Operativ strukturierte Übungen im Bereich Mathematik. Wie (gut) beschreiben Grundschulkinder diese Muster?

Ein Projekt mit der Methode „Lautes Denken“


Travail de Recherche, 2020

28 Pages, Note: 1,7


Extrait


Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretischer Hintergrund & Forschungsstand

3. Forschungsfrage und Methodisches Vorgehen
3.1 Analyse

4. Ergebnisse

5. Fazit

7. Literatur

8. Tabellen- und Abbildungsverzeichnis

9. Anhang

1 Einleitung

Auf der Grundlage der Auffassung von Mathematik als die Wissenschaft von den Mustern (Devlin, 2003) hat sich die aktive Auseinandersetzung mit Mustern in der Mathematikdidaktik bereits fest etabliert. Schülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht mehr lernen bzw. sollten mehr lernen als das Anwenden von Regeln und das korrekte und möglichst schnelle Lösen von Rechenaufgaben. Dies wird auch in den Bildungsstandards für den Primarbereich, die 2004 von der Kulturministerkonferenz beschlossen wurden deutlich, wo fünf Leitideen für den Mathematikunterricht formuliert sind, aus denen jeweils die inhaltsbezogenen Kompetenzen abgeleitet werden. Muster und Strukturen ist hier als eine der Leitideen des Fachs Mathematik im Primarbereich aufgeführt. Das Beschäftigen mit Mustern und Strukturen im Mathematikunterricht stellt die Grundschulkinder vor die Anforderung, mit denen ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln, mathematische Muster möglichst allgemein zu beschreiben. Wobei darauf zu achten ist, dass den Kindern, anders als der Lehrkraft, mathematische Ausdrücke wie Variablen, Therme und Gleichungen nicht bekannt sind.

Operativ strukturierte Übungen, wie etwa Zahlenmustern, fördern zudem die in den Bildungsstandards geforderten allgemeinen mathematischen Kompetenzen: Problemlösen, Kommunizieren, Modellieren, Argumentieren und Darstellen (Bildungsstandards der KMK, 2004). Die Bildungsstandards setzen diese mit den inhaltsbezogenen Kompetenzen gleich. Beim Bearbeiten von strukturierten Aufgabenfolgen werden zum einen Rechenfertigkeiten in den Grundrechenarten geübt und zum anderen können beim Entdecken, Beschreiben, Begründen, Entwickeln und Weiterentwickeln von Mustern Zusammenhänge erkannt, genutzt und auf ähnliche Sachverhalten übertragen werden (Bildungsstandards der KMK, 2004, S.7), eigene Vorgehensweisen beschrieben, Lösungswege anderer verstanden und gemeinsam darüber reflektiert werden (Bildungsstandards der KMK, 2004, S.8), mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwendet werden (Bildungsstandards der KMK, 2004, S.8), mathematische Zusammenhänge erkannt und Vermutungen entwickelt werden (Bildungsstandards der KMK, 2004, S.8) und Begründungen gesucht und nachvollzogen werden (Bildungsstandards der KMK, 2004, S.8).

2 Theoretischer Hintergrund & Forschungsstand

Die beiden Begriffe Muster und Strukturen lassen sich nicht eindeutig voneinander trennen, da sie inhaltlich einige Überschneidungen aufweisen. Dennoch wurden, vor allem in der jüngeren Forschung, einige Versuche unternommen diese Begriffe getrennt voneinander zu definieren.

Mathematischen Mustern werden Eigenschaften wie „Ordnung, Regelmäßigkeit, Wiederholung und Vorhersehbarkeit“ (RathgebSchnierer, 2007 zitiert nach Steinweg, 2014, S.52) zugeschrieben. Eine mathematische Struktur dagegen wird als eine Menge mit bestimmten Eigenschaften beschrieben. Die Eigenschaften dieser Menge entwickeln sich aus den Relationen zwischen den Elementen der Menge bzw. einer Teilmenge (Basieux, 2000). Da die Relationen zwischen den Elementen sehr unterschiedlich sein können, gibt es zahlreiche unterschiedliche Strukturen, wie algebraische Strukturen, Ordnungsstrukturen, relationale Strukturen und viele mehr. Einige essenzielle Mengen wie zum Beispiel der natürliche Zahlenbereich (N) weisen mehrfach Strukturen auf. Das Verhalten mathematischer Objekte zueinander ist daher von strukturellen mathematischen Beziehungen (z. B. Ordnung, Verknüpfungen) abhängig, welche sich in Mustern zeigen können (Steinweg, 2014, S.53).

Für das Lernen von Mathematik tragen operativ strukturierte Übungen eine besondere Bedeutung. Durch das Erkunden, Erkennen, Beschreiben und Erklären von Zahlenmustern werden grundlegende mathematische Strukturen für die Schülerinnen und Schüler zugänglich, zudem wird die Ausdrucksfähigkeit in Wort und Schrift geschult. Dabei steht die kommunikative Funktion von Sprache im Vordergrund und der Schwerpunkt sollte daraufgelegt sein, ein inhaltliches Verständnis zu erwerben, eine Kommunikation zu erzeugen, das gegenseitige verstehen zu ermöglichen und die Schülerinnen und Schüler zum eigenen Handeln anzuregen. Erst wenn die umgangssprachlichen Möglichkeiten zur Darstellung von Mustern und Strukturen aufgebraucht sind, sollte langsam eine fachsprachliche Bereicherung erfolgen (Winter, 1981, S.206).

Die Beschreibungen der Kinder können nach Verboom nicht als „falsch“ oder „richtig“ bewertet werden, sie können lediglich „mehr oder weniger lernfördernd“ sein (Verboom, 2004a zitiert nach Link, 2014, S.32-33). Kinder erachten eventuell einige Auffälligkeiten, die keine mathematischen Strukturen beschreiben, als wichtiger und andere, die diese aufweisen, als nicht nennenswert. So kann es dazu kommen, dass mathematische Strukturen in strukturierten Aufgabenfolgen zwar erkannt aber nicht genannt werden. Bei der Beurteilung von Beschreibungen von Zahlenmustern geht es darum, zu bewerten, wie gut eine verfasste Beschreibung ist, daher inwiefern sie das Muster vollständig, generalisierend und verständlich beschreibt, dabei muss die Beschreibung der Grundschulkinder nicht fachsprachlich ausformuliert sein, sie sollte lediglich verständlich sein. Jedoch ist es häufig schwierig herauszufinden, was die Schülerin oder der Schüler gemeint hat, da Kinder sich oft kryptisch ausdrücken. Wenn ein Muster nicht in einer Art und Weise beschreiben wurde, dass eine Fortsetzung möglich ist, muss das nicht zwingen daran liegen, dass das Muster nicht erkannt worden ist, sondern kann auch an einem Problem in der Ausdrucksfähigkeit liegen (Frobisher, Threlfall, 1999).

In der aktuellen Forschung sind einige Charakteristika und Beispiele zu finden, die die Unterschiede zwischen den Beschreibungen von Zahlenmustern verdeutlichen und es möglich machen differenzierte Beurteilungen von den Beschreibungen der Schülerinnen und Schüler zu treffen. Sowie Steinweg (2001) unterscheidet auch Verboom (2007) unter exemplarischen Beschreibungen, die Teile des Musters durch zum Beispiel eine Auflistung von Zahlen beschreiben und generalisierende Beschreibungen, in denen das Muster durch die Angabe von allgemein verfassten Regeln beschreiben wird. Nach Steinweg (2001) kann außerdem unterschieden werden, in welchem Umfang ein Muster beschrieben wird: vollständig, in Teilaspekten oder ohne Bezug zur mathematischen Struktur.

3 Forschungsfrage und Methodisches Vorgehen

In diesem Projekt soll, aufbauend auf die zuvor genannten Aspekte, operativ strukturierter Übungen, der Frage nachgegangen werden, wie Grundschulkinder Muster in operativ strukturierten Übungen beschreiben. Dabei kann aufgrund des oben beschriebenen Forschungsstands sowie den theoretischen Ansätzen drauf eingegangen werden, wie gut die Beschreibungen der Kinder sind und wie entsprechende Hilfestellungen die Beschreibungen der Schülerinnen und Schüler verbessern können.

Um die Forschungsfrage beantworten zu können, soll die Methode „Lautes Denken“ angewendet werden. Diese Methode findet vor allem Anwendung in Forschungsprojekten der kognitiven Psychologie und der Linguistik. Protokolle des lauten Denkens ermöglichen es, Einblicke in die Gedanken, Gefühle und Absichten der lernenden Person zu gewinnen. Ziel des lauten Denkens ist es, ein Verständnis davon zu bekommen, welche kognitiven Prozesse während der Bearbeitung einer Aufgabe ablaufen. Die menschliche Informationsverarbeitung ist dabei Ausgangspunkt für das theoretische Modell „Lautes Denken“. Das Gedankenprotokoll soll entstehen während sich die Information im Arbeitsspeicher (Ultrakurzzeit- und Kurzzeitgedächtnis) befindet. Damit ist das Laut-Denken-Protokoll eine unmittelbare Repräsentation der kognitiven Prozesse im Kurzzeitgedächtnis (Konrad, 2010).

Da sich die Methode „Lautes Denken“ nicht auf die Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler fokussiert, sondern auf die kognitiven Prozesse während der Bearbeitung der Aufgabe, ist es möglich zu verstehen, ob die Lernenden die mathematischen Muster tatsächlich nicht erkannt haben, falls diese im Ergebnis nicht aufzufinden sind, oder, ob andere Aspekte dazu geführt haben, dass diese nicht in der Antwort formuliert wurden. In diesem Projekt soll eine Gruppe von Schülerinnen und Schüler eine vorgegebene Aufgabe bearbeiten und dabei ihre Gedanken verbalisieren, zum Beispiel: welchen Teilschritt sie gerade auf welche Weise bearbeiten. Wichtig ist dabei, dass alle Gedanken ausgesprochen werden, auch solche, die den Kindern irrelevant erscheinen. Der Versuchsleiter protokolliert die einzelnen Äußerungen möglichst objektiv, das bedeutet ohne Interpretation. In diesem Projekt soll das laute Denken zusätzlich mithilfe einer Diktiergerät-App aufgezeichnet werden, um eine nachfolgende Analyse zu erleichtern. Die Rolle des Versuchsleiters besteht außerdem darin, den Probanden bei Redepausen zum Weitersprechen zu ermutigen.

Zur Deutung dieser Protokolle und Transkripte stellten Ericsson und Simon (1984) ihre „Theorie des lauten Denkens“ vor und nehmen dabei drei verschiedene Formen des lauten Denkens an (Ericsson und Simon, 1984 zitiert nach Konrad, 2010):

- Introspektion (direkte Verbalisierung): Die Probanden sollen alles aussprechen, was ihnen beim Bearbeiten einer Aufgabe durch den Kopf geht.
- unmittelbare Retrospektion: umfasst Aufgabe, die in Symbolform vorliegen (z.B. in Bildern), die zur Lösung benötigte Zeit verlängert sich, da die Probanden die in nicht-sprachlicher Form vorliegenden Gedankeninhalte zunächst in Worte fassen müssen. Die Verbalisierung der beobachteten Information wird von den aufgabengelenkten Prozessen hervorgebracht.
- verz ö gerte Retrospektion (nach der Bearbeitung aller Aufgaben): Die Probanden sollen ihre Gedankenprozesse erläutern.

In diesem Projekt soll das Bearbeiten von operativ strukturierten Übungen, wie die sogenannten sch ö nen P ä ckchen (operative Aufgabenserien, die die Kinder zum Entdecken, zum Erforschen und zum Erklären anregen wie z. B.: 5+10, 5+20, 5+30), von Grundschulkindern der Jahrgangsstufe drei mithilfe der Introspektion (direkter Verbalisierung) analysiert werden. Wobei angenommen wird, dass eine klare Trennung der drei Formen des „Lauten Denkens“ in der Praxis nicht möglich sein wird. Die Bearbeitung der Aufgaben soll mit den Kindern jeweils alleine durchgeführt werden, damit die Schülerinnen und Schüler beim lauten Denken nicht voneinander beeinflusst bzw. abgelenkt werden. Mit Blick auf den dadurch entstehenden zeitlichen Aufwand und der zur Verfügung stehenden Zeit an der Schule, wurde die Durchführung des Projekts mit etwa sechs Kindern geplant. Die Kinder verpassten durch das Projekt Lerninhalte des Regelunterrichts, zudem musste immer ein Raum mit möglichst wenig Ruhestörungen zur Verfügung stehen. Daher konnte das Projekt letztlich, aus Zeitgründen, mit vier Kindern durchgeführt werde. Bei der Wahl der Projektteilnehmer wurde darauf geachtet, dass das Projekt mit einer gemischten Gruppe aus Mädchen/Jungen und leistungsstarken/leistungsschwächeren Kindern durchgeführt wird.

Aufbauend auf die Entwürfe von Unterrichtsaktivitäten aus den Beiträgen zur Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts von Link (2012) wurde ein Arbeitsblatt entworfen, dass die Schülerinnen und Schüler dazu anregen sollte Muster in strukturierten Päckchen zu vervollständigen und möglichst präzise und verständlich zu beschreiben. Das Aufgabenformat beschränkt sich auf die sogenannten schönen Päckchen, da es das am besten zugängliche Aufgabenformat zur Fortsetzung und Beschreibung von operativen Zahlenmustern ist (Link, 2012).

Auf dem Arbeitsblatt sind zwei Aufgaben zum Fortsetzen und Beschrieben strukturierter Päckchen formuliert. Beim Fortsetzen des Musters kommen die Kinder bereits intuitiv zu Erkenntnissen und formulieren nachfolgend Beschreibungen, die sich eher auf die mathematische Struktur des Musters beziehen (Frobisher, Threlfall, 1999), durch das Aufschreiben soll erreicht werden, dass die Kinder sich genügend Zeit nehmen das Muster zu erkunden und genauer zu analysieren (Link, 2012). Dazu müssen sie passende sprachliche Formulierungen finden, die das Muster beschreiben.

Auf dem Arbeitsblatt gibt es zusätzlich noch eine dritte Aufgabe zur Bewertung von Beschreibungen. Drei verschiedene Beschreibungen zu einem Zahlenmuster sollen von den Kindern mit „passt am besten“, „passt mittel“ und „passt am schlechtesten“, bewertet werden. Die Kinder werden mit schwer verständlichen Formulierungen anderer, fiktiver Kinder konfrontiert und sollen überlegen, was diese mit ihre Beschreibung gemeint haben könnten. Mithilfe dieser Aufgabenstellung sollen die Schülerinnen und Schüler dazu angeregt werden Qualitätskriterien von Beschreibungen zu erkennen und darüber nachzudenken (Link, 2012).

Die ersten beiden Aufgabentypen fokussieren sich auf die Beantwortung der Frage, wie die Kinder Muster in operativ strukturierte Aufgaben beschreiben. Der dritte Aufgabentyp soll dabei helfen herauszufinden, wie Kinder dazu angeregt werden können die Muster in schönen Päckchen möglichst vollständig und allgemein verständlich zu beschreiben, d. h., wie die Beschreibungen der Kinder verbessert werden können. Das Arbeitsblatt welches die Schülerinnen und Schüler im Rahmen des Projekts bearbeiten sollten ist in der Anlage 1 (S. 25-26) zu finden.

3.1 Analyse

Um die Forschungsfrage, wie gut die Beschreibungen der Kinder sind beantworten zu können, wurde für die Auswertung der Musterfortsetzungen und -beschreibungen der Schülerinnen und Schüler eine qualitative Inhaltsanalyse durchgeführt. Da es für viele Kinder in der dritten Klasse noch eine Herausforderung ist, ihre Gedanken zu den Zahlenmustern schriftlich festzuhalten, wurde die Methode des lauten Denkens zur Hilfe der Bewertung der schriftlichen Aufgaben mit einbezogen. Orthografische und grammatikalische Fehler machen es schwer, die Beschreibungen der Kinder zu verstehen und zu analysieren (Link, 2012). Zudem ist es möglich, dass ein Kind eine andere Vorstellung, als erwartet davon hat, was an einer Aufgabe mit Mustern interessant genug ist, um es aufzuschreiben (Link, 2012). Mithilfe des lauten Denkens können diese Probleme bis zu einem gewissen Grad umgangen werden.

Die Audioaufnahmen, die während des Projekts gemacht worden sind, wurden Mithilfe des Programms „MAXQDA“ transkribiert. Dabei wurde ein einfaches Transkriptionssystem nach Dresing und Pehl (2011) verwendet. Der Fokus liegt auf einer guten Lesbarkeit, leichter Erlernbarkeit und nicht zu umfangreicher Umsetzungsdauer. Das einfache Transkript lässt einen schnelleren Zugang zum Gesprächsinhalt zu. Es verzichtet auf genaue Details zur Aussprache und wird somit leichter lesbar. Kuckartz et al. formulieren „bewusst einfach und schnell erlernbare Transkriptionsregeln, die die Sprache deutlich „glätten“ und den Fokus auf den Inhalt des Redebeitrages setzen“ (2008, S. 27). Die folgenden Regeln wurden bei der Transkription der Audioaufnahmen berücksichtigt:

Tab.1: Transkriptionsregeln

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Projekt wurde zu Beginn der dritten Klasse mit vier Kinder (zwei Mädchen und zwei Jungen) durchgeführt. Wobei zwei Kinder als eher leistungsstark eingeschätzt worden sind und zwei als weniger leistungsstark.

Für die Auswertung der Daten wurde eine deduktive Vorgehensweise gewählt, da sich hierdurch ein guter Bezug zum Theorie und Forschungsstand abbilden lässt und die dort herausgearbeiteten Aspekte sich gut mit den durch das Projekt gewonnen Daten überprüfen und ergänzen lassen.

Um die Fortsetzungen und Beschreibungen der Muster danach zu bewerten, wie gut die Beschreibungen sind, wurde das folgenden Kategoriensystem zur Grundlage genommen (vgl. Link, 2012, S.18):

- beantwortet, wie von Aufgabensteller/Aufgabenstellerin intendiert ist (Kat. 1)
- beantwortet unter Berücksichtigung von Teilaspekten des Musters (Kat. 2)
- beantworte ohne erkennbaren Zusammenhang zum Aufgabenmuster (Kat. 3)
- nicht beantwortet (Kat. 4)

Bei den sch ö nen P ä ckchen können die ersten beiden Summanden als Objekte aufgefasst werden, mit denen Operationen ausgeführt werden. Das Ergebnis kann als Objekt betrachtet werden, an dem die Wirkung dieser Operation zu erkennen ist (Link, 2012). Den Kern der Strukturierung in operativ strukturierten Aufgaben bilden Objekte, an die bestimmte Operationen bzw. Wirkungen geknüpft sind (Link, 2012). Im Folgenden werden diese als Auff ä lligkeiten bezeichnet. Die Beurteilung der sch ö nen P ä ckchen kann durch die Beurteilung der folgenden Auffälligkeiten erfolgen (Link, 2012, S.125):

- die Veränderung/ das Konstantbleiben des ersten Summanden
- die Veränderung/ das Konstantbleiben des zweiten Summanden
- die Veränderung/ das Konstantbleiben des Ergebnisses

Für die Beurteilung der Musterfortsetzung kann für jedes Objekt bewertet werden, ob das Muster fortgesetzt wurde oder nicht. Auch für die Beschreibungen kann festgehalten werden, wie viele der Auffälligkeiten beschrieben worden sind.

[...]

Fin de l'extrait de 28 pages

Résumé des informations

Titre
Operativ strukturierte Übungen im Bereich Mathematik. Wie (gut) beschreiben Grundschulkinder diese Muster?
Sous-titre
Ein Projekt mit der Methode „Lautes Denken“
Université
Humboldt-University of Berlin
Note
1,7
Auteur
Année
2020
Pages
28
N° de catalogue
V541163
ISBN (ebook)
9783346208590
ISBN (Livre)
9783346208606
Langue
allemand
Mots clés
übungen, operativ, muster, methode, mathematik, lautes, grundschulkinder, denken, bereich, projekt
Citation du texte
Julia Friesen (Auteur), 2020, Operativ strukturierte Übungen im Bereich Mathematik. Wie (gut) beschreiben Grundschulkinder diese Muster?, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/541163

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