Darf's ein bisschen "mehr" sein? Erwachsene zwischen Textaufgaben und numerisch-räumlichem Vorstellungsvermögen


Masterarbeit, 2018
57 Seiten, Note: 1,2

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Tabellen- & Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretischer Hintergrund
2.1 Mathematische Textaufgaben
2.1.1 Definition und Anwendung
2.1.2 Textaufgaben als Problemlöseprozess
2.1.3 Schwierigkeiten bei der Bearbeitung
2.2 Numerisch-räumliches Vorstellungsvermögen
2.2.1 Begriffsklärung und Erscheinungsformen
2.2.2 Mentale Repräsentation von Zahlen
2.2.3 Berührungspunkte zwischen Raumvorstellung und Textaufgaben

3. Forschungsziel

4. Methode
4.1 Stichprobe
4.2 Material
4.2.1 Textaufgaben
4.2.2 Numerisch-räumlicher Vorstellungstest
4.3 Durchführung
4.4 Datenanalyse

5. Ergebnisse

6. Diskussion

7. Literaturverzeichnis

8. Anhang

Danksagung

„If you can dream it, you can do it.“– Walt Disney

An dieser Stelle möchte ich bei allen bedanken, die mich während der Anfertigung dieser Arbeit unterstützt haben.

Zuerst gilt mein Dank Frau Dr. Silvia Pixner, die meine Masterarbeit betreut und be- gutachtet hat. Für die hilfreichen Anregungen und die Chance neue Themengebiete selbstständig zu erkunden möchte ich mich herzlich bedanken.

Ein besonderer Dank gilt meiner Freundin Daniela und meinem Hund Louie, die mich auf dem Weg durch das Studium begleitet haben. Ein weiteres Dankeschön geht an Marion Großmann für das Korrekturlesen der Arbeit. Letztlich möchte ich meinen Dank meinen Eltern ausdrücken, die mich stets ermutigt haben, an mich zu glauben.

Marco Müller, im Juni 2018

Zusammenfassung

Mathematische Textaufgaben sind die häufigste Problemstellung im Unterricht und bereiten Kindern oftmals Schwierigkeiten. Ziel dieser Untersuchung war es herauszu- finden, ob Erwachsene Fehler bei der Bearbeitung von Textaufgaben machen und wie korrektes Lösen mit numerisch-räumlichen Vorstellungsvermögen zusammen- hängt. Hierzu wurden 31 Studierenden 32 Textaufgaben aus vier verschiedenen Be- dingungen dargeboten, die zur Hälfte reale Begriffe (z.B. „spitze Bleistifte“) und zur anderen Hälfte irreale Begriffe (z.B. „salzige Stundenpläne“) enthielten. Zudem wur- de ein Test zur numerisch-räumlichen Vorstellung durchgeführt. Die Ergebnisse wur- den mithilfe einer Pearson-Korrelation und einer 4 x 2 ANOVA mit Messwiederholung ausgewertet. Es ergab sich kein signifikanter Zusammenhang zwischen Textaufga- ben und numerischer Raumvorstellung. Erwachsene hatten die meisten Probleme mit Aufgaben, in denen der Ausdruck „mehr“ verwendet wurde. Ob die Begriffe real oder irreal konstruiert waren, spielte hingegen keine Rolle. Vor dem Hintergrund der Ergebnisse werden Implikationen und Vorschläge für zukünftige Studien diskutiert.

Schlüsselwörter: Textaufgaben, Raumvorstellung, mentale Repräsentationen, nume- risch-räumliches Vorstellungsvermögen

Abstract

Mathematical word problems are the most common problem in class and often cause difficulties for children. The aim of this study was to find out whether adults make mistakes in the processing of word problems and how correct solving is related to numerical-spatial imagination. For this purpose 31 students were offered 32 word problems from four different conditions, of which one half containded real terms (e.g. „sharpened pencils“) and the other half containded unreal terms (e.g. „salty schedules“). A test for numerical-spatial imagination was presented in addition. The results were analyzed using a pearson-correlation and a 4 x 2 repeated measures ANOVA. There was no significant correlation between word problems and numerical- spatial imagination. Adults showed the most problems with tasks containing the phrase "more", whether the terms were real or unreal was not important. Based on the results implications and suggestions for future studies are discussed.

keywords: word problems, spatial ability, mental representations, numerical-spatial imagination

Tabellen- & Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Modellierungskreislauf von Blum & Leiß (2005) in Anlehnung an Schneeberger (2009)

Abbildung 2: Beispiel einer „mehr“-Aufgabe (real) aus dem PC-Experiment

Abbildung 3: Raumskizze zum numerisch-räumlichen Vorstellungsvermögen

Abbildung 4: Auswertung eines Items des Raumvorstellungstests

Abbildung 5: Mittelwerte und Standardfehler der vier Aufgabenbedingungen

Abbildung 6: Mittelwerte und Standardfehler der Faktorstufen „real“ und „irreal“

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Problemtypen von Textaufgaben (Stern, 1992)

Tabelle 2: Aufgabenbedingungen der verwendeten Textaufgaben

Tabelle 3: Pearson-Korrelationsmatrix der einzelnen Variablen

Tabelle 4: Paarweise Vergleiche für die vier Aufgabenbedingungen

1. Einleitung

Seit der Etablierung des Buchdrucks im 16. Jahrhundert gehören Textaufgaben hier- zulande zum festen Bestandteil des mathematischen Curriculums (Reusser, 1997). Mathematische Textaufgaben sind heute die häufigste Form von Problemstellungen im Schulunterricht (Jonassen, 2003). Als Teil der Grundbildung tragen sie zur Er- schließung des praktischen Nutzens der Mathematik bei (TU München, 2018). Trotz der häufigen Anwendung zeigen viele Kinder Schwierigkeiten bei der Bearbeitung (Schneeberger, 2009). Diese äußern sich in einem fehlerhaften mentalen Modell der Aufgabensituation z.B. aufgrund unbekannter Begriffe, irrelevanter Informationen oder Irritationen durch die Begriffe „mehr“ oder „weniger“ (Dresen, 2016; Gander, 2017; Reusser, 1997; Stern, 1992; Wilhelm, 2016). Ferner gibt es in der Literatur Hinweise dafür, dass die Förderung numerisch-räumlicher bzw. räumlicher Fähigkei- ten mathematische Leistungen verbessern kann (Ansari & Dhital, 2006; Chen et al., 2006; Handl, 2009; Meyer, Salimpoor, Wu, Geary & Menon, 2010; Obersteiner, 2009). Diese Zusammenhänge sind bisher jedoch zu wenig differenziert untersucht worden (Obersteiner, 2012). Insbesondere für den Bereich der Textaufgaben besteht immenser Forschungsbedarf.

Im Rahmen der vorliegenden Masterarbeit soll überprüft werden, ob erwachsene, geübte Rechner ähnliche Probleme bei der Bearbeitung von Textaufgaben zeigen wie Kinder. Darüber hinaus soll untersucht werden, ob Erwachsene, die Textaufga- ben besser lösen, auch ein besseres numerisch-räumliches Vorstellungsvermögen aufweisen. Zunächst werden hierzu die theoretischen Grundlagen und Forschungs- fragen beschrieben. Im Anschluss an die Darstellung der Methodik werden die Er- gebnisse berichtet und kritisch diskutiert.

2. Theoretischer Hintergrund

2.1 Mathematische Textaufgaben

2.1.1 Definition und Anwendung

Eine allgemeingültige Definition darüber, was Textaufgaben sind, existiert zum jetzi- gen Zeitpunkt nicht. In der Literatur wird häufig auf die Definition von Verschaffel, Greer & De Corte (2000) zurückgegriffen, in der Textaufgaben („word problems“) beschrieben werden als: “verbal descriptions of problem situations wherein one or more questions are raised the answer to which can be obtained by the application of mathematical operations to numerical data available in the problem statement” (Ver- schaffel et al., 2000, S. ix).

Mathematische Textaufgaben werden dem Bereich des Sachrechnens zugeord- net. Schneeberger (2009) differenziert je nach Gewichtung des Kontextbezugs zwi- schen drei Arten von mathematischen Textaufgaben: Eingekleidete Aufgaben, Sach- aufgaben und Textaufgaben, wobei die Übergänge zwischen den Aufgabenarten fließend sind. Eingekleidete Aufgaben dienen in erster Linie dem Anwenden und Festigen mathematischer Rechenverfahren und Begriffe, welche meist auf Anhieb durch Signalwörter ersichtlich sind. Der verwendete Sachkontext ist einfach gehalten, beliebig austauschbar und für die Aufgabenlösung unerheblich (Franke, 2003). Die Hauptaufgabe besteht im Lesen des Aufgabentextes und der anschließenden Be- rechnung der Lösung. Mathematische Textaufgaben lassen sich als Bindeglied zwi- schen eingekleideten Aufgaben und Sachaufgaben verorten. Die dargebotene Situa- tion ist realitätsnäher als bei eingekleideten Aufgaben, jedoch immer noch stark ver- einfacht dargestellt (Schneeberger, 2009). Sachaufgaben betonen zusätzlich den Realitätsbezug der Problemstellungen und haben einen eher umwelterschließenden, induktiv-entdeckenden Charakter (Schneeberger, 2009).

Durch das Anwenden von Textaufgaben können sowohl erworbene mathemati- sche Kenntnisse überprüft, als auch neue Konzepte eingeübt werden (Reusser, 1997; Verschaffel et al., 2000). Textaufgaben unterstützen zudem die Anwendung mathematischen Wissens auf außerschulische Problemsituationen (Stern, 1997). Kinder können auf diese Weise erfahren, dass mathematische Kenntnisse nützlich für das spätere Leben sein können (Verschaffel et al., 2000). Dies zeigt sich z.B. beim Lesen von Fahrplänen, Überprüfen von Wechselgeld oder dem Vergleich von Angeboten.

Neben der didaktischen Relevanz von Textaufgaben sind diese für die Lern- und Entwicklungspsychologie zu einem interessanten Untersuchungsgegenstand gewor- den. Textaufgaben eignen sich durch die Kombination sprachlicher und mathemati- scher Bestandteile zur Erforschung komplexer, kognitiver Verstehens- und Prob- lemlöseprozesse (Reusser, 1997; Schneeberger 2009). In der Regel haben Textauf- gaben eindeutige Lösungen, wodurch sich eine hohe Auswertungsobjektivität ergibt.

Zudem können die Schwierigkeitsgrade von Textaufgaben beliebig variiert und an die jeweilige Stichprobe angepasst werden (Stern, 1998).

2.1.2 Textaufgaben als Problemlöseprozess

Das Lösen von Textaufgaben stellt einen anspruchsvollen Problemlöseprozess dar, sofern es sich nicht um sehr simple Aufgaben handelt. Kern dieses Prozesses ist die Bildung eines mentalen Modells der Aufgabensituation (Schneeberger, 2009). Inner- halb dieser Modellbildung kommt es zu einem Wechselspiel zwischen verschiedenen „bottom-up“- bzw. „top-down“-Phasen, in dem gegebene Informationen entschlüsselt und neue Informationen generiert und weiterverarbeitet werden (Wilhelm, 2016). Häufig wird dies in Form von idealtypischen Modellierungskreisläufen dargestellt. Durch vereinfachte Schemata soll der Versuch unternommen werden die komplexe Beziehung zwischen Mathematik und realer Welt abzubilden (Schneeberger, 2009). Ein vielzitierter Modellierungskreislauf stammt von Blum & Leiß (2005) und ist in Ab- bildung 1 zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Modellierungskreislauf von Blum & Leiß (2005) in Anlehnung an Schneeberger (2009).

Zu Beginn werden die Lernenden mit der Textaufgabe in einer realen Situation, z.B. im Unterricht konfrontiert (Realsituation). Der erste Schritt besteht darin, die gegebe- ne Aufgabe zu lesen und zu verstehen, wofür es entsprechende Sprachkenntnisse und Lesetechniken bedarf. Neben dem Lesen von separaten Wörtern und einzelnen Sätzen muss eine globale, kohärente Repräsentation der Bedeutung des Textes ge- neriert werden (Richter & Christmann, 2009). Dabei ist Lesen als aktiver, konstrukti- ver Informationsprozess aufzufassen, bei dem der Text in Wechselwirkung mit dem Vorwissen des Lesers eine sinnhafte Bedeutung erfährt (Hohm, 2005; Reusser, 1997). Durch diesen Verstehensprozess entsteht das sogenannte Situationsmodell, eine erste Vorstellung der Problemsituation, welche im zweiten Schritt durch die Ler- nenden vereinfacht und strukturiert wird. Die für die weitere Bearbeitung wichtigen Informationen werden herausgefiltert. Hier wird bereits deutlich, dass die Modellkon- struktion ein subjektiver, kreativer Akt ist, da nur die relevanten Eigenschaften aus- gewählt werden, die für die weitere Aufgabenbearbeitung nützlich sind (Schneeber- ger, 2009). Im nächsten Schritt werden die Beziehungen zwischen den Größen in den Aufgaben in eine formale mathematische Sprache überführt (Mathematisches Modell). Mit diesem mathematischen Modell wird mittels geläufiger Rechenverfahren eine Lösung berechnet (Mathematisches Resultat). Die gewonnenen Erkenntnisse werden an der Ausgangssituation, also in der realen Welt, auf Sinnhaftigkeit über- prüft (Reales Resultat). Es werden alternative Lösungsstrategien verglichen und be- wertet. Sollte es zu Abweichungen oder Widersprüchen kommen, können Schritte der Modellbildung angepasst und hierzu auch mehrmals durchlaufen werden (Wil- helm, 2016). Der letzte Schritt hat eine eher didaktische Funktion: Die gefundene Lösung bzw. der Bearbeitungsweg werden nachvollziehbar dokumentiert und der Lehrperson erläutert (Schneeberger, 2009).

2.1.3 Schwierigkeiten bei der Bearbeitung

Textaufgaben werden im Vergleich zu isomorphen mathematischen Aufgaben, die in rein numerischer Form gestellt werden, um bis zu 30 Prozent schlechter gelöst (Car- penter, Corbitt, Kepner, Lindquist & Reys, 1980). Beim Anblick der zahlreichen betei- ligten Fähigkeiten ist es nicht verwunderlich, dass viele Kinder Schwierigkeiten bei der Bearbeitung zeigen. Ballew & Cunningham (1982) untersuchten in einer Studie 217 Schülerinnen und Schüler der 6. Klasse hinsichtlich der gemachten Fehler in Textaufgaben. Dazu überprüften sie die jeweiligen Kompetenzen in den Bereichen Lesen, Rechnen, Modellierung und Integration der Bestandteile zu einer Lösung. Dabei zeigte sich, dass nur etwa 10% aller Schülerinnen und Schüler Schwierigkei- ten in allen Bereichen hatten. Vielmehr wiesen die meisten Probleme in einem spezi- fischen Teilbereich auf. Ferner ergab sich, dass selbst das Beherrschen der einzel- nen Teilfertigkeiten nicht zwangsläufig zu einer korrekten Lösung führte.

Die Lesefähigkeit nimmt im Bearbeitungsprozess von Textaufgaben eine tragen- de Rolle ein (Schneeberger, 2009; Wilhelm, 2016). Bereits mangelnde Kenntnisse der in der Textaufgabe verwendeten Sprache können sich in einem beeinträchtigten Verständnis niederschlagen (Wilhelm, 2016). Werden in einer Aufgabe z.B. unbe- kannte bzw. ungebräuchliche Wörter verwendet, sind weniger kognitive Ressourcen für höhergelegene Verstehensprozesse verfügbar (Dresen, 2016; Irwin, 2007). Be- reits wenige unbekannte Inhaltswörter können dazu führen, dass fehlerhafte Hypo- thesen über die Gesamtbedeutung des Textes aufgestellt werden. Dies führt letztlich zu falschen mentalen Repräsentationen und zu falschen Lösungen (Boonen, van Wesel, Jolles & van der Schoot, 2014; Wilhelm, 2016). Demgegenüber kann der Ein- satz bekannter Begriffe das Bearbeiten erleichtern. Stern (1992) konnte belegen, dass die Verwendung geläufiger Namen und Objekte zu besseren Leistungen bei Kindern führte. Die kognitive Verfügbarkeit vertrauter Begriffe führt zu einer stärkeren Aktivierung, was vor allem leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zu Gu- te kommen kann (Stern, 1998). In einer Studie von Gander (2017) konnte gezeigt werden, dass Kinder Aufgaben mit Begriffen aus ihrem Kontext (z.B. „Legosteine“) signifikant schneller lösten als Aufgaben mit Begriffen, die nicht aus ihrem Kontext („z.B. Ratenzahlung“) stammten. Auch Chipman, Marshall & Scott (1991) fanden in ihrer Studie Hinweise dafür, dass die persönliche Vertrautheit mit dem Aufgabenin- halt die Lösung von Textaufgaben beeinflusst. Die Autoren zeigten den Probanden entweder Aufgaben mit maskulinen, femininen, neutral vertrautem oder neutral un- vertrautem Kontext. Hinsichtlich maskuliner bzw. femininer Inhalte konnte kein Effekt nachgewiesen werden, hinsichtlich neutral vertrautem Kontext wurde allerdings ein hoch signifikanter, jedoch geringer Effekt sichtbar. Bereits geringfügige Änderungen am Aufgabentext können die Schwierigkeit einer Aufgabe stark beeinflussen (Reus- ser, 1997). Dazu zählen auch kontextuelle Einflüsse wie Muttersprache, Zeitdruck oder persönliche Vertrautheit mit dem Aufgabenmaterial (Sternberg, 2001).

Meist werden Textaufgaben inhaltlich stark verdichtet präsentiert. Die in der Auf- gabe enthaltenen Informationen müssen zuerst aufgeschlüsselt werden. Dies kann als kognitiv belastend erlebt werden und zu einer falschen Interpretation des Aufga- beninhalts führen (Wilhelm, 2016). Die Fähigkeit zwischen relevanten und irrelevan- ten Informationen zu differenzieren spielt eine wichtige Rolle (Hegarty, Mayer & Monk, 1995; Low, Over, Doolan & Michell, 1994). Erfolgreiche Löser lassen sich we- niger von irrelevanten Informationen ablenken (Low et al., 1994). Auch die Reihen- folge der dargebotenen Informationen kann das Lösungsverhalten beeinflussen: Wird die Fragestellung der Aufgabe zu Beginn präsentiert, kann dies als leichter empfun- den werden (Stern, 1998). Ebenso können Textaufgaben mit größeren Zahlen oder mehreren Rechenschritten durch die stärkere Beanspruchung des Arbeitsgedächt- nisses zu Rechenfehlern führen (Stern, 1998). Mangelnde Rechenkenntnisse können sich negativ auswirken, da das Arbeitsgedächtnisses dann vor allem durch den Re- chenvorgang ausgelastet wird (Rasch, 2009). Cummins (1991) konnte zeigen, dass einem Großteil der Kinder zu einer fehlerhaften Lösung gelangen, weil sie falsche Rechenoperationen wählen. So wählten Kinder die Addition, wenn tatsächlich die Subtraktion erforderlich gewesen wäre. Häufig wurde eine Zahl willkürlich aus der Aufgabe entnommen und als Lösung benannt. Als Erklärung ist die Nutzung einer globalen Heuristik denkbar, durch die die erlebte kognitive Belastung reduziert wer- den soll. Die Auswahl einer beliebigen Zahl führt dazu, dass die Aufgabe schnell ad acta gelegt werden kann.

Angelehnt an die Typologie von Riley, Greeno & Heller (1983) teilt Stern (1992) Textaufgaben in drei grundsätzliche Problemtypen auf: Kombinationsaufgaben, Aus- tauschaufgaben und Vergleichsaufgaben. Kombinations- und Austauschaufgaben sind dabei leichter zu lösen als Vergleichsaufgaben (Stern, 1992). Beispiele für die jeweiligen Problemtypen sind in Tabelle 1 ersichtlich.

Tabelle 1: Problemtypen von Textaufgaben (Stern, 1992)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kombinations- und Austauschaufgaben können durch intuitive und handlungsnahe Zählprinzipien bearbeitet werden, während bei Vergleichsaufgaben diese Prinzipien nicht ausreichen (Schneeberger, 2009). Der Aufbau eines abstrakten, mentalen Problemmodells ist neben der Verinnerlichung des Teil-Ganzes-Prinzips Vorausset- zung, um Vergleichsaufgaben korrekt zu lösen (Riley et al., 1983). Aufgaben mit un- bekannter Startmenge (z.B. „ X – 5 = 12“) sind darüber hinaus schwieriger zu lösen als Aufgaben mit unbekannter Endmenge (Stern, 1992). Mathematische Ausdrücke wie z.B. „mehr“ oder „weniger“ werden häufig missverstanden oder überlesen, was sich darin zeigt, dass Aufgabenstellungen wie „Peter hat drei Äpfel mehr als Jana“ als „Peter hat drei Äpfel“ interpretiert werden (Cummins, 1991). Wenn die Verwen- dung von „mehr“ bzw. „weniger“ gegensätzlich zur erforderlichen Rechenoperation ist, führt dies ebenfalls zu fehlerhaften Berechnungen (Dresen, 2016).

Viele Kinder suchen den Text nur nach oberflächlichen Merkmalen ab, ohne den Lösungsvorgang als „Verstehensprozess“ zu begreifen (Franke, 2003). Sichtbar wird dies insbesondere bei sogenannten „Kapitänsaufgaben“. Kinder durchforsten dabei oft den Aufgabentext nur nach Signalwörtern („keys“ bzw. „verbal cues“), die direkt auf die Rechenschritte verweisen (Baruk, 1989; Selter, 1994). Paige & Simon (1966) konnten nachweisen, dass selbst Erwachsene häufig nach diesen Signalwörtern su- chen. Einige Mathematikdidaktiker sehen die Ursache für dieses Verhalten in der Kultur des Mathematikunterrichts, speziell in den verinnerlichten Annahmen über Textaufgaben, wie z.B. „Jede Textaufgabe hat eine Lösung“ (Winter, 1992). Kinder zeigen folglich das Verhalten, von dem sie glauben, dass es von der Lehrperson bzw. -situation erwartet wird. Hegarty et al. (1995) konnten feststellen, dass das blo- ße Herausziehen von Schlüsselwörtern und Zahlen aus einer Textaufgabe zu mehr Fehlern bei der Bearbeitung von Textaufgaben führte. Im Gegensatz dazu bauten erfolgreiche Problemlöser ein reichhaltiges und adäquates mentales Modell der Auf- gabe auf. Erfolgreiche Löser wussten zwar weniger über exakte Begrifflichkeiten, jedoch waren ihnen die Relationen zwischen den Variablen besser bekannt (Hegarty et al., 1995). Sie generierten abstrahierte, räumliche Beziehungsanordnungen („schematic imagery“ bzw. „pattern imagery“) statt sich die exakten Details der ein- zelnen Elemente der Aufgabe zu merken („visual imagery“ bzw. „pictorial imagery“) (Hegarty & Kozhevnikov, 1999).

2.2 Numerisch-räumliches Vorstellungsvermögen

2.2.1 Begriffsklärung und Erscheinungsformen

Die Fähigkeit zur numerisch-räumlichen Vorstellung kann in unserem Alltag insbe- sondere beim Abschätzen von Zeit und Geldeinheiten sowie bei der Abwägung von Geschwindigkeiten und Entfernungen im Straßenverkehr hilfreich sein. Auch beim Überschlagen von spezifischen Objektgrößen, wie z.B. der Länge, dem Gewicht oder dem Volumen von Gegenständen spielt es eine wichtige Rolle. Die flexible Vorstel- lung und Anwendung von Zahlen im Raum dient als Orientierungsmittel und prakti- sches Werkzeug zur Erschließung unserer Umwelt (Loibl, 2000). Personen, die z.B. in den Naturwissenschaften, der Architektur oder Mechanik tätig sind, entwickeln in- tuitive und präzise numerisch-räumliche Vorstellungen von Objekteigenschaften und -konfigurationen. Sie nehmen mentale Rotationen einzelner Teile vor, um komplexe Probleme erfolgreich lösen zu können (Johns Hopkins University, o.D.). Als bei- spielsweise der britische Astrophysiker Stephen Hawking seine Fähigkeit zu spre- chen verlor, entwickelte er ausgeprägte räumliche Vorstellungen von Zahlen, Glei- chungen und Objekten (Ferguson, 2011).

Für den Begriff „numerisch-räumliches Vorstellungsvermögen“ liegt weder eine Definition noch ein verbindlicher theoretischer Rahmen vor. Auch der augenschein- lich übergeordnete Begriff, das räumliche Vorstellungsvermögen, wird in der Literatur uneinheitlich verwendet. Synonym sind unter anderem die Bezeichnungen „Räumli- ches Denken“, „Visualisierung“ („mental imagery“), „Räumliche Fähigkeiten“ („spatial ability“) oder kurz „Raumvorstellung“ gebräuchlich (Grüßing, 2012; Obersteiner, 2012). Eine weit verbreitete Definition stammt von Maier (1999), der räumliches Vor- stellungsvermögen als die Fähigkeit bezeichnet in der Vorstellung räumlich zu sehen, zu denken und mit mentalen Repräsentationen zu operieren. Bei diesem Vorgang werden aufkommende Sinneseindrücke visuell wahrgenommen, weiterverarbeitet und mit bestehenden Eindrücken in Verbindung gesetzt. Darüber hinaus können neue Vorstellungsbilder generiert werden (Maier, 1999). Die mentalen Bilder werden dabei in Interaktion mit der Umwelt entwickelt (Quaiser-Pohl, 1998). Kern der Raum- vorstellung bildet das räumliche Denken, welches mentale Operationen umfasst, die analog zu real existierenden Raumhandlungen durchgeführt werden können (Obersteiner, 2012). Zahlen und Rechenoperationen können in diesem Sinne als Einheiten und Bewegungen im Raum aufgefasst werden: Addition als Voranschrei-ten, Subtraktion als Rückwärtsschreiten, Multiplikation als Wiederholung von identi- schen Sprüngen und die Division als Aufteilung von Raumeinheiten (Loibl, 2000). Hierbei können auch präpositionale Beziehungen (z.B. vor, über, unter, zwischen, neben) generiert werden (Handl, 2009). Jede erlernte Zahl hat vielfältige Bezie- hungsaspekte, was mit der Anordnung von Objekten in einem Raum verglichen wer- den kann: So ist die 4 der Vorgänger der 5, die 8 steht zwischen 7 und 9, die 13 ist der Nachfolger der 12 (Loibl, 2000). Dieses mentale Bewegen im (Zahlen-)raum ist ein individueller, aktiver Konstruktionsprozess (Loibl, 2000). Resultierend lässt sich das numerisch-räumliche Vorstellungsvermögen im Sinne Maiers (1999) als die Fä- higkeit bezeichnen, numerische Informationen wie Zahlen und Mengen in der Vor- stellung räumlich zu sehen und mit diesen mentalen Repräsentationen zu operieren.

Es besteht zwar weitgehend Einigkeit darüber, dass das räumliche Vorstellungs- vermögen eine wichtige Komponente der Intelligenz darstellt. Eine umfassende Ka- tegorisierung von Subfaktoren der Raumvorstellung steht jedoch aus (Grüßing, 2012). Thurstone (1938) weist z.B. in seinem bedeutsamen Modell zu den sieben Primärfähigkeiten der Intelligenz neben dem Faktor „number“, der Rechenfertigkeit, auch „space“, die Raumvorstellung als gleichberechtigten Faktor aus (Thurstone, 1938). Während bei „number“ das schnelle und präzise Beherrschen von arithmeti- schen Basisfertigkeiten eine große Rolle spielt, stehen beim Faktor „space“ das räumliche Vorstellen, Operieren und Orientieren im Fokus (Thurstone, 1938). Der Faktor „space“ wurde von Thurstone (1950) in drei Einzelfaktoren untergliedert, zu der jeweils zwei- bzw. dreidimensionale Aufgaben entwickelt wurden: „Visualization“ (Veranschaulichung), „Spatial relations“ (Räumliche Beziehungen) und „Spatial orien- tation“ (Räumliche Orientierung). Die von Thurstone (1950) postulierten Subfaktoren stellen eine geeignete Strukturierung der Raumvorstellung im engeren Sinn dar, was letztlich auch ihre Relevanz im schulischen und beruflichen Kontext untermauert (Grüßing, 2012).

„Visualization“ (Veranschaulichung) umfasst die Fähigkeit, sich Bewegungen von Objekten oder Teilen von Objekten ohne den Einsatz von Hilfsmitteln vorzustellen (Thurstone, 1950). Dazu zählen z.B. Rotationen, Faltungen und Verschiebungen. Hierdurch können sich auch neue Konfigurationen ergeben. „Spatial relations“ (Räumliche Beziehungen) bezeichnet die Fähigkeit Konfigurationen und Beziehun- gen von statischen Objekten oder Teilen untereinander zu erfassen und zur Lösung mental bewegen zu können. Die bearbeitende Person muss sich vorrangig vorstel-len, wie ein Objekt aus verschiedenen Perspektiven aussieht (Thurstone, 1950).

„Spatial orientation“ (Räumliche Orientierung) stellt schließlich die Fähigkeit dar, sich selbst innerhalb eines Raumes zurechtzufinden und richtig einzuordnen. Die Person befindet sich hierbei – entweder physisch oder mental – innerhalb der räumlichen Situation (Thurstone, 1950).

Die Fähigkeit räumlich zu operieren ist die Grundlage für den Erfolg in vielen Schulfächern, insbesondere der Mathematik (Maier, 1999; Obersteiner, 2012). Raumvorstellung wird vor diesem Hintergrund gerne mit geometrischen Aufgaben in Zusammenhang gebracht (Clemens & Battista, 1992). Aber auch andere mathemati- sche Bereiche, in denen keine offensichtlich räumlichen Figuren verwendet werden, haben räumlich-visuelle Dimensionen (Clemens & Battista, 1992; Loibl, 2000). Zur Lösung arithmetischer Aufgaben sind neben numerischen auch nicht-numerische Fähigkeiten wie z.B. das räumliche Vorstellungsvermögen notwendig (Handl, 2009).

In den räumlichen Fähigkeiten von Schülerinnen und Schülern bestehen große interindividuelle Unterschiede (Handl, 2009). Ein gutes räumliches Vorstellungsver- mögen ist allerdings nur bis zu einem gewissen Grad angeboren und kann im Laufe der Entwicklung gefördert und trainiert werden (Maier, 1999). Dies geschieht jedoch in der Regel viel zu selten, was einerseits daran liegt, dass Betroffene dem Schul- psychologen zu spät oder gar nicht vorgestellt werden und andererseits entspre- chende Übungen zur Raum- und Zahlenvorstellung im Unterricht fehlen (Handl, 2009). Dies äußert sich in der Folge in Defiziten bei der Raum-Lage-Einschätzung (z.B. Verwechslung von links und rechts, Verdrehung der Zahlen 6 und 9) oder in der fehlerhaften Markierung von Zahlen auf einem Zahlenstrahl (Handl, 2009; Loibl, 2000).

2.2.2 Mentale Repräsentation von Zahlen

Es gibt starke Anzeichen dafür, dass Menschen über ein angeborenes Verständnis für Zahlen und Mengen verfügen (Butterworth, 2005; Starkey & Cooper, 1980; Wynn, 1992). In der Forschungslandschaft ist häufig von zwei Kernsystemen die Rede, wel- che das angeborene Zahlenwissen beschreiben sollen: Zum einen das „object file“- System zur schnellen, visuellen Erfassung von kleineren Mengen und zum anderen das System zur approximativen Abschätzung von größeren Numerositäten (Feigen- son, Dehaene & Spelke, 2004).

Das „object file“-System, welches mit dem Begriff „subitizing“ in Zusammenhang steht, bezeichnet die Fähigkeit eine Menge von ein bis maximal vier Objekten gleich- zeitig zu erkennen und von anderen kleinen Mengen zu unterscheiden (Butterworth, 2005; Carey, 1998). Bei diesem Prozess wird in der Regel für jedes reale Objekt ein entsprechendes mentales Abbild aufgebaut. Diese Erfassung kleiner Mengen ist auf drei Objekte bei Kindern und auf vier Objekte bei Erwachsenen begrenzt (Butter- worth, 2005). Darüber hinausgehende Anzahlen erfordern entweder Zählprozesse oder eine visuelle Zusammenfassung der Objekte zu größeren, strukturierten „Chunks“ (Obersteiner, 2012). Das zweite System, welches auch als „approximate numerical magnitude“-System bezeichnet wird, ist für die analoge Repräsentation und ungefähre Abschätzung und Unterscheidung größer Mengen zuständig. Die Dif- ferenzierung größerer Mengen gelingt Kindern erfolgreicher, wenn der Unterscheid zweier Mengen im Verhältnis ausreichend groß ist. So gelingt z.B. die Diskrimination zwischen den Zahlen 8 und 16 (Verhältnis 1:2) leichter als z.B. zwischen 8 und 12 (Verhältnis 2:3) (Xu & Spelke, 2000). Dieses Phänomen wird auch beim Distanzef- fekt deutlich, der besagt, dass es umso leichter ist, zwischen zwei Zahlen zu unter- scheiden, je größer ihre Differenz ist (Moyer & Landauer, 1967). Dehaene (1992) geht davon aus, dass die jeweiligen Vergleichszahlen holistisch in Form eines inne- ren, mentalen Zahlenstrahls repräsentiert werden. In dieser logarithmisch skalierten Zahlenskala sind kleinere Abstände schwieriger zu bestimmen als größere. Die Ska- la wird mit zunehmender Größe unschärfer (Dehaene, 1992). Beide Kernsysteme sind für ein grundlegendes mathematisches Verständnis und die Verwendung relati- onaler Begriffe („mehr / weniger“) notwendig und werden im Laufe der Entwicklung mit Hilfe des verbalen Zählens integriert (Handl, 2009). Spezifische Fördereffekte wurden hierbei bisher allerdings unzureichend untersucht (Obersteiner, 2012).

Dehaene (1992) beschreibt in seinem Triple-Code-Modell ein kognitives System für die Zahlenverarbeitung, das von einer holistischen Zahlenvorstellung ausgeht, die von räumlichen Fähigkeiten geprägt ist (Obersteiner, 2012). Menschen verfügen über drei separate Module, die jeweils unterschiedliche Zahlaspekte verarbeiten und je nach Aufgabenstellung aktiviert werden können: ein auditiv-sprachliches Modul, ein visuell-arabisches sowie ein analog-semantisches Modul (Dehaene, 1992). Die drei Module sind autonom voneinander zu betrachten, allerdings finden aufgabenspezifi- sche Transkodierungsprozesse zwischen den Modulen statt, wobei die genauen Prozesse nicht näher spezifiziert werden (Dehaene, 1992). Mit dem auditiv-sprachlichen Modul wird die verbale Verarbeitung von Zahlen in Wortform, wie z.B. „vier“ organisiert. Dabei kann das Zahlwort gesprochen, gehört, gelesen oder ge- schrieben repräsentiert werden. Fähigkeiten, die diesem Modul zugeordnet werden sind das Zählen sowie die Anwendung von arithmetischem Faktenwissen aus dem Gedächtnis (Dehaene, 1992). Das visuell-arabische Modul hat die Funktion, dass arabische Ziffern in symbolischer Darstellung, wie z.B. „4“ gelesen und geschrieben werden können. Das Modul ist für schriftliches Addieren und Subtrahieren mit mehr- stelligen Zahlen, für das Stellenwertverständnis sowie für Paritätsentscheidungen wichtig (Dehaene, 1992). Das analog-semantische Modul erlaubt den Umgang mit Quantitäten, wie z.B. das direkte Erfassen der Mächtigkeit von Mengen sowie Über- schlagsrechnungen, Schätzungen und schnelle Vergleiche. Hierbei wird eine Zahl auf einem mentalen Zahlenstrahl, der von links nach rechts verläuft, räumlich lokali- siert (Dehaene, 1992).

Neurofunktionelle Befunde deuten darauf hin, dass diese analoge, mentale Zah- lenrepräsentation von räumlichem Denken geprägt ist (Dehaene, 1992; Hubbard, Piazza, Pinel & Dehaene, 2005). Auch wenn bei der Verarbeitung von Zahlen viele Gehirnregionen beteiligt sind, erweist sich der Parietallappen als Kernregion für die Erfassung von numerischen Größeninformationen und Rechenvorgängen (Rueckert et al., 1996; Hubbard et al., 2005). Insbesondere die Region um den intraparietalen Sulcus ist bei der semantischen Repräsentation und der visuell-räumlichen Verarbei- tung von numerischen Größen aktiviert (Chochon, Cohen, van de Mooretele & De- haene, 1999). Es gibt Hinweise dafür, dass sich die relevanten Gehirnaktivitäten mit zunehmenden mathematischen Fähigkeiten von frontalen, zentral exekutiven in Rich- tung stärker spezialisierte posterior-parietalen Gehirnregionen für visuell-räumliches Denken verlagern (Ansari & Dhital, 2006; Chen et al. 2006; Meyer et al. 2010). Dass z.B. kleinere Zahlen mit der linken Raumseite und große Zahlen mit der rechten Sei- te eines Raumes assoziiert werden, wurde durch den SNARC-Effekt („Spatial Nume- rical Association of Response Codes Effect“) gezeigt (Dehaene, Bossini & Giraux, 1993). Bachot, Gevers, Fias & Roeyers (2005) fanden bei Kindern zwischen sieben und zwölf Jahren mit Defiziten im räumlich-visuellen Bereich keinen SNARC-Effekt. Dies wurde als Fehlen einer adäquaten, mentalen Zahlenrepräsentation gewertet.

Dass der Aufbau dieser mentalen Zahlenrepräsentation durchaus trainierbar sein kann, konnte u.a. Handl (2009) zeigen. Die Psychologin verglich in einer Follow-Up- Studie mit 100 Kindergartenkindern ein primär basisnumerisches, ein primär räumli-ches sowie ein numerisch-räumliches Kombinationsprogramm auf ihren Nutzen in der Frühförderung. Die größten Lernzuwächse wurden dabei durch das räumliche und das kombinierte numerisch-räumliche Programm erzielt. Durch die Förderung der räumlichen bzw. numerisch-räumlichen Fertigkeiten wurden die Eins-zu-Eins- Zuordnung, das verbale Zählen sowie auch die Fähigkeit zur adäquaten Abschät- zung von größeren Mengen positiv beeinflusst.

2.2.3 Berührungspunkte zwischen Raumvorstellung und Textaufgaben

Der Zusammenhang zwischen Textaufgaben und (numerisch-)räumlichen Fähigkei- ten wurde bisher unzureichend untersucht. Zu Textaufgaben und numerischer Raumvorstellung finden sich weder Messinstrumente noch konkrete Studien. Es be- steht hier immenser Forschungsbedarf. Selbst für den augenscheinlichen Schnitt- punkt der beiden Konstrukte, die der mentalen Repräsentation, wurde bisher kein theoretischer Rahmen entwickelt (Szücs & Goswami, 2007). Die meisten veröffent- lichten Studien beschränken sich auf eine allgemeinen Perspektive zwischen Ma- thematik und Raumvorstellung (Obersteiner, 2009). Dass Forschung in diesem Ge- biet lohnend sein kann, beweisen die in vielen Studien gefundenen positiven Zu- sammenhänge zwischen räumlichen Fähigkeiten und mathematischer Leistung (Clemens & Battista, 1992; Maier, 1999; Obersteiner, 2009; van Garderen, 2006). Dabei wird die Raumvorstellung aber in aller Regel nicht weiter differenziert und der räumliche Anteil der Mathematik auf den Bereich der Geometrie reduziert. Räumli- ches Denken kann auch bei Aufgaben hilfreich sein, die keine konkreten geometri- schen Figuren enthalten, wie z.B. bei Textaufgaben (Boonen et al., 2014; Passo- lunghi & Mammarella, 2010; van Garderen, 2006). Das räumliche Visualisieren von Objekten und Beziehungsgefügen einer Aufgabe kann deren Lösung erleichtern (Clemens & Battista, 1992; Loibl, 2000; Schneeberger, 2009). Durch die Nutzung räumlicher Kompetenzen können Verhältnisse, Eigenschaften und Beziehungen von Objekten ergründet werden (Maier, 1999). Zentrale Fähigkeiten zur Lösung von Textaufgaben sind letztlich das visuelle Operieren und die Fähigkeit zur (numerisch-)räumlichen Vorstellung (Loibl, 2000). Der Bearbeiter muss dabei die dargebotene, statische Aufgabenstellung in einen veranschaulichten, mentalen Bewegungsablauf transformieren (Loibl, 2000).

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Ende der Leseprobe aus 57 Seiten

Details

Titel
Darf's ein bisschen "mehr" sein? Erwachsene zwischen Textaufgaben und numerisch-räumlichem Vorstellungsvermögen
Hochschule
UMIT Private Universität für Gesundheitswissenschaften, Medizinische Informatik und Technik  (Psychologie)
Note
1,2
Autor
Jahr
2018
Seiten
57
Katalognummer
V490850
ISBN (eBook)
9783668970052
ISBN (Buch)
9783668970069
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Textaufgaben, Raumvorstellung, mentale Repräsentationen, numerisch-räumliches Vorstellungsvermögen, Räumliches Vorstellungsvermögen, Mathematische Textaufgaben
Arbeit zitieren
Marco Müller (Autor), 2018, Darf's ein bisschen "mehr" sein? Erwachsene zwischen Textaufgaben und numerisch-räumlichem Vorstellungsvermögen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/490850

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