Der Anti-Aliasing Filter. Ein kurzer Überblick der verschiedenen Filtertypen

Inhaltsverzeichnis

Die Analog - Digital Wandlung
Abtastung
Der Aliasing Fehler
Theorem von Shannon und Nyquist

Der Anti - Aliasing Filter
Tiefpassfilter allgemein
Filter erster-, zweiter und höherer Ordnung
Samplingtiefe und Dynamik
Filtertypen
Bessel
Butterworth
Tschebyscheff
Diagramme
Anti - Aliasing Level
Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Die Analog - Digital Wandlung

Analoge Signale können beim Digitalisieren nicht 1:1 aufgenommen werden. Hierzu bedarf es zwei Schritte: der Abtastung und der Quantisierung. Im Weiteren wird nur die Funktionsweise der Abtastung erklart, da dies für das Thema Anti - Aliasing notwendig ist.

Abtastung

Das analoge, stetige Signal wird in einer Frequenz abgetastet. Hierbei wird aus einem zeit- und werte -kontinuierlichem Signal ein zeit- und wertediskretes, digitales Signal erstellt. Dies geschieht mit Hilfe einer "Sample and Hold Stufe". Die Schaltung besteht vereinfacht auf einem zu messenden Eingangssignal, einem Schalter und einem Kondensator. Der Schalter wird mit der Abtastfrequenz beschalten und der Kondensator lad sich bei jedem Takt, also bei geschlossenem Schalter, mit der Eingangsspannung auf. Bei geöffnetem Schalter wird die Spannung gespeichert, also gehalten. Der Impedanzwandler ist dafür zustandig, zu groRe Pegelverluste zu vermeiden. Der Spannungsfolger gibt die abgetastete Spannung aus. Das umgewandelte Signal ist in Abbildung 2 zu sehen. Die gestrichelten Linien zeigen hier die Abtastfrequenz, der Schalter wurde hier kurz geschlossen. Diese Spannungsstufen, welche in der roten Linie abgebildet sind, werden nun in der Quantisierung in Spannungssignale umgewandelt. 1

Der Aliasing Fehler

Bei der Abtastung von Signalen ist die Abtastfrequenz, auch Samplefrequenz genannt, sehr wichtig. Ist diese zu gering, gehen Informationen verlohren. Je höher also die Samplefrequenz, desto genauer das abgetastete Signal. Bei falscher Frequenz können dabei auch Messfehler auftreten.

In Abbildung 3 (a) sind zwei Zyklen mit einer 2 Hz Kosinuswelle gezeigt. Die Abtastintervalle betragen fs= mit 10 Abtastungen pro Sekunde, bzw. alle 0,1 s wird das Signal abgetastet.

Abbildung 3 (b) zeigt eine 8 Hz Kosinuswelle mit ebenfalls 0,1 s Abtastrate. Werden die abgetasteten Linien verbunden, erhalten wir aber wieder eine 2 Hz Kosinuswelle. Das Signal wurde hier mit einer Unterabtastung aufgenommen. Das 2 Hz Signal ist hier das „Alias - Signal", da es eine völlig andere Frequenz aufweist als das Samplesignal.

Bei falscher Abtastfrequenz, wie in Abbildung 4, können auch völlig falsche Signale erfasst werden. Im Beispiel wurden 4 Sinusschwingungen mit zwei Punkten abgetastet, also das Theorem wurde nicht eingehalten. Nun ist es Zufall, wann das Signal abgetastet wird. Im obigen Bild geht es gut, da die Amplitude getroffen wurde. Unten hingegen wurde immer der Nulldurchgang abgetastet, somit misst man kein Signal. 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 Messfehler bei Abtastung 9

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4 Abtastung mit falscher Abtastfrequenz 1

Theorem von Shannon und Nyquist

Um Messfehler zu verhindern muss bei der Abtastrate das Theorem von Shannon und Nyquist eingehalten werden. Dieses besagt, dass Die Abtastfrequenz mindestens doppelt so groR sein muss wie die gröRte Samplefrequenz. Also fa > 2fs. Die halbe Abtastfrequenz wird Nyquistfrequenz genannt. Alle Frequenzen unterhalb der Nyquistfrequenz können abgetastet werden ohne Aliasing Effekt.

Hierbei können jedoch weiterhin Aliasing Effekte in Form von Spiegelfrequenzen auftreten. Es werden durch die feste Abtastfrequenz alle Frequenzen unter der Nyquistfrequenz aufgezeichnet. Alle Frequenzen zwischen fs und fa werden nun gespiegelt. Das heiRt, sie werden wie im Beispiel von Abbildung 3 als falsche Frequenz gezeigt.

In Abbildung 5 werden Frequenzbereiche mit den Nutz-, Spiegel- und Verschiebungsbereichen gezeigt.

Die Frequenz fs liegt hier bei 40 000 Hz, somit sind alle Frequenzen unter der Nyquistfrequenz von ƒ 20 000 Hz abtastbare Frequenzen. Die Frequenzen über sind der Spiegelbereich. Aus 21 000 Hz werden somit 19 000 Hz gemessen, aus 22 000 Hz werden 18 000 Hz. Nach dem Spiegelbereich, der bis zur Abtastfrequenz von 40 000 Hz geht, kommt ein Verschiebebereich. Im Beispiel wird eine Frequenz von 45 000 Hz mit 40 000 Hz abgetastet. Der Bereich verschiebt sich somit um die Abtastfrequenz und es werden nur noch 5 000 Hz erfasst. Nach dem Verschiebebereich folgt nun wieder ein Spiegelbereich, in der sich die Frequenz zum vorherigen Verschiebebereich spiegelt und anschlieRend wieder verschoben wird. Es wechseln sich somit immer Spiegel- und Verschiebebereiche ƒ ab und das immer nach —. 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5 Spiegelfrequenzen 4

Der Anti - Aliasing Filter

Durch die Anwendung des Shannon - Nyquist Theorem ist es möglich, Signale ohne Aliasing ƒ aufzuzeichnen. Jedoch nur, wenn das Samplingsignal keine Frequenzanteile hat die gröRer als sind. Dadurch würden sich wieder Spiegel- und Verschiebefrequenzen ergeben, die ein Alias - Signal hervorrufen. Es muss also sicher sein, dass vor der Signalabtastung alle höheren Frequenzen als die Nyquistfrequenz herausgefiltert werden. Dies kann man mit einem Tiefpassfilter erreichen, der vor die Sample and Hold - Stufe geschalten wird. Dieser Tiefpassfilter wird auch „Anti - Aliasing Filter“ genannt.

Tiefpassfilter allgemein

Bei der Auswahl des geeigneten Filters gibt es einiges zu beachten. Ein Tiefpassfilter kann verschiedene Kennlinien besitzen. In Abbildung 6 ist der Unterschied zwischen einem idealen und realen Filter zu sehen. Der ideale Filter dampft alle Signale mit Frequenzen über fs (ƒ]_). Der reale Filter hat einen „Rolloff", in Abbildung 6 b das „Transition Band". Von bis f2 dampft der Filter anhand seiner Kennlinie die Signale. Problem dabei ist, das der Filter mit diesem „Rolloff“ in den Spiegelbereich über die Nyquistfrequenz kommt. Somit muss der „Rolloff" so kurz wie möglich sein und gleichzeitig darf das System nicht zu schwingen beginnen. 3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6 Idealer und realer Anti-aliasing Filter 11

Filter erster-, zweiter und höherer Ordnung Um die Steilheit im Grenzfrequenzbereich zu verandern, können Filter höherer Ordnung verwendet werden. Ein Tiefpass erster Ordnung besteht aus einem Widerstand und einem Kondensator. Um nun eine höhere Ordnung zu erreichen, muss eine weitere, der ersten Kapazitat unabhangigen, Kapazitat hinzugeschalten werden. In Abbildung 7 ist solch ein Filter zu sehen. Die Kapazitat C2 ist unabhangig von C1 geschalten, also weder in Reihe, noch Parallel zu ihr. 4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7 Tiefpass zweiter Ordnung 6

Ein Tiefpass höherer Ordnung wird nun erreicht, indem mehrere Tiefpassfilter von erster und/oder zweiter Ordnung hintereinander geschalten werden. Hierbei andert man das Gefalle nach der Grenzfrequenz. Hat der Filter erster Ordnung zum Beispiel eine Dampfung von - 20 dB, ergibt sich aus dem Zusammenschalten zur zweiten Ordnung eine Dampfung von - 40 dB. Beim Zusammenschalten wird jedoch auch die Ausgangsverstarkung um die Anzahl der Filter (Ordnung) gedampft. Dies kann mit folgender Formel berechnet werden:

Dampfungsfaktor = n ist hier die Ordnung des Filters. Die erste Ordnung besitzt eine Dampfung von 0,707, also - 3 dB. Die zweite Ordnung eine Dampfung von 0,707 x 0,707, und somit eine Dampfung von - 6 dB. Um die neue Durchlassfrequenz des höheren Filters zu berechnen, kann folgende Formel benutzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Samplingtiefe und Dynamik

Um den benötigten „Roll-Off“ des Tiefpassfilters zu ermitteln, muss die Dynamik des Samplingsignals ermittelt werden. Hierzu bestimmt man zuerst die Samplingtiefe des Systems, also die Bittiefe. Hierbei wird bestimmt, wieviele Bits bei der Quantisierung des Signals pro Abtastwert (Sample) verwendet werden. Je höher die Bittiefe, desto höher der Speicherbedarf. Die Dynamik steigt aber gleichzeitig mit jeder Bithöhe naherungsweise um 6 dB. Das bedeutet, das auch mehr Störsignale erfasst werden können. Somit wird für ein 16 Bit System mit einer Dynamik von 6 dB x 16 Bit = 96 dB ein Roll-Off von mindestens - 96 dB pro Dekade benötigt, um die Signale komplett zu Dampfen. Hierbei muss ein Filter fünfter Ordnung verwendet werden, da 5 x -20 dB = - 100dB. 6 Da je nach Anwendung ein so steiler Filter zu rauschen beginnen könnte, wird heutzutage die Samplingrate um das bis zu 128 - fache erhöht. Somit wird der Spiegelbereich verschoben.

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