Möglichkeiten des Einsatzes alternativer Rechenverfahren der vedischen Mathematik in der Grundschule

Inhalt

1. Einleitung

2. Geschichte der vedischen Mathematik

3. Üblicherweise verwendete und vedische Rechenwege
3.1 Geschichte des Einmaleins durch die Jahrhunderte
3.1.1 Darstellungen aus dem 5. Jahrhundert
3.1.2 Darstellungen aus dem 10. Und 11. Jahrhundert
3.1.3 Darstellung aus dem 12. Jahrhundert
3.1.4 Darstellungen aus dem 15. und 16. Jahrhundert
3.1.5 Darstellung aus dem 19. Jahrhundert
3.1.6 Heutige Möglichkeiten der Vermittlung des Einmaleins
3.1.7 Fehlerstrategien beim Anwenden des Einmaleins
3.2 Fingereinmaleins („vedische“ Methode)
3.3 (Allgemeine) Erklärung der schriftlichen Subtraktion
3.3.1 Vermittlung der Subtraktion in der Untersuchungsgruppe
3.3.2 Systematische und typische Fehlerstrategien
3.4 „Vedische“ schriftliche Subtraktion

4. Fragestellung/Hypothese

5. Untersuchung
5.1. Untersuchung in der Schule
5.1.1 Die Planung der Durchführung
5.1.2 Der Untersuchungsablauf
5.2 Auswertung der Ergebnisse
5.2.1 Ergebnisse zum kleine Einmaleins bis 10
5.2.2 Ergebnisse zum großen Einmaleins bis 15
5.2.3 Ergebnisse zur Subtraktion von 10 oder 100 Euro
5.2.4 Ergebnisse zur Subtraktion von beliebigen Zahlen
5.3 Diskussion der Ergebnisse
5.3.1 Zuverlässigkeit der Ergebnisse und allgemeine Schwierigkeiten
5.3.2 Vorteile und Nachteile der Multiplikationsverfahren
5.3.3 Vorteile und Nachteile der Subtraktionsverfahren
5.3.4 Anderweitige Erkenntnisse und erkennbare Fehlerstrategien

6. Fazit

7. Literaturverzeichnis

8. Anhang

1. Einleitung

Der Begriff der „vedischen Mathematik“ findet sich vielfach – und so entstand die Idee für diese Masterthesis – in Nachhilfe – sowie Kopfrechenforen und wird als „effektive und einfache“ Rechenmethode beschrieben, mit der schneller Erfolge zu verzeichnen sind. Es heißt vielfach, dass das kleine Einmaleins nur bis „fünf mal fünf“ beherrscht werden müsse, um auf „vedische“ Weise alle Zahlen multiplizieren zu können.^[1]

„Vedisch“ oder „Veda“ („Sanskrit“) bedeutet dabei „ganzheitliches Wissen in Verbundenheit mit der Natur“ und findet sich auch in der – geläufigeren Begrifflichkeit – Ayurveda wider.^[2] Zu diesem allumfänglichen Wissen zählt auch der Bereich der Mathematik, namentlich eine altindische Rechenform, die von Jagadguru Sankaracarya Srie Bharati Krsna Tirhaji Maharaja (kurz Bharat Krsna Tirthaji, 1884 – 1960) niedergeschrieben wurde, und zwar in Form von 16 Sutren und 13 Subsutren. Charakteristisch für diese Sutren ist die Einfachheit der Rechenregeln, beispielsweise lautet eine – später näher beschriebene Sutra – „Alle von neun und die letzte von 10“.

Wenn nun die maßgebliche Besonderheit dieser vedischen Rechenmethoden Einfachheit und Effektivität sind, drängt sich die Frage auf, warum diese nicht in unseren Grundschulen – gerade bei Schülerinnen und Schülern mit Schwächen in Mathematik oder umgekehrt mit einer ausgeprägten Begabung – gelehrt und verwendet werden. Anders gewendet, welche Vorteile und Nachteile birgt die vedische Mathematik im Vergleich zu den klassischerweise in unserem Grundschulsystem gelehrten Rechenmethoden. Hierzu existieren bislang keine bekannten Untersuchungen, so dass mit dieser Arbeit ein erster Schritt unternommen werden soll, den vorgenannten Fragen nachzugehen. Hierfür werden im Rahmen der Arbeit am Beispiel des Einmaleins und der Subtraktion zunächst herkömmlicher und vedischer Rechenweg vorgestellt und sodann in einer Grundschulklasse getestet deren Verwendbarkeit sowie die Ergebnisse dieser Untersuchungen ausgewertet.

2. Geschichte der vedischen Mathematik

In diesem Kapitel wird der geschichtliche Werdegang der vedischen Mathematik skizziert.

Die in Indien entstandenen und bekannten Rechenverfahren der vedischen Mathematik, kamen erstmals durch den englischen Mathematiker Kenneth Williams nach Europa. Dieser entdeckte im Jahr 1971 das Buch „Vedic Mathematics“, von dem – bereits genannten – indischen Autor Bharati Krsna Tirthaji und übersetzte es später auch in die englische Sprache. Williams war damals ein angehender Mathematiklehrer und kannte sich mit Zahlen aus, aber den Begriff „vedische Mathematik“ hatte er bis dahin nicht gehört. Beim Lesen des Buches erkannte Williams die Einfachheit, Raffiniertheit und Besonderheit des Buches und begann es zu lesen und seine Formeln zu nutzen. Auf Grund der ungewöhnlichen, aber doch einfach nachvollziehbaren Formeln erwartete Williams, dass sich die Gelehrten des Faches darauf stürzen würden. Es kam zwar dazu, aber erst viel später als von Williams erwartet. Zunächst einmal beachtete niemand das von Williams entdeckte Buch. Williams vertiefte sich wiederholt in das Buch und entwickelte eigene Variationen der Rechenmethoden sowie neue Anwendungsmöglichkeiten. Außerdem forschte er nach, wer dieser rätselhafte Autor war, von dem er noch nie gehört hatte und der diese Regeln aufgestellt hatte.^[3]

Der Autor des Buches Bharati Krnsa Tirthaji wurde 1884 in der südindischen Provinz Madras geboren, also zu einer Zeit, als in Indien der Unmut über die britischen Kolonialherren zunehmend anstieg und die Inder sich mehr und mehr auf ihre eigenen Wurzeln besannen. Sein Vater war ein sehr reicher Steuerbeamter und so entwickelte sich Bharati Krsna Tirthaji zu einem geistigen „Tausendsassa“, der in der Schule zwar durch Respektlosigkeiten und wissenshungrige Fragen an die Lehrkräfte, aber auch durch blendende Noten auffiel. Dabei interessierte ihn alles, was mit Naturwissenschaft, Geisteswissenschaft, Mathematik und Sprachen zu tun hatte. Während seiner universitären Zeit schloss er sein Studium gleich in sieben Fächern ab.^[4]

Durch die vorgenannte Rückbesinnung der Inder auf die eigenen Wurzeln, begannen die Gelehrten, die heiligen Schriften – namentlich „Veden“ –aus dem Sanskrit neu zu übersetzen. Dabei heißt „Veda“ – wie bereits erwähnt – sinngemäß Weisheit und findet sich in dem Wort „Ayurveda“, Weisheit vom Leben, wieder. Die „Veden“ gehören zu den ältesten überlieferten Schriften der Menschheit, aber aus den Teilen mit der Aufschrift „Ganita sutra“, was so viel heißt wie mathematische Formeln, wurde vor Bharati Krsna niemand so recht schlau, da diese „Veden“ eine Wissenssammlung der höchsten Priester des Hinduismus (Brahmanen) waren. Bharati Krsna zog – so ist zumindest überliefert – sich acht Jahre lang in die Abgeschiedenheit der Berge zurück und widmete sich nur den kryptischen Schriften. Sein einziger Lebensinhalt galt dem Lösen des Rätsels. Heraus kamen 16 mathematische Grundregeln – „Sutren“ genannt – die alles je über Mathematik gesagte zusammenfassen und komprimieren sollten. Bharati Krsna behauptete, dass alle bis dahin bekannten Rechenverfahren mit diesen „Sutren“ schneller und einfacher gelöst werden könnten und es somit zu einer Revolution des mathematischen Denkens und Rechnens käme. Er begann darüber Vorträge in ganz Indien zu halten, durch Europa und Asien zu reisen und einige Gelehrte um sich zu versammeln, um sein neu erlangtes Wissen zu verbreiten. Im Jahr 1956 kam es dann zu einem dramatischen Ereignis: Seine 16 Buchmanuskripte, eins für jede Sutra, verbrannten in einem Haus seiner Schüler und so machte er sich im hohen Alter nochmal an die Arbeit, alles zu Papier zu bringen. Dabei kam in sechs Wochen bis zu seinem Tod das, von Williams später entdeckte, Buch heraus.^[5]

Williams seinerseits besprach sich nach der Entdeckung des Buches mit Kollegen, von denen einer sogar nach Indien reiste, um den Wahrheitsgehalt und die Ursprünge der Sutren nochmal genauer vor Ort zu untersuchen. Dadurch verbreitete sich – wenn auch verspätet – die vedische Mathematik, wurde zu einem neuen Forschungsgebiet und erhielt durch Williams und seine Mitstreiter auch Zugang in den Schulalltag. Sie unterrichteten Schülerinnen und Schüler mittels der Methoden der vedischen Mathematik und sogar Schullehrpläne wurden nach Williams Entdeckungen geändert. Einige seiner Schülerinnen und Schüler nutzten diese Schnellrechenmethode erfolgreich bei Bewerbungsgesprächen und wer schon einmal einen indischen Kellner fragt, wie und warum er etwas so schnell zusammenrechnen konnte, wird als Antwort vielleicht „vedisch“ erhalten. Auch viele Kopfrechensportler nutzen diese Verfahren, um schwierige Aufgaben einfach und schnell auszurechnen.^[6]

Bharati Krsna Tirthaji selbst bezeichnete seine Sutren als mentale Regeln, welche zur Ausführung im Kopf gedacht seien. „Was Yoga für den Körper ist und das Kamasutra für die Liebe, das ist vedische Mathematik für den Geist“.^[7] Seine Behauptung, dass in den Sutren die gesamte Mathematik stecke, kann man allerdings nur als poetische Überhöhung verstehen, da in den Sutren nur der endliche Zahlenraum erfasst wurde und nichts über die Unendlichkeit, eines der für die heutige moderne Mathematik sehr relevantes Thema. Da die Entstehung und Herleitung der Sutren nicht unumstritten ist, entwickelte es sich auch in Indien schon zu Zeiten von Bharati Krsna Tirthaji zum politischen Streitthema zwischen gemäßigten Kräften und radikalen Nationalisten. Da aber die Richtigkeit der teilweise ungewöhnlich anmutenden Rechenregeln nicht zu wiederlegen ist, gelten die Sutren heute als nützliches Regelwerk, welches das Kopfrechnen beschleunigen kann. Diesbezüglich ist es auch kein Zufall, dass dieses geniale Rechensystem in Indien entwickelt wurde, da es in Indien viele großartige Mathematiker gab und auch heute noch gibt. So waren die indischen Mathematiker auch die ersten, die mit der Null rechnen konnten, die Algebra entwickelten, die Zahl Pi aufs Zehntausendstel genau berechneten (3,1416), erkannten, dass ein Sonnenjahr 365,358 Tage sind und die Erde eine Kugel, die um sich selbst und die Sonne kreist, ist. Unser heute in der Schule benutztes arabisches Zahlensystem stammt ebenfalls ursprünglich aus Indien.^[8]

3. Üblicherweise verwendete und vedische Rechenwege

Im Folgenden Kapitel wird die geschichtliche Entwicklung des Einmaleins, die in der Grundschule üblicherweise verwendeten Rechenwege einschließlich typischer Fehlerstrategien dargestellt, und zwar dies in Bezug auf das Einmaleins und die schriftliche Subtraktion. Zu letztgenanntem wird auch die vedische Rechenmethode erläutert.

3.1 Geschichte des Einmaleins durch die Jahrhunderte

Vorab erfolgt eine – notwendigerweise verkürzte – Darstellung des Einmaleins im europäischen Raum vom 5. bis zum 20. Jahrhundert unter Bezugnahme auf zeitgenössische Darstellungen.

Unter „Einmaleins“ versteht man die Multiplikation zweier Zahlen in einem Positionssystem, wobei der Stellenwert der einen Zahl mit dem Stellenwert der anderen Zahl multipliziert wird. Dies ist vergleichbar mit dem Additionssystem, in dem alle Summanden addiert werden müssen. Aufgrund dieser Voraussetzung ergeben sich für das dezimale System mit 10 Ziffern von 0 bis 9 mithin 100 Teilprodukte von 0 x 0 bis 9 x 9. Dies wird auch das kleine Einmaleins genannt. Die Produkte der Faktoren 0 und 1 lässt man in der Regel weg und erhält damit ein verkürztes Einmaleins mit 64 Teilprodukten von 2 x 2 bis 9 x 9. Der Umfang eines solchen Einmaleins hängt von der Basiszahl des Zahlensystems ab. Normalerweise ist dies die 10, aber bei anderen Basiszahlen kommt es auch zu einer unterschiedlichen Anzahl an Produkten. Bei der Basiszahl 8 mit den Ziffern 0 bis 7 kommt es zu 64 Produkten und bei der Basiszahl 12 zu 144 Produkten. Schließlich bedarf es bei dem bei Astronomen sehr beliebten Sexagesimalsystem mit Basiszahl 60 und den Ziffern 0 bis 59 zu einem vollständigen Einmaleins 3600 Teilprodukten.^[9]

3.1.1 Darstellungen aus dem 5. Jahrhundert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenVictorius Aquitanus, Calculus. Abbo von Fleury, Commentarius in calculum Victorii - Staatsbibliothek Bamberg Msc.Class.53, Würzburg oder Bamberg, Anfang 11. Jh. (Victorius von Aquitanien, lat. Victori(n)us Aquitan(ic)us; um 457)

Im 5. Jahrhundert wurde von dem Mathematiker Victorius von Aquitanien der „Calculus Victorii“ geschrieben. Es handelt sich dabei um ein erstes Tafelwerk zur Erleichterung von Multiplikation und Division.^[10] Im 10. Jahrhundert wurde sein Tafelwerk dann von Abbo von Fleury kommentiert. Dies könnte ungefähr so wie in der obigen Abbildung ausgesehen haben, die aus der Zeit Anfang des 11. Jahrhunderts stammt. Man kann daher davon ausgehen, dass die Abschrift dem Original entspricht, da auch der römische Abakus aus senkrechten Spalten besteht, die nach oben hin mittels halbrunden Bögen verbunden waren. Diese Abschrift wurde angefertigt in der Schreibstube (Scriptorien) eines Klosters. Dargestellt wird hier in Spalten die Vielfachen von 5 (links), 6 (Mitte) und 7 (rechts). Von unten nach oben sind die Lösungen bei der Multiplikation mit anderen Zahlen eingetragen, wobei auch Bruchteile davon zu erkennen sind. Die Trennlinien werden als Säulen und die Bögen im oberen Teil als Arkaden bezeichnet.

Aus Boethius, Anicius Manlius Severinus: De institutione arithmetica - Staatsbibliothek Bamberg Msc.Class.8, [S.l.], fol. 28v. Nordostfrankreich, 3. Viertel 9. Jh.

Der „De Institutione Arithmetica“ (dt. arithmetische Unterweisung oder Methode) von Anicius Manlius Severinus Boethius, einem um 500 n. Chr. lebenden spätantiken römischen Gelehrten, ist ein mathematischer Text zuzuschreiben, der das Denken der im Mittelalter lebenden Menschen sehr verändert hat. In diesem Text kann man eine quadratische Anordnung von Zahlen erkennen, die von Nikomachos von Gerasa (150 n. Chr.) stammt.^[11] Aufgrund der Häufigkeit der Verwendung von Kopien, kennt die Forschung heute noch etwa 180 vorhandene Schriften des Werkes von Boethius.^[12]

In obiger Abbildung sind die Zahlen von 1 bis 10 am oberen Rand von links nach rechts und auf der linken Seite von oben nach unten zu erkennen. Im Schnittpunkt von Zeilen und Spalten findet man in dem entsprechenden Kästchen das Produkt der beiden Produktfaktoren und in der Diagonalen das Quadrat der beiden Zahlen. Somit kommen alle Produkte einmal oberhalb als auch unterhalb der Diagonalen vor, was das kommutative Gesetz axb = bxa zeigt.

In der Arithmetica zeigt Boethius, dass alle Zahlen innerhalb des Quadrats Produkte aus den beiden Zahlen am Rand sind. Dabei ist die Zahl bei ihm keine Rechengröße und somit verwendet er das Quadrat auch nicht zum Rechnen.^[13] Vielmehr möchte er mit der Tafel die Beziehungen im Rahmen der theoretisch ausgerichteten Zahlenlehre herleiten bzw. zeigen. Nach mittelalterlicher Auffassung erschuf nämlich Gott die Welt und somit auch die Ordnungsgrößen, Zahlen, Maß und Gewicht. Wer mithin Gott verstehen wollte, musste auch Einblick in Zahlen und ihre Beziehungen gewinnen.^[14] Fälschlicherweise hat man bis in das 18. Jahrhundert die Darstellung des Einmaleins als „Tabula Pythagorica“ oder „Mensa Pythagorea“ bezeichnet und mit dem griechischen Mathematikern Pythagoras in Verbindung gebracht.^[15] Diese (fehlerhafte) Beziehung beruht aber auf einem Fehler beim Kopieren der Schriften. Tatsächlich existiert eine Boethius zugeschriebene Schrift über Geometrie unter der ein Abakus dargestellt wird, den man „Tabula Pythagorica“ bezeichnete. Da dieser Abakus aber einer Multiplizier-Tafel mit Spalten und Bögen sehr ähnlich war, kam es bei der Anfertigung mehrerer Abschriften dazu, dass der Abakus mit der Multiplizier-Tafel vertauschen wurde, ohne die eigentliche Bezeichnung zu ändern.^[16] Das ist der Grund für die irrige Kombination von Pythagoras und einer Einmaleinstafel, die so nie bestand. Inhaltlich ist die Abschrift des quadratischen Einmaleins natürlich identisch mit dem Original. Es lassen sich hingegen nur grafische Ausgestaltungsänderungen feststellen.

3.1.2 Darstellungen aus dem 10. Und 11. Jahrhundert

Quelle: Bayerische Staatsbibliothek, Münchner Digitalisierungszentrum: Johannes Scotus Eriugena - Dionysius Areopagita BSB Clm 14137, um 1040

Dieses Bild, aus dem Kloster St. Emmeran stammend, zeigt im Gegensatz zu dem zuvor gezeigten Quadrat von Boethius eine vollkommen andere Darstellungsform. Die Zeichen auf der linken Seite sollen jeweils von oben nach unten die Zahlen von 1 bis 9, 2 bis 9, 3 bis 9, usw. darstellen. In den Zeilen daneben, kann man immer deren Produkte erkennen. Diese beginnen mit 1 x 1 bis 1 x 9, darunter 2 x 2 bis 2 x 9, 3 x 3 bis 3 x 8 und in der rechten Spalte beginnend 3 x 9, 4 x 4 bis 4 x 9 usw., so dass in der letzten Zeile das Produkt von 9x9 zu erkennen ist. Die rechts neben der Abbildung befindliche Liste ist eine Übertragung in die heutige Darstellungsform zum besseren Verständnis.^[17]

Hier erkennt man noch einmal vergrößert die erste Zeile links oben und die letzte Zeile rechts unten. Auf Grund der Eindimensionalität bezeichnet man solche Darstellungen des Einmaleins als Listendarstellung oder Listenform, genauer gesagt als verkürzte Liste, da die Produkte mit den Quadratzahlen beginnen. Da die Produkte sowohl mit Zahlzeichen als auch verbal zu erkennen sind, lässt das die Vermutung zu, dass die Multiplikationssätze zum Lernen oder Einüben gedacht sind. Dabei bedeutet das Wort articulus „Zehner“ (10, 20…) und digitus „Einer“ (1 bis 9). Dazu kommen die Wörter semel für einmal, bis für zweimal, ter für dreimal usw., um die Menge zu erkennen. Zeugnis davon geben die Confessiones des Kirchenlehrers Augustinus (354-430), in welchen zu lesen ist, dass ihm die „ unum et unum duo, duo et duo quatuor “ ein verhasster Gesang gewesen sei. Dieser Gesang war nichts anderes als das Einmaleins. Daraus kann man erkennen, dass diese elementaren Rechenaufgaben als eine Art Chorsprechen hintereinander eingeübt wurden.^[18] Wie sich dieser Gesang anhörte oder aussah, ist leider nicht überliefert. Er diente vermutlich dem Einüben der Multiplikation. Es ist bereits hier bei der Darstellungsform der verkürzten Liste erkennbar, dass die Zahlwörter „einmal“ sowie „zweimal“ bereits eine Multiplikation enthalten und est (dt.ist) die Gleichheit zwischen einem Ergebnis und dem Produkt ausdrückt. Um nicht in den Zeilen der Liste zu verrutschen und das falsche Ergebnis zu bekommen, ist jede Zeile links mit dem Zahlzeichen des zweiten Faktors versehen. Diese nennt man apices (Singular apex) und man versteht darunter entweder kegelige Rechensteine aus Horn oder auch diese Ziffern, die oben auf der Liste aufgetragen waren. Die westarabischen Zahlzeichen lernte der Mönch Gerbert von Aurillac, später Papst Silvester II, um 968 in Spanien kennen. In abgeänderter Form schrieb er sie auf Rechensteine, um mit ihnen auf dem Abakus zu rechnen.^[19]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen, 1989, Abb. 352

Im folgenden Bild, dem Abakus von Gerbert von Aurillac (um 950 – 1003), kann man erkennen, dass die Steine nun beschriftet sind. Zuvor hatte man einfach die Anzahl der Steine in die Spalten gelegt. Dabei ist zu sehen, dass manche Felder frei bleiben. Das liegt daran, dass Gebert die Zahl Null noch nicht kannte. Der Vorteil der neuen arabischen Ziffern, wonach man in einem Positionssystem und mit gedachter Null schriftlich rechnen konnte, stand Gebert noch nicht zur Verfügung. Des Weiteren gab er den arabischen Zeichen noch teils geheimnisvolle arabische Namen. So hießen die Zahlen: 1 „igin“, 2 „andras“, 3 „ormis“, 4 „arbas“, 5 „quimas“, 6 „caltis“, 7 „zenis“, 8 „temenias“, 9 „celentis“. Diese Namen und Zeichen konnten sich aber nur auf der Klosterebene durchsetzen und so verbreiteten sich die ersten heute bekannten arabischen Zahlzeichen in Europa erst im 11./12 Jahrhundert. Die Null kam sogar erst im 12. Jahrhundert dazu, was zu einer tiefgreifenden Veränderung der Rechentechnik führte. Anlass dieser Veränderung war unter anderem das zunehmende wirtschaftliche Wachstum. Die Rechenmethoden mussten wesentlich schneller und effizienter als zuvor sein. Mit all ihren Vorteilen und Rechenverfahren verbreitete Leonardo von Pisa in seiner „ liber abaci“ die indo-arabischen Ziffern in Europa.^[20]

3.1.3 Darstellung aus dem 12. Jahrhundert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Bayerische Staatsbibliothek, Münchner Digitalisierungszentrum: Bedae libri de arte metrica fragmentum... BSB Clm 14689, 12. Jhd.

Produktfaktoren am Rande der Darstellung gibt es in dieser Tafel aus dem 12. Jahrhundert nicht. Pro Zelle sind die beiden Produktfaktoren als auch das Ergebnis eingetragen. Der erst Faktor ist dabei in lateinischen Zahlwörtern, der zweite Faktor und das Ergebnis hingegen in römischen Zahlzeichen geschrieben. Zur besseren Veranschaulichung ist der erste sowie zweite Faktor nochmal am Rande geschrieben. Dadurch erkennt man, dass die Darstellung der unteren Hälfte dem schon bekannten Rechenquadrat ähnelt, bei der in der Diagonalen die Produkte der Quadratzahlen zu erkennen sind.^[21]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: New York, Columbia University, Rare Book and Manuscript Library, Plimpton MS166. Italy 13th c. - Boethius: De institutione arithmetica, fol. 11v

In dieser weiteren Tafel ist eine quadratische Darstellung mit römischen Zahlzeichen zu erkennen, die der Schreiber mit linear grafischen Elementen und den Farben blau und rot dekoriert hat. Dabei sind parallele Linien am Ende mit dem Bogen abgeschlossen, wie sie auch an einem Abakus vorkommen. Dadurch wirkt die Darstellung übersichtlich. Den Gegensatz dazu bilden die Prachtbibeln und andere theologische Texte der Zeit. Da sie zu religiösen Texten gehörten, weisen sie in Schrift und bildlichen Darstellungen höchste Präzision und künstlerische Ausgestaltung aus. Geometrie und Arithmetik werden dabei als Hilfsmittel gesehen, da die Beschäftigung mit Mathematik dem Weltlichen zugeordnet wurde und es daher nach damaliger Vorstellung keiner künstlerisch präzisen Ausgestaltung bedurfte.^[22]

3.1.4 Darstellungen aus dem 15. und 16. Jahrhundert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenQuelle: Bayerische Staatsbibliothek, Münchner Digitalisierungszentrum: Sammelband hauptsächlich astrologischen Inhalts - Clm 14111, 15. Jhd.

Diese Abbildung zeigt eine quadratische Anordnung mit indo-arabischen Zahlzeichen, die bis auf wenige Ausnahmen schon unseren heutigen Darstellungsformen sehr ähnlich sind. Dabei passieren dem Schreiber zwei Fehler, die er nachträglich korrigiert.^[23] Dies macht deutich, dass die Beschäftigung mit mathematischen Fragen keiner künstlerischen Ausgestaltung bedarf. Obwohl Geometrie und Artihmetik zum Verständnis der Schöpfung Gottes benutzt wurde, gehörte Mathematik zu weltlichen Themen.^[24]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wagner, Ulrich: Regula von dre ist drey dinck die du setzt. Staatsbibliothek Bamberg Inc.typ.Ic.I.44 (ca. 1471 / 1482)

[...]

^[1] Schonard (2013), S. 55

^[2] Vgl. Schonard (2013), S. 55 f.

^[3] Vgl. Hürter in Zeitschrift PM (2011), S. 32

^[4] Vgl. Hürter in Zeitschrift PM (2011), S. 32

^[5] Vgl. Hürter in Zeitschrift PM (2011), S. 33

^[6] Vgl. Hürter in Zeitschrift PM (2011), S. 33

^[7] Hürter in Zeitschrift P.M. Magazin (2011), S. 33

^[8] Vgl. Hürter in Zeitschrift PM (2011), S. 34 f.

^[9] Vgl. Weiss 2015, S. 1 f.

^[10] Vgl. Weiss 2015, S.3

^[11] Vgl. Nicomachus of Gerasa (1926) & Weiss (2015), S. 5

^[12] Vgl. Masi (1983) & Weiss (2015), S. 5

^[13] Vgl. Holl (2005)

^[14] Vgl. Schiffler (2004)

^[15] Vgl. Smith (1958), S. 124-126 & Weiss (2015), S. 6

^[16] Vgl. Bossut (1804), S. 31-32 & Weiss (2015), S. 6

^[17] Vgl. Weiss (2015), S. 9

^[18] Vgl. Sterner (1891), S. 90 & Weiss (2015), S. 10

^[19] Vgl. Weiss (2015), S. 11

^[20] Vgl. Weiss (2015), S. 12 f.

^[21] Vgl. Weiss (2015), S. 14

^[22] Vgl. Weiss (2015), S. 15

^[23] Vgl. Weiss (2015), S. 16

^[24] Vgl. Weiss (2015), S. 15