1. Einleitung
Häufig wird in Lehrbüchern das Entscheidungsproblem der Produktionsprogrammplanung als ein Modell der linearen Optimierung präsentiert, d.h. es wird versucht, unter Berücksichtigung von Kapazitätsrestriktionen, die Summe aller Deckungsbeiträge zu maximieren, wobei unterstellt wird, dass die Preise eines Produktes unabhängig von der hergestellten Menge sind. In der Realität tritt es jedoch häufiger auf, dass diese Linearitätsannahme nicht zutrifft. Vielmehr muss sich mit nichtlinearen Produktionsprogrammen auseinandergesetzt werden.
Stellt der erzielbare Preis eine monoton abnehmende Funktion der Absatzmenge dar, wie es im Falle eines Monopolisten oder auch Oligopolisten gegeben ist, so trifft die Linearitätsannahme nicht mehr zu, sondern es entstehen nichtlineare (quadratische) Zielfunktionen.
Bisher existiert allerdings kein Algorithmus mit dem sich jedes spezifische nichtlineare Problem lösen lässt wie dies in der linearen Programmierung, z.B. für den Simplex Algorithmus, der Fall ist. Für einige wichtige Spezialfälle existieren jedoch funktionsfähige Algorithmen, z.B. für konvexe, quadratische Optimierungsmodelle.
Als erstes werden im folgenden Kapitel die Grundlagen der nichtlinearen Programmierung vorgestellt um so die Basis für die nichtlineare Produktionsprogrammplanung zu schaffen. Das dritte Kapitel wird sich mit der nichtlinearen Produktionsprogrammplanung und dem Kuhn-Tucker-Theorem beschäftigen, während im vierten Kapitel die Theorie anhand eines Beispiels angewandt wird. Der Algorithmus von Wolfe, ein Algorithmus zur Lösung nichtlinearer konvexer Optimierungsprobleme, wird im fünften Kapitel vorgestellt.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Grundlagen der nichtlinearen Programmierung
2.1 Das Grundmodell
2.2 Durch Nichtlinearität bedingte Schwierigkeiten
2.3 Konvexität
2.4 Quadratische Programmierung
3. Nichtlineare Produktionsprogrammplanung und das Kuhn-Tucker-Theorem
3.1 Nichtlineares Modell mit linearen PAF
3.2 Allgem. Herleitung der Kuhn-Tucker-Bedingungen
3.3 Das Kuhn-Tucker-Theorem
3.4 Interpretation der Kuhn-Tucker-Bedingungen
4. Erläuterungen anhand eines Zahlenbeispiels
4.1 Ermitteln des Optimums eines nichtlinearen Produktionsprogramms
4.2 Interpretation der Ergebnisse
5. Lösungsalgorithmus von Wolfe
6. Fazit
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Herausforderung, Produktionsprogramme zu planen, wenn lineare Annahmen aufgrund von Preisabhängigkeiten von der Absatzmenge nicht mehr haltbar sind. Das primäre Ziel besteht darin, Methoden zur Lösung dieser nichtlinearen Optimierungsprobleme aufzuzeigen und die Anwendung theoretischer Konzepte in der betriebswirtschaftlichen Praxis zu verdeutlichen.
- Grundlagen und Herausforderungen der nichtlinearen Programmierung
- Anwendung des Kuhn-Tucker-Theorems zur Lösungsfindung
- Mathematische Modellierung von nichtlinearen Gewinnfunktionen
- Durchführung einer praktischen Optimierung anhand eines Zahlenbeispiels
- Einsatz des Lösungsalgorithmus von Wolfe bei quadratischen Modellen
Auszug aus dem Buch
3.4 Interpretation der Kuhn-Tucker-Bedingungen
Betrachtet man die Komponenten der K-T-B genauer, so können diese folgendermaßen interpretiert werden:
(3.4.1) dF(x)/dxj Grenzerfolg der Produktart j
(3.4.2) dgi(x)/dxj Grenzverbrauch des Faktors i bezogen auf die Produktart j
(3.4.3) λi Preis für die Faktoreinheit i (Schattenpreise)
(3.4.4) λi · dgi(x)/dxj Grenzverbrauchswert des Faktors i bezogen auf Produktart j.
Während (3.4.1) den Grenzerfolg der einzelnen Produktart j wiedergibt, kann (3.4.4) als mit λi bewerteter Grenzverbrauch des Faktors i bezogen auf die Produktart j verstanden werden. Damit folgt aus der ersten K-T-B (I), dass der Grenzerfolg der j-ten Produktart zum optimalen Wert der Zielfunktion nicht größer sein kann, als der Grenzverbrauchswert dieser Produktart bezüglich aller Nebenbedingungen.
Die zweite K-T-B (II) sagt aus, dass die j-te Aktivität nicht genutzt wird, wenn ihre marginalen Auswirkungen bezüglich aller Nebenbedingungen höher sind als der marginale Beitrag dieser Aktivität zum optimalen Wert der Zielfunktion. Denn in diesem Fall ist die Gleichung nur für xj = 0 erfüllt. Das bedeutet dass Aktivitäten, bei denen ein Verrechnungsverlust entsteht, nicht benutzt werden. Die Kapazitätsbeschränkungen des Problems werden in der vierten Bedingung (IV) von Kuhn und Tucker wiedergegeben.
Die Lagrangemultiplikatoren λi stellen Schattenpreise dar. Diese geben an in wiefern sich der Wert der Zielfunktion ändert, wenn sich die Kapazität der im Optimum wirksamen Restriktion i um eine Einheit verändert. Wenn die i-te Ressource voll ausgelastet wird, entsteht für diese Ressource ein Engpass und diese Engpasseinheit wird mit einem Schattenpreis (einem positiven Wert für λi) bewertet. Wird die i-te Ressource jedoch nicht vollständig ausgenutzt, so ist der Wert für λi gleich null.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einführung erläutert den Übergang von der linearen zur nichtlinearen Produktionsprogrammplanung aufgrund realistischerer Preis-Absatz-Annahmen.
2. Grundlagen der nichtlinearen Programmierung: Das Kapitel definiert das mathematische Grundmodell, diskutiert Konvexitätsanforderungen und beschreibt die Besonderheiten quadratischer Programmierung.
3. Nichtlineare Produktionsprogrammplanung und das Kuhn-Tucker-Theorem: Hier werden die mathematischen Bedingungen hergeleitet, die notwendig sind, um optimale Lösungen bei nichtlinearen Neben- und Zielfunktionen zu identifizieren.
4. Erläuterungen anhand eines Zahlenbeispiels: Die theoretischen Erkenntnisse werden an einem konkreten Beispiel mit zwei Produkten praktisch angewandt und interpretiert.
5. Lösungsalgorithmus von Wolfe: Dieses Kapitel stellt ein spezielles Verfahren zur Lösung konvexer, quadratischer Optimierungsprobleme vor, das auf den Kuhn-Tucker-Bedingungen basiert.
6. Fazit: Die Arbeit schließt mit der Feststellung, dass die nichtlineare Planung komplexer ist als die lineare und verschiedene Lösungsansätze erfordert.
Schlüsselwörter
Nichtlineare Produktionsprogrammplanung, Optimierung, Kuhn-Tucker-Theorem, Zielfunktion, Nebenbedingungen, Schattenpreise, Konvexität, Quadratische Programmierung, Algorithmus von Wolfe, Deckungsbeitrag, Preis-Absatz-Funktion, Grenzgewinn, Ressourcenkapazität, Schlupfvariablen, Mathematische Modellierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Produktionsprogrammplanung unter der Annahme, dass Preise in Abhängigkeit von der Menge variieren, was zu nichtlinearen (insbesondere quadratischen) Optimierungsmodellen führt.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Modellierung, der Herleitung und Interpretation der Kuhn-Tucker-Bedingungen sowie der Anwendung spezieller Lösungsalgorithmen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, den Umgang mit nichtlinearen Optimierungsproblemen in der betriebswirtschaftlichen Planung aufzuzeigen und Methoden zur Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms zu demonstrieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Optimierungsverfahren eingesetzt, insbesondere die Lagrange-Multiplikatorenmethode und das Kuhn-Tucker-Theorem, ergänzt durch den Lösungsalgorithmus von Wolfe.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich den theoretischen Grundlagen der nichtlinearen Programmierung, der formalen Herleitung des Kuhn-Tucker-Theorems und der praktischen Anwendung an einem numerischen Beispiel.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind Nichtlineare Produktionsprogrammplanung, Kuhn-Tucker-Theorem, Schattenpreise und der Algorithmus von Wolfe.
Warum sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen für die Optimierung wichtig?
Sie stellen notwendige Bedingungen für ein lokales Optimum bei Problemen dar, die Ungleichungs-Nebenbedingungen enthalten, und sind zentral für die Lösung konvexer Optimierungsmodelle.
Wie werden die Ergebnisse des Zahlenbeispiels interpretiert?
Die Ergebnisse liefern Informationen über den Grenzerfolg der Produkte und zeigen durch die Schattenpreise auf, wie sich die Kapazitätsänderungen der Ressourcen auf den Gesamtgewinn auswirken.
- Quote paper
- Diplom-Kaufmann Hendrik Hellwig (Author), 2005, Nichtlineare Produktionsprogrammplanung - Grundlagen der nichtlinearen Programmierung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/88877
