Berühren und senkrechtes Schneiden von Funktionsgraphen

Inhaltsverzeichnis

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

2. Analyse des Lernstoffs
2.1 Fachwissenschaftliche Analyse
2.2 Alternative Unterrichtsmöglichkeiten
2.3 Didaktische Reduktion

3. Didaktisch-methodische Entscheidungen
3.1 Lernziele
3.1.1 Stundenziel
3.1.2 Lernvoraussetzungen
3.1.3 Feinlernziele
3.2 Lehr- und Sozialformen
3.3 Lernerfolgskontrollen
3.4 Medien
3.5 Hausaufgaben

4. Verlauf der Stunde

5. Literaturverzeichnis

6. Anhang
6.1 Wiederholungsaufgaben für die Stunde vorher
6.2 Vorbereitende Hausaufgabe
6.3 Übungen für den Unterricht und die nachbereitende Hausaufgabe
6.4 Geplante Tafelanschrift
6.5 Lösungen zu den Wiederholungsaufgaben (6.1)
6.6 Lösungen zu den vorbereitenden Hausaufgaben (6.2)
6.7 Lösungsvorschläge zu den Übungen für den Unterricht und die nachbereitende Hausaufgabe (6.3)

Berühren und senkrechtes Schneiden von Funktionsgraphen von Marc A. Bauch

1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe

Für eine geometrische Einführung in die Differentialrechnung bieten sich die Themenkomplexe Tangente und Normale sowie differentialgeometrische Aufgaben an. Die Unterrichtsreihe lässt sich gemäß Lehrplan in fünf Abschnitte gliedern:^[1]

(1) Geraden (Wiederholungsphase: Steigung einer Geraden, Geradengleichungen, Lagebeziehung zweier Geraden)
(2) Verallgemeinerung des Steigungsbegriffs
(3) Berechnung von Steigungen – erste Ableitungsregeln (Faktor- und Summenregel)
(4) Tangente und Normale
(5) Differentialgeometrische Aufgaben

Bis zur vorzustellenden Unterrichtsstunde sind die Abschnitte (1) bis (4) und Teile von (5) mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet und geübt worden. Die Schüler können also bereits Tangenten und Normalen aufstellen und einige differentialgeometrische Aufgaben lösen.

In der Stunde vorher bestimmen die Schülerinnen und Schüler Tangenten bzw. Normalen eines Funktionsgraphen, die durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen, der nicht auf dem Graphen liegt. In der vorzustellenden Unterrichtsstunde selbst wird das Berühren und senkrechte Schneiden von Funktionsgraphen behandelt. Das Thema der vorzustellenden Unterrichtsstunde gehört zu Abschnitt (5). Nachdem dieser für die Schülerinnen und Schüler neue mathematische Sachverhalt intensiv geübt worden ist, wird in einer der Folgestunden der allgemeine Fall, Schnittwinkel von zwei sich schneidenden Graphen, behandelt.

2. Analyse des Lernstoffs

2.1 Fachwissenschaftliche Analyse

Die Frage, unter welchem Winkel sich zwei Graphen schneiden, führt man auf die Lagebeziehung der betreffenden Tangenten zurück.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei sich schneidende Tangenten haben im Allgemeinen zwei Paare von Scheitelwinkel. Unter dem Schnittwinkel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten versteht man den kleineren Winkel mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Ähnlich wie bei Geraden gilt folgender Zusammenhang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Alternative Unterrichtsmöglichkeiten

Man kann den der vorzustellenden Unterrichtsstunde zu Grunde liegenden Sachverhalt anwendungsorientiert, aber auch innermathematisch motivieren und problematisieren. Für den anwendungsorientierten Zugang bieten sich Beispiele aus der Ornamentik an. Als Einstieg wäre es möglich, zu Tangenten am Kreis zurückzukehren oder Kirchenfenster als reale Beispiele zu betrachten. Auch die Ästhetik der Beispiele spricht für einen solchen Einstieg.

Innermathematisch betrachtet man zwei sich schneidende Graphen und ihre zugehörigen Tangenten im Schnittpunkt. Ich habe mich für diesen zweiten Zugang entschieden, weil man damit sofort beim eigentlichen Thema ist.

2.3 Didaktische Reduktion

Es würde reichen, sich auf die Steigungen der Funktionsgraphen im gemeinsamen Schnittpunkt zu beschränken, aber da die Steigung in einem Punkt anschaulich durch die Tangente repräsentiert wird, gehe ich über den Weg der Tangenten.

In der vorzustellenden Unterrichtsstunde werden die Spezialfälle „zwei Graphen berühren sich“ und „zwei Graphen schneiden sich senkrecht“ betrachtet. Die vorzustellende Unterrichtsstunde behandelt thematisch einen Spezialfall bei der Bestimmung des Schnittwinkels von zwei sich schneidenden Graphen in einem gemeinsamen Schnittpunkt.

Der zentrale Gegenstand der Stunde besteht in der Erarbeitung und der anschließenden Benutzung der Definitionen der beiden Spezialfälle. Parameteraufgaben mit der Umkehrung des Problems werden als Puffer in der vorzustellenden Unterrichtsstunde oder in der Folgestunde erarbeitet. Der allgemeine Fall bleibt ebenfalls den Folgenstunden vorbehalten.

In der vorzustellenden Unterrichtsstunde ist es mir wichtig, dass die Schüler die erarbeitete Definition bei Aufgaben anwenden können. Aufgaben mit Parametern sind erfahrungsgemäß für Schüler schwer und sollten daher ausführlich in der Folgestunde geübt werden. Da die Hausaufgaben aber das im Unterricht Erarbeitete weiterführen sollen, kann eine einfache Parameteraufgabe in der nachbereitenden Hausaufgabe gestellt werden.

3. Didaktisch-methodische Entscheidungen

3.1 Lernziele

3.1.1 Stundenziel

Die Schüler sollen die Definitionen „zwei Graphen berühren sich an der Stelle x 0“ und „zwei Graphen schneiden sich senkrecht an der Stelle x 0“ kennen lernen und anwenden.

3.1.2 Lernvoraussetzungen

Die Schüler können ...

1. Steigungen von Graphen an der Stelle x 0 bestimmen, indem sie die Ableitung an der Stelle x 0 angeben.
2. Tangenten- und Normalengleichungen an Gf an der Stelle x 0 unter Verwendung der Formel aufstellen.
3. die Eigenschaft der Steigungen benennen, wenn zwei Geraden parallel sind.
4. die Eigenschaft der Steigungen benennen, wenn zwei Geraden senkrecht auf einander stehen.
5. Funktionsgraphen zeichnen.

3.1.3 Feinlernziele

Die Schüler sollen ...

1. ihre Beobachtung aus der vorbereitenden Hausaufgabe verbal und mathematisch-formal formulieren können. (REORGANISATION)
2. den Begriff Schnittwinkel verallgemeinern, indem sie den Schnittwinkel zwischen zwei sich in x 0 schneidenden Graphen als Schnittwinkel der Tangenten definieren. (TRANSFER / PROBLEMLÖSEN)
3. die Definition für zwei sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt senkrecht schneidenden Graphen angeben können. (REORGANISATION)
4. die Definition für zwei sich in einem gemeinsamen Punkt berührende Graphen angeben können. (REORGANISATION)
5. die Definition (aus 3. und 4. FLZ) anwenden, indem sie bei Aufgaben mit bzw. ohne vorgegebener Schnittstelle überprüfen, ob sich zwei Graphen berühren oder senkrecht schneiden. (REORGANISATION)
6. die Definition (aus 3. und 4. FLZ) anwenden, indem sie das umgekehrte Problem, zwei Graphen sollen sich berühren bzw. senkrecht schneiden, bei Parameteraufgaben lösen. (TRANSFER / PROBLEMLÖSEN)

Feinlernziel 6 ist fakultativ.

[...]

^[1] vgl. Lehrplan für die Klassenstufen 11 – Gymnasium – Mathematik (Saarbrücken, 1987), S. 1.