Eigenschaften von Aktien-Optionen - Portefeuille- und Kapitalmarkttheorie

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung:

2 Einflussfaktoren des Optionspreises
2.1 Der Tageskurs einer Aktie
2.2 Der Basispreis
2.3 Die Laufzeit (Time to Maturity)
2.4 Die Volatilität des Aktienkurses
2.5 Der risikofreie Zins
2.6 Die für die Laufzeit der Option erwarteten Dividenden

3 Obere und untere Grenzen für die Preise von Optionen
3.1 Obergrenzen von Optionen auf dividendenlose Aktien
3.1.1 Obergrenzen amerikanischer oder europäischer Calls
3.1.2 Obergrenzen amerikanischer oder europäischer Puts
3.2 Untergrenzen von Optionen auf dividendenlose Aktien
3.2.1 Untergrenze eines Europäischen Calls
3.2.2 Untergrenze eines Europäischen Puts
3.3 Untergrenzen von Optionen dividendenzahlender Aktien

4 Die Put-Call-Parität

5 Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung Amerikanischer Optionen
5.1 Calls auf dividendenlose Aktien
5.2 Calls auf dividendenzahlende Aktien
5.3 Puts auf dividendenlose Aktien
5.4 Puts auf dividendenzahlende Aktien

6 Fazit

7 Anhang

8 Literaturverzeichnis

Verzeichnis der Abbildungen

1 Volatilität und der Preis einer Call-Option

2 Preisänderung eines amerikanischen Puts in Abhängigkeit vom Aktienkurs

3 Preisänderung eines europäischen Puts in Abhängigkeit vom Aktienkurs

Verzeichnis der Abkürzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung:

Im vergangenen Jahr 2004 wurden allein an der European Exchange (Eurex)¹ 211 Millionen Kontrakte von Aktienoptionen umgesetzt.² Aktienoptionen zählen zu den derivativen Finanzinstrumenten und dienen sowohl zur Absicherung von Kursänderungsrisiken, als auch zu Spekulationszwecken. Obwohl Optionen in den unterschiedlichsten Erscheinungsformen auftreten, lassen sich stets zwei Arten unterscheiden.

Beim Call erwirbt der Käufer gegen Zahlung der Optionsprämie das Recht, eine Aktie an oder bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Kurs, dem Basispreis X, zu kaufen. Ein Put hingegen eröffnet ihrem Inhaber die Möglichkeit, eine Aktie zum Kurs von X zu verkaufen. Der Stillhalter einer Option übernimmt ferner die Verpflichtung, den Basiswert zum festgelegten Basispreis zu verkaufen (Call) oder zu kaufen (Put), sollte der Optionsinhaber sein Recht ausüben.

Eine herausragende Bedeutung von Optionen ist mit ihrer charakteristischen Hebelwir- kung zu erklären, d.h., dass mit geringem Kapitaleinsatz und entsprechender Bewegung des Basiswertes ein überdurchschnittlicher Gewinn zu erzielen ist. Demgegenüber ist aber auch eine Wertminderung des Optionsrechts bis hin zum Verlust des gesamten ein- gesetzten Kapitals möglich.³ Die Prämie einer Option stellt folglich für den Käufer den Maximalverlust, für den Stillhalter hingegen den maximalen Gewinn bei unbegrenztem Verlustpotential dar.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Einflussfaktoren, Preisgrenzen und Ausübungsmöglichkeiten von Aktienoptionen. Ferner wird die so genannte Put-Call-Parität untersucht, die sich mit der Frage befasst, inwieweit ein Zusammenhang zwischen dem Preis eines Calls, dem eines Puts und dem Underlying besteht.

2 Einflussfaktoren des Optionspreises

Der theoretisch faire Wert einer Option wird durch die folgenden sechs⁴ Faktoren beein- flusst und kann als Funktion dieser dargestellt werden. Die gängige Bewertung von Op- tionen erfolgt seit den siebziger Jahren mit der von Black & Scholes entwickelten For- mel⁵. Zur Verdeutlichung der Wirkung einzelner Faktoren seien die nachstehenden inneren Werte betrachtet. Der innere Wert einer Option stellt die Vorteilhaftigkeit einer sofortigen Ausübung des Optionsrechts gegenüber einem entsprechenden Direktengagements am Kassamarkt dar. Call = Aktienkurs - Basispreis (1) Put = Basispreis - Aktienkurs (2)

2.1 Der Tageskurs einer Aktie

Betrachtet man den inneren Wert eines Calls (1), so ergibt sich dieser laut Hull ⁶ aus der „Summe, um den der Aktienkurs den Basispreis übersteigt.“ Steigende Aktienkurse be- deuten daher ein Ansteigen des inneren Wertes und damit verbunden des Optionspreises.

2.2 Der Basispreis

Als zweiter Bestimmungsfaktor des inneren Wertes gilt der Basispreis. Eine geringere Basis verursacht aufgrund ihres direkten Einflusses auf den inneren Wert der Option einen höheren Preis des Calls.

Puts verhalten sich genau spiegelbildlich hinsichtlich der Faktoren in 2.1 und 2.2.⁷

2.3 Die Laufzeit (Time to Maturity)

Bei der Laufzeit ist zwischen amerikanischen und europäischen Optionen zu differenzie- ren.

Amerikanische Optionen können zu jedem Zeitpunkt bis zum Fälligkeitstermin, Europä- ische Optionen hingegen lediglich am Fälligkeitstermin ausgeübt werden. Eine Ameri- kanische Option umfasst demnach „ceteris paribus“ umfangreichere Rechte, so dass sie immer mindestens soviel wert ist wie die korrespondierende Europäische Option (C t c & P t p). In diesem Zusammenhang wird auch von einer so genannten “Early Exercise Premium“ gesprochen, die auf den Preis einer Europäischen Option aufgeschlagen wird. Betrachtet man nunmehr den Einfluss der Laufzeit auf Amerikanische Optionen, so ist festzustellen, dass diese mit zunehmender Restlaufzeit umfangreichere Ausübungsmög- lichkeiten verbriefen. Eine langfristige Amerikanische Option muss demnach mindes- tens den Wert einer Option mit einer geringeren Laufzeit aufweisen.

Grundsätzlich gilt dieser Zusammenhang ebenfalls für Europäische Optionen, da eine längere Laufzeit auch eine erhöhte Chance zur positiven Entwicklung der Option impli- ziert.⁸ Hull ⁹ zeigt jedoch anhand des folgenden Beispiels, dass dies nicht zwangsläufig der Fall sein muss. Angenommen eine hohe Dividendenzahlung ist in sechs Wochen absehbar (Auswirkungen siehe 2.6), so kann der Käufer eines Calls mit einer längeren Restlaufzeit nicht, der Halter eines Calls mit einer Restlaufzeit von vier Wochen hinge gen rechtzeitig auf dieses Event reagieren. Die Zahlung einer Dividende führt also mög- licherweise dazu, dass die kurzfristigere Option mehr wert ist als der langfristige Call.

2.4 Die Volatilität des Aktienkurses

Die Volatilität wird i.d.R. in Form der Standardabweichung der Aktienrendite ausge- drückt. Sie gibt die Häufigkeit und Intensität von Kursschwankungen eines Basiswertes während eines bestimmten Zeitraumes an und beschreibt folglich den Grad der Unsi- cherheit hinsichtlich zukünftiger Aktienkursentwicklungen¹⁰. Da die zukünftige Volatili- tät des Basiswertes naturgemäß nicht berechnet werden kann, bilden sich die einzelnen Marktteilnehmer auf Basis historischer Volatilitäten eine Meinung über die Zukunft. Steigt die Volatilität einer Aktie, so erhöht sich gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, dass die Option sich während der Laufzeit für den Inhaber vorteilhaft entwickelt.¹¹ Dies ist damit zu begründen, dass der Inhaber eines Calls zwar von erhöhten Aktienkurszuwäch- sen partizipieren kann, das Risiko im Falle eines Kursverfalls hingegen begrenzt ist (sie- he Einleitung). Puts verhalten sich bzgl. der Aktienkursentwicklungen genau entgegen- gesetzt. Demnach steigt der Wert einer Option, unabhängig davon, ob es sich um einen Call oder Put handelt, mit zunehmender Volatilität.¹²

2.5 Der risikofreie Zins

Hull ¹³ verdeutlicht den Einfluss des risikofreien Zinssatzes auf den Wert einer Option anhand der Effekte, die eine Anhebung des Zinsniveaus innerhalb einer Volkswirtschaft verursacht. Einerseits steigt tendenziell die erwartete Wachstumsrate des Aktien-Kurses, andererseits sinkt der Gegenwartswert künftiger Einzahlungen aus einer Option durch den erhöhten Diskontierungsfaktor r. Diese beiden Effekte führen bei einem Put tenden- ziell zu einem Absinken des Optionswertes, bei einem Call hingegen ist der erste Effekt eher mit einem Preisanstieg, der zweite jedoch mit einem Preisrückgang verbunden, wo- bei Beobachtungen zufolge, der erste Effekt dominiert und somit der Preis eines Calls per Saldo steigt. Kritisch weist der Autor aber darauf hin, dass die Ergebnisse auf der Annahme basieren, alle anderen Variablen blieben konstant. In der Praxis wäre ein Zins- anstieg grundsätzlich mit einem Rückgang des Aktienkurses verbunden, der Nettoeffekt einer Zinsänderung könnte somit genau gegenteilig zu den aufgeführten Feststellungen ausfallen. Letztlich kommt Hull (a.a.O.) daher zu dem Urteil, dass der risikofreie Zins einen weniger eindeutigen Einfluss auf den Preis einer Option hat.

Einen weiteren Erklärungsansatz für den vergleichsweise geringen Einfluss des Zinssat- zes r liefert der Opportunitätskostenansatz. Da im Gegensatz zu einer Direktanlage in den Basiswert sowohl der Käufer eines Calls als auch der Stillhalter eines Puts den Ba- sispreis erst am Ende der Optionslaufzeit zu entrichten hat, kann dieser Betrag bis zum Ausübungszeitpunkt verzinslich angelegt werden. Steigende Zinsen lassen demnach ceteris paribus den Wert eines Calls steigen und den Preis eines Puts sinken.¹⁴

2.6 Die für die Laufzeit der Option erwarteten Dividenden

Die Auszahlung von Dividenden am Ex-Dividendentag führt zu einer Minderung des Aktienkurses und damit bei einem Call tendenziell zu einem Preisrückgang, bzw. bei einem Put zu einem Preisanstieg, siehe hierzu (1) und (2).¹⁵ Da jedoch zu beobachten ist, dass Aktienkurs und Optionspreis bereits eine gewisse Zeit vor dem Ausschüttungstag durch die anstehende Dividendenzahlung beeinflusst werden, ist festzuhalten, dass der Wert eines Calls in einer negativen und der Wert eines Puts in einer positiven Beziehung zur Höhe der erwarteten Dividende steht.¹⁶

Zusammenfassend lässt sich der Optionspreis in den inneren Wert und den Zeitwert auf- spalten. Ersterer wird maßgeblich durch die Faktoren 2.1 und 2.2 bestimmt, wogegen letzterer als die Differenz aus Optionspreis und innerem Wert durch die Einflussfaktoren 2.3 bis 2.6 beeinflusst wird.¹⁷

3 Obere und untere Grenzen für die Preise von Optionen

Optionspreise schwanken zwischen bestimmten Grenzwerten, die je nach Art der Option unterschiedlich sind. Werden diese Grenzen nicht erfüllt, so bieten sich Arbitrageuren risikolose Gewinne.

3.1 Obergrenzen von Optionen auf dividendenlose Aktien

3.1.1 Obergrenzen amerikanischer oder europäischer Calls

Eine Call Option kann nie mehr wert sein als die Aktie.¹⁸ Sollte diese Bedingung nicht erfüllt sein, d.h. C, c>S0, so hätte ein Anleger die Möglichkeit der Arbitrage, d.h. zur Erzielung risikoloser Gewinne. Er müsste hierzu lediglich einen Call verkaufen, also die Rolle des Stillhalters übernehmen, und anschließend unter Verwendung des Erlöses die dazugehörige, preisgünstigere Aktie erwerben. Sollte es nunmehr zu einer Ausübung seitens des Kontrahenten kommen, dient der Anleger die Aktie an, bei Nichtausübung hingegen, verfügt dieser nicht nur über den zum risikolosen Zinssatz angelegten Gewinn aus o.g. Transaktion, sondern darüber hinaus über eine Aktie mit weiterem Kurssteige- rungspotential. Der gegenwärtige Aktienkurs bildet somit die Obergrenze für Calls.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.2 Obergrenzen amerikanischer oder europäischer Puts

Eine Put Option kann nie mehr wert sein als der Basispreis X.¹⁹ Sollte diese Bedingung jedoch nicht erfüllt sein, d.h. P, p>X, so erhielte der Besitzer eines Puts im Falle der Ausübung (d.h. wenn gilt X•ST) eine Einnahme in Höhe des Basispreises, hätte jedoch in der Vergangenheit eine höhere Prämie für diese Option bezahlt. Ein positiver Erlös wäre damit zu keinem Zeitpunkt erzielbar und der Erwerb einer solchen Option nicht nachvollziehbar. Der Basispreis X bildet demnach die Obergrenze für Puts:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da ferner ein Europäischer Put nur im Zeitpunkt T ausgeübt werden kann, muss vor dessen Fälligkeit stets der Gegenwartswert von (4) und somit die strengere Bedingung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Weltweit führende elektr. Terminbörse mit Sitz in Frankfurt/Main.

² Vgl. Eurex Expand (2005), S. 3

³ Vgl. Produktinformation Optionsscheine, DZ Bank AG (2005), S.1

⁴ Auf weitere Faktoren wie Steuern, Transaktionskosten, organisatorische Regelungen im Optionshandel und Handelsvolumen kann aus Platzgründen nicht weiter eingegangen werden. Vgl. hierzu Gould/Galai (1974), S.108ff.

⁵ Vgl. hierzu König/Rommelfanger/Ohse (2003), S. 403

⁶ Vgl. hierzu Hull (2001), S. 240

⁷ Vgl. hierzu Hull (2001), S. 240f.

⁸ Vgl. hierzu Copeland/Weston (1988) S. 243

⁹ Vgl. hierzu Hull (2001), S. 241

¹⁰ Vgl. hierzu Hull (2001), S. 242

¹¹ Zur Verdeutlichung siehe hierzu ebenfalls Abbildung 1

¹² Vgl. hierzu Hull (2001), S. 242

¹³ Vgl. hierzu Hull (2001), S. 242

¹⁴ Vgl. hierzu Hoffmann/Ramke (1990), S. 52

¹⁵ Vgl. hierzu Hull (2001), S.243

¹⁶ Vgl. hierzu Produktinformation Optionsscheine, DZ Bank AG (2005), S.5

¹⁷ Vgl. hierzu König/Rommelfanger/Ohse (2003), S. 396

¹⁸ Vgl. hierzu Hull (2001), S.244

¹⁹ Vgl. hierzu Hull (2001), S.244