Öffnen von Aufgaben zur natürlichen Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule

Inhalt

1 Einleitung
1.1 Aufbau der Arbeit

2 Wissenschaftlicher Theorie- und Literaturteil
2.1 Aktueller Bildungspolitischer Stand
2.2 Öffnung von Unterricht
2.2.1 Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht
2.2.2 Nachteile des offenen Unterrichts
2.3 Mathematikunterricht im Wandel
2.3.1 Traditioneller Mathematikunterricht
2.3.2 Sachrechnen im Wandel der Zeit
2.3.2.1 Sachrechnen im 19. Jahrhundert
2.3.2.2 Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts
2.3.2.3 Sachrechnen in der Nachkriegszeit
2.3.2.4 Das neue Sachrechnen
2.3.3 Das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens
2.4 Differenzierung im Schulwesen
2.4.1 Äußere und innere Differenzierung
2.4.2 Natürliche Differenzierung
2.4.3 Lernvoraussetzungen der Schüler im Mathematikunterricht
2.4.4 Differenzierung zum Bereich Sachrechnen
2.5 Öffnung von Aufgaben
2.5.1 Konzepte für Offene Aufgaben in der Fachliteratur
2.5.2 Typisierung von öffnenden Aufgabe
2.5.3 Kennzeichen offener Aufgaben
2.6 Problemhaltige Textaufgaben
2.7 Rechengeschichten
2.8 Struktur des Kerncurriculums des Fachs Mathematik

3 Ausarbeitung einer offenen Aufgabensequenz
3.1 Ziele der Aufgabensequenz
3.2 Grundidee, Themenfindung und die Auswahl des Themas
3.2.1 Methodische Vorüberlegungen
3.2.2 Didaktische Vorüberlegungen
3.3 Die Aufgabensequenz
3.3.1 Der Rahmen der Aufgabensequenz
3.3.2 Darstellung und Zuordnung der Aufgaben 1 - 3
3.4 Intention und Inhalte der Aufgabensequenz
3.4.1 Erwartungshorizont von Aufgabe 1
3.4.2 Erwartungshorizont von Aufgabe 2
3.4.3 Erwartungshorizont von Aufgabe 3
3.5 Bezug der Aufgaben 1 - 3 zum Kerncurriculum
3.6 Aspekte zum Analyseverfahren

4 Durchführung der Aufgabensequenz
4.1 Auswahl und Beschreibung der Testklasse
4.1.1 Auswahl und Beschreibung der Testklasse
4.1.2 Beschreibung des Lernstandes der Testklasse
4.2 Stundenverlaufsplanung zu der Aufgabensequenz
4.2.1 Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 1
4.2.2 Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 2
4.2.3 Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 2 / Stunde 3
4.2.4 Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 3 / Stunde 4
4.3 Überprüfung der Schülerergebnisse
4.3.1 Verfahren zur Analyse der Schülerergebnisse
4.4 Dokumentation der Schülerergebnisse
4.4.1 Produktorientierte Materialanalyse
4.4.1.1 Analyse und Interpretation von Aufgabe 1
4.4.1.2 Analyse und Interpretation von Aufgabe 2
4.4.1.3 Analyse und Interpretation von Aufgabe 3
4.4.2 Analyse und Interpretation der Audiotranskription
4.4.3 Analyse und Interpretation der Videotranskription

5 Zusammenfassung und Ausblick

6 Literaturverzeichnis

7 Anhang

1 Einleitung

Die vorliegende Hausarbeit wird von mir im Rahmen des ersten Staatsexamens für das Lehramt an Grund-, Haupt- und Realschulen angefertigt.

Meine Entscheidung, die Arbeit im Fach Mathematik zu schreiben, entstand aufgrund meiner mehrjährigen Mitarbeit am Projekt „Prozessbegleitende Diagnostik und Förderung mathematisch potentiell begabter Dritt- und Viertklässler^[1]“. Dieses Projekt wurde vom Leiter des Instituts für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik Prof. Dr. F. Käpnick ins Leben gerufen. Seit 2004 wird es unter dem Namen „Mathematische Lernwerkstatt für Kinder: Hochbegabung bei mathematischer Konzeptbildung – Praxisseminar“ unter der Leitung von Dipl. Math. Frank Förster und Wolfgang Grohmann geführt.

Im Rahmen des Projektes kommen potentiell hochbegabte Schüler der Jahrgangsstufen 3 bis 6^[2] aus unterschiedlichen Braunschweiger Schulen im 2-Wochen-Rhythmus zu sogenannten „Förderstunden“, um mathematische Knobelaufgaben in der Lernwerkstatt zu lösen. Diese Schüler sollen durch Aufgaben mit einem höheren Anforderungsprofil gefördert und gefordert werden. Dabei wird gezielt auf Spaß am Umgang mit Zahlen, Formen und Strukturen geachtet. Die Freude am problemlösenden Denken soll gefördert und intellektuelle Neugier geweckt werden.

Das Thema dieser Arbeit

„Öffnen von Aufgaben zur natürlichen Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule“

war für mich aus folgenden Gründen besonders motivierend:

Bei Durchführung der Unterrichtseinheiten in der Lernwerkstatt konnte ich viele gute Erkenntnisse im Bereich der natürlichen Differenzierung mit dieser besonderen Schülerklientel gewinnen. Da ich perspektivisch in Klassen mit heterogenem Leistungsprofil arbeiten werde, ist es für mich besonders interessant zu beobachten, wie die natürliche Differenzierung mit diesen Schulkindern umgesetzt werden kann. Besonders spannend war für mich die zusätzliche Möglichkeit der Öffnung von Aufgaben. Zu diesem Themenkomplex konnte ich vorher nur wenige Erfahrungen sammeln.

Hilfreich bei der Durchführung der Aufgabensequenz waren auch meine Vorerfahrungen, die ich während der Tätigkeit in der Lernwerkstatt bei der Durchführung von Videoaufnahmen und bei der Verarbeitung des Datenmaterials erwerben konnte.

1.1 Aufbau der Arbeit

Im 2. Kapitel findet eine wissenschaftliche Aufarbeitung des Themas unter Berücksichtigung der Begriffe „offene Aufgabe“ und „natürliche Differenzierung“ statt. Dazu wird das nötige Hintergrundwissen der aktuellen Diskussion um diese Begriffe aufgeschlüsselt und erklärt.

Im 3. Kapitel wird die entwickelte Aufgabensequenz vorgestellt und Ziele sowie die Grundidee im Detail erörtert. Der Erwartungshorizont und die Vorgehensweise zur Durchführung der Aufgabensequenz wird unter Berücksichtigung des Kerncurriculums des Faches Mathematik an Grundschulen in Niedersachsen aufgezeigt.

Im 4. Kapitel erfolgt die Beschreibung der ausgewählten Testklasse und die Planung zur Durchführung. Hiernach findet die Umsetzung der Aufgabensequenz in der Grundschule mit einer umfangreichen Analyse und Interpretation der Ergebnisse statt.

Im 5. Kapitel werden die Ergebnisse der durchgeführten Aufgabensequenz zusammengefasst und interpretiert. Der Ausblick umfasst die kritische Reflexion der entwickelten Unterrichtseinheit.

2 Wissenschaftlicher Theorie- und Literaturteil

2.1 Aktueller Bildungspolitischer Stand

Nachdem internationale Vergleichsstudien (z.B. PISA, TIMSS und IGLU) gezeigt haben, dass es dringenden Handlungsbedarf zur Verbesserung der Unterrichtsqualität in Deutschland gibt, wird kontrovers diskutiert, wie eine solche Qualitätssteigerung im Unterricht vollzogen werden kann. Lehrer sollen dabei im Unterricht versuchen die Schüler nach ihren individuellen Bedürfnissen zu fördern, aber auch notwendige Leistungen zu fordern. Das Beschreiten von neuen Wegen, die Öffnung von Unterricht, sowie eine natürliche Differenzierung vom Kinde aus, sollte dabei vorrangig in Betracht gezogen werden (vgl. Bobrowski/ Grassmann, Grundschule 5/2007, S.28).

2.2 Öffnung von Unterricht

2.2.1 Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht

- Die inhaltliche und institutionelle Ebene soll den Schülern ermöglichen, ihre Schul- und Klassensituation als offene Lebenswelt zu sehen und neu zu erfahren. Sie stellt damit einen Teilaspekt des Lebensbezugs zum Unterricht dar. Die Schule kann bei projektorientiertem Arbeiten auch verlassen werden (vgl. www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/ Öffnung des Unterrichts). Mit einer inhaltlichen Öffnung ist aber auch gemeint, dass weniger Routine- und mehr beziehungshaltige Frage- und Aufgabenstellungen in den Unterricht einfließen und der zeitliche Rahmen aufgebrochen werden soll.
- Die curriculare und methodische Öffnung ist gekennzeichnet durch eigene Lernwege, das eigenverantwortliche Entdecken von Zusammenhängen innerhalb eines Problemlöseprozesses und den produktiven Umgang mit Fehlern (vgl. Grassmann, Grundschule 5/2005, S. 33). Schüler sollen selbst entscheiden, wie sie ihre Arbeit und Zeit einteilen bis hin zur Aufstellung von Wochenplänen. Methodisch wird diese Öffnung durch Projekte, Freiarbeit und das Lernen an Stationen in den Unterricht integriert (vgl. www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/ Öffnung des Unterrichts).
- Die sozial-interaktive Öffnung fördert den kommunikativen Aspekt zwischen Schülern und dem Lehrer (als Partner). Für eine soziale Interaktion sollen heterogene Gruppen gebildet werden, die gemeinsam ein Problem bearbeiten, damit leistungsstarke Schüler nicht nur untereinander die „Experten“ sind, sondern im Team voneinander profitieren (vgl. Grassmann, Grundschule 5/2005, S. 33).

2.2.2 Nachteile des offenen Unterrichts

Bei offenen Arbeitsformen, wie zum Beispiel Lernen an Stationen, kann eine Überbetonung auch Schwierigkeiten hervorrufen. Besonders bei einer großen Anzahl an Stationen und nicht festgelegter Reihenfolge des Ablaufs, kann es für den Lehrer schwer sein, die Übersicht über die Gesamtsituation zu bewahren. Die entstehende Hektik unter den Schülern, die beim Wechsel der Stationen auftritt, kann dazu führen, dass das Ziel - alle Schüler sollen alle vorbereiteten Aufgabenblätter möglichst vollständig bearbeiten - aus den Augen verloren wird. Da es dem Lehrkörper nicht möglich ist, alle Schülergruppen gleichzeitig zu beobachten, kann es dazu kommen, dass Schüler voneinander abschreiben, ohne mitzudenken und die Inhalte zu verstehen. Auch der erhöhte Lärmpegel kann sich nachteilig auf die Lernsituation auswirken. Die unterschiedlichen Lebensbedingungen wie z.B. Herkunft, Familienverhältnisse und sozialer Stand erschweren ebenso das Lernen in diesen Arbeitsformen (vgl. Müller-Philipp, Grundschule 5/2007, S. 49).

Eine gelenkte Unterrichtsführung durch den Lehrer bleibt deshalb in einigen Situationen sinnvoll und notwendig. Der Lehrer setzt Impulse, stellt eigene Arbeitsmaterialien vor und hat eine Zielvorstellung vom geplanten Unterrichtsverlauf, während die Schüler Ideen einbringen. Die Zusammenfassung dieser Ideen und z.B. außergewöhnlich gute Schülerideen sollten im Plenum besprochen und gesichert werden, damit jeder Schüler ein mitnehmbares Resultat aus dem Unterricht bekommt (vgl. S. Müller-Philipp, Grundschule 5/2007, S. 50).

2.3 Mathematikunterricht im Wandel

2.3.1 Traditioneller Mathematikunterricht

Das traditionelle Rechnen ist im Unterricht bis in die 1960iger Jahre vorherrschend. Es ist gekennzeichnet durch Mathematikferne, reduktionistisches Sachrechnen und eine behavioristische Auffassung vom Lernen.

Die Schüler werden in den vier Grundrechenarten unterrichtet, die mündlich und schriftlich beherrscht werden sollen. Vorrangig finden natürliche Zahlen Anwendung und nur teilweise werden eingekleidete Aufgaben als Sachaufgaben präsentiert. Diese haben zum Ziel Rechenverfahren durchzuführen, mathematische Begriffe zu festigen und Zahlenbeziehungen zu erfassen. Der Sachkontext ist dabei unwichtig und beliebig austauschbar. Insgesamt wird der Lernstoff kleinschrittig und nach systematischem Aufbau vermittelt. Problematische Sachverhalte werden isoliert behandelt (vgl. Winter,1994, S. 8f).

2.3.2 Sachrechnen im Wandel der Zeit

„Der Grundgedanke des Sachrechnens ist die Modellierung einer Sachsituation in ein mathematisches Modell und nach dem Rechnen das Interpretieren der mathematischen Ergebnisse in der jeweiligen Sachsituation.“ (Franke, 2003, S. 1)

Es soll nun die Entwicklung des Sachrechnens über 4 temporäre Stationen kurz skizziert werden. Die zum Teil fortschrittlich anmutenden Gedanken, sollen dabei nicht über den vorherrschenden Rechenunterricht (s. Abschnitt 2.3.1) hinwegtäuschen. Sie machen jedoch deutlich, dass Überlegungen zur Nachhaltigkeit des Mathematikunterrichts eine lange Tradition haben. Die erste Station zeigt das Sachrechnen im 19. Jahrhundert, die zweite Phase schildert die reformpädagogische Bewegung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, es folgt der Zeitabschnitt der Nachkriegszeit und die letzte Phase bildet das „neue Sachrechnen“, was sich in den 80er Jahre entwickelte und bis heute andauert.

2.3.2.1 Sachrechnen im 19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert wird der Begriff „eingekleidete Aufgabe“ für eine Umschreibung des Begriffes „Sachrechnen“ verwendet. Diese traditionelle Variante des Sachunterrichts wird als Einkleidung und Anwendung arithmetischer Inhalte gesehen. Das Sachrechnen kann zu dieser in drei Richtungen eingeteilt werden (vgl. Franke, 2003, S. 7f).

(1) Praktische Gesichtspunkte bilden den Rahmen für die Rechnung. Die enthaltenen Themengebiete sind das Schulleben, die Schularbeit, die Wohnung, Ernährung, Bekleidung, Heizung, Beleuchtung u. v. a..
(2) Die Einteilung geschieht nach Sachgebieten in Bezug auf Natur, Geschichte und Erdkunde. Diese Themengebiete sind zum Teil nochmals untergliedert.
(3) Die zu dieser Zeit am häufigsten verbreitete Einkleidung orientiert sich am aktuellen arithmetischen Inhalt. Die Rechenoperationen, Zahlen und Größen werden in einen sinnstiftenden Kontext eingebunden. Die Sachrechenaufgaben dienen nicht zum Strukturieren des Unterrichts, sondern als Anwendung und zum Wecken vom Interesse an der Arbeit mit Zahlen.

Die Integration des Sachrechnens in den Mathematikunterricht wurde nach folgenden Gesichtspunkten durchgeführt:

- dient als Ausgangspunkt zur Anwendung von Mathematik
- Aufgaben werden an die Kompetenzen der Schüler gekoppelt
- Sachgebiete sollen sich an die Erfahrungswelt der Schüler anlehnen
- Interesse der Schüler soll durch die Wahl der Sachgebiete geweckt werden

2.3.2.2 Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts

Schon in dieser Periode kann eine reformpädagogische Bewegung „vom Kinde aus“ gefunden werden. Die Konzepte der pädagogischen Vertreter basieren auf psychologischen Erkenntnissen, wie zum Beispiel aus der Assoziationspsychologie und auch der Gestalts- und Entwicklungspsychologie. JOHANNES KÜHNEL fordert einen kompletten „Neubau des Rechenunterrichts“ und stellt zwei Prinzipien in den Mittelpunkt:

1. unser Rechenunterricht muss sachlich werden
2. unser Sachunterricht muss sich rechnerisch gestalten (vgl. Franke, 2003, S. 9).

Damit spricht er von einer Rechenmethodik, bei der sich die Kinder in die Sachlage einarbeiten, vertiefende Erkenntnisse gewinnen, das Ziel der Aufgabe erkennen und selbstständig nach einem Lösungsweg suchen sollen.

„Als ‚Krone des Rechenunterrichts‘ bezeichnet er ‚das Finden und Formulieren der noch ungestalteten Probleme‘.“ (vgl. Franke 2003, S. 9, zit. nach Kühnel, 1949, S. 114)

ADOLF GERLACH tritt für den „lebensvollen Rechenunterricht“ ein und fordert eine starke Einschränkung des „Fertigkeitsunterrichts“. Seine Ideen stießen zu seiner Zeit auf großen Widerstand, doch lassen sie sich in den Ideen zum „neuen Sachrechnen“ wiederfinden.

HEINRICH KEMPINSKY gelingt eine Verwirklichung seiner Ideen in den Schulbüchern der damaligen Zeit, im Gegensatz zu Kühnel und Gerlach, deren Forderungen an den Unterricht zwar heute noch aktuell sind, sich aber im 20. Jahrhundert nicht durchsetzen konnten. Für Kempinsky steht beim Sachrechnen die Sache im Vordergrund, und die Zahl dient lediglich als Werkzeug. Seiner Meinung nach leiten natürliche Ursachen automatisch zum Rechnen hin. Er hält eine „psychologische Durchleuchtung des Rechenunterrichts“ für unerlässlich. Diese diagnostischen Verfahren spielen auch im heutigen Unterricht eine große Rolle.

2.3.2.3 Sachrechnen in der Nachkriegszeit

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts werden die Grundideen der reformpädagogischen Bewegung aufgegriffen und weiterentwickelt. Dabei werden vermehrt Aufgaben konzipiert, welche die Schüler zum Problemlösen anregen sollen. Drei Verfahren dieser methodischen Arbeit sollen hier genannt werden (vgl. Franke, 2003, S. 14ff):

- Sachaufgaben mittels Simplex-Komplex-Verfahren nach BREIDENBACH aufbereiten
- Darstellung von Lösungswegen an Hand von Rechenbäumen
- Bearbeitung von Sachaufgaben mit verbalen Lösungshilfen

Simplexe sind Aufgaben, in die drei Größen derart eingehen, dass jede von ihnen durch die anderen eindeutig bestimmt ist.

Treffen mehrere Simplexe aufeinander, so wird von einem Mehrfachsimplex gesprochen (mehrere unabhängige Simplexe). Jede Aufgabe muss so strukturiert werden, dass die einzelnen Simplexe am Ende frei liegen und nacheinander einzeln berechnet werden können. Wenn keine eindeutige Gliederung den Simplexen zugrunde liegt, so spricht Breidenbach von einem Komplex.

Das zweite Verfahren gibt Rechenbäume als Darstellungsform von Lösungswegen vor. Sie sind heute auch noch in Schulbüchern wieder zu finden, jedoch seltener im Zusammenhang mit Sachaufgaben. Beziehungen zwischen Zahlen und Größen mit Hilfe von Operationszeichen können an Hand dieser Rechenbäume gut dargestellt werden.

Das schematische Darstellen von Zahlen in Rechenbäumen birgt den Nachteil, dass kaum eigene Lösungswege beschritten werden können. Außerdem müssen die Schüler die Struktur der Aufgabe bereits erfasst haben, um einen Rechenbaum anfertigen zu können. Als Planungshilfe kann der Rechenbaum damit nicht mehr gesehen werden. Eine weitere Schwierigkeit dieses Systems ist, dass Schüler oftmals die Teilaspekte der Aufgabe in ihrer Gesamtheit nicht überblicken. Somit kann sich ein Rechenbaum eher hinderlich als vorteilhaft erweisen.

Als letzte Möglichkeit werden den Schülern verbale Lösungshilfen zur Bearbeitung von Sachaufgaben angeboten. Im Unterricht werden diese Schemata oft benutzt. Das bekannteste Schema hierbei ist das „Frage-Rechnung-Antwort-Schema“.

Darüber hinaus werden aber auch genaue Arbeitsanweisungen, speziell im Bereich der Grundschule formuliert, wie z. B.: „Lies die Aufgabe genau durch!“ „Unterstreiche wichtige Angaben!“ oder „Fertige eine Skizze an!“.

Ähnlich wie beim Rechenbaum handelt es sich hierbei um ein sehr starres Abrufschema, welches den Schülern wenig Möglichkeiten zur freien Gedankenentfaltung bietet.

2.3.2.4 Das neue Sachrechnen

In den 1980er Jahren gibt es einen Wandel beim Sachrechnen. Folgende Aspekte werden dabei als Ursachen für das Scheitern vorheriger Versuche verantwortlich gemacht:

- wenig motivierende Themenwahl
- häufiger Themenwechsel
- mangelnder Realitätsbezug
- Einengung auf einen Lösungsweg
- enge Anbindung an den aktuellen Unterrichtsinhalt.

Um Textaufgaben im Mathematikunterricht neu zu gestalten und eine Verbesserung des Sachrechenunterrichts zu erzielen, werden Konzepte entwickelt, die an die positiven Ideen aus der Reformpädagogik und der Nachkriegszeit anknüpfen. Die Forderungen, die an die Aufgaben gestellt werden, lassen sich in folgenden Punkten zusammenfassen:

Sachrechnen soll

- von den Alltagserfahrungen der Schüler ausgehen
- an Texten stattfinden, die lesenswert sind und auch zu mathematischen Betrachtungen anregen
- in Projekten umgesetzt werden, die die Kinder mit Hilfe der Mathematik bewältigen können
- Fantasiegeschichten und Knobelaufgaben beinhalten, die der Entwicklung von kognitiven Problemlösefähigkeiten dienen (vgl. Franke 2003, S. 19f).

Eine Integration dieser Elemente in den Sachrechenunterricht sollte gewährleistet sein, damit die Schüler auf dem Weg zur Lösungsfindung verschiedene Kompetenzbereiche nach und nach ausprägen können.

2.3.3 Das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens

Schon am Anfang des 20. Jahrhunderts gibt es in der Pädagogik die Erkenntnis, dass Lernen ein aktiver Prozess ist und Schüler Inhalte für sich selber erschließen müssen, um eine Verinnerlichung des Stoffes zu erreichen. Mit dem Motto „Hilf mir, es selbst zu tun“ proklamiert MARIA MONTESSORI diese pädagogische Reformbewegung, die eine traditionelle Behandlung von Unterrichtsstoff in einer geschlossenen Methode (Frontalunterricht) von vorne herein ausschließt und eine aktive Auseinandersetzung mit den Lerninhalten fordert (vgl. Renate Rasch 2001, S. 65). Daran anknüpfend entwickelt der Genfer Psychologe JEAN PIAGET die Theorie, dass Lernenden nichts vermittelt werden soll, was sie von sich selbst aus entdecken und erfahren können. Die Verstandesentwicklung beruht dabei auf den Aktivitäten des Individuums selbst. In mehreren Stadien gelangt der Schüler, beginnend mit der sensomotorische Phase, zum symbolischen Denken.

Mit JEROME S. BRUNER entsteht in den 50er Jahren der Begriff des „entdeckenden Lernens“. Hierbei werden anthropologische, gesellschaftliche und Teile kognitionspsychologischer Untersuchungen aufgegriffen. Damit diese Arbeitsform erfolgreich realisiert werden kann, muss eine vom

Schüler kontrollierte Kommunikationsstruktur geschaffen und die Abkehr von der Schülerpassivität erreicht werden. Entdeckendes Lernen muss sich sowohl auf die Lernprozesse der Schüler als auch auf die Lehrmaßnahmen beziehen (vgl. Rasch 2001, S. 65).

HEINRICH WINTER beschreibt den Vorgang des entdeckenden Lernens als „… ein theoretisches Konstrukt, die Idee nämlich, dass Wissenserwerb, Erkenntnisfortschritt und die Ertüchtigung in Problemlösefähigkeiten nicht schon durch Information von außen geschieht, sondern durch eigenes aktives Handeln unter Rekurs auf die schon vorhandene kognitive Struktur, allerdings in der Regel angeregt und somit erst ermöglicht durch äußere Impulse“ (vgl. Rasch, 2001, S. 67 zit. nach: H. Winter, 1989, S. 2).

Dabei unterscheidet Winter vier Phasen zum Rahmen des Entdeckungslernens (vgl. Winter 1987, S. 17):

- Angebot einer herausfordernden Situation
- Ermunterung zu Beobachtungen, Fragen, Vermutungen und Erkundungen
- Herausarbeitung einer oder mehrerer Problemstellungen
- Ermutigung zu eigenen Lösungsansätzen, Entwürfen, Konstruktionen, Nachbildungen
- Hilfe zum Selbstfinden
- Klares Herausstellen von Ergebnissen und deutliche Formulierung
- Verbindung von bisherigem Wissen mit neuem Wissen schaffen
- Zusammenhänge operativ durcharbeiten
- Rückbesinnung auf den Gang der Problemlösung
- Wert der Lösung und des Lösungsweges klar machen
- Übertragen von Gedanken auf weitere Situationen

Seiner Ansicht nach ist das entdeckende Lernen als Leitprinzip für den Unterricht anzuwenden. Hierzu soll sich nicht nur auf bestimmte Situationen und Unterrichtsprozesse beschränkt werden, sondern ein Bezug zum gesamten pädagogischen Feld hergestellt werden. Im Mathematikunterricht erstreckt es sich auf Lernziele, Lerninhalte und Lernprozesse (vgl. Rasch 2001, S. 67).

2.4 Differenzierung im Schulwesen

2.4.1 Äußere und innere Differenzierung

In der Schule wird zwischen der äußeren Differenzierung (organisatorische Differenzierung) und der inneren Differenzierung (Binnendifferenzierung) unterschieden.

Bei der äußeren Differenzierung werden Schüler entsprechend ihrer Leistung in verschiedene Kategorien eingeteilt. So wird in der vierten Jahrgangsstufe entschieden, welche weiterführende Schule die Kinder besuchen sollen. Dadurch wird versucht, leistungshomogene Gruppen zu bilden, die sich in den Leistungsvoraussetzungen und Lernbedingungen zum größten Teil entsprechen. Die äußere Differenzierung kann aber nur bis zu einem gewissen Grad homogene Gruppen hervorbringen, wie sich deutlich im Unterricht der Sekundarstufe 1 zeigt. Äußere Differenzierung kann aber auch außerhalb des Klassenverbandes stattfinden, wie das in der Einleitung erwähnte Matheprojekt zur Förderung von mathematischer Hochbegabung an der TU Braunschweig und viele weitere Projekte dieser Art zeigen.

Bei der inneren Differenzierung hingegen wird von den individuellen Bedürfnissen der Schüler ausgegangen. Sie akzeptiert die vorhandene Heterogenität innerhalb einer Klassengemeinschaft. Mit einer didaktisch-methodischen Individualisierung von Unterricht und der Darbietung unterschiedlichen Arbeitsmaterials geht sie auf das unterschiedliche

Leistungsniveau der Schüler ein. Um eine Differenzierung im Unterricht vornehmen zu können, muss der Lehrer den Lernstand der Schüler möglichst genau diagnostizieren. Die Anforderungen für Schüler sollen oberhalb des bisher erreichten Niveaus liegen. Wichtig dabei ist, dass alle Schüler in der Lage sein sollen, die Aufgabe zu lösen.

2.4.2 Natürliche Differenzierung

Als Besonderheit der inneren Differenzierung wird im Rahmen dieser Arbeit der Begriff der natürlichen Differenzierung vorgestellt. Die innere Differenzierung geht primär vom Lehrer aus. Er weist den Kindern Aufgaben zu und teilt Gruppen ein. Im Gegensatz dazu wird die natürliche Differenzierung vom Kinde aus gestaltet. Alle Schüler erhalten ein einheitliches Angebot an Arbeitsaufträgen, wobei aber individuelle Wahlmöglichkeiten gegeben sind. Wenn Kinder in ihrer natürlichen Umgebung außerhalb der Schule lernen, gehen sie genau nach diesem Prinzip vor. Aus diesem Grund wurde der Begriff natürliche Differenzierung geprägt (vgl. Wittmann/Müller 2004, S.15).

2.4.3 Lernvoraussetzungen der Schüler im Mathematikunterricht

Die Bedeutung der Differenzierung im Unterricht wird deutlich, wenn man die unterschiedlichen Grundvoraussetzungen der Kinder betrachtet. Es lassen sich dabei große Ungleichheiten in den Bereichen Vorwissen, Motivation, Lernintensität, Lerntempo und Interesse feststellen. Wichtig ist daher, dass Unterricht vom Lernenden aus konzipiert wird. Dabei spielt die Art des ganzheitlichen Unterrichts verbunden mit dem aktiv-entdeckenden Lernen auf der Grundlage der curricularen Vorgaben eine wichtige Rolle. Wie kann Unterricht für alle Schüler einer Klasse greifbar gemacht werden, damit jedes Kind innerhalb seines eigenen Lernprozesses einen Wissenszuwachs verzeichnen kann?

Gerade im Anfangsunterricht der ersten Klasse sollte der Lehrer Diagnoseverfahren einsetzen, damit er sich ein Bild vom Leistungsstand der Klasse in den folgenden Bereichen machen kann (zit. nach Rasch, 2007, S. 8):

- Zählfähigkeit
- Erkennen und Nutzen von Strukturen
- Knüpfen von Zahlenbeziehungen
- Operative Beweglichkeit
- Kopfrechnen.

Bereits vor Schulbeginn besitzen die meisten Kinder eine Reihe von mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten, insbesondere zu den Zahlen und dem Umgang mit ihnen.

Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Schüler spielen aber nicht nur beim Übergang von der Vorschule zur Schule eine große Rolle, sondern auch im späteren Verlauf innerhalb der ersten vier Grundschuljahre. So sind zum Beispiel beim Übergang von halbschriftlichen zu schriftlichen Rechenoperationen die individuellen Lernvoraussetzungen wichtig.

Vorbereitungen zu schriftlichen Rechenverfahren sollten somit schon ab der 1. Klasse in den Unterricht integriert werden. Produktives Üben dient als Festigung und Vertiefung der notwendigen Vorkenntnisse. Bevor der Übergang zum schriftlichen Verfahren vollzogen wird, sollte der Lehrer einen entsprechenden Test zur Überprüfung des Leistungsstandes in der Klasse durchführen, um Aufschluss darüber zu bekommen, inwieweit jeder Schüler über die notwendigen Vorkenntnisse verfügt (vlg. Radatz/ Schipper, 1983, S. 103).

2.4.4 Differenzierung zum Bereich Sachrechnen

Differenzierung beim Lösen von Sachrechenaufgaben kann an drei verschiedenen Phasen ausgeführt werden:

1. Phase: Verstehen der Aufgabe

Hierzu zählen verschiedene Tätigkeiten der Schüler, wie das genaue Lesen der Aufgabe, das Nacherzählen oder Nachspielen der Sachsituation, das Stellen von Fragen und das Heraussuchen von wichtigen Angaben durch Unterstreichen, Markieren etc.

[...]

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^[1] In dieser Arbeit wird in den meisten Fällen auf männliche Bezeichnungen zurückgegriffen, um ein flüssigeres Lesen zu gewährleisten. Die weiblichen Bezeichnungen sind hierbei natürlich inbegriffen.

^[2] unter der Leitung von Prof. Käpnick wurden die Förderstunden für die 3. und 4. Jahrgangsstufen durchgeführt