Statistische Schätzung des Value-at-Risk zur Marktrisikoquantifizierung


Seminararbeit, 2014

15 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Value-at-Risk
a.) Stetige vs. diskrete Verlustverteilung
b.) Definition des VaR für Gewinn- und Verlustverteilungen

3. Schätzmethoden des VaR
a.) Parametrische Schätzmethoden
b.) Nichtparametrische Schätzmethoden

4. Zusammenfassung

5. Quellenverzeichnis

6. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

1. Einleitung

Es gibt viele Ansätze, Risiken innerhalb der Finanzwirtschaft zu bewerten. Während beidseitige Risikomaße (z.B. die Standardabweichung) Schwankungen um einen Erwartungswert betrachten, handelt es sich bei dem Value-at-Risk (VaR) um ein einseitiges, rein verlustorientiertes Risikomaß.1 Im ersten Teil dieser Arbeit steht die Definition des VaR im Hinblick auf diskrete und hauptsächlich stetige Gewinn- und Verlustverteilungen im Mittelpunkt. Im zweiten Teil werden parametrische und nichtparametrische Schätzmethoden gegenübergestellt und die VaR-Berechnung unter Verwendung des Varianz-Kovarianz-Modells und der historischen Simulation an Beispielen demonstriert.

2. Value-at-Risk

Der VaR diente schon vor dessen Einzug in das Aufsichtsrecht der Banken Ende der 1990er Jahre als gängiges Risikomaß in der Schadenversicherungsmathematik. Dort wurde er hauptsächlich als „Ruin-Risikomaß“ genutzt und bezog sich typischerweise auf Betrachtungszeiträume von einem Geschäftsjahr. Als Bankenaufsichtsrechtliches Risikomaß dient der VaR heute hauptsächlich der Erfassung von Marktrisiken in Handelsbeständen und betrachtet, typischerweise, Zeiträume von einem Tag bis zu einem Monat. Der Value-at-Risk kann als zusammenfassende, monetäre Zahl definiert werden, die den größtmöglichen Verlust einer Risikoposition mit einem bestimmten Sicherheitsniveau innerhalb einer bestimmten Zeitspanne quantifiziert. Dabei gilt

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Als Verlustgröße trägt der Value-at-Risk per Definition ein positives Vorzeichen. Beträgt der VaR einer Aktienposition mit Sicherheitsnievau von 95 % (𝛼 =5 %) und Haltedauer t = 1 Tag beispielsweise 10.000 $, so wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % der Verlust (V) der Aktienposition innerhalb des nächsten Tages 10.000 $ nicht übersteigen. Der VaR stellt eine Grenze dar, er trifft keine Aussagen darüber, wie die Verluste unterhalb dieser Grenze verteilt sind. Der im Beispiel mit 5 % Wahrscheinlichkeit eintretende, größere Verlust als 10.000 $ kann demnach 11.000 $ oder auch 100.000 $ betragen. Wie bei allen zukunftsbezogenen Risikomaßen, handelt es sich bei dem VaR um eine Schätzung.

a.) Stetige vs. diskrete Verlustverteilung

Liegt dem VaR die Annahme einer stetigen Verlustverteilung zugrunde und beschreibt f(v) deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, so kann (bei gegebenem Konfidenzintervall und Zeithorizont) mit

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für den VaR gelöst werden. Die Dichtefunktion f(v) ist entweder durch Annahme einer typischen stetigen Verteilung (z.B. Normalverteilung) bekannt oder wird durch historische oder simulierte Werte erzeugt. Liegt dem VaR hingegen eine diskrete Verlustverteilung zu Grunde, so kann er nicht durch Integration der Dichtefunktion ermittelt werden. Für die Berechnung ist der kleinste diskrete Wert der Verteilung zu identifizieren, der gerade noch Teil der größten 𝛼 − % aller Verluste ist. Es gilt

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Eine solche Berechnung kann iterativ ausgeführt werden, indem in einem ersten Schritt die möglichen, diskreten Verluste (V) vom größten (v1) bis zum kleinsten (v𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ) sortiert werden und in einem zweiten Schritt folgender Algorithmus durchgeführt wird:

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Gilt für die Verluste (V) einer diskreten Verteilung beispielsweise 𝑉i = {10; 1; 0} mit den jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten Pr (𝑉i ) = {1%; 4%; 95%} und (1 − α) = 98 %, dann lässt sich der VaR wie folgt berechnen: Verlust in absteigender Reihenfolge: vi = {10; 1; 0}

1. Start 𝑖 = 1
2. Prüfe Pr(𝑉 > vi)

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Gilt für das Sicherheitsniveau 95% anstatt 98%, also 𝛼 = 0,05 so ist

Pr(𝑉 > 0) = 0,05 = α.

Damit würde der VaR gemäß Pr(𝑉 > VaR) ≤ 𝛼 für diskrete Verteilungen den Wert 0 annehmen während er gemäß Pr(𝑉 ≥ VaR) = 𝛼 für stetige Verteilungen den Wert 1 Annehmen würde. Alternativ könnte man den Mittelwert der beiden Ergebnisse ermitteln, wobei der VaR den Wert 0,5 annehmen würde.

b.) Definition des VaR für Gewinn- und Verlustverteilungen

Der VaR kann sowohl aus der Gewinn-, als auch aus der Verlustverteilung berechnet werden. Da sich der Verlust auch immer als negativer Gewinn ausdrücken lässt, entspricht der VaR zum Sicherheitsniveau (1 − 𝛼) dem negativen 𝛼 −Quantil der Gewinnverteilung und dem (1 − 𝛼) − Quantil der Verlustverteilung einer Risikoposition über deren Haltedauer. Für die Verteilungen gilt dann

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Beträgt der VaR einer Verlustverteilung zu einem Sicherheitsniveau von 95% mit einem mittleren Verlust von 𝜇 = −10 $ beispielsweise 3 $, so entsprechen diese 3 $ dem 95%-Quantil der Verteilung. Abbildung 1 zeigt den Graph einer Dichtefunktion die den Werten des Beispiels zu Grunde liegen könnte. Solange das α-Quantil (in Abb.1 rot) die Verlustwahrscheinlichkeit (in Abb.1 grün) nicht übersteigt, trägt der VaR ein positives Vorzeichen.

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Abbildung 1.: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (Verluste)

In manchen Fällen ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Verlustes derart gering, dass der VaR bei der Betrachtung der Verlustverteilung negativ ist. Wird der mittlere Verlust von 𝜇 = −10 mit 𝜇 = −15 ersetzt, so erhalten wir, ceteris paribus, für den VaR einen theoretischen Wert von -1,8$. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass Pr(𝑉 > 0) < (1 − 𝛼). Betrachten wir nun wieder den Erwartungswert der Verlustverteilung von 𝜇 = −10$ und überführen diesen in den entsprechenden Wert der Gewinnverteilung, dann gilt für den durchschnittlichen tägliche Gewinn (G) der gleichen Risikoposition 𝜇 = 10$. Der VaR von 3$ entspricht allerdings nicht, wie bei der Verlustverteilung, dem 95%-Quantil der Verteilung sondern dem negativen 5%-Quantil der Gewinnverteilung, der in Abbildung 2 für eine mögliche Gewinnverteilung rot markiert ist.

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Abbildung 2.: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (Gewinne)

[...]


1 Ein sogenanntes „Downside Risikomaß“.

Ende der Leseprobe aus 15 Seiten

Details

Titel
Statistische Schätzung des Value-at-Risk zur Marktrisikoquantifizierung
Hochschule
Brandenburgische Technische Universität Cottbus
Note
2,0
Autor
Jahr
2014
Seiten
15
Katalognummer
V512456
ISBN (eBook)
9783346102683
ISBN (Buch)
9783346102690
Sprache
Deutsch
Schlagworte
statistische, schätzung, value-at-risk, marktrisikoquantifizierung
Arbeit zitieren
Sibylle Weiss (Autor), 2014, Statistische Schätzung des Value-at-Risk zur Marktrisikoquantifizierung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/512456

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