Rechenstrategien von Grundschulkindern bei Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 20

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Definitionen und Erklärungen
2.1. Addition und Subtraktion
2.2. Rechengesetze
2.3. Aspekte des Zahlbegriffs
2.4. Teile-Ganzes-Konzept
2.5. Zahlenblick
2.5.1. Was ist der Zahlenblick?
2.5.2. Zahlenblickschulung

3. Zählendes Rechnen und Zählstrategien
3.1. Addition
3.2. Subtraktion
3.3. Mögliche Schwierigkeiten / Fehler des zählenden Rechnens

4. Ablösung vom zählenden Rechnen

5. Rechenmethoden
5.1. Gewichtung der Rechenmethoden
5.2. Kopfrechnen
5.3. Verankerung im Bildungsplan

6. Operative Rechenstrategien
6.1. Bedeutung und Voraussetzungen von Rechenstrategien
6.2. Zerlegen und (neu) zusammensetzen
6.2.1. Kraft der Fünf
6.2.2. Ergänzen zur Zehn
6.2.3. Bilden anderer Bündelungen
6.3. Hilfsaufgaben nutzen
6.3.1. Nachbaraufgabe
6.3.2. Analogien nutzen
6.3.3. Aufgaben verändern
6.3.4. Umkehraufgaben
6.4. Flexibles Rechnen

7. Automatisierung

8. Material oder Möglichkeiten zur Förderung der Rechenstrategien
8.1. Aktivitäten mit Anschauungsmittel
8.2. Aktivitäten auf formaler Ebene

9. Fazit

10. Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Traditionelle Sichtweise

Abbildung 2: Relativierte Sichtweise

Abbildung 3: Varianten im Lösungsverhalten

Abbildung 4: Vier Darstellungsformen von Wissen und notwendigen Übersetzungsprozessen

Abbildung 5: Schüttelboxen

Abbildung 6: Einspluseinstafel

Abbildung 7: Einsminuseinstafel

1. Einleitung

„Kinder kommen nicht als „Tabulea rasae“ in die Schule, als leere Blätter, die nun von der Lehrerin mit den Kulturtechniken Lesen, Schreiben und Rechnen „beschrieben“ werden.“ (Selter, Spiegel 1997, S.20). So werden die unterschiedlichen Vorerfahrungen von Kindern beschrieben, die manchmal mehr oder weniger tragfähig sind. Dabei ist die Spannbreite riesig. Ziel ist es, dass alle Kinder sich vom Zählen zum Rechnen weiterentwickeln und nicht in der Sackgasse des zählenden Rechnens verweilen (vgl. Schuler 2015, S.12; Gaidoschik 2010, S.7). Der Mathematikunterricht greift diese unterschiedlichen Vorerfahrungen aus dem Alltag auf, stabilisiert und erweitert sie. Auf diese Weise wird in der Grundschule eine breite Ausgangsbasis geschaffen, um für weitere mathematische Inhalte vorzubereiten und für lebenslange Auseinandersetzungen mit den mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens gewappnet zu sein (vgl. Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg 2016, S.3). Deshalb ist es wichtig, bereits ab der ersten Klasse wichtige Grundbausteine für erfolgreiches Rechnenlernen zu legen (vgl. Lorenz, Radatz 1993, S.4).

Das sichere Beherrschen des Einspluseins ist Grundvoraussetzung für das Mathematiklernen (vgl. Cottmann 2006, S.6). In Deutschland ist seit einiger Zeit üblich, im ersten Schuljahr den Zahlenraum bis 20 gründlich zu durchforschen, um im nächsten Schuljahr den Zahlenraum bis 100 erweitern zu können (vgl. Padberg, Benz 2011, S.27).

„Ich schau mir die Zahlen an, dann sehe ich das Ergebnis.“ (Rathgeb-Schnierer 2008, S.8) Dieses Zitat verwendete Rathgeb-Schnierer als Titel ihres Zeitschriftenartikels. Dieses Verständnis und dieser Blick von Kindern über Zahlen und Aufgaben ist wünschenswert für den Mathematikunterricht in der Grundschule. Im additiven und subtraktiven Bereich werden zum Lösen von Rechenaufgaben verschiedene Strategien angewendet: Zählstrategien, heuristische bzw. operative Strategien und Auswendigwissen (vgl. Radatz, Schipper, Ebeling, Dröge 1996, S.82). Ein arithmetisches Kernthema der ersten Klasse ist die Ablösung des zählenden Rechnens, ohne dies zu verbieten, über die operativen Strategien bis hin zur Automatisierung (vgl. ebd. 1996, S.83). Ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts ist die Fähigkeit des flexiblen Rechnens. Flexible, den Zahlen angepasste Rechenstrategien stehen dabei im Mittelpunkt (vgl. Lorenz 2008, S.7). Eine wesentliche Grundlage bildet hierzu das Wissen um operative Lösungsstrategien, aus denen je nach Aufgabenstellung gewählt werden kann (vgl. Reindl 2016, S.5). Diese weitgehend aufeinanderfolgende Dreigliederung, die vorrangig in der Literatur Verwendung findet, wird im Verlauf der Arbeit weiter untergliedert und genauer erläutert (vgl. Radatz et al. 1996, S.82; Padberg, Benz 2011, S.91).

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Rechenstrategien von Grundschulkindern bei Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 20. Die Ausführung der Arbeit beginnt mit den theoriegeleiteten Begriffserklärungen, um im weiteren Verlauf darauf zurückgreifen zu können. Dabei werden Begriffe wie Addition und Subtraktion geklärt, die Rechengesetze vorgestellt, die Aspekte des Zahlbegriffs erläutert und abschließend in diesem Kapitel der Zahlenblick und die Zahlenblickschulung erklärt. Anschließend steht das zählende Rechnen und die Zählstrategien mit den daraus entstehenden Schwierigkeiten und Fehlern im Fokus. Im nächsten Punkt wird die Ablösung vom zählenden Rechen thematisiert. Im Anschluss stehen die Rechenmethoden und ihre Gewichtung im Mittelpunkt. Unter diesem Punkt wird die Verankerung im Bildungsplan dargestellt. Den größten und wichtigsten Punkt der Arbeit bildet Kapitel 6, die operativen Rechenstrategien. Zu Beginn wird die Bedeutung der Rechenstrategien und die dafür benötigten Voraussetzungen erläutert. Danach werden die einzelnen Strategien vorgestellt. Den Abschluss dieses Kapitels bildet dann das flexible Rechnen. Nach den operativen Rechenstrategien wird auf die Automatisierung der Aufgaben eingegangen. Kapitel 8 widmet sich der umfangreichen Thematik des Materials und der Möglichkeiten zur Förderung von Rechenstrategien. Das Ende der Arbeit bildet das Fazit.

2. Definitionen und Erklärungen

Um im weiteren Verlauf meiner Arbeit auf die Begriffe zurückgreifen zu können, werde ich sie im Folgenden definieren und erläutern.

2.1. Addition und Subtraktion

In der Grundschule werden die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division behandelt. Je zwei der Grundrechenarten sind eng verknüpft. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition, als auch umgekehrt. Dasselbe gilt für die Multiplikation und die Division (vgl. Erichson 2008, S.120). Für diese Arbeit sind jedoch nur die Addition und Subtraktion relevant.

Die Addition von Zahlen wird mit dem Pluszeichen „+“ beschrieben und wird auch „Hinzufügen“ und „Zusammenzählen“ genannt. Das Ergebnis einer Additionsaufgabe nennt man Summe. Der Begriff Addieren kommt aus dem Lateinischen. Beim Addieren werden zwei oder mehrere Zahlen zusammengezählt. Die Zahlen, die zusammengezählt werden, nennt man Summanden (vgl. Scheid 2000 S.21; Erichson 2008, S.13). Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion. Auch Subtraktion bzw. subtrahieren kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „abziehen“ und „wegnehmen“. Das Subtrahieren wird mit dem Minuszeichen „-ʺ beschrieben. Das Ergebnis einer Subtraktionsaufgabe nennt man Differenz. In einer Subtraktionsaufgabe ist die erste Zahl der Minuend minus die zweite Zahl, der Subtrahend (vgl. Erichson 2008, S.413f.).

Bei der Subtraktion werden zwei Typen von Aufgaben unterschieden, Subtraktion als Abziehen und Subtraktion als Ergänzen. Beim ersten Typ verwendet man die Subtraktionssprechweise und beim zweiten Typ die Additionssprechweise. Je nach Kontext, wird vorwärts oder rückwärts gezählt bzw. gerechnet (vgl. Padberg, Benz 2011, S.111).

2.2. Rechengesetze

„Geschicktes Rechnen beruht ganz wesentlich auf dem Ausnutzen struktureller Merkmale der konkreten Aufgabenstellung auf der Basis von Rechengesetzen.“ (Krauthausen 2018, S.80) Wichtig ist, dass die nachfolgenden Rechengesetze mit verschiedenen geeigneten Arbeitsmittel dargestellt werden (z.B. Steckwürfel) (vgl. ebd. 2018, S.80). Zwei wichtige Rechengesetze, die für die Rechenstrategien und das flexible Rechnen der Addition und Subtraktion von zentraler Bedeutung sind, werden nun erläutert und vorgestellt. Zusätzlich gibt es das Distributivgesetz, das aber im Rahmen der Addition und der Subtraktion nicht benötigt wird. Für die Addition und Subtraktion ist nur die Kommutativität und die Assoziativität von Bedeutung (vgl. ebd. 2018, S.81).

Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, ist für das Erlernen des Einspluseins sehr hilfreich, denn es reduziert die Anzahl der Aufgaben um die Hälfte und gibt die Möglichkeit, neue Aufgaben auf bereits bekannte zurückzuführen (vgl. Padberg 1992, S.120). Zusätzlich kann es verwendet werden, um eine Rechenkontrolle durchzuführen. Dazu löst man die sogenannte Tauschaufgabe (vgl. Padberg, Benz 2011, S.135f.). Die Kommutativität bedeutet a+b = b+a. Das Kommutativgesetz gilt für die Grundrechenarten Addition und Multiplikation und besagt, dass die Reihenfolge in der man die Summanden zusammenzählt unbedeutend ist, da das Ergebnis dasselbe bleibt. Das heißt, die Summanden dürfen vertauscht werden und die Summe bleibt gleich (vgl. Erichson 2008, S.456).

Das Assoziativgesetz, auch Verbindungsgesetz genannt, gilt für Addition und Multiplikation. Bei einer Additionsaufgabe dürfen die Summanden einer Summe beliebig zusammengefasst werden. Üblicherweise wird dies durch Klammern angedeutet. Das Assoziativgesetz kann anschaulich gemacht werden durch Steckwürfel, in dem die vier verschiedenen Summanden auf verschiedene Weise durch einzelne Steckwürfeltürme zusammengefasst werden (vgl. Krauthausen 2018, S.80f.).

Die Rechengesetze werden selbstverständlich in der Grundschule nicht abstrakt formuliert, die Kinder lernen sie vielmehr als Rechenvorteile kennen (vgl. Padberg 1992, S.120).

2.3. Aspekte des Zahlbegriffs

Kinder haben bereits vor ihrer Einschulung schon vielfältige Erfahrungen mit Zahlen gemacht, beispielsweise durch Angabe ihres Alter, das Schrittmaß bis zum Torpfosten oder das Zählen bis 10 oder 20. Alle Zahlaspekte dürfen nicht isoliert behandelt und betrachtet werden, denn sie hängen alle eng miteinander zusammen. Das Zählen verbindet die einzelnen Aspekte (vgl. Padberg, Benz 2011, S.15). Zu Beginn handelt es sich bei Kindern vermutlich um das Verständnis der Zahlwortreihe. Sie verstehen es nur als Wortreihe, die oftmals noch nicht stabil ist, ohne Bezug zur Quantität. Im weiteren Verlauf der Zahlbegriffsentwicklung lernen die Kinder, diese Zahlwortreihe zum Zählen von Anzahlen bzw. vorliegenden Mengen zu verwenden (vgl. Gaidoschik 2010, S.97f.). Dabei ist die zuletzt genannte Zahl die Anzahl. Dies ist der Kardinalzahlaspekt (vgl. Padberg, Benz 2011, S.15; Regelein 1993, S.26; Padberg 1992, S.2). Mit der Kardinalzahl wird die Anzahl von Elementen einer Menge beschrieben (vgl. Radatz et al. 1996, S.49). Die dazugehörige Reihenfolge bzw. den Rangplatz innerhalb einer Reihe bekommt man durch das Abzählen. Dieser Aspekt wird Ordinalzahlaspekt genannt. Der Ordinalzahlaspekt wird wiederum untergliedert in die Ordnungszahl und die Zählzahl (Padberg, Benz 2011, S.15). Nahezu jedes Kind kann schon zu Beginn der Grundschulzeit bis 10 oder 20 zählen. Das sind Zahlen als Zählzahl, die Folge der natürlichen Zahlen, wie sie im Zählprozess durchlaufen werden (vgl. Radatz et al. 1996, S.47; Padberg 1992, S.7). Die Ordnungszahl gibt den Rangplatz in einer geordneten Reihe an (vgl. Regelein 1993, S.25). Der Maßzahlaspekt wird durch das Auszählen der Anzahl der erforderlichen Größeneinheit gewonnen (vgl. Padberg, Benz 2011, S.15). Die Vielfachheit wird ebenfalls durch das Auszählen bestimmt und wird Operatoraspekt genannt. Durch Zählen kann man auch das Ergebnis einer Rechenaufgabe mit natürlichen Zahlen herausbekommen, wie zum Beispiel Weiterzählen bei der Addition oder Rückwärtszählen bei der Subtraktion. Auf die einzelnen Zählstrategien wird nachfolgend noch eingegangen (Kapitel 3). Kinder lernen in verschiedenen Situationen allmählich die einzelnen Zahlbedeutungen getrennt kennen. „Sicheres und flexibles Operieren mit konkreten Zähldingen und mit deren Repräsentanten (Plättchen, Stäbe) ist eine solide Grundlage für die Zahlbegriffsentwicklung.“ (Radatz et al. 1996, S.32). Im Laufe der Grundschulzeit entdecken und lernen sie die Beziehungen kennen. So entwickeln sie allmählich den umfassenden Zahlbegriff, der die einzelnen Zahlaspekte inkludiert (vgl. Padberg, Benz 2011, S.15f.). Die Entwicklung des Zahlbegriffs und das Rechnenlernen gehören im Anfangsunterricht der Mathematik eng zusammen. Ein wesentlicher Aspekt der Zahlbegriffsentwicklung ist das Teile-Ganzes-Konzept, das nachfolgend genauer beschrieben wird (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.35). Eine genauere Beschreibung der Zahlbegriffsentwicklung ist jedoch im Umfang dieser Arbeit nicht zu leisten, da das Hauptaugenmerk auf den Rechenstrategien und dessen Entwicklung liegt.

2.4. Teile-Ganzes-Konzept

Am Ende des ersten Schuljahres sollten die Kinder Beziehungen zwischen Zahlen kennen und beschreiben können. Zentral dabei ist das „Teile-Ganzes-Konzept“ (vgl. Anders 2015, S.10). Gaidoschik zitiert Resnick und nennt das Teile-Ganzes-Konzept „Interpretation von Zahlen im Sinne des Verhältnisses von Teilen zu einem Ganzen“ (Gaidoschik 2010, S.115). Durch dieses Verständnis können Zusammenhänge zwischen verschiedenen Rechnungen und unterschiedlichen Rechenoperationen erschlossen werden (vgl. Obersteiner 2012, S.140). Für das Nutzen operativer Rechenstrategien ist das Teile-Ganzes-Verständnis grundlegend (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.40). Eine wichtige Voraussetzung für dieses Verständnis ist ebenso die Konstanz der Menge, was bedeutet, dass Elemente der Menge lediglich verschoben werden können und die Anzahl der Menge sich trotzdem nicht verändert. Kinder, die dieses Wissen nicht verinnerlicht haben, zählen die Gesamtanzahl nach jedem Verschieben neu. Außerdem ist die Voraussetzungen die Kenntnis der Zahlwortreihe bis zehn und das Auszählenkönnen in Einerschritten (vgl. Anders 2015, S.10f.). „Die Teile-Ganzes Beziehung, d.h. konkret hier bei den natürlichen Zahlen die flexible Zerlegung einer gegebenen Zahl auf möglichst viele verschiedene Arten und so der Aufbau von flexiblen mentalen Zahlvorstellungen, ist ein wesentlicher Bestandteil bei der Entwicklung des Zahlbegriffs sowie auch für die Fundierung der Addition (und der Subtraktion).“ (Padberg, Benz 2011, S.24). Das automatisierte Zahlenzerlegen kann für geschicktes Rechnen und für das Verkürzen und Vereinfachen von Rechenwegen genutzt werden. Vorrangiges Ziel des Erstunterrichts ist also die Entwicklung des Teile-Ganzes-Konzepts, sodass die Kinder verstehen, dass sie Zahlen auf unterschiedliche Weise zerlegen und wieder zusammensetzen können (vgl. Anders 2015, S.10). Dieses Teile-Ganzes-Konzept basiert wiederum auf das kardinale Zahlenverständnis (vgl. Gaidoschik 2010, S.117).

Das Teile-Ganzes-Konzept ist die gemeinsame Grundlage der nachfolgenden Lösungsstrategien (vgl. ebd. 2010, S.115).

2.5. Zahlenblick

2.5.1. Was ist der Zahlenblick?

„Rechnen lernen bedeutet sehen lernen!“ (Rathgeb-Schnierer 2005, S.18). So definiert Rathgeb-Schnierer den Zahlenblick, anders ausgedrückt, als besonderen Blick für Zahlen (vgl. Rathgeb-Schnierer 2008, S.10). Schütte (2004, S.143) versteht unter dem Zahlenblick die Fähigkeit „Beziehungen augenblicklich“ (ebd. 2004, S.143) zu erkennen, zu nutzen, sowie damit verbundene Zahlen geschickt zu zerlegen und neu zusammenzusetzen. Operationsverständnis, Strategiewissen, als auch eine differenzierte Wahrnehmung von Aufgaben- und Zahlbeziehungen werden zusammengefasst als „Zahlenblick“ (vgl. Rathgeb-Schnierer 2005, S.18). Dabei beruft sich Rathgeb-Schnierer auf Schütte (2002, S.3). Der „Zahlenblick“ wird nicht automatisch entwickelt, sondern er bedarf einer gezielten Förderung und Anregung (vgl. ebd. 2005, S.18). Die Grundlage für den Zahlenblick ist ein umfassender Zahlbegriff und damit auch die Entwicklung von Zahl-, Term- und Aufgabenbeziehungen. Deshalb ist es wichtig, die Aufmerksamkeit gezielt darauf zu lenken. Dies sollte bereits von Beginn an geschehen, um später diese Kompetenzen auf größere Zahlenräume übertragen zu können (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.95).

Zu einem differenzierten Zahlenblick gehört zum einen, dass Aufgaben vor dem Lösen im Hinblick auf spezifische Merkmale untersucht werden. Zum anderen sollten wahrgenommene Merkmale beim Lösen der Aufgabe genutzt werden. Außerdem müssen Zahlen flexibel zerlegt, umgruppiert und wieder neu zusammengesetzt werden können. Zuletzt ist es notwendig, Ergebnisse einschätzen und den Umgang mit Zahlen begründen zu können (vgl. Schütte 2004, S.143). Rechner, die über den Zahlenblick verfügen, nehmen diese Beziehungen war und können sie zum Lösen von Aufgaben nutzen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Zahlenblick damit verbunden ist, während des Rechnens, Beziehungen wahrzunehmen und diese zu nutzen (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.100).

2.5.2. Zahlenblickschulung

Rathgeb-Schnierer (2006a, S.296) und Schütte (2004, S.143f.) fordern eine gezielte Schulung des Zahlenblicks zur Entwicklung von flexiblen Rechenkompetenzen. Allerdings erfordert die Schulung Kontinuität und kann nicht auf wenige Mathestunden und Übungen beschränkt werden. „Bei der Zahlenblickschulung handelt es sich um ein inhaltlich vielfältiges Programm, gekoppelt mit einer Kultur des Hinschauens, des vielperspektivischen Sehens und des kommunikativen Austausches von Entdeckungen und Ideen.“ (Rathgeb-Schnierer 2008, S.11f.). Kinder sollten Zahlen als aufregendes Forschungsfeld kennenlernen, in dem sie als Forscher kreativ handeln und Entdeckungen machen können (vgl. ebd. 2008, S.12). Der Rechendrang sollte versucht werden aufzuhalten und nicht ohne Vorwissen gerechnet werden. Besser wäre, die Aufgabe zunächst einmal anzuschauen und zu überlegen, wie man sie geschickt lösen kann (vgl. Schütte 2004, S.144). Bei der Schulung des Zahlenblicks stehen Tätigkeiten des Sehens, Sortierens oder Strukturierens im Zentrum. Beim Sortieren von Anzahlen, Zahlen, Termen, Zahlensätzen und Aufgaben stehen deren Beziehungen im Mittelpunkt. Durch Fragestellungen oder Impulse werden die Kinder kognitiv aktiviert, über mathematische Inhalte und ihr eigenes Denken nachzudenken (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.102f.). Durch das Sortieren von Aufgaben und das Nutzen von Vorstellungsbildern können Aufgabentypen sowie Zahl- und Aufgabenbeziehungen erkannt werden (vgl. Schütte 2004, S.144f.).

Da der Zahlenblick grundlegend für die operativen Rechenstrategien und das flexible Rechnen ist, werden Arbeitsmittel, Möglichkeiten zur Förderung und genauere Aktivitäten in Punkt 8 präziser beschrieben, gemeinsam mit den Aktivitäten zum Entwickeln von flexiblem Rechnen und Rechenstrategien (vgl. Rathgeb-Schnierer 2005, S.18).

3. Zählendes Rechnen und Zählstrategien

Schuler (2015) beschreibt, dass Kinder bereits mit Vorerfahrungen in die Schule kommen, die aber eine weite Spannbreite mit sich bringen (vgl. Schuler 2015, S.12). Schon ab Beginn des vierten Lebensjahres erschließen Kinder einen Teil der Welt der Zahlen. Dazu gehört auch das Aufsagen der Zahlwortreihe bis 20, die viele Kinder bereits zu Schulbeginn können, sowohl vorwärts, beginnend bei 1 oder einer größeren Zahl, als auch rückwärts (vgl. Selter, Spiegel 1997, S.49). Selter und Spiegel berufen sich hierbei auf Krauthausen und Padberg. Die Kenntnis der Zahlwortreihe ist eine unverzichtbare Voraussetzung für das zählende Rechnen (vgl. Radatz et al. 1996, S.55). „Je sicherer die Zahlwortreihe beherrscht wird […], desto leichter fällt das zählende Rechnen und die Ablösung von zählenden Strategien des Rechnens.“ (ebd. 1996, S.55). Die natürliche Entwicklung des Zählens führt dazu, dass es zum Rechnen eingesetzt wird und dass Zählstrategien als Lösungswerkzeuge verwendet werden (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.20; Obersteiner 2012, S.139). Außerdem können Kinder Mengen von Elementen zählen und dazu Mengenbildern Zahlen in Form von Ziffern zuordnen (vgl. Padberg, Benz 2011, S.21). Auch im Bereich der Rechenfähigkeit bringen Schulanfänger bereits Vorwissen mit (vgl. Selter, Spiegel 1997, S.20). Untersuchungen ergaben, dass Schulanfänger deutliche Vorkenntnisse im Vorwärtszählen mitbringen, jedoch beim Vorwärtszählen in größeren Schritten und auch beim Rückwärtszählen die Voraussetzungen deutlich niedriger sind (vgl. Padberg, Benz 2011, S.32). Selter und Spiegel beschreiben, was man (in ihrem Fall Sebastian) zum Bestimmen einer Anzahl an Gegenständen alles wissen sollte. Es ist wichtig, die entsprechenden Zahlwörter zu kennen, sie als ein Zahlwort identifizieren und in die richtige Reihenfolge ordnen zu können. Außerdem sollte jedem Gegenstand ein Zahlwort zugeordnet werden können ohne eines doppelt zu zählen. Zudem muss das Wissen vorhanden sein, dass das zuletzt genannte Zahlwort die gesuchte Anzahl ergibt (vgl. Spiegel, Selter 2015, S.26). Diese Voraussetzungen braucht man ebenso, um eine Aufgabe durch zählendes Rechnen zu lösen.

Sogenannte Zählstrategien sind die ersten „natürlichen“ Strategien, um eine Additions- und Subtraktionsaufgabe zu lösen, die Kinder zu Beginn der ersten Klassenstufe verwenden (vgl. Radatz et al. 1996, S.82 und Padberg, Benz 2011, S.88). Der Begriff „Zählstrategie“ wird gebraucht, wenn Teile der Reihen der natürlichen Zahlen gedanklich oder ausgesprochen aufgesagt werden. Dabei ist nicht festgeschrieben, ob die Zahlwortreihe vorwärts oder rückwärts aufgesagt wird (vgl. Gaidoschik 2010, S.24). Dieses Vorgehen wird auch als zählendes Rechnen verstanden. Kinder verwenden unterschiedliche Strategien, um auf das Ergebnis zu kommen. Ganz zu Beginn des Rechnens stehen den Kindern keine anderen Möglichkeiten zur Verfügung. Selbst Erwachsene greifen auf diese Art von Strategien zurück, wenn die zu lösende Aufgabe außerhalb ihres vertrauten Bereiches liegt (vgl. Radatz et al. 1996, S.82). Ein Großteil aller Grundschüler mit Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht werden im Laufe des ersten Schuljahres zählende Rechner, verfestigen häufig diese Strategie und verwenden sie über das Grundschulalter hinaus. Grundschüler mit guten Rechenleistungen hingegen werden ab dem zweiten Schuljahr kaum noch zählende Strategien anwenden. Sie lösen die Rechenaufgaben dann mit operativen Rechenstrategien, auf die ich später zurückkommen und genauer darauf eingehen werde (vgl. Lorenz, Radatz 1993, S.116).

Wichtig beim Zählen ist, dass die Kinder flexibel zählen können, d.h. Rückwärtszählen, in größeren Schritten oder von anderen Startzahlen aus zählen. Es wurde herausgefunden, dass dies eine wichtige Voraussetzung ist, um später Erfolg im Mathematikunterricht zu haben (vgl. Padberg, Benz 2011, S.32f.). Um die Voraussetzung zu verbessern, bieten sich verschiedenste Zählaktivitäten an, wie zum Beispiel Weiterzählen von sieben, Rückwärtszählen um vier Zahlen, usw. (vgl. ebd. 2011, S.32f.).

Die Zählstrategien werden wiederum in einzelne Strategien untergliedert, die im Folgenden dargestellt werden. Sie werden je nach Aufgabentyp und individuellen Voraussetzungen angewendet. Nachfolgend werden die einzelnen Zählstrategien nach Radatz, Schipper (1996, S.82) in getrennter Weise dargestellt, im Unterricht hingegen werden Addition und Subtraktion im engen Zusammenhang und im Sinne des operativen Prinzips zumindest teilweise parallel behandelt.

Rechtsteiner-Merz beschreibt nach Verschaffel und De Corte (1996, S.117f.) drei wesentliche Phasen, die als Typen von Lösungswerkzeugen durchlaufen werden sollen:

1. Zählende Lösungsstrategien, 2. das Entwickeln von Lösungen über das Ableiten und das Nutzen von Rechengesetzen und als Ziel 3. die Automatisierung des kleinen Einspluseins bzw. das Abrufen von Fakten (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.19, S.29). Auch Radatz et al. weisen auf diese drei Lösungsstrategien hin (vgl. Radatz, Schipper 1983, S.63). Diese drei Phasen werden nun im Folgenden durchlaufen.

3.1. Addition

Die erste und einfachste Strategie ist das „vollständige Zählen“ oder auch „Alleszählen“ (Gaidoschik 2010, S.24; Benz 2005, S.57). „Alleszählen“ bedeutet, dass alle drei Zahlen (erster, zweiter Summand und Summe) eines Terms durch Zählen dargestellt bzw. ermittelt werden (vgl. Gaidoschik 2010, S.24). Diese Strategie wird hauptsächlich angewendet, wenn Material benutzt wird (z.B. Klötzchen) (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89; Gaidoschik 2010, S.24). Zuerst wird eine Anzahl an Klötzchen hingelegt, die den ersten Summanden darstellt und danach die zweite Anzahl als zweiten Summanden. Es wird von eins beginnend fortlaufend gezählt. Durch das Zählen aller Objekte oder das „vollständige Zählen“ wird die Summe bestimmt (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89; Radatz et al. 1996, S.82; Obersteiner 2012, S.139). Oftmals verwenden Kinder hierbei ihre Finger, um den Zählprozess zu begleiten. Bei dieser Strategie ist das Verständnis der Kardinalzahl von Bedeutung (vgl. Gaidoschik 2010, S.98). Voraussetzung für die Strategie des „Alleszählen“ ist das Verständnis, das das zuletzt genannte Wort beim Zählen, als Anzahl bzw. als Summe zu interpretieren ist (vgl. Rechtsteiner-Merz 2013, S.21).

„Weiterzählen vom ersten Summanden aus“ gilt als Weiterentwicklung des „vollständigen Zählens“ (vgl. Benz 2005, S.57). Es wird, wie der Name bereits sagt, ab dem ersten Summanden um die entsprechende Anzahl des zweiten Summanden weitergezählt. Das dabei zuletzt erreichte Zahlwort ist die Lösung der Aufgabe (vgl. Gaidoschik 2010, S.25). Es wird hierbei auf das Zählen des ersten Summanden bzw. des Minuenden (bei der Subtraktion) verzichtet, der Zählprozess beginnt bei der Anzahl des ersten Summanden (vgl. Radatz et al. 1996, S.82; Obersteiner 2012, S.139). Aufgrund des Verzichts des Zählens des ersten Summanden ist diese Strategie kürzer und weniger fehleranfällig (vgl. Obersteiner 2012, S.139). Dafür brauchen die Kinder aber das Verständnis, dass der erste Summand als Zählzahl verstanden und nicht als Kardinalzahl wird. Das bedeutet, dass der erste Summand nicht mehr gezählt, sondern von dort aus weitergezählt wird (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89; Rechtsteiner-Merz 2013, S.21f.). Der Summe wird dabei eine Doppelbedeutung zugeteilt. Sie ist sowohl ein Summand, als auch ein Teil der Summe (vgl. ebd. 2013, S.22).

Der nächste Fortschritt wäre, wenn Kinder „Weiterzählen vom größeren Summanden aus“, unabhängig ob er an erster oder zweiter Stelle steht, anwenden könnten. Dadurch müssen die Kinder, falls der zweite Summand ursprünglich größer wäre, weniger zählen und können dabei weniger Fehler machen. Grundlage für diese Strategie ist allerdings das Kommutativgesetz der Addition, das besagt, dass die Summanden vertauscht werden können (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89). Kinder werden dies nicht unbedingt sofort als erkanntes neues Konzept anwenden, sondern eher, weil es ihnen nützlich erscheint. Aber vielleicht entdecken Kinder auch, dass bei dieser Strategie trotz Tauschens der Summanden dasselbe Ergebnis herauskommt, wie bei der ursprünglich vorgegebenen Rechnung. (vgl. Gaidoschik 2010, S.114).

„Weiterzählen vom größeren Summanden aus in größeren Schritten“, z.B. „Zählen in Zweierschritten“ (Gaidoschik 2010, S.25) ist die effektivste aller Zählstrategien, wenn sie fehlerfrei angewendet wird. Diese Strategie setzt allerding eine hohe Zählkompetenz voraus (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89). Auch Lorenz und Radatz (1993, S.127) und Padberg führen bereits im Jahr 1992 (S.76) die Zählstrategien in dieser Weise auf.

3.2. Subtraktion

Analog zur Addition werden auch bei der Subtraktion Zählstrategien angewendet und spielen eine wichtige Rolle (vgl. Padberg, Benz 2011, S.111). „Rückwärtszählen um eine gegebene Anzahl von Schritten“ ist die erste von drei Zählstrategien der Subtraktion. Beim Rückwärtszählen wird vom Minuend aus die Zahlwortreihe gedacht oder ausgesprochen und die dem Subtrahenden entsprechende Anzahl von Schritten zurückgezählt. Das letzte Zahlwort, das erreicht wird, ist die Differenz (vgl. Gaidoschik 2010, S.25). Hierbei verwenden Kinder meist die Finger zum Zählen. Problematisch oder fehleranfällig ist das gleichzeitige doppelte Zählen. Es muss gleichzeitig rückwärts gezählt werden, wie auch vorwärts für die abzuziehenden Schritte (vgl. Padberg, Benz 2011, S.112f.).

Beim „Rückwärtszählen bis zu einer gegebenen Zahl“ wird beispielsweise bei der Aufgabe 8-5 von acht aus bis zur fünf um drei Schritte zurückgezählt und man erhält durch die Anzahl der Schritte das Ergebnis. Auch hier ist das doppelte Zählen in gegengesetzte Richtungen eine Schwierigkeit (vgl. ebd. 2011, S.113).

Eine weitere Zählstrategie ist das „Vorwärtszählen“ oder auch „zählendes Ergänzen“ genannt (Gaidoschik 2010, S.25). Beim „Vorwärtszählen“ wird beim Subtrahenden begonnen und bis zum Minuenden weitergezählt. Die Lösung erhält man durch die Anzahl der Ergänzungsschritte. Diese Strategie beruht auf dem Subtraktionsaufgabentyp „Ergänzen“. Auch hier werden häufig die Finger zur Hand genommen (vgl. Padberg, Benz 2011, S.113). Ist der Subtrahend größer als die Hälfte des Minuenden, ist es effektiver, vom Subtrahenden weiterzuzählen, bis zum Minuenden, andersrum als die anderen Zählstrategien der Subtraktion. Diese Strategie entspricht bei der Addition dem „Weiterzählen vom größeren Summanden“ (vgl. Obersteiner 2012, S.139).

Die Zählstrategien bei Addition und Subtraktion darf man sich allerdings nicht wie ein lineares Fortschreiten vorstellen, sondern je nach Aufgabe oder bestimmten Situationen greifen Kinder trotz Kenntnis effektiverer Strategien auf einfachere umständlichere Zählstrategien zurück (vgl. Padberg 1992, S.78). „Die Vorgehensweise scheint sowohl vom Alter und damit von ihren Fähigkeiten als auch von der Darstellung der Addition abzuhängen.“ (Rechtsteiner-Merz 2013, S.22).

3.3. Mögliche Schwierigkeiten / Fehler des zählenden Rechnens

Häufig kommen systematische Fehler vor, wie z.B. beim „Weiterzählen vom ersten Summanden aus“ und „Weiterzählen vom größeren Summanden aus“, indem die Kinder die Kardinalzahl des ersten Summanden irrtümlich mitgezählt haben, d.h. das Ergebnis weicht häufig um eins nach unten ab (vgl. Padberg, Benz 2011, S.89). Eine Schwierigkeit beim Weiterzählen bereitet den Kindern, den Überblick zu behalten, wie weit sie im Zählprozess bereits sind, um rechtzeitig mit dem Zählen bei der Lösung aufzuhören. Dieses doppelte Zählen ist für Kinder oftmals problematisch (vgl. ebd. 2011, S.112f.). Häufig wird dieser Zählprozess mit den Fingern begleitet, damit die Kinder an den Fingern ablesen können, wie viele Schritte sie bereits gegangen sind (vgl. Radatz et al. 1996, S.82). Dabei wird das Arbeitsgedächtnis enorm gefordert, was mit zunehmender Zahlgröße immer belastender wird (vgl. Obersteiner 2012, S.140).

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