Ausgewählte handlungsorientierte Zugänge zu den schriftlichen Rechenverfahren

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Die Rechenverfahren aus mathematischer Sichtweise
2.1 Addition
2.1 Subtraktion
2.2 Multiplikation
2.3 Division
2.4 Eigenschaften der Zahlbereiche bezüglich der Rechenoperationen
2.5 Zum Stellenwertsystem in Bezug zu den Rechenverfahren

3 Die Grundrechenarten aus didaktischer Sichtweise
3.1 Nichtschriftliche Rechenverfahren als Grundlage des schriftlichen S. 12 Rechnens
3.1.1 Nichtschriftliches Addieren
3.1.2 Nichtschriftliches Subtrahieren
3.1.3 Nichtschriftliches Multiplizieren
3.1.4 Nichtschriftliches Dividieren
3.2 Schriftliches Rechnen
3.2.1 Schriftliches Addieren
3.2.2 Schriftliches Subtrahieren
3.2.3 Schriftliches Multiplizieren
3.2.4 Schriftliches Dividieren

4 Arbeitsmittel im Grundschulunterricht
4.1 Charakteristika von Arbeitsmaterialien
4.2 Methodische Möglichkeiten zur Erarbeitung der nichtschriftlichen Rechenoperationen mit Hilfe von Arbeitsmitteln
4.2.1 Erarbeitung der nichtschriftlichen Addition
4.2.2 Erarbeitung der nichtschriftlichen Subtraktion
4.2.3 Erarbeitung der nichtschriftlichen Multiplikation
4.2.4 Erarbeitung der nichtschriftlichen Division
4.3 Methodische Möglichkeiten zur Erarbeitung der schriftlichen Rechen- S. 59 operationen mit Hilfe von Arbeitsmaterialien
4.3.1 Erarbeitung der schriftlichen Addition
4.3.2 Erarbeitung der schriftlichen Subtraktion
4.3.3 Erarbeitung der schriftliche Multiplikation
4.3.4 Erarbeitung der schriftlichen Division
4.4 Kriterien zur Auswahl eines geeigneten Arbeitsmaterials
4.5 Einsatzgebiete und Grenzen einiger Arbeitsmittel

5 Der Felderabakus und seine didaktischen Einsatzmöglichkeiten
5.1 Zum Abakus
5.2 Die Einführung des Felderabakus
5.3 Nichtschriftliches Rechnen am Abakus als Basis
5.3.1 Nichtschriftliches Addieren
5.3.2 Nichtschriftliches Subtrahieren
5.3.3 Nichtschriftliches Multiplizieren
5.3.4 Nichtschriftliches Dividieren
5.4 Die Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren mit Hilfe des S. 94 Felderabakus
5.4.1 Die Erarbeitung der schriftlichen Addition
5.4.2 Die Erarbeitung der schriftlichen Subtraktion
5.4.3 Die Erarbeitung der schriftlichen Multiplikation
5.4.4 Die Erarbeitung der schriftlichen Division
5.5 Geschaffene Zugänge mit Hilfe des Felderabakus
5.6 Vor- und Nachteile des Felderabakus

6 Schlussbetrachtung

7 Abbildungsverzeichnis

8 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Die Grundrechenarten bilden ein wesentlichen Teil des Fundamentes, der bekannten Mathematik und spielen somit eine bedeutende Rolle im Leben jedes Menschen. Die Wichtigkeit dieser Thematik darf vor allem auch den Kindern nicht vorenthalten bleiben, da die Grundrechenarten den Menschen im alltäglichen Leben begegnen und sie bewusst oder unbewusst verwendet werden. Deswegen ist eine frühzeitige Behandlung und behutsame Einführung der Thematik von enormer Bedeutung, um die Schüler bewusst darauf vorzubereiten und ihnen die Verfahrensweise nicht nur mechanisch zu erlernen, sondern auch verständlich zu verinnerlichen.

Die vorliegende wissenschaftliche Arbeit soll einen Einblick in die Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren verschaffen und zeigen wie dies mit Hilfe didaktischen Materials verwirklicht werden kann. Dabei möchte ich eine anschauliche und logische Verknüpfung zwischen der Arbeit mit didaktischen Material und der Erarbeitung der schriftlichen Rechenverfahren erstreben, welche wissenschaftlichen Aspekten entspricht aber auch pädagogisch sinnvoll erscheint.

So gliedert sich die Studie zu Beginn in eine allgemeine Betrachtung der Rechenver- fahren aus mathematische Sichtweise, um die Grundlagen wieder zuspiegeln. Im zweiten Schritt liegt das Augenmerk auf den didaktischen Inhalten, wobei die nicht- schriftliche Vorgehensweise mit einbezogen wird, da sie als Grundgerüst zwingend notwendig ist und eine Verknüpfung zwischen ihr und den schriftlichen Verfahren bil- det. Deswegen ist auch eine Erarbeitung der nichtschriftlichen Rechenverfahren un- umgänglich. Der Hauptteil bezieht sich auf die methodische Erarbeitung der Rechenverfahren, wobei verschieden Formen von Arbeitsmaterialien vorgestellt werden und mit ihrer Hilfe gezeigt wird wie diese zur Hinführung zu den schriftlichen Rechenverfahren dienen. Weiterführend ergibt sich eine Auseinandersetzung mit ihren Vor- und Nachteilen sowie der Auswahl des geeignetesten Materials. Der Schwerpunkt dieser Arbeit besteht in der Erarbeitung der Rechenverfahren mit Hilfe eines speziellen Arbeitsmittel, den Felderabakus. Hierbei wird er genauer betrachtet und aufgezeigt durch welche Methoden die schriftlichen Rechenverfahren erreicht werden können.

2 Die Rechenverfahren aus mathematischer Sichtweise

Unter der Arithmetik werden die Kenntnisse der Zahlen und des Rechnens verstanden. Die Menge der Zahlen mit denen gezählt wird, werden in der Mathematik als natürliche ganze Zahlen bezeichnet. Weitere Mengen von Zahlen sind die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Zur Arithmetik gehören ebenso die vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

2.1 Addition

Bei der Addition handelt es sich um eine Rechenoperation, welche aus dem Zählen hervorgeht. Sie kann als eine Folge von Additionen mit dem Wert 1 angesehen wer- den. Angezeigt wird die Addition durch das Pluszeichen (+) und die Zahlen, welche zusammengezählt werden Summanden genannt. Das Ergebnis ist die Summe. Die Addition ist in sämtlichen Zahlbereichen uneingeschränkt und eindeutig ausführbar.

Summanden Summe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Innerhalb der Mengen von natürlichen Zahlen kann die Addition ohne Ausnahme ausgeführt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 1: Mengenbild Addition)

Definition der Addition:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. www.ilexikon.com/Addition.html)

Für beliebige Zahlen a, b, c des jeweiligen Bereiches gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Aufgrund der Kommutativität und der Assoziativität der Addition hat die Reihen- folge der Summanden keinen Einfluss auf die Summe

(vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 35-36)

2.2 Subtraktion

Als Subtraktion wird die entgegengesetzte Rechenoperation oder auch Umkehroperation der Addition bezeichnet. Sie wird durch ein Minuszeichen (-) angezeigt. Vom Minuenden wird der Subtrahend abgezogen und das Ergebnis ist die Differenz. Zu den gegebenen Zahlen a, b ist eine Zahl x mit b + x = a zu finden. Die Subtraktion definiert sich durch die Bestimmung von x. X lässt sich ermitteln, indem b von a subtrahiert bzw. abgezogen wird.

Die Subtraktion ist dabei nicht in allen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar. Jedoch ist sie im Falle einer Ausführbarkeit eindeutig.

Minuend Subtrahend Differenz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 36-37)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 2, Mengenbild Subtraktion)

Bei der Rechenoperation des Subtrahierens können die Grenzen des Zahlensystems der natürlichen Zahlen überschritten werden. Im System der Natürlichen Zahlen ist eine Voraussetzung, dass der Subtrahend nicht größer als der Minuend sein darf. Ist dies gegeben, wird der Bereich der negativen ganzen Zahlen erreicht.

2.3 Multiplikation

Die Multiplikation entsteht aus der Addition zweier natürlicher Zahlen m und n, indem m-mal die Zahl n addiert wird. Angezeigt wird die Multiplikation durch das Malzeichen (*). A und b werden als Faktoren oder Multiplikanden bezeichnet, das Ergebnis als Produkt. Die Multiplikation ist in sämtlichen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar und eindeutig.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine anschauliche Darstellung der Multiplikation und ihrer dazugehörigen Gesetze werden durch das Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b erreicht. Das Produkt a * b ist definiert als der dazugehörige Flächeninhalt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 3, Rechteck)

Rechengesetze zur Multiplikation:

Sie gelten für jede beliebigen Zahlen a, b, c des jeweiligen Bereiches.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der erwähnten Kommutativität und Assoziativität hat die Reihenfolge der Faktoren keinen Einfluss auf das Produkt.

(vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 36)

2.4 Division

Die Division ist die entgegengesetzte oder umgekehrte Operation zur Multiplikation. Sie wird angezeigt durch ein Divisionszeichen (:), einen Bruchstrich oder Schrägstrich. Der Divisor teilt den Dividenten und ergibt den Quotienten. Bei der Division muss zu den gegebenen Zahlen a und b (b ≠ 0) eine Zahl x gefunden werden mit b * x = a. Die genannte Rechenoperation ist nicht in allen Zahlenbereichen uneingeschränkt ausführbar. Jedoch im Falle der Ausführbarkeit eindeutig.

Dabei gilt für jede Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Divident Divisor Quotient

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In allen Zahlenbereichen ist eine Division durch 0 nicht ausführbar, da hierbei ein Quotient nicht existent oder nicht eindeutig bestimmt ist. Somit weist die Rechenoperation kein eindeutiges Resultat auf.

(vgl. Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 37)

2.5 Eigenschaften der Zahlbereiche bezüglich der Rechenoperationen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 4, Frank; Schulz; Tietz; Warmuth 1996, S. 37)

2.6 Zum Stellenwertsystem in Bezug zu den Rechenverfahren

Die heutige Zahlschrift basiert auf dem dezimalen Stellenwertsystem. Dabei werden zur Darstellung sämtlicher Zahlen nur 10 Zahlzeichen verwendet. Die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9. Zur Darstellung von größeren oder kleineren Zahlen werden somit keine weiteren Zahlzeichen benötigt. Dies wird ermöglicht durch einen unterschiedlichen Wert der Ziffer je nach Stellung im Zahlwort. Folglich gibt jede Ziffer Aufschluss über ihren Zahlenwert und ihren Stellenwert. Hierbei müssen leer stehende Stellen durch eine Null angezeigt werden. Ein weiteres Merkmal ist die reine Zehnerbünde- lung. Durch die Kombination von Stellenwert und Zehnerbündelung sind auch große Zahlen leicht lesbar und beliebig große Zahlen sind immer durch die zehn Ziffern dar- stellbar.

(vgl. Padberg 1996, S. 51-55)

3 Die Grundrechenarten aus didaktischer Sichtweise

Zur Erarbeitung der Operationsbegriffe kann gesagt werden, dass sie in einem engen Zusammenhang mit der Entwicklung des Zählverständnisses stehen. Dabei werden die einzelnen Rechenoperationen von verschiedenen Anwendungssituationen herge- leitet und sollen so verstanden werden. Oftmals sind viele Gegebenheiten, besonders in der Addition und Subtraktion, den Schülern schon bekannt aus vielfältigen Situatio- nen des täglichen Lebens.

(vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

3.1 Nichtschriftliche Rechenverfahren als Grundlage des schrift- chen Rechnens

3.1.1 Nichtschriftliches Addieren

Schulanfänger verbinden mit dem Addieren operative Handlungen. Diese beruhen oft auf bereits gesammelten Erfahrungen, wie das Hinzufügen, Hinzukommen, Zusam- menlegen, Weitermachen, Vereinigen, Ergänzen, Angleichen, Verändern, Zuzählen, Vermehren, Wachsen, Gewinnen etc. . Die Vorteile können sich Lehrer zunutze ma- chen und sie zu Beginn des Lernprozesses mit einbeziehen. Dabei treten zwei Lö- sungsmethoden als Grundstrategien in den Vordergrund: Zählstrategien und heuristi- sche Strategien.

(vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

Zählstrategien:

Sie dienen zum verständlichen Hinführen zur nichtschriftlichen Addition und sollen den Schülern den Weg zum Erlernen und den Umgang mit der Addition erleichtern. Dabei lassen sich verschiedene Wege unterscheiden, welche auf den Prinzipien des Zählens basieren.

1) Das vollständige Auszählen:

Es wird als einfachste Strategie angesehen und viel bei der Benutzung von unstrukturierten Arbeitsmaterialien verwendet, zum Beispiel beim Einsatz von Wendeplättchen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 4, Wendeplättchen)

Bei dem Vorgang werden zu Beginn 2 Plättchen gelegt und später 3 hinzuge- fügt. Durch ein vollständiges Auszählen aller Plättchen wird nun die Gesamt- summe ermittelt. Das Problem dieser Strategie liegt jedoch bei größeren Zah- len, hierbei verlieren die Schüler oftmals den Überblick und das Ergebnis wird ungenau.

2) Weiterzählen vom ersten Summanden aus:

Dies ist eine Weiterentwicklung vom Punkt 1. Die Schüler zählen hierbei nicht mehr komplett vom ersten Summanden an, sondern beginnen stets bei dessen Kardinalzahlbedeutung. Jedoch muss zum erfolgreichen Gelingen dieser Strategie eine sichere Zählerfahrung bereits vorhanden sein.

3) Weiterzählen vom größeren Summanden aus:

Diese Methode wird eingesetzt, wenn der zweite Summand größer als der erste ist, somit erfolgt eine wesentliche Erleichterung im Zählprozess. Jedoch ist dazu das Wissen über das Kommutativgesetz unumgänglich. Dieses sagt aus, das Summanden vertauschbar sind und somit gilt a + b = b + a.

4) Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten:

Hierbei erfolgt ein Weiterzählen, indem die Schüler einzelne Zählschritte weglassen und sich meist auf zweier oder vierer Zählschritte konzentrieren. Dadurch ist ein rasches und effektives Lösen möglich.

Die Vorgehensweise bei dem Erwerb der einzelnen Strategien darf jedoch nicht als ein Stufenmodell angesehen werden, in welchem die Schüler von einer Stufe zu nächst höheren gehen und dann nur noch mit dieser arbeiten. Oft greifen Schüler bei einfachen Aufgaben wieder auf unkomplizierte Strategien zurück. Während der Grundschulzeit setzen die Schüler aber nicht nur die Zählstrategien zum Lösen der Additionsaufgaben ein. Mit zunehmender Zeit verinnerlichen sie mehr und mehr Additionssätze des kleinen 1 + 1 und wenden diese bereits an. Parallel gehen sie dazu über, heuristische Strategien einzusetzen. Das bedeutet, sie benutzen be- reits bekannte oder einfache Aufgaben um neue zu lösen. So erstellen gedankliche Ableitungen und Zurückführungen. Um den Schritt jedoch erfolgreich zu verrichten, muss ein Übergang vom Konkreten durch Anschauung geschaffen werden. Dadurch sollte das kleine 1 + 1 aspektreich mit Situationen eingeführt werden, welche aus dem täglichen Leben entstammen. Dabei darf nicht nur der Kardinalzahlaspekt angesprochen werden, sondern auch die Maßzahl und die Operatoren. Geldwerte, Längen und Gewichte sind Maße, die den Kinder aus ihrem Umfeld bereits bekannt sind und somit zum Vorteil genutzt werden können. Operatoren lassen sich durch den Zahlenstrahl, Pfeile oder Maschinen verdeutlichen und sprechen das Kind visuell an.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 6, Operatoraspekt)

Ein Lehrer sollte jedoch bei der Einführung des kleinen 1 + 1 darauf achten, dass kein stures Auswendiglernen nach der Reihe erfolgt. Gut durchdachte und verstandene Strategien sind wesentlich hilfreicher und effektiver. Nachfolgende heuristische Strategien spielen dabei eine große Rolle.

Heuristische Strategien:

1) Weiterzählen um 1 bzw. 2:

Dabei erfolgt ein Einbringen der bereits bekannten Zählstrategie, in welcher um eine bestimmte Anzahl weiter gezählt wird.

2) Tauschaufgaben:

Die Tauschaufgaben dienen zur Verminderung des erlernenden Stoffes, die Aufgabenanzahl wird halbiert, indem die Schüler erlernen, dass Summanden vertauschbar sind und demzufolge die Aufgabe 3 + 4 das gleiche Ergebnis erzielt wie 4 + 3. Das zugrunde liegende Kommutativgesetz kann den Kindern anhand von Arbeitsmitteln demonstriert werden.

3) Verdoppeln:

Verdopplungsaufgaben prägen sich bei den Schülern besonders leicht ein und gewonnene Erfahrungen werden zu Eckpfeilern weiterer Aufgaben.

4) Fastverdoppeln:

Wird das Verdoppeln bereits beherrscht, kann ein Rückgriff auf fast ähnliche Aufga- ben erfolgen. So zum Beispiel wissen die Schüler, dass 2 + 2 = 4 ist und schließen darauf, dass 2 + 3= (2 + 2) + 1 ergibt. Das Ergebnis wird nur um 1 vergrößert. Bei der Aufgabe 2 + 1 = (2 + 2) - 1 vermindert sich die Lösung um 1, im Gegensatz zur Verdopplungsaufgabe.

5) Nachbaraufgaben:

Die bereits erwähnten Fastverdopplungsaufgaben bedeuten im Grunde genommen schon eine Bildung von Nachbaraufgaben. Dabei kann jede beliebige Aufgabe durch ein Vermindern oder Vergrößern eines Summanden als eine neue Nachbar- aufgabe gebildet werden, welche analog zur Fastverdopplungsaufgabe gelöst wird.

6) Analogieaufgaben:

Sind Aufgaben, welche eine Ähnlichkeit (Analogie) aufweisen. Die Schüler greifen auf bereits bekannte Aufgaben zurück. Zum Beispiel 2 + 7 = 9 und 2 + 17 = 19. Je- doch sollte hierfür schon ein Grundverständnis für das Stellenwertsystem vorliegen.

7) Gegensinniges Verändern:

Dabei erfolgt eine Verminderung des ersten Summanden sowie ein parallele Vergrößerung des zweiten Summanden um die gleiche Anzahl, demzufolge bleibt die Summe stets unverändert. Dadurch können schwere Zahlen umgangen und die Aufgabe erleichtert werden.

(Abb. 7, Berger; Fischer; Müller; Wittmann 2000, S. 10)

8) Zerlegung einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben:

Besonders bei Zehnerüberschreitungen bietet sich die genannte Strategie an. Die Schüler können sich die Aufgabe 6 + 8 in die wesentlich unkompliziertere Aufgabe

6 + 4 = 10 zerlegen und später zu den 10 einfach die restlichen 4 hinzu zählen, also

10 + 4 = 14.

Wie bereits schon erwähnt, dienen als Startpunkt zur Behandlung der Addition vielfäl- tige Additionssituationen, welche sich durch etliche sprachliche Formulierungen ausdrücken. Der Schwierigkeitsgrad ist dabei jedoch nicht nur von den einzelnen 1 + 1 Aufgaben abhängig, sondern auch von ihren angewendeten Strategien und Strukturen. Es wird zwischen 4 verschiedenen Klassifikationen unterscheiden.

Vereinigen:

Hierbei ist die Vereinigungsmenge unbekannt, es liegen aber beide Teilmengen vor, z. B. Mick hat 2 Äpfel und Lisa 3. Wie viele Äpfel haben beide zusammen?

Hinzufügen: Es handelt sich um eine weitere Klassifikation, bei welcher eine Teilmenge vorliegt und eine weitere durch einen Zweiten erst später eingebracht wird. Klaus hat zum Beispiel eine Murmel, Frank kommt hinzu und gibt ihm jetzt 3 weitere. Wie viele Murmeln hat Klaus nun zum Spielen?.

Ausgleichen:

Durch eine Gegenüberstellung wird das Ergebnis gesucht, es muss zum Gleichgewicht aufgefüllt werden. Fritz hat z. B. 5 Stifte, Anja jedoch 7. Wie viele Stifte braucht Fritz noch, um genauso viele zu haben wie Anja?

Vergleichen:

Dabei gehen die Schüler statistisch vor. Sie stellen zwar beide Teilmengen gegen- über, aber diese werden nur verglichen. Es wird kein Teil wiederhergestellt. So z. B. hat Nicole hat 3 Aufkleber, Nadine besitzt nur einen. Wie viele Aufkleber hat Nicole mehr als Nadine?

All die genannten Strukturen und Strategien zeigen Wege zum schnellen und effekti- ven Erlernen der Addition, mit denen die Schüler positiv zum Ziel gebracht werden sollen. Besonders deutlich wird, dass alltägliche Situationen, die den Schülern nicht fremd sind, förderlich dienen. Allein durch das wecken des Interesses kann eine posi- tive Einstellung zur Thematik erfolgen und somit können sich auch Erfolge einstellen. Ebenso ist ein sicherer Umgang der Addition im kleinen 1 + 1 und das Anwenden von den genannten Strategien für ein Weiterführen in größeren Zahlenräumen von immenser Bedeutung. Nur wenn die Grundlagen verstanden sind, ist ein sicheres Anwenden möglich. Für die Addition im Hunderter Zahlenraum ist eine gestufte Vorge- hensweise unumgänglich. Die Schritte dürfen aber auch nicht zu klein ausfallen. Von daher ist empfehlenswert, den Schülern zu Beginn das Verständnis für das Stellen- wertsystem näher zu bringen, damit sie später mit reinen Zehnerzahlen addieren und diese auf Zehnereinerzahlen übertragen können. Aber auch der Gebrauch von Strate- gien ist für eine erfolgreiche Behandlung der Addition wichtig, wobei eine Orientierung und teilweise Übernahme der bereits erwähnten heuristischen Strategien im kleinen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.2 Nichtschriftliche Subtraktion

Schulanfänger verbinden mit dem Subtrahieren, analog des Addierens, operative Handlungen. Diese beruhen oft auf bereits gesammelten Erfahrungen, wie Wegnehmen, Vermindern, Abtrennen, Abnehmen, Verkürzen, Schrumpfen, Kleiner - werden, Zurückzählen etc. Diese Vorteile sollte ein Lehrer nutzen und sie zu Beginn des Lernprozesses mit einbringen. Es treten drei Lösungsmethoden als Grundstrategien in den Vordergrund: Zählstrategien, heuristische Strategien und bekannte Grundaufgaben. (vgl. Radatz; Schipper 1983, S. 63)

Eine erste Vorgehensweise findet über alltägliche Situationen statt. Dabei werden verschiedene Typen von Subtraktionsaufgaben vorgestellt:

- Abziehen oder Wegnehmen:

Von einer Grundmenge wird eine Teilmenge entfernt, z. B. Nicole hat 6 Äpfel und gibt davon 2 ihrer Schwester. Wie viele Äpfel hat Nicole nun noch übrig?

- Vergleichen:

In diesem Typus werden zwei Mengen gegenüber gestellt und verglichen. Eine Aufgabe könnte dementsprechend aussehen: Hans hat vier Bausteine, sein Freund Lars 3 Bausteine. Wie viele Bausteine hat Hans mehr?

- Ergänzen:

Eine Teilmenge wird in der genannten Vorgehensweise zu einer Gesamtmenge aufgeschlossen, z. B. Lea hat 2 Lutscher. Wie viele Lutscher braucht sie noch, um insgesamt 5 Stück zu besitzen?

- Vereinigen:

Eine unbekannte Teilmenge wird mit einer bekannten Teilmenge zusammengeführt, um die vorgegebene Gesamtgröße zu erreichen, z. B. Ernst hat 5 Luftballons, 3 davon sind rot, der Rest blau. Wie viele blaue Ballons hat Ernst?

(vgl. Padberg 1996, S. 96)

Zählstrategien:

Sie werden als erster Einstieg genutzt und dienen zum verständlichen Hinführen zur nichtschriftlichen Subtraktion, dabei soll den Schülern eine Erleichterung zum Erlernen und Hantieren mit der Subtraktion ermöglicht werden. Diese Zählstrategien variieren je nach Aufgabentyp und Erfahrungen der einzelnen Schüler. Eine Unterscheidung findet allerdings noch einmal in der Trennung zwischen reinen Zählstrategien und Strategien mit Materialeinsatz statt.

a) reine Zählstrategien

Vorwärtszählen:

Die Lösung der gewünschten Aufgabe erfolgt durch ein Weiterzählen. Leider treten hierbei oft Fehler durch Verzählen oder Durcheinanderkommen auf, wie zum Bei- spiel bei der Aufgabe 6 - 4 = X. Der Schüler beginnt bei der vorgegebenen 4 und zählt nun weiter 5 (1 weiter), 6 (2 weiter), erhält infolgedessen 2 als Lösung.

Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl von Schritten):

Es erfolgt ein simultanes Zählen in entgegengesetzte Richtung sowie ein gleichzeitiges Zusammenfassen des Subtrahenden in positive Richtung. Bei der Aufgabe 9 - 4 = X wird um 4 Schritte rückwärtsgezählt, also (9), 8 (1 weniger), 7 (2 weniger), 6 (3 weniger), 5 (4 weniger), daraus ergibt sich 9 - 4 = 5.

Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl):

In dieser Zählstrategie erfolgt erneut ein doppeltes Zählen. Im Beispiel 9 - 4 = X wird rückwärts bis 4 gezählt, somit (9), 8, 7, 6, 5, 4 und dementsprechend durch die Anzahl der erfolgten Schritte das Ergebnis ermittelt.

(vgl. Padberg 1996, S. 98)

b) Strategien mit Materialeinsatz

Wegnehmen:

Die Vorgehensweise beginnt mit dem Legen der größten Grundmenge von Elemen- ten. Dieser wird die kleinere Teilmenge entnommen und die verbleibenden Elemente

bilden durch Auszählen das Ergebnis.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 8, Elementen Menge zur Subtraktion)

Ergänzen:

Es wird nur die kleinere Teilmenge von Elementen gelegt und weitere Elemente hinzugefügt bis die gewünschte größere Menge liegt, die Anzahl der hinzugefügten Elemente liefert das Ergebnis.

(Abb. 9, Elementen Menge zur Subtraktion)

Zuordnen:

In dieser Strategie wird zu Beginn die größere Grundmenge an Elementen und darunter die jeweils kleinere Teilmenge gelegt. Es erfolgt eine eindeutige Zuord- nung der Elemente beider Mengen, bis eine der Mengen vollkommen erschöpft ist. Durch ein anschließendes Auszählen der verbleibenden Elemente wird das Ergeb- nis erlangt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 9, Elementen Menge zur Subtraktion)

(vgl. Padberg 1996, S. 96-97)

Heuristische Strategien:

Wie bereits erwähnt, besteht ein großer Zusammenhang zwischen der Addition und Subtraktion und deshalb ist ein analoges Vorgehen ratsam.

Auch in der Subtraktion stehen die Kardinalzahlen im Vordergrund, jedoch sollten Maßzahlen und Operatoren nicht zu geringe Aufmerksamkeit bekommen. Das kleine

1 - 1 sollte immer über bekannte Alltagssituationen den Kindern nähergebracht werden, um ein Grundverständnis zu erreichen und einen erfolgreichen Einsatz der heuristischen Strategien zu ermöglichen.

Strategien:

- Rückwärtszählen um 1 bzw. 2:

Die Schüler gelangen durch ein Zählen um 1 bzw. 2 zum Ergebnis.

- Weiterzählen um 1 bzw. 2:

Es erfolgt ein Einbringen der bereits bekannten Zählstrategie, in welcher um ei- ne bestimmte Anzahl weiter gezählt wird, um später auf das Ergebnis schließen zu können.

- Nachbaraufgaben:

Dabei kann zu jeder beliebigen Aufgabe durch ein Vermindern oder Vergrößern eines Subtrahenden eine neue Nachbaraufgabe gebildet werden, welche in den Zusammenhang zu einer bereits bekannten Aufgabe genommen werden kann.

- Analogieaufgaben:

Sind Aufgaben, welche eine Ähnlichkeit (Analogie) aufweisen, die Schüler grei- fen folglich auf bereits bekannte Aufgaben zurück, zum Beispiel 7 - 2 = 5 und

17 - 2 = 15. Jedoch sollte hierfür schon ein Grundverständnis für das Stellenwertsystem vorliegen.

- Zerlegung des Subtrahenden:

Es erfolgt eine Zerlegung der Aufgabe in zwei leichtere Teilaufgaben, ange- wendet wird dies meist bei Aufgaben mit Zehnerübergang, so z. B. 13 - 5 in

13 - 3 = 10 und daraus resultierend 10 - 2 = 8.

- Zusammenhang von Addition und Subtraktion:

Hierbei machen sich die Schüler ihr Wissen zum kleinen 1 + 1 zu nutze und erhalten durch einen Rückgriff darauf ihr gewünschtes Ergebnis, z. B. 13 - 4, durch Assoziation auf die Aufgabe 4 + 9 = 13.

(vgl. Padberg 1996, S. 103-104)

Während der Behandlung der Subtraktion im Grundschulunterricht stehen eigentlich nur zwei Verfahrensweisen im Vordergrund: Das Abzieh- und das Ergänzungsverfah- ren.

Das Ergänzungsverfahren geht dabei auf die Plussprechweise ein, welche von den Kindern auch positiver angenommen wird. Bei der Lösung wird im Sinne des Ergän- zens oder Vorwärtszählens vor gegangen. Das Wegnehmen bzw. das Rückwärtszäh- len basiert auf dem Abziehverfahren (Minussprechweise). Ebenso ist ein sicherer Um- gang der Subtraktion im kleinen 1 - 1 und das Anwenden von den genannten Strate- gien für ein Weiterführen in größeren Zahlenräumen von immenser Bedeutung. Nur wenn die Grundlagen verstanden und gefestigt sind, ist ein sicheres Anwenden dieser möglich. Für die Subtraktion im Hunderter Zahlenraum ist eine gestufte Vorgehens- weise unumgänglich. Dabei dürfen die Schritte nicht zu klein ausfallen. Der beste Weg ist der, den Schülern zu Beginn das Verständnis über das Stellenwertsystem näher zubringen, um später erst reine Zehnerzahlen subtrahieren zu können und diese auf Zehnereinerzahlen zu übertragen. Aber auch der Gebrauch von Strategien ist für eine erfolgreiche Behandlung größerer Zahlen wichtig, wobei eine Orientierung und teilwei- se Übernahme der bereits erwähnten heuristischen Strategien im kleinen 1 - 1 erfolgt.

Strategien:

- Analogiebildung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Schrittweise Zerlegung einer Aufgabe:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Gleichsinniges Verändern der Glieder einer Differenz:

Hierbei wird Minuend und Subtrahend um den selben Betrag vergrößert oder verkleinert. Somit entsteht eine Umwandlung in leichter zu lösende Aufgaben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. Padberg 1996, S. 107)

3.1.3 Nichtschriftliches Multiplizieren

Bereits vor der offiziellen Erarbeitung der Multiplikation in der Grundschule besitzen die Schüler vielfältige Erfahrungen mir ihr. Der Lehrer sollte dies berücksichtigen und die genannten Aspekte bei der Begriffserarbeitung mit einfließen lassen. Schon im ersten Schuljahr wurden Grundsteine beim Verdoppeln in der Addition gesetzt. Die Einführung sollte mit alltäglichen Erfahrungen unterstützt werden. Dabei unterscheidet Radatz / Schipper 3 Aspekte und Darstellungsschemen zur Begriffserarbeitung.

Zeitlich - sukzessive Aspekte:

Hier versucht der Lehrer eine Herangehensweise über Beispiele mit Handlungen die Schüler an die Multiplikation hinzuführen. Eine positive unterrichtgerechte Formulie- rung wäre z. B.: „Ernst geht dreimal in die Küche und holt jeweils zwei Jogurts aus dem Kühlschrank“. Der beschriebene Vorgang wird analog wiederholt und es entsteht eine Handlungskette.

Räumlich - simultaner Aspekt:

In diesem Fall wird keine Handlung mehr durchgeführt. Die Vereinigungsmengen lie- gen zu Beginn schon vor. Es entsteht ein räumliches Nebeneinander von festgelegten Mengen gleicher Mächtigkeiten, z. B. auf dem Lehrertisch stehen drei Becher mit je- weils 4 Stiften.

Kombinatorischer Aspekt:

Es findet ein Rückgriff auf Mengenoperationen statt mit Hilfe des Kreuzproduktes. Hierbei werden Paare bzw. Verbindungen zwischen zwei verschiedenen Mengen bestimmt, z. B. Ernst hat 2 verschiedene LKWs und 3 unterschiedliche Anhänger. Wie viele verschiedene Kombinationen kann er damit bilden?

Durch das Schaffen eines Grundverständnisses zur Thematik der Multiplikation ist ein guter Ausgangspunkt zum Erwerb der Einmaleinskenntnisse gelegt. Diese sind für die Schüler im weiteren Verlauf ihrer Grundschullaufbahn von großer Bedeutung, damit ein erfolgreicher Umgang mit den schriftlichen Multiplikationsverfahren stattfinden kann.

Verschiedene Rechenstrategien sollen ermöglichen, die 1 * 1 Kenntnisse sicher zu erwerben:

- Nachbaraufgaben (mit Veränderung des ersten Faktors):

Es findet eine Verkleinerung oder Vergrößerung des ersten Faktors um 1 statt. So können die Schüler zum Beispiel die Aufgabe 5 * 6 aus der Nachbaraufgabe 5 * 5 = 25 herleiten.

- Nachbaraufgabe (mit Veränderung des zweiten Faktors):

Die Vorgehensweise ist analog zum vorhergehenden Punkt.

- Verdopplung bzw. Halbierung eines Faktors:

Hierbei wird ein Faktor verdoppelt oder halbiert, um über eine geschaffene leichtere Aufgabe zur Lösung zu gelangen, z. B. 10 * 6 von 5 * 6 = 30 aufschließen und das Zwischenergebnis einfach verdoppeln.

- Tauschaufgaben:

Verwenden des Kommutativgesetzes, z. B. 4 * 3 zu 3 * 4

(vgl. Padberg 1996, S. 126)

Die erlernten Grundlagen des kleinen 1 * 1 lassen sich leicht auf das große 1 * 1, mit Hilfe der Gültigkeit der Rechengesetze übertragen. Dabei finden zum Teil auch Assoziationen auf bereits erlernte Strategien statt.

- Fortlaufendes Addieren eines Faktors:

In dieser Strategie wird ein Faktor um die Anzahl des zweiten Faktors addiert,

jedoch ist dieser Weg sehr umständlich und es besteht eine hohe Verrechnungsgefahr,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Schrittweise Vorgehen:

Die Aufgabe wird schrittweise in mehreren einzelnen und leichteren Teilaufga-

ben gelöst.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Hilfsaufgaben:

Eine Lösung der gewünschten Aufgabe erfolgt mit Hilfe einer zweiten, bereits

bekannten oder leichteren Aufgabe:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Schrittweise Verdoppeln des einen Faktors bei gleichzeitigem Halbieren des

anderen Faktors:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Malkreuz:

Es werden die einzelnen Stellen der Faktoren jeweils über Kreuz multipliziert

und die einzelnen Produkte jeweils zusammenaddiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. Universität Erfurt - Übungsserie Arithmetik)

3.1.4 Nichtschriftliches Dividieren

Das Ziel eines jeden Lehrers sollte darin bestehen, die Division natürlicher Zahlen den Schülern so verständlich und anschaulich wie möglich näher zu bringen. Erstes Grundwissen wurde durch die Vorgehensweise des Halbierens gelegt. Weiterhin ist es hilfreich, frühzeitig die Zusammenhänge zwischen Multiplikation und Division darzu- stellen. Ein Einstieg erfolgt über alltägliche Sachsituationen, um Bezugsnähe und Grundverständnis zu erwirken. Radatz / Schipper verweist auf die Einstiegsweise des Verteilen und Aufteilen.

Aufteilen:

Beim Aufteilen ist die Anzahl einer Teilmenge gesucht, während die Gesamtmenge und auch die Elementanzahl gegeben ist. Das bedeutet, dass eine vorgegebene Men- ge (Gesamtmenge) auf eine unbekannte Anzahl von Teilmengen mit gleich vielen E- lementen aufgeteilt wird. Für eine bessere Verdeutlichung eignet sich eine Unter- richtsaufgabe: „In einer Packung sind 15 Mohrenköpfe. Jedes Kind möchte 3 Mohren- köpfe essen. Wie viele Kinder können mitessen?“ Dabei erkennt man die vorgegebe- ne Gesamtmenge von 15 Mohrenköpfen sowie die Elementanzahl durch die Aussage, dass jedes Kind genau 3 essen darf.

Verteilen:

Hierbei ist jedoch die Anzahl der Elemente gesucht, während die Gesamtmenge und Teilmenge gegeben sind, das heißt, dass eine vorgegebene Menge (Gesamtmenge) gerecht auf die Teilmengen verteilt wird. So zum Beispiel: „In einer Packung sind 15 Mohrenköpfe, die an 5 Kinder gleichmäßig verteilt werden. Wie viele Mohrenköpfe erhält jedes Kind?“ Die Gesamtmengenanzahl ist erneut durch die 15 Mohrenköpfe gegeben und auch die Teilmenge ist durch unsere 5 Kinder bekannt.

Mit der Bildung eines Verständnisses zur Thematik des Auf- und Verteilens stehen dem Schüler die wichtigsten Grundlagen der Division zur Verfügung. Zum Erwerb der Grundaufgaben muss erwähnt werden, dass diese nicht wie das klei- ne 1 + 1 oder 1 - 1 auswendig gelernt werden müssen. Durch das bekannte 1 * 1 ist ein Erwerben durch eine einfache Umkehrung dieser Aufgaben möglich. Es erfolgt eine Festigung durch parallele Behandlung von Multiplikation und Division beim kleinen 1 * 1.

Der Umgang mit größeren Zahlen wird durch das Einbringen des Distributivgesetztes erleichtert. Wobei ein Einstieg über Sachsituationen von Vorteil ist. Der Lehrer beginnt mit reinen Zehnerzahlen oder speziell mit der Division durch 10 oder 100. Aber es lassen sich noch weitere heuristische Strategien neben dem Aufteilen und Verteilen benennen.

Heuristische Strategien:

- Fortlaufendes Subtrahieren:

Die Division lässt sich auch durch die Subtraktion verdeutlichen, hiefür erfolgt eine wiederholende Subtraktion des Divisors und die Anzahl der einzelnen Glieder ergeben die Lösung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Î Dabei konnte die „10“ 5 mal abgezogen werden.

- Hilfsaufgaben:

Eine Lösung der gewünschten Aufgabe kann mit Hilfe einer zweiten bereits be-

kannten oder leichteren Aufgabe erkennbar werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Schrittweise:

Dabei wird die Aufgabe schrittweise in mehreren einzelnen und leichteren Teil-

aufgaben gelöst.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. Universität Erfurt - Übungsserie Arithmetik)

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