Einführung in die Fuzzy Mengenlehre


Hausarbeit, 2020

20 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

I. Inhaltsverzeichnis

I. Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Einführung in das Thema
1.2. Problemorientierte Fragestellung der Arbeit

2. Grundlagen
2.1. Die klassische Mengenlehre
2.2. Die Fuzzy-Mengenlehre
2.2.1. Theoretische Grundlage der Fuzzy-Mengenlehre
2.2.1. Operatoren von Fuzzy-Mengen
2.2.2. Schlussfolgerungen in der Fuzzy-Mengenlehre

3. Fuzzy-Mengenlehre in der Praxis
3.1. Fuzzy-Control

4. Ausblick und Prognosen für den Einsatz der Fuzzy-Mengenlehre

5. Fazit

III. Abbildungsverzeichnis

IV. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

1.1. Einführung in das Thema

Gemäß den Ergebnissen einer Unfallstatistik der Schweizer Behörden ließen sich 90% der Verkehrsunfälle aus dem Jahr 2019 auf menschliches Versagen zurückführen (vgl. Willi, C., 2018, S. 3). Bei 9291 handelte es sich dabei u Auffahrunfälle (vgl. Kords, M., 2020). Dem gegenübergestellt geben knapp 51% der Deutschen gemäß einer Studie des VFI (Vgl Abb. 1) an, dass sie davon überzeugt seien, dass sich die Sicherheit im Straßenverkehr mit selbstfahrenden Fahrzeugen erhöhen ließe. Tatsächlich stellt sich vor diesem Hintergrund die Frage, inwieweit sich Unfälle, wie die oben genannten Auffahrunfälle, durch den Einsatz automatisierter Systeme verhindern ließen. Eine Möglichkeit bestünde darin, eine automatisierte Abstandsregelung mittels Sensorik und linear berechnender Logiksysteme zu integrieren, allerdings stoßen solche Systeme gerade bei in den Straßenverehr einscherenden Fahrzeugen oder langsamen Fahrzeugen nach Kurven schnell an ihre Grenzen (vgl. Adamy, J., 2019, S. 72). Ein sogenannter Fuzzy-Abstandsregler kann hier Abhilfe schaffen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 - Sicherheit im Straßenverkehr durch automatisierte Fahrzeuge (vgl. Wittpahl, V., 2019, S.21)

1.2. Problemorientierte Fragestellung der Arbeit

Unsere Gesellschaft verfolgt aktuell einen rasanten, technischen Fortschritt, bei dem immer mehr Aufgaben automatisiert werden sollen und Firmen mit starker digitaler Basis konventionelle Produkthersteller werttechnisch längst überholt haben. Einmal jährlich ermittelt das Marktforschungsinstitut Milward Brown die weltweit 10 wertvollsten Unternehmen. In diesem Ranking ist McDonald’s mit Rang 9 das einzige Unternehmen, welches konventionelle statt digitaler Produkte verkauft (Vgl. Milward Brown, 2020).

Jedoch stoßen automatisierte Systeme bei Anwendung der herkömmlichen Logik, nach welcher eine Aussage nur wahr oder unwahr sein kann, schnell an ihre Grenzen. Schon allein die simpel anmutende Fragestellung, ob ein Fahrzeug, das sich mit 80km/h bewegt, schnell oder nicht ist, lässt sich mit herkömmlicher Logik nicht beantworten. Dem gegenüber stellt die Fuzzy-Mengenlehre ein Werkzeug bereit, um solche Aussagen mathematisch bewerten und Aussagen auch teilweise wahr oder teilweise falsch einstufen zu können. Diese Arbeit stellt die Thematik Fuzzy-Mengenlehre im Allgemeinen vor und zeigt anhand praktischer Anwendungsbeispiele und dem abschließenden Ausblick, inwiefern solche Systeme zukünftig eingesetzt werden können.

2. Grundlagen

2.1. Die klassische Mengenlehre

Zwei der wesentlichen Axiome des westlichen Logiksystems gehen auf Aristoteles zurück. Zum einen gibt es das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten, bei dem eine Aussage wahr oder falsch sein muss und keine weitere Lösung existiert, zum anderen das Prinzip der Bivalenz, wobei nichts gleichzeitig wahr und falsch sein kann (Vgl. Portmann, E., 2019, S. 3). Dies führt gemäß den Auffassungen der westlichen Philosophie zu einer eindeutigen, oder auch scharfen Logik.

Die klassische Mengenlehre wurde Ende des 19 Jahrhunderts von Georg Cantor basierend auf dieser westlichen Logik entwickelt. Er definierte den Begriff Menge dabei wie folgt:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen (vgl. Tietze, J., 2019, S.1).

Grundlegend handelt es sich bei der klassischen Mengenlehre um ein binäres System, bei der ein Element einer Menge entweder zugehörig ist (Wert =1) oder nicht (Wert = 0) (vgl. Adamy, J., 2019, S. 10). Es gehört also einer Menge entweder eindeutig oder nicht eindeutig nicht zu (vgl. Klüver, C., 2012, S. 160).

Zwar eignet sich die klassische Mengenlehre damit als Grundlagendisziplin für mathematische Anwendungen, stößt jedoch insbesondere beim Auftreten linguistischer Variablen ohne eindeutige Zugehörigkeit an ihre Grenzen.

2.2. Die Fuzzy-Mengenlehre

Östliche Philosophien beschäftigten sich bereits ca. 500 v. Chr. mit unscharfen Systemen, wie die philosophische Weltsicht von Laozi zeigt (vgl. Portmann, E., 2019, S. 1). Erste Ideen nach einem unscharfen Logiksystem in der modernen Mathematik stammen von Lukasiewic und Black. Dies war zum einen der Unschärfeproblematik der Quantentheorie geschuldet als auch jener Erkenntnis, dass viele mathematische Modelle in der Technik oder Biologie die Realität nicht exakt, sondern unscharf abbilden (vgl. Adamy, J., 2019, S. 5). Eine erste unscharfe Logiktheorie entwickelte 1965 Zadeh, und benannte sie die Fuzzy-Logik. „Fuzzy“ bedeutet dabei so viel wie unscharf oder verschwommen (vgl. Adamy, J., 2019, S. 5). Diese Erweiterung der klassischen Mengenlehre bietet nun auch die Möglichkeit auch das Unscharfe mathematisch zu erfassen.

2.2.1. Theoretische Grundlage der Fuzzy-Mengenlehre

Auch die Fuzzy-Mengenlehre basiert auf der klassischen Mengenlehre. Während in der klassischen Mengenlehre ein Element einer Menge entweder zugehörig ist oder nicht, bietet die Fuzzy Mengenlehre die Möglichkeit der Teilzugehörigkeit. So kann die Zugehörigkeit zu einer Menge einen beliebigen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, wobei 0 für überhaupt nicht zugehörig und 1 für voll zugehörig steht. So würde der Wert 0,8 beispielsweise aussagen, dass ein Element der Menge zu 80% zugehörig ist. Dies wird auch als Zugehörigkeitsgrad (µ(x)) bezeichnet (vgl. Bothe, H.-H., 1995, S. 6f). Ein Element kann gleichzeitig zwei Mengen anteilig angehören. So wäre das Beispiel in Abbildung 2 so zu interpretieren, dass bei einem Auftragseingang von 500 Stück 50% der Menge „Mittel“ und knapp 30% der Menge „Niedrig“ zuzuordnen sind.

In der Fuzzy-Logik nimmt die sogenannte linguistische Variable eine zentrale Stelle ein. Linguistische Ausdrücke sind die Basis zur Interpretation umgangssprachlicher Ausdrücke und bestehen aus linguistischen Variablen, linguistischen Termen oder aber Werten und linguistischen Operatoren. Eine linguistische Variable ergibt sich aus einzelnen und zugehörigen linguistischen Werten. Im Beispiel von Abbildung zwei stellt der Auftragseingang in Stück die linguistische Variable dar. Diese kann die einzelnen linguistischen Werte „niedrig“, „mittel“ und „hoch“ annehmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 - Zugehörigkeitsfunktion Beispiel Auftragseingang (vgl. Bradler, D., 2016, S. 9)

Die einzelnen linguistischen Werte lassen sich alle auf Basis einer scharfen Grundmenge, in diesem Fall die Menge aller Auftragseingänge, definieren. Entsprechend besteht eine linguistische Variable aus dem Namen der linguistischen Variablen, der Summe aller linguistischen Werte, den Namen aller linguistischen Werte und der scharfen Grundmenge x (vgl. Jaanineh, G., 1996, S. 170).

In Abbildung 3 finden sich die grundlegenden Merkmale der der klassischen Mengenlehre sowie der Fuzzy Mengenlehre wieder.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 - Gegenüberstellung der Merkmale klassische zu Fuzzy-Mengenlehre (vgl. Jaanineh, G., 1996, S. 179)

2.2.1. Operatoren von Fuzzy-Mengen

Auch die mit der Fuzzy-Mengenlehre direkt in Zusammenhang stehenden Operatoren wie Negation, Konjunktion und Disjunktion beruhen im Wesentlichen auf dem klassischen Logikmodell und werden nachfolgend erklärt.

Fuzzy-logische Konjunktion

Die fuzzy-logische Konjunktion basiert im Wesentlichen auf dem Und-Operator der Boolschen Verknüpfungen. Dieser Operator bildet die Schnittmenge der betrachteten Mengen. Entsprechend ist die Zugehörigkeitsfunktion beider Mengen der Durchschnitt, das Minimum, der Zugehörigkeitsfunktionen der Einzelmengen.

Fuzzy-logische Disjunktion

Ebenso wie die Konjunktion beruht auch die Disjunktion auf den Boolschen Verknüpfungen, wird aber mit dem Oder-Operator durchgeführt. Dieser Operator bildet die Vereinigungsmenge beider Mengen ab, sprich das Maximum der Zugehörigkeitsfunktionen.

Fuzzy-logische Negation

Während die Konjunktion und Disjunktion die Grundmengen entweder als Durchschnitt oder als Vereinigung abbilden, stellt die Negation den Boolschen Nicht-Operator dar und bildet die Komplementärmenge der verknüpften Grundmengen dar.

Abbildung 4 zeigt oben benannte Operatoren in der formalen Darstellung mit Konjunktion (oben), Disjunktion (Mitte) und Negation (unten), Abbildung 5 die zugehörigen Funktionen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Ende der Leseprobe aus 20 Seiten

Details

Titel
Einführung in die Fuzzy Mengenlehre
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Note
1,0
Autor
Jahr
2020
Seiten
20
Katalognummer
V916730
ISBN (eBook)
9783346234667
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fuzzy Mengenlehre, unscharfe Logik, Logiksysteme, Mengenlehre, Fuzzy, Fuzzy Control
Arbeit zitieren
Johann Padel (Autor), 2020, Einführung in die Fuzzy Mengenlehre, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/916730

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