Die geometrischen Leistungen des Thales

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Thales zugeschriebenen geometrischen Leistungen

3. Schlusswort

4. Literaturverzeichnis: Quellen und Darstellungen

1. Einleitung

Thales gilt seit der Antike als Begründer der griechischen Geometrie, gelegentlich so­gar als Erfinder der Geometrie überhaupt. Dabei versteht man diese als selbständigen Forschungsgegenstand im Gegensatz zur (ägyptischen) Landvermessungslehre, aus der sie sich entwickelt haben soll. Die antiken Autoren nehmen nämlich im allgemei­nen an, dass sich die Grundlagen wissenschaftlicher Geometrie schon in Ägypten ge­bildet haben, wo die Griechen sie studieren konnten. Die Frage ist nun, inwieweit die Geometrie des Thales – und auch jene der Ägypter – ein Forschungsgebiet sui generis war, d. h. ob geometrische Grössen damals bereits als (ideelle) Gegenstände betrachtet wurden. Weiter wird man fragen, wann das logische Schlussfolgern unser Gebiet erst­mals in ein stimmiges System von Lehrsätzen verwandelt und ob Thales Beweise für seine Sätze geliefert hat. – Während wir von den Ägyptern und Babyloniern "nur" Re­chenbeispiele haben, die immerhin auf Erkenntnis mathematischer Gesetzmässigkei­ten schliessen lassen, erfahren wir über Thales, dass er die Richtigkeit von Sätzen "aufgezeigt" habe. Die Hauptquelle für solche Nachrichten ist der aus dem 5. Jahrhun­dert unserer Zeitrechnung stammende Kommentar des Neuplatonikers Proklos zum ersten Buch der "Elemente" von Euklid. Proklos zitiert darin öfters, direkt oder indi­rekt, aus der "Geschichte der Geometrie" des Aristoteles-Schülers Eudemos von Rhodos (4. Jh. v. Chr.). Die übrigen Quellen stammen aus später Zeit und sind meist ausführlicher, um nicht zu sagen: phantasievoll ausgeschmückt. Das Quellenmaterial ist insgesamt dürftig und gibt damit zu vielen Spekulationen Anlass.^[1]

2. Die Thales zugeschriebenen geometrischen Leistungen

Thales werden insgesamt fünf geometrische Erkenntnisse zugeschrieben:

Satz 1: Ein Kreis wird von jedem Durchmesser in zwei gleiche Teile geteilt.

Satz 2: Die Basiswinkel eines jeden gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

Satz 3: Scheitelwinkel sind gleich.

Satz 4: Wenn Dreiecke in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln überein­stimmen, dann stimmen sie in allen Stücken überein (Kongruenzsatz wsw und sww).

Satz 5: Der Umfangswinkel über einem Halbkreis ist ein rechter (sog. Satz des Thales).

Die Entdeckung oder der Nachweis der ersten vier Sätze ist uns nur durch Proklos' Kommentar zum 1. Buch der "Elemente" von Euklid überliefert, Satz 5 durch Diogenes Laertios.

Proklos schreibt zu Satz 1 Folgendes:

"Man sagt, Thales habe als erster aufgezeigt, dass der Kreis vom Durchmesser in zwei Hälften geteilt wird, wobei der Grund der Zweiteilung der auf keine Seite sich neigen­de Durchgang der Geraden durch den Mittelpunkt ist. Denn da sie durch die Mitte geht und immer dieselbe Bewegungsrichtung ohne Abweichung einhält, trennt sie zur Kreisperipherie hin beiderseits stets gleich viel ab."^[2]

Eine solche Entdeckung ist einem Menschen, der es sich leisten kann, gründlich nach­zudenken, und erst recht einer für vielfältige geistige Leistungen berühmten Persön­lichkeit wie Thales gewiss zuzutrauen. Die entscheidende Frage ist hier jedoch, wie das Wort "aufzeigen" (ajpodei'xai) zu verstehen ist: ob im Sinne von "nachweisen" oder eher von "offenkundig oder anschaulich machen". Wie die Fortsetzung bei Proklos zeigt, ist jedenfalls kein strenges Beweisen gemeint, doch sagt uns der Text nicht, ob der erstge­nannte "Beweis" überhaupt von Thales stammt. Wir müssen uns daher mit allgemeine­ren Überlegungen helfen. Am Anfang der Geometrie, als deren Erfinder man Thales später angesehen hat, steht wohl die reflektierende Anschauung, die sich nicht zuletzt dem Staunen über die Regelmässigkeit und Schönheit geometrischer Muster verdan­ken dürfte. Gerade Muster, wie man sie von griechischen Vasen der geometrischen und orientalisierenden Epoche her kennt, dürften Anlass zu mathematischen Ent­dek­kungen und Fragestellungen gegeben haben. Auch für die Teilung des Kreises in zwei Hälften gab es im Altertum reiches Anschauungsmaterial, vom Rad bis zu radförmigen Figuren, die man in Ägypten gefunden hat.^[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Satz 1 ist offensichtlich richtig ist, doch der Beweis fällt möglicherweise gerade wegen der Anschaulichkeit nicht leicht. Auch Euklid erwähnt die Tatsache in der 17. Definiti­on ohne Beweis, und die erste Begründung bei Proklos ist nicht zwingend, wie dieser selbst andeutet. All dies deutet darauf hin, dass Thales den Satz als wahr erkannt, aber nicht streng bewiesen hat, wobei nicht auszuschliessen ist, dass er den bei Proklos erwähnten indirekten Beweis kannte, aber wegen des Umwegs über den Satz vom Widerspruch nicht schätzte.

Über Satz 2 erfahren wir bei Proklos: "Dem alten Thales wurde wegen vieler anderer Entdeckungen auch die Ehre des folgenden Lehrsatzes zuteil. Man sagt nämlich, er ha­be als erster erkannt und ausgesprochen, dass die Basiswinkel jedes beliebigen gleich­schenkligen Dreiecks gleich sind, doch soll er in eher altertümlicher Weise die glei­chen Winkel 'ähnlich' genannt haben."^[4]

Auch dieses Theorem ist wegen der symmetrischen Beziehung, um die es geht, leicht einsehbar, aber nicht ganz so leicht beweisbar. Wiederum scheint der Text dieses Pa­radox zu bestätigen, da Thales die gleichen Winkel als "ähnliche" bezeichnet haben soll. Allerdings darf man die Verwendung von "ähnlich" (oJmoi'o") nicht als Zeichen wis­senschaftlicher Vorsicht oder einer resignierten Haltung verstehen. Als "altertümli­che" Ausdrucksweise deutet sie vielmehr auf die Andersartigkeit der frühen griechi­schen Denker in Sprachgebrauch und Denkart hin. Thales hat Winkel wohl nicht als Grössen, sondern als Gestalten aufgefasst,^[5] vergleichbar der musikalischen (man könnte auch sagen: pythagoreischen) Betrachtung des Tones als einer Qualität statt als blosser Vereinigung verschiedener Parameter. oJmoi'o" würde also "gleichgestaltig" bedeuten, d. h. die Gleichheit der wesentlichen Eigenschaften des Gegenstandes be­zeichnen. Dabei bleibt jedoch eine Frage offen: Hat Thales den Begriff gewählt, weil sich Gestalt nicht messen lässt oder weil der Drehsinn der gleich grossen Winkel ent­gegengesetzt ist? Überdies sind beide Erklärungen mit Schwierigkeiten verbunden, da in Lehrsatz 3 trotz Winkelgestalt und ungleichsinniger Kongruenz von der Gleichheit der Scheitelwinkel die Rede ist. Auch sonst erfahren wir bei den Lehrsätzen nichts mehr von der gestalthaften Betrachtung, was angesichts der knappen historischen Be­merkungen von Proklos freilich nicht viel bedeuten muss. Indessen schreibt dieser in seinem Abriss der Frühgeschichte der Mathematik, Thales habe "seinen Nachfolgern die Prinzipien vieler Lehrsätze dargelegt, den einen mehr allgemein (grundsätzlich), den anderen mehr anschaulich".^[6]

[...]

^[1] In den Zitaten enthalten die eckigen Klammern klärende Ergänzungen des Verfassers.

^[2] Procl. in Eucl. 157, 10ff. Siehe z. T. Thomas, S. 164f. und Gericke, S. 127.

^[3] Heath, S. 131.

^[4] Procl. in Eucl. 250, 20 - 251, 2. Siehe DK 11 A 20 und Thomas, S. 164f.

^[5] Vgl. DK im Nachtrag zum I. Band, S. 486 unten.

^[6] Procl. in Eucl. 65, 3ff. Siehe DK 11 A 11. Siehe Thomas, S. 146f.