauf bzw. der Schritt des Validierens ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern außerdem Fehler als Lernanlass zu sehen. Lernende sind bei der Bearbeitung von Modellierungen besonders aktiv und es besteht die Möglichkeit viele, im Verborgenen liegende Bezüge des alltäglichen Lebens mit der Ma- thematik aufzulösen⁵ und somit eine positivere Einstellung zur Mathematik zu schaffen (Maaß 2004, S. 155). Abschließend lässt sich sagen, dass Modellierungsaufgaben drei übergreifende Ziele des Mathematikunterrichts fördern:

- Im Mathematisieren und mathematisch Arbeiten können mathematische Kenntnisse und Fertigkeiten erworben, geübt und vertieft werden.
- Persönlichkeitsbildung, Selbständigkeit und Eigenverantwortung werden durch die of- fen gestellten Aufgaben sowie die Förderung der Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren gefordert.
- Fachübergreifende Fähigkeiten, wie Konzentrationsfähigkeit, Kreativität und Flexibi- lität werden durch den Austausch über verschiedene Lösungsideen gefördert. Das Va- lidieren fordert und fördert eine gewisse Sorgfalt bei der Bearbeitung von Aufgaben (Kunter 2005, S. 16–20).

In der nationalen und internationalen didaktischen Diskussion haben sich verschiedene Per- spektiven auf mathematisches Modellieren gebildet. Sriraman und Kaiser (2006) haben eine Klassifikation dieser Perspektiven und der mit der Modellierung verbundenen Ziele entwor- fen. Darin findet man ebenfalls eine Einschätzung des Stellenwertes, den die Mathematik bzw. außermathematische Problemstellungen in der jeweiligen Perspektive einnimmt. Ergänzt wurde dieses Schema durch idealtypische Darstellungen eines Modellierungsprozesses zu den Perspektiven mathematischer Modellierung von Borromeo Ferri und Kaiser (2008).⁶ Im Fol- genden sollen die Perspektiven kurz vorgestellt werden:

Realistisches oder angewandtes Modellieren setzt inhaltsbezogene Ziele voraus. Dabei soll das Verständnis der realen Welt und die Förderung der Modellierungskompetenzen fokussiert werden. Reale Probleme sollen nur unwesentlich vereinfacht werden, sodass Modellieren als „Aktivität zur Lösung authentischer Probleme“ (Greefrath et al. 2013, S. 21) gesehen werden kann. Aufgrund der pragmatischen Ansätze dieser Perspektive und der Nähe zur angewandten Mathematik stehen nicht die Teilprozesse, sondern der holistische Modellierungsprozess im Vordergrund. Epistemologisches oder theoretisches Modellieren stellt den Gegensatz zum re- alistischen oder angewandten Modellieren dar. Aus dieser Perspektive stehen deutlich wis- senschaftsorientierte Ziele im Fokus, sodass die Authentizität der Modellierungsprobleme dem Ziel der Entwicklung mathematischer Theorien untergeordnet wird (Greefrath et al. 2013, S. 22). Beim pädagogischen (didaktischen oder begrifflichen) Modellieren sollen Mo- dellierungsaufgaben hauptsächlich in den Lernalltag integriert werden (Brand 2014, S. 9). Die Aufgaben sind speziell für den Mathematikunterricht entwickelt und daher zwar deutlich ver- einfacht, aber möglichst realitätsnah. Durch die starke Anbindung an den Unterricht gilt: „Von größerer Bedeutung als die Authentizität der Aufgabe ist […] das Erreichen der mit den Mo- dellierungsaktivitäten verbundenen [pädagogischen oder stoffbezogenen] Ziele“ (Brand 2014, S. 10). Diese Perspektive wird vor allem dann eingenommen, wenn Lernvorgänge, wie der Erwerb von prozessbezogenen Kompetenzen oder der Ausbau des Begriffsverständnisses, un- terstützt oder neue mathematische Methoden eingeführt werden. Als bedeutende Verfechterin dieser Perspektive gilt Maaß. Weniger häufig treten soziokritisches und kontextbezogenes Mo- dellieren auf. Im Fokus des ersten liegt die Funktion der Mathematik in der Gesellschaft. Letzteres sieht in der „Organisation, Analyse und Übertragung von Bearbeitungsprozessen“ (Brand 2014, S. 10) eine zentrale Rolle von Modellierungen.⁷ Abschließend soll die von Sri- raman und Kaiser (2006) vorgestellte Meta-Perspektive auf Modellieren genannt sein. Diese ist abgegrenzt von den anderen beschriebenen Perspektiven und ist mit all diesen kombinier- bar. Hier stehen nicht die durch die mathematische Modellierung zu erreichenden Ziele im Fokus, sondern die Beschreibung und Analyse von Modellierungsaktivitäten an sich.

2.2.2 Empirische Untersuchungen zu Modellierungen und Modellierungsaufgaben

Die Frage, inwieweit Anwendungen und Modellierungen im Mathematikunterricht eingebaut werden können und wie die einzelnen Ansätze zur Umsetzung im Unterricht, wird seit Beginn der neueren Modellierungsdiskussion in den 1970er Jahren empirisch untersucht. Seit Beginn der 2000er haben der Umfang und die Bedeutung der Studien enorm zugenommen. Insbeson- dere kognitive Barrieren beim Modellieren und die Effektivität unterrichtlicher Ansätze wur- den häufig untersucht.⁸ Im Folgenden soll ein Überblick über Studien und deren Ergebnisse zum Modellieren und Modellierungsaufgaben gegeben werden. Dabei wird zuerst auf Studien eingegangen, die kognitive und affektive Aspekte beim Modellieren in den Fokus rücken. Ihre Vorstellung dient dazu, die in Abschnitt 2.2.1 erklärte Bedeutsamkeit von Modellierungen im Unterricht zu untermauern. Anschließend werden Studien zur Effektivität von Lernumge- bung, Lehrerinterventionen und adaptivem Lehrerverhalten bei Modellierungsprozessen vor- gestellt. Damit wird ein empirisch belegter Einblick in die Wirksamkeit von Modellierungs- aufgaben im Unterricht gewährt.

In den letzten Jahren deuten die Ergebnisse einer Vielzahl von Studien darauf hin, dass jeder Schritt innerhalb des Modellierungsprozesses eine mögliche kognitive Barriere für Schülerin- nen und Schüler darstellen kann. Insbesondere zu nennen sind hier Stillman et al. (2010) und Galbraith et al. (2007). Einen Überblick über die Vielzahl der Studien liefert Kaiser et al. (2011). Stillman et al. (2010) entwickeln einen Bezugsrahmen für die Analyse metakognitiverProzesse von Schülerinnen und Schülern während des Durchlaufens des Modellierungskreis- laufs. Die Analyse erfolgt bei ihnen auf drei Arten sogenannter kritischer Situationen in ma- thematischen Problemlöseprozessen, die in metakognitiven Barrieren münden:

1. Es erfolgt kein Fortschritt.
2. Fehler werden nicht erkannt.
3. Ungewöhnliche Ergebnisse entstehen.

Die Autoren weisen darauf hin, dass dies die drei Kategorien kritischer Situationen sind, auf die Lehrerinnen und Lehrer reagieren müssen, damit es nicht zum Scheitern im Modellie- rungsprozess kommt. Stillman (2011) stellt zudem einen Überblick über die metakognitiven Aspekte beim Modellieren und die Bedeutung reflektiver Aktivitäten bereit, die insbesondere während der Übergänge der einzelnen Schritte des Modellierungskreislaufs von Bedeutung sind, so z.B. die Analyse des Verlaufs der Modellierung, die Kontrolle der einzelnen Schritte und den Rückbezug auf das ursprüngliche Problem. Die bedeutsamen Rollen von Reflexion und Lernstrategien beim Modellieren werden auch in anderen Studien deutlich. Besonders zu nennen sind hier Schukajlow et al. (2010), Tanner und Jones (1993), Matos und Carreira (1997), Lesh und Doerr (2003) sowie Burkhardt und Pollak (2006).

Borromeo Ferri (2004, 2011) hat die mathematischen Denkstile und deren Einfluss auf die Modellierungsaktivitäten von Schülerinnen und Schülern untersucht. Sie kam dabei zu dem Ergebnis, dass Lernende mit „visuellem“ Denkstil verstärkt unter Bezug des realen Kontextes argumentieren, während Schülerinnen und Schüler mit „analytischem“ Denkstil häufiger Be- zug auf das mathematische Modell nehmen.

Verschiedene Studien konnten zeigen, dass der jeweils benutzte Modellierungskreislauf nur eine Idealisierung der Tätigkeiten von Modellierenden ist. Borromeo Ferri (2011) konnte zei- gen, dass Lernende zwischen einzelnen Schritten des Modellierungskreislaufs wechseln, z.B. wird bei der Validierung nochmals in das Realmodell und die getroffenen Annahmen zurück- gesprungen oder Annahmen werden dem Realmodell hinzugefügt, da ihr Fehlen bei der ma- thematischen Bearbeitung aufgefallen ist. Ähnliche Ergebnisse konnten auch Matos und Car- reira (1997) und Leiß (2007) erzielen.

Studien zur Einstellung von Schülerinnen und Schülern gegenüber der Mathematik und dem mathematischen Modellieren lieferten vor allem Vorhölter und Maaß. Vorhölter (2009) un- tersuchte die Bedeutsamkeit, die Lernende dem Bearbeiten von Modellierungsaufgaben ein- räumen. Sie konnte zeigen, dass die persönliche Sichtweise auf die Mathematik ein „nützli- ches Werkzeug“ und „Mittel der Selbstverwirklichung“ (Vorhölter 2009, S. 173) von Schüle- rinnen und Schülern sein kann. Maaß (2004) unterscheidet vier Typen von Modelliererinnen und Modellierern:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Idealtypisches Modellierungsverhalten nach Maaß (2004, S. 174).

Interventionen von Lehrkräften beim mathematischen Modellieren wurden häufig mit Hilfe der Taxonomie der Lernhilfe nach Zech (1996) untersucht.⁹ Er differenziert folgende Interventionen und verweist auf die steigende Intensität der Intervention von 1. zu 5.:

1. Motivationshilfen
2. Rückmeldehilfen
3. Allgemeinstrategische Hilfen
4. Inhaltsorientierte strategische Hilfen
5. Inhaltliche Hilfen

Daran anknüpfend fand Leiß (2007) heraus, dass strategische Hilfen kaum im Repertoire von Lehrerinnen und Lehrern enthalten sind, obwohl gerade diese Unterstützungen metakogniti- ver Aktivitäten am besten geeignet sind, um Lernenden zu helfen (Link 2011). Vor diesem Hintergrund weisen Kaiser und Stender (2013) darauf hin, dass diese Problematik bei der Ausbildung (zukünftiger) Lehrkräfte aufgegriffen werden muss. Kaiser et al. (2015) bemerken hingegen, dass bisher nicht ausreichend Studien zu der Rolle der Lehrkraft während der Be- arbeitung von Modellierungsaufgaben durch Schülerinnen und Schüler vorliegen: „So gibt es noch keine ausreichend gesicherte empirische Erkenntnisbasis dazu, wie Lehrkräfte Schüle- rinnen und Schüler bei der Überwindung kognitiver Blockaden unterstützen können und wie sie ihre metakognitiven Kompetenzen fördern können“ (Kaiser et al. 2015, S. 377).

Im Projekt DISUM (Blum und Leiß 2007) werden verschiedene Bereiche des Modellierens untersucht. So konnte die wichtige Rolle von adaptiver Unterstützung durch Lehrkräfte, die motivationale und herausfordernde Rolle von Modellierungsaufgaben im Mathematikunter- richt und das Potential von selbstständiger Arbeit in Gruppen empirisch nachgewiesen wer- den. Ähnlich wie Maaß (2004) konnte gezeigt werden, dass Modellierungskompetenzen ef- fektiv erworben werden können. Der Lernfortschritt bei kleinen Gruppen war dabei zwar sig- nifikant höher als in größeren Gruppen, dennoch war er auch dort erkennbar (Schukajlow und Blum 2011). In der Fortsetzung des DISUM Projekts wurde ein Lösungsplan eingesetzt. So konnte gezeigt werden, dass der Einsatz eines solchen positive Wirkung auf die Leistung, Einstellungen und Strategien der Teilnehmerinnen und Teilnehmer hat (Schukajlow et al. 2010, S. 773). Dass Lösungsbeispiele von Mitschülerinnen und -schülern aus dem direkten Lernumfeld gerade für Lernende mit niedrigen Modellierungskompetenzen zu Beginn eine Hilfe sein können, konnte im Projekt KOMMA (Struktur, Niveau und Entwicklung professi- oneller Kom petenzen von Erzieherinnen und Erziehern im Bereich Ma thematik) gezeigt wer- den (Zöttl et al. 2011). In diesem Zusammenhang sei hier ebenfalls auf die ersten Ergebnisse der Studie MultiMa (Multi ple Lösungen in einem selbstständigkeitsorientierten Ma thema- tikunterricht) verwiesen, die zeigen, dass tatsächlich eine Abhängigkeit zwischen der Förde- rung von verschiedenen Lösungsmethoden und der Lösungsvielfalt existiert. Während der Untersuchung zeigt sich auch, dass Schülerinnen und Schüler eine bessere Leistung im Be- reich des Modellierens entwickeln, wenn sie mehrere Lösungswege kreieren. Auch die kog- nitive Aktivität und die Selbstregulation dieser Lernenden war höher als bei solchen, die nur einen einzigen Lösungsweg erarbeiteten (Schukajlow und Krug 2013).

Zuletzt sollen hier die zwei unterschiedlichen Ansätze des Erwerbs von Modellierungskom- petenzen genannt werden. Brand (2014) vergleicht die Effektivität des holistischen (d.h. ganz- heitlichen) und atomistischen (d.h. einzelne Teile betreffenden) Ansatzes im Rahmen des ERMO (Er werb von Mo dellierungskompetenzen) Projektes. Für die Jahrgangsstufe 9 konn- ten dort unter realen Unterrichtsbedingungen festgestellt werden, dass die Modellierungskom- petenzen der Schülerinnen und Schüler gesteigert werden können, unabhängig davon, welcher der beiden Ansätze verfolgt wird (Brand 2014, S. 298). Ein relativer Vergleich des holisti- schen und atomistischen Ansatzes hat zudem gezeigt, dass die Schülerinnen und Schüler, die mit dem holistischen Ansatz geschult wurden, eine größere Leistungssteigerung in Bezug auf den gesamten Modellierungsprozess zu erkennen ist. Hingegen konnte gezeigt werden, dass Lernende, welche mit dem atomistischen Ansatz gefördert werden, einen größeren Leistungs- anstieg beim mathematischen Arbeiten verzeichnen (Brand 2014, S. 298). Weiterhin zeigte sich beim Vergleich von Schülerinnen und Schülern eines Gymnasiums mit denen einer Stadt- teilschule, dass es bei leistungsstarken keinen Unterschied macht, mit welchem der Ansätze die Modellierungskompetenzen gefördert werden. Bei eher schwachen Schülerinnen und Schülern zeigte sich hingegen, dass diese besser mit dem holistischen Lernansatz zurechtkom- men. Brand führt dies darauf zurück, dass bei holistischen Aufgaben das Selbstdifferenzie- rungspotential höher ist und die Schüler somit die Aufgaben so bearbeiten können, wie es ihr eigenes Leistungsvermögen ermöglicht (Brand 2014, S. 299–301; vgl. auch Maaß 2007, S. 19–20).

2.3 Aufgabenkultur im Fach Mathematik und Schulische Leistungsbeurteilung

„ Als Paradigma für den Prüfungscharakter der Leistungsfeststellung kann die Klausur bzw. die Klassenarbeit stehen (…). Auch wenn als Grundlage der Leis- tungsbewertung regelmäßig schriftliche Arbeiten, mündliche Beiträge und praktische Leistungen genannt sind, haben die schriftlichen Klassenarbeiten doch eine herausragende und exemplarische Bedeutung für die Leistungsfest- stellung" (Winter 2014, S. 34).

So beginnt Felix Winter das Kapitel zum Prüfungscharakter der Leistungsfeststellung. Er be- titelt die schriftliche Klausur oder Klassenarbeit als herausragend bei der allgemeinen Leis- tungsfeststellung. In diesem Kapitel soll zunächst die Aufgabenkultur im Fach Mathematik vorgestellt werden, ehe allgemeinpädagogische Ziele und Funktionen der Leistungsbeurtei- lung benannt werden und anschließend mögliche Fehler sowie einige Probleme zwischen Leistungsmessung und Aufgabenkultur erläutert werden. Während sich die Fehler ausschließ- lich auf Funktionen der schulischen Leistungsfeststellung beziehen, bezieht sich der Teil des Kapitels zu den Problemen neben diesen auch auf die Aufgabenkultur in Klassenarbeiten und Klausuren und dient somit der Vorbereitung des nächsten Kapitels.

2.3.1 Aufgabenkultur im Fach Mathematik

Aufgaben im Mathematikunterricht sind die Schnittstellen zwischen Lehrkräften und Lernen- den und somit „Kern des mathematischen Geschehens“ (Jordan et al. 2006, S. 11). Ohne Auf- gaben kann ein Mathematikunterricht also nicht stattfinden. In Lern- und Leistungssituation haben sie zwar unterschiedliche Funktionen, in den jeweiligen Situationen aber dennoch viele strukturelle Gemeinsamkeiten. Unterrichtsaufgaben, d.h. Aufgaben die zum Üben und Lernen gedacht sind, sind gerade im Mathematikunterricht entscheidend, weil Qualifikationen bzw.

Kenntnisse und Fähigkeiten hier zumeist nicht durch andere Instrumente erworben werden können. Daher sind sie -unabhängig vom Unterrichtsniveau- prägend für die Lehr-Lern-Situ- ation in Klassenzimmern und Mittel der Steuerung des Unterrichts und der Aktivitäten der Schülerinnen und Schüler (Neubrand 2002, S. 5). Brunner et al. (2006) sehen in Aufgaben die zentralsten Elemente des Mathematikunterrichtes. Da sie Träger mathematischer Inhalte sind und gleichzeitig den Umgang mit diesen bestimmen, sind sie „entscheidendes Mittel zur Steu- erung verständnisvoller Lernprozesse“ (Brunner et al. 2006, S. 55). Aufgrund der enormen Stellung von Aufgaben im Mathematikunterricht bedarf es geeigneter Aufgaben, die als „fle- xible, breit einsetzbare und aktiv steuerbare inhaltliche und didaktische Strukturierungsele- mente des Mathematikunterrichts" eingesetzt werden können“ (Neubrand et al. 2011, S. 116). Dazu muss ein breites Spektrum an Aufgaben bereitliegen, das sowohl offen gestellte als auch geschlossene Aufgaben enthält (Drüke-Noe 2014, S. 6).

Auch in Leistungssituationen haben Aufgaben im Mathematikunterricht eine besondere Stel- lung inne. Klassenarbeiten können nur mittels Aufgaben gestaltet werden. Lehrkräfte sollten daher „vor dem Hintergrund des erteilten Unterrichts und unter Beachtung gültiger rechtlicher Vorgaben jene Aufgaben für Klassenarbeiten aus[wählen] die ihrer persönlichen Einschät- zung zufolge das Leistungsspektrum ihrer Klasse adäquat abbilden […]" (Drüke-Noe 2014, S. 7). Klausur- oder Klassenarbeitsaufgaben spiegeln damit die unterrichtliche Aufgabenkul- tur wider und können als normativer Anspruch der Lehrerinnen und Lehrer an die erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten der Schülerschaft verstanden werden (Jordan et al. 2006, S. 8). Zwar werden Aufgaben in der didaktischen Diskussion in Unterrichts- und Klassenarbeitsauf- gaben unterteilt und somit in ihrer Funktion unterschieden, jedoch ist nicht eindeutig geklärt, welche Merkmale beide Typen unterscheiden. Es gibt sogar deutliche Hinweise darauf, dass Unterrichts- und Klassenarbeitsaufgaben weitestgehend identische kognitive Merkmale auf- weisen (Drüke-Noe 2014, S. 8)¹⁰.

Sowohl Unterrichts- als auch Klausuraufgaben sind durch verschiedene Einflüsse geprägt. Die jeweiligen Unterrichtsziele wirken sich, samt der von Winter vorgestellten Grunderfahrungen, auf jegliche Aufgaben aus. Auch das gewählte Schulbuch und die Erfahrungen der Lehrkraft mit diesem wirken sich auf die Aufgabenkultur aus. Besonders zu nennen sind aber sicherlich die lerntheoretischen und didaktischen Orientierungen der Lehrkräfte. Neubrand (2002) be- nennt hier drei Orientierungen: Behavioristisch, Konstruktivistisch und Kognitionspsycholo- gisch

Aufgaben, die von Lehrkräften mit behavioristischer Orientierung ausgewählt wurden, sind „weniger herausfordernde und zur aktiven Auseinandersetzung mit den Lerngegenständen auffordernde Lerngelegenheiten […] und gleichzeitig eher fehlervermeidend als konstruktiv unterstützend“ (Dubberke et al. 2008, S. 199). Konstruktivistisch orientierte Lehrkräfte stellen eher Aufgaben, die nicht nur Routinen oder wenig reflektiertes Arbeiten fördern, sondern au- thentisches Material und Entwicklung konstruktiver Lösungspläne zu komplexen und eben- falls authentischen Ausgangsproblemen vorsehen (Drüke-Noe 2014, S. 14).¹¹

Die Aufgabenkultur in der Sekundarstufe I wird vielfach als kalkülgeprägt und fertigkeitsori- entiert charakterisiert (Blum 2001; Henn und Kaiser 2001). Außer Kunter et al. (2006) gibt es dafür jedoch wenige empirische Belege. Dennoch wurde nach den Ursachen dieser Prägung geforscht. Drüke-Noe (2014, S. 23–25) stellt drei Ursachen in Lernaufgaben vor:

1. Die Erarbeitung von Verfahren und der spätere Umgang mit diesen: Der stete Versuch der Verallgemeinerung und begrifflichen Fundierung kann zur Trivialisierung von Problembereichen führen, sodass letztlich nur die Lösungsverfahren für den Problem- bereich, nicht aber die Authentizität des Problems selbst übrigbleibt. Der formale Be- reich der Mathematik wird damit quasi abgespalten und zu einem Selbstzweck (Sjuts 2007). Durch einen bewussten Wechsel auf die formale Ebene sollte vielmehr die ent- lastende Funktion von Formalisierungen herausgestellt werden.
2. Die nächste Klassenarbeit: Wie schon Winter (1975), Hefendehl-Hebeker (2004) und Blum (2001) bemängelten, ist die Leistungs- und Erfolgsorientierung im Mathematik- unterricht derart ausgeprägt, dass die Schülerinnen und Schüler oftmals nur punktge- nau für die nächste Klassenarbeit lernen.
3. Gestaltungsprobleme der Unterrichtspraxis: Um Aufgaben notfalls mechanisch und ohne die Inhalte zu verstehen lösen zu können, bedarf es solcher Kalkül behafteten Aufgaben (Wittmann 1990).

Die Folgen von zu starker Ausrichtung auf Kalküle sind schnell benannt: zu syntaktisches Vorgehen bei Kalkülen und Verfahren verhindert flexibel anwendbares Wissen sowie Prob- lemlöse- und Modellierungsprozesse (Hefendehl-Hebeker 2004). Die Schülerinnen und Schü- ler sind somit nicht fähig, in „offeneren und anspruchsvolleren Situationen bzw. bei Proble- men […] sachdienlich [zu reagieren]" (Schupp 2002, S. 43). Es entwickelt sich daher ein sehr einseitiges und sogar verfremdetes Bild von Mathematik, da nicht alle drei Grunderfahrungen nach Winter genügend berücksichtigt werden (Henn und Kaiser 2001). Das Lösen von Auf- gaben wird damit quasi auf die Auswahl der richtigen Prozedur gekürzt. Auch in Klassenar- beiten werden vermehrt Aufgaben genutzt, hinter denen ein Lösungskalkül steht. Die didak- tische Diskussion dazu verweist auf zahlreiche Parallelen zur Diskussion um Kalküle im Un- terricht. Die Forderungen, dass auch in Klausuren deutlich mehr offene Aufgaben (Blum und Wiegand 2000), mehr Anwendungsbezüge und Begründungen (Blum et al. 2005), Interpreta- tionen, Darstellungswechsel und Reflexionen (Büchter und Leuders 2014; Schupp 2002) ge- nutzt werden sollten, sind allgegenwertig. Leuders (2009, S. 285) sieht jedoch deutliche Kom- plikationen in der Bewertung solcher Aufgaben.¹²

2.3.2 Funktionen schulischer Leistungsfeststellung

Fend (2006) benennt drei verschiedene zentrale Funktionen von Schule:

- Qualifikationsfunktion
- Sozialisationsfunktion
- Selektionsfunktion

Die Selektion der Schülerinnen und Schüler erfolgt durch die Noten- und Abschlussvergabe. Auf diese Funktion und das Leistungsprinzip bezugnehmend meint Leuders (2009, S. 297): „[Schul-]Leistungen wird ein Wert zugeordnet, der gleichsam wie ein Zahlungsmittel akku- muliert und gegen das Jahrgangsziel, die Versetzung, eingetauscht werden kann." Auf Grund dessen ist es notwendig, dass die individuelle Leistung unter fairen Rahmenbedingungen ge- prüft wird (Jachmann 2003; Winter 2014). Auch Büchter und Leuders (2014, S. 179) stellen fest, dass die Selektion fundamentaler Bestandteil der Schule ist und sich somit nicht die Frage stellt, ob Lehrerinnen und Lehrer benoten bzw. bewerten sollen, sondern nur die Frage, wie dies geschieht – möglichst gerecht und transparent.

Klassenarbeiten dienen dem Nachweis des Erlernten und stellen somit eine Qualifikation dar. Sie stellen also eine Überprüfung des Lernergebnisses der Schülerinnen und Schüler dar mit dem Ziel der Vergabe von Noten als Instrument des Leistungsvergleichs und der Laufbahn- berechtigung. Diese sogenannte Qualifikationsfunktion (Bürgermeister 2014, S. 22–25) gilt neben der Rückmeldung als die wichtigste der Funktionen. Die Klassenarbeit als Rückmel- dung an den Lernenden soll Informationen über den Lernstand und gegebenenfalls über nach- zuarbeitende Rückstände der Kenntnisse geben (Bürgermeister et al. 2011, S. 29). Auch die Lehrkraft kann und sollte Erkenntnisse aus Klassenarbeiten ziehen, um an diesen Informatio- nen die Gestaltung des Unterrichts ausrichten zu können. Die Ergebnisse einer Klausur oder Klassenarbeit können jedoch auch als Evaluation des Unterrichts von Seiten der Behörden oder der Schulleitung genutzt werden (Leuders 2009, S. 297). Eine ebenfalls wesentliche Funktion von Klassenarbeiten ist die der (extrinsischen) Motivation, d.h. dem Ansporn, sich mit Dingen auseinanderzusetzen, die man nicht unbedingt freiwillig erlernt¹³ (Leuders 2009, S. 298).

Überdies gilt die Klausur als Hilfe zur Orientierung bezüglich der Lernziele. Sowohl Schüle- rinnen und Schüler als auch Lehrerinnen und Lehrer können die für das Unterrichtsvorhaben beanspruchten Ziele in den Klassenarbeiten manifestiert werden, sodass es einfacher wird, diese nicht aus dem Blick zu verlieren. Wenn die Überprüfungen zeitlich und thematisch rich- tig angesetzt werden, können sie ebenfalls als Diagnosemittel genutzt werden. Immer dann, wenn die Unterrichtsreihe nach der Klausur noch Zeit bereithält, um auf Schwierigkeiten in den Klassenarbeitsaufgaben zu reagieren, ist sie ein probates Mittel, um die Diagnose des Lernstandes von Lernenden zu präzisieren (Höttecke und Wodzinski 2015, S. 5). Letztendlich dienen Klassearbeiten und Klausuren auch immer dem Vergleich verschiedener Lernzeit- räume bzw. -gruppen und sind für die Entstehung der Endnote und der resultierenden Verset- zung (mit-)verantwortlich.¹⁴

2.3.3 Problemstellen zwischen Aufgabenkultur und Klassenarbeiten

Ingenkamp (1971) hat schon vor einigen Jahrzehnten gezeigt, dass die Vergabe von Zensuren sehr fragwürdig ist. Er konnte nachweisen, dass Noten und Abschlüsse nicht über den Klas- senraum hinweg miteinander vergleichbar sind, weil die Testgütekriterien Objektivität, Reli- abilität und Validität bei den allermeisten Klausuren und Bewertungssituationen nicht einge- halten werden können.¹⁵ Es gibt verschiede Alternativen, um diesem Problem zu begegnen, z.B. sollen Bewertungshorizonte die Objektivität erhöhen (Büchter und Leuders 2014, S. 180). Dennoch kann es zu Fehlern in der Bewertung kommen, die sicherlich auch in jedem anderen Fachunterricht auftreten können. Eine Auflistung dieser Fehler und wie sie sich in den MINT- Fächern auswirken können, liefert Höttecke (2015, S. 12–13)¹⁶. Er nennt unter anderem den bekannten Halo-Effekt, Sympathie-, Milde- und Strengefehler und Reihenfolgeneffekt. Da Ziffernnoten auf einer Ordinalskala dargestellt werden, können sie allenfalls paarweise mitei- nander verglichen werden. Selbst diese Entsprechung wird spätestens seit Ingenkamp (1971) bezweifelt wird. Auf keinen Fall kann man aber mit Ziffernoten auf dieser Ordinalskala rech- nen und etwa einen (Jahres-)Durchschnitt erstellen (Leuders 2011, S. 301).

Klassenarbeiten und Klausuren sind produktorientiert und liefern nur bedingt Informationen über den aktuellen Leistungsstand. Die Einschränkungen beziehen sich einerseits auf den Zeit- raum, andererseits über die erlernten im Gegensatz zu den geprüften Kompetenzen (Dochy 2001, S. 16). Hinzu kommt, dass gerade „Mathematikaufgaben, wie sie traditionell in Klas- senarbeiten gestellt werden, […] nach Prinzipien der Korrekturökonomie und der Quantifi- zierbarkeit konstruiert und daher vornehmlich geschlossene Aufgaben [sind]: Es gibt nur ei- nen Lösungsweg und auch nur eine als richtig akzeptierte Lösung" (Leuders 2011, S. 301). Das zeigt sich auch in Aussagen der Physikdidaktik: „Rechenaufgaben […] bieten sich für Klassenaufgaben aufgrund ihrer einfachen Korrektur besonders an, treffen jedoch nur einen kleinen Teil der relevanten Kompetenzen" (Rubitzko et al. 2015, S. 16). Klausuraufgaben zu allermeist sehr geschlossen gestellt, um eine möglichst starke Objektivität herstellen zu kön- nen. Kompetenzen, die bei der Bearbeitung von offenen Aufgaben erforderlich sind, z.B. Problemlöse- und Modellierungskompetenzen, werden daher selten in Mathematikprüfungen getestet. Daher finden sie selten Einzug in die Leistungsbeurteilung. Beurteilungen, letztlich die Klassenarbeits- und Jahresendnoten, beanspruchen aber die allgemeinen mathematischen Kompetenzen widerzuspiegeln. Daher sollte das Spektrum der Klassenarbeitsaufgaben so breit sein, dass auch die obigen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten geprüft werden. Leuders (2011, S. 300) spricht innerhalb dieser Forderung von einem ganzheitlichen Kompe- tenzmodell, das eines der Kriterien für Qualität der Leistungsbewertung darbietet. Somit ergibt sich das Dilemma, dass geschlossene Aufgaben zwar gut geeignet sind, um eine Be- wertung objektiv vorzunehmen, dadurch aber nicht alle Kompetenzen geprüft werden können, darunter auch die Teilkompetenzen des Modellierens. Auch andere Gelegenheiten für „krea- tives Tun“ (Leuders 2011, S. 300) werden somit in Klassenarbeiten vernachlässigt, weil neben den fachlichen Kompetenzen die prozessbezogenen Kompetenzen (etwa Argumentieren, Problemlösen, aber auch nicht genau definierte Kompetenzen, wie reflexive Leistungen) wei- testgehend ignoriert werden (Leuders 2011, S. 302).

Zusammenfassen lassen sich die Problemstellen wie folgt: Der neuen Lernkultur (Winter 2014) stehen die Kriterien der altbewährten Leistungsbeurteilung gegenüber:

„ die traditionellen Funktionen und Verfahren der schulischen Leistungsbeurteilung [sind] mit den gesellschaftlichen Anforderungen an institutionelles Lernen sowie neue Lern- und Bildungskonzepten nicht mehr kompatibel" (Maier 2010, S. 294).

2.4 Bewertung von Modellierungsaufgaben

Zensuren prägen den Schulalltag. Zwar gibt es Entwicklungen zu einem offeneren Unterricht, doch trotz dieser Tendenz bleibt die derzeitige Praxis der Bewertungs- und Zeugnisregelungen ein weitgehendes Spiegelbild des engen Begriffs unseres Leistungsverständnisses. Die Leis- tungsbewertung ist fast ausschließlich auf fachliche, inhaltliche, kognitive und individuelle Leistungen beschränkt. Eine Bewertung von anderen Leistungen, z.B. von Modellierungsauf- gaben, wäre somit auch ein Beitrag zu einer präziseren und gerechten Leistungsbeurteilung, weil „bisher weitestgehend brachliegende Begabungen und Fähigkeiten berücksichtigt [wer- den] und keinem eindimensionalen kognitiv-wissensorientierten Denk- und Handlungsmuster [ge]folgt wird" (Bohl 2015, S. 46). Dennoch müssen Noten in deutschen Schulen vergeben werden und sind festgelegte Aufgabe von Lehrerinnen und Lehrern. Auch Schülerinnen und Schüler sind (vermutlich aus Gewohnheit) daran interessiert, dass es weiterhin Noten gibt (Bürgermeister 2014, S. 40). Wie lassen sich also die beiden Aspekte offene Aufgaben und Leistungsbeurteilung mit Noten in Einklang bringen? Im Folgenden sollen Formate zur Beur- teilung von Schülerleistungen bei offenen Aufgaben vorgestellt werden und dabei allgemeine Überlegungen zu den Beurteilungskriterien angestellt werden. Anschließend wird ein Über- blick über bisherige Bewertungsschemata und deren Ausführung gegeben.

2.4.1 Formate zur Beurteilung von Schülerlösungen zu offenen Aufgaben

Offene Aufgaben sind fest in internationalen Vergleichsstudien wie PISA und TIMSS veran- kert und in nationalen Curricula und Lehrplänen zentraler Bestandteil. Auch Universitäten suchen nach adäquaten Bewertungsoptionen für anwendungs- und modellierungsorientierte Vorlesungen. Kurzum: In allen Bildungsebenen gibt es einen Anstieg modellierungsbasierter Aspekte, wie Modellierungsprojekte oder die verstärkte Ausrichtung auf Modellierungsakti- vitäten (Galbraith 2007). Genau hier tritt aber das Problem hervor: Bis heute wird in der ma- thematikdidaktischen Forschung noch immer über das Format und die Durchführung dieser Leistungsmessung diskutiert. Bohl (2015, S. 44) vertritt sogar die These, dass „mit traditio- nellen Formen der Leistungsbewertung (Klassenarbeiten, Tests, mündliche Noten) […] Kom- petenzen eines erweiterten Lernbegriffs nicht überprüfbar [sind]." Winter (2014) hingegen macht vielfältige Vorschläge an alternativen Bewertungsmethoden, darunter Leuders (2011, S. 299) ¹⁷ erweitert diese Liste noch spezifisch im Fach Mathematik um eine Bewertung durch eine Facharbeit. Reit (2015, S. 34) nennt zusätzlich die Podiumsdiskussion. All diese Möglichkeiten lassen sich unter dem Begriff formative Leistungsbeurteilung zusam- menfassen. Bei dieser soll der jeweils aktuelle Leistungsstand zurückgemeldet werden und eine Endnote ergibt sich immer aus dem kompletten Arbeitsprozess (Bürgermeister 2014, S. 42–51). Die formative Leistungsbeurteilung hat bisher aber sehr wenig Eingang in das deut- sche Schulsystem gefunden, sodass noch immer eine große Lücke zwischen aktueller Schul- bewertungspraxis und Anforderungen durch Modellierungs- bzw. offene Aufgaben klafft.

- Portfolio,
- Lernkontrakte,
- Prozessbewertung,
- Selbstbewertung, wechselseitige Bewertung und beauftragte Bewertung,
- Lerntagebücher .

Hier wird deutlich: Bewertungsschemata, die tatsächlich auch Anwendung in Schule (und Hochschule) finden sollen, um Lernenden ein nachvollziehbares Feedback über ihre Arbeit geben zu können, müssen bestimmte Maßstäbe erfüllen. Reit meint daher:

„ So sollte der Fokus neben der Validität des Instruments einerseits auf einer einfachen Anwendbarkeit auf Seiten des Bewertenden und andererseits auf einer verständlichen und objektiven Bewertung für den Bewerteten liegen." (Reit 2015, S. 35).

Diese Maßstäbe müssen erfüllt werden, weil eine adäquate Leistungsbeurteilung von der Bil- dungspolitik gefordert wird. Außerdem weist Maaß (2007, S. 40) darauf hin, dass Modellie-rungsaufgaben keinen tatsächlichen Eingang in die Schule finden, wenn sie nicht ernst ge- nommen werden. Schülerinnen und Schüler, aber auch Lehrende, müssen also wissen, dass Modellierungsprozesse „wesentlicher Bestandteil ihrer Ausbildung, auch im Sinne der Noten- relevanz [sind]“ (Reit 2015, S. 34). Niss (1993, S. 43) hat diese Thematik plakativ mit der Aussage „ What you asses is what you get“ zusammengefasst.

2.4.2 Empirische Befunde und Bewertungsschemata zu Modellierungen

Eine Dokumentenanalyse von 706 ICTMA und CERME- Artikeln durch Frejd (2013, S. 425) hat gezeigt, dass 76 dieser Aufsätze im Zusammenhang mit Bewertungsmethoden im Bereich des mathematischen Modellierens liegen. Fast jeder dritte dieser Artikel beinhaltete die Be- wertung anhand von Multiple-Choice-Fragen, die einem von Haines et al. (2000) entwickelten Instrument entstammen. Ihre Intention war es, eine Methode zu entwickeln, die alle Schritte einer Modellierung bewertet, sodass die jeweiligen Fertigkeiten identifiziert werden können (Haines et al. 2000, S. 3).¹⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Beispielitem von Haines et al. (2000, S. 3).

Dieses Instrument ist zwar weit verbreitet, jedoch nicht kritikfrei. Frejd und Ärlebäck (2011, S. 415) bemängeln, dass durch die Multiple-Choice-Fragen kein komplettes Modellierungs- problem gelöst wird und so wichtige Aspekte des Modellierens fehlen.

Die ersten Beiträge zur Bewertung von Modellierungsaufgaben liegen deutlich weiter zurück und sind bei Hall (1984) und Berry und La Masurier (1984) zu finden. Halls Vorschlag war es, Modellierungsprozesse holistisch, also eine Aufgabe betreffend, in der alle benutzten Teil- kompetenzen gebraucht werden, zu bewerten. Dennoch sollten die einzelnen Phasen eines Modellierungskreislaufs berücksichtigt werden. Sein Bewertungsschema teilte die jeweils vorliegende Lösung in Content, Presentation und Drive ein. Beim Content sollten die techni- schen Aspekte des Modellierenden einfließen, wohingegen in der Presentation die Verschrift- lichung des Modellierungsprojektes beurteilt werden sollte. Im Bereich des Drive wurde letzt- endlich die Originalität und das kreative Management der Modellierung bewertet werden. Um die Endnote zu berechnen, sollte eine multiplikative Verknüpfung dienen (Hall 1984, S. 146), da Hall der Meinung war, dass die gesamte Arbeit nicht gelingen könne, wenn einer der Teil- bereiche nicht ausreichend gut bearbeitet wurde. Reit überlegte dazu in Anlehnung an Hous- ton (2007, S. 251), ob nicht genau diese Tatsache dazu geführt habe, dass sich das Bewer- tungsmodell nicht durchgesetzt hat. Ihr eigener Vorschlag war diesbezüglich eine „partiell monotone Funktion, welche den Zusammenhang zwischen Punkten und Note abbildet“ (Reit 2015, S. 34).

[...]

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¹ Hier wird der Modellierungskreislauf von Maaß (2005) beschrieben. Für eine graphische Darstellung siehe Abb. 1

² Einen Überblick über verschiedene Kreisläufe mit unterschiedlichen Stufen des Mathematisierens gibt Greefrath et al. 2013, 14ff.

³ Da die vorliegende empirische Erhebung in Nordrhein-Westfalen durchgeführt wird, soll auch der nordrhein- westfälische Kernlehrplan als Grundlage dienen.

⁴ Zur Diskussion über die Vollständigkeit siehe Kaiser et al. 2015.

⁵ Zum Relevanzparadoxon siehe Maaß 2004, S. 9.

⁶ Für einen Überblick siehe aber auch Borromeo Ferri 2011; Kaiser et al. 2015; Greefrath et al. 2013.

⁷ Vgl. dazu Modelling-Eliciting-Activities (MEA) von Lesh und Doerr 2003.

⁸ Die Untersuchungen sind besonders im Zusammenhang mit PISA 2000 und dem Wechsel von der sog. Input - zur Outputorientierung im Mathematikunterricht zu sehen.

⁹ Zech 1996 erstellte diese Taxonomie im Rahmen von mathematischen Problemlöseprozessen.

¹⁰ Zu dieser (allgemeinpädagogischen) Thematik siehe auch Terhart et al. 2009

¹¹ Da sich die kognitionspsychologische Orientierung wesentlich auf den Prozess der Erkenntnisgewinnung be- zieht, wird sie hier nicht weiter thematisiert.

¹² Die Komplikationen werden in Kapitel 2.3.3 näher erläutert.

¹³ Zweifelsohne gibt es eine große Debatte über intrinsische und extrinsische Motivation in der Schule, welche hier aber nicht weiter aufgegriffen werden soll. Festzuhalten bleibt aber, dass die Klausur aber sicherlich auch einen Bereich der Sozialisationsfunktion von Schulen darstellt.

¹⁴ Wie unschwer zu erkennen ist, sind Klassenarbeiten und Klausuren ein Mehrzweckinstrument mit sehr starker institutioneller Verankerung (Flechsig und Haller 1988, S. 36). Es bleibt weiterhin eine Frage des überfachlichen Diskurses, inwieweit Klassenarbeiten und Klausuren alle Funktionen und Ziele erreichen.

¹⁵ Zur Untersuchung der Gütekriterien schriftlicher Arbeiten siehe Ingenkamp und Lissmann 2008, S. 142–155. Dort ist einsehbar, dass, entgegen der allgemeinen Erwartung, Klassenarbeiten im Fach Mathematik höhere Be- wertungsunterschiede aufweisen als in den Fächer Deutsch, Geschichte und Englisch.

¹⁶ Die Fehlertypen in der Leitungsbeurteilung sollen hier nur am Rande erwähnt werden. Für die weitere Arbeit spielen sie keine Rolle.

¹⁷ Leuders bietet außerdem einen Überblick über Aufgabentypen, die einen anderen Bewertungsstil als den gän- gigen verlangen. Darunter fallen differenzierende Aufgaben, prozessorientierte Aufgaben und Diagnoseaufga- ben. Die differenzierenden Aufgaben werden dort nochmal in gestufte Aufgaben, optionale Teilaufgaben und methodenoffene Aufgaben unterschieden. Prozessorientierte Aufgaben unterteilen sich in offene Aufgaben mit komplexen Kontexten und strategische Aufgaben. Die Diagnoseaufgaben sollen hier nicht weiter von Bedeutung sein.

¹⁸ Der Methode lag der Modellierungskreislauf von Galbraith und Haines 1997, S. 78 zugrunde.