Diese Arbeit beschäftigt sich mit nichtlinearen Regressionsmodellen. Nichtlineare Regressionsmodelle sind wichtige Werkzeuge, da viele chemische, biologische und physikalische Prozesse besser durch nichtlineare als lineare Modelle dargestellt werden. Das Anpassen nichtlinearer Modelle ist kein einstufiges Verfahren, sondern ein aufwendiger Prozess, der bei jedem einzelnen Schritt einer sorgfältigen Prüfung bedarf.
Abhängig vom Ziel und der Anwendung werden beim Anpassen nichtlinearer Modelle unterschiedliche Prioritäten festgelegt. Dazu gehören akzeptable Parameterschätzungen und eine gute Modellanpassung unter Einhaltung der Voraussetzungen statistischer Modelle.
Es werden 61 Modelle vorgegeben, außerdem können auf drei Arten Konfidenzintervalle berechnet werden. Die Parameter werden mittels OLS-Regressionen, gewichteten Regressionen (z.B. Tukeys Biweight) und Bootstrap Regressionen geschätzt. Abgerundet werden die Analysen durch umfangreiche Tests der Residuen (Normalverteilungstest, Breusch-Pagan Test bezüglich Heteroskedastizität u.v.m.).
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Definition nichtlinearer Regressionsmodelle
3 Ablaufplan der nichtlinearen Analyse
3.1 Erstellung einer XY-Grafik
3.2 Auswahl des nichtlinearen Regressionsmodells
3.3 Definition der Startwerte
3.3.1 Anfangswert aus Vorkenntnissen.
3.3.2 Startwerte linearisierbarer Regressionsfunktionen.
3.3.3 Anfangswerte über die geometrische Bedeutung des Parameters.
3.3.4 Bedingte Linearisierung
3.3.5 Anwendung des Downhill Simplex Verfahren
3.4 Nichtlineare Regressionsanalyse
3.5 Prüfung der Konvergenz
3.6 Prüfung des Regressionsmodells (inkl. Residuenanalyse)
3.6.1 Normalverteilung der Residuen.
3.6.2 Keine Ausreißer in den Residuen
3.6.3 Homoskedastizität der Residuen
3.6.4 Unabhängigkeit der Residuen
3.6.5 Liste der Residuen und ungewöhnliche Beobachtungen
3.7 Konfidenzintervalle für Regressionskoeffizienten
3.7.1 Asymptotische Konfidenzintervalle.
3.7.2 Konfidenzintervalle mit Monte Carlo Simulation.
3.7.3 Konfidenzintervalle über Modell-Vergleich.
3.8 Schätzungen mit Gewichtung
3.8.1 Methode der absoluten Abweichungen
3.8.2 Gewichtete Verlustfunktionen
3.8.3 Tukey´s biweight Verlustfunktion
3.9 Transformationen von Variablen.
3.10 Beispiele für Modellvergleiche.
3.10.1 Vergleich von verbundenen Modellen.
3.10.2 Vergleich von nicht verbundenen Modellen.
4 Bootstrap-Regression
4.1 Berechnung von Bootstrap-Parametern.
4.2 Planung von Bootstrap-Stichproben.
4.3 Ein ausführliches Beispiel
5 Liste der nichtlinearen Regressionsfunktionen
5.1 Hyperbolische konvexe Funktion.
5.2 Asymptotische Sättigungsfunktion.
5.3 Exponentielle asymptotische Sättigungsfunktion.
5.4 Logarithmische Wachstumsfunktion
5.5 Logarithmische Wachstumsfunktion
5.6 Exponentielle Sättigungsfunktion.
5.7 Exponentielle Wachstumsfunktion
5.7.1 Verdopplungszeit und Halbwertszeit.
5.8 Sättigungsfunktion (Arrhenius Gleichung)
5.9 Exponentielles Wachstumsfunktion.
5.10 Sättigungsfunktion.
5.11 Sigmoidale Sättigungsfunktion.
5.12 Sigmoidale Sättigungsfunktion.
5.13 Wachstumsfunktion (Parabel).
5.14 Wachstums- oder Zerfallsfunktion
5.15 Sättigungsfunktion (Michaelis-Menten-Gleichung).
5.16 Erweiterte Michaelis-Menten-Gleichung
5.17 Asymptomatische Regression I.
5.18 Asymptomatische Regression II.
5.19 Dichtefunktion
5.20 Exponentielle Sättigung.
5.21 Exponentielle Sättigung.
5.22 Exponentielle Sättigung.
5.23 Exponentielle Sättigung.
5.24 Exponentielles Wachstum.
5.25 Exponentielles Wachstum.
5.26 Logarithmische Sättigung.
5.27 Mitcherlich-Gesetz des abnehmenden Ertragszuwachses.
5.28 Ertragsdichte
5.29 Exponentielles Wachstum.
5.30 Wachstums- oder Dichtefunktion
5.31 Hyperbelfunktion.
5.32 Hyperbelfunktion.
5.33 Logarithmisches Wachstum.
5.34 Verhulst Funktion.
5.35 Gompertz Funktion.
5.36 Modifizierte Gompertz Funktion.
5.37 Johnson-Schumacher Funktion.
5.38 Logistik-Funktion
5.39 Modifizierte Logistik-Funktion
5.40 Richards-Funktion
5.41 Bertalanffy-Funktion
5.42 Modifizierte Gumbel-Funktion.
5.43 Hill-Funktion
5.44 Verhältnis der Quadrate
5.45 Verhältnis eines Quadrats
5.46 Verhältnis von Potenzen
5.47 Kompartiment-Funktion
5.48 Modifizierte Gumbel-Funktion.
5.49 Sigmoid-Funktion
5.50 Zusammengesetzter exponentieller Verlust.
5.51 Weibull-Funktion
5.52 Morgan-Mercer-Flodin
5.53 Kompartiment-Modell
5.54 Potenzverteilungs-Modell.
5.55 Betaverteilungs-Modell.
5.56 Gaussverteilungs-Modell.
5.57 Verhältnis mit 3. Potenz.
5.58 Verallgemeinerte Richards-Funktion.
5.59 Peal-Reed-Funktion
5.60 Verallgemeinerte Richards-Funktion+.
5.61 Quadratisches Polynom
6 Allgemeine Berechnungen mit Excel
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin, Anwendern einen strukturierten Leitfaden zur Durchführung nichtlinearer Regressionsanalysen mittels Excel zur Verfügung zu stellen, um komplexe wissenschaftliche Zusammenhänge präzise abzubilden und statistisch fundiert auszuwerten. Die Forschungsfrage fokussiert sich darauf, wie nichtlineare Modelle durch eine schrittweise Validierung und methodische Auswahl optimal an Datensätze angepasst werden können.
- Methodische Anleitung zur Auswahl und Anpassung nichtlinearer Regressionsmodelle.
- Strategien zur Definition und Optimierung von Startwerten für iterative Verfahren.
- Umfangreiche Bibliothek nichtlinearer Funktionen für vielfältige Anwendungsgebiete.
- Qualitätssicherung durch Residuenanalyse, Konvergenzprüfung und Konfidenzintervallberechnung.
- Integration von fortgeschrittenen statistischen Verfahren wie der Bootstrap-Regression.
Auszug aus dem Buch
3.3 Definition der Startwerte
Bei der Berechnung von Parametern der nichtlinearen Regression werden iterative Lösungsprozeduren verwendet, fast alle diese Lösungsprozeduren erfordern Startwerte für die zu schätzenden Parameter. Gute Startwerte helfen den iterativen Verfahren, eine Lösung schneller und sicherer zu finden. Schlechte Startwerte dagegen konvergieren nur langsam oder gar nicht. Deshalb sollen einige Möglichkeiten vorgestellt werden, welche es uns erlauben, Startwerte zu definieren. Viele dieser Startwert sind mehr oder weniger leicht zu bekommen und die Methoden dazu werden im Folgenden kurz vorgestellt.
3.3.1 Anfangswert aus Vorkenntnissen.
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, basieren nichtlineare Regressionsmodelle häufig auf theoretischen Überlegungen aus dem Anwendungsbereich. Bereits vorhandene Vorkenntnisse aus ähnlichen Experimenten können genutzt werden, um Startwerte zu erhalten. Um sicherzugehen, dass der gewählte Startwert passt, ist es ratsam, die grafische Darstellung der Regressionsfunktion inklusive der Daten für die Startwerte darzustellen. Sollten sich die Regressionsfunktion und die Punktwolke deutlich unterscheiden können andere Startwerte ausprobiert werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Diese Einleitung erläutert die Bedeutung nichtlinearer Regressionsmodelle für komplexe wissenschaftliche Prozesse und skizziert den notwendigen, mehrstufigen Analyseprozess.
2 Definition nichtlinearer Regressionsmodelle: Hier wird die mathematische Notation und die theoretische Grundlage für die Charakterisierung nichtlinearer Parameter im Rahmen der Regressionsanalyse dargelegt.
3 Ablaufplan der nichtlinearen Analyse: Dieses Kapitel dient als umfassendes Handbuch für den gesamten Analyseprozess, von der grafischen Datenaufbereitung über die Modellauswahl bis hin zur statistischen Validierung.
4 Bootstrap-Regression: Das Kapitel führt in die nichtparametrische Bootstrap-Methode als Alternative zur klassischen Fehlerrechnung ein, um robustere Konfidenzintervalle zu generieren.
5 Liste der nichtlinearen Regressionsfunktionen: Diese umfangreiche Bibliothek präsentiert über 60 spezifizierte Funktionen mit mathematischen Definitionen, Anwendungsbeispielen und Hinweisen zur Linearisierung.
6 Allgemeine Berechnungen mit Excel: Hier wird die praktische Implementierung komplexer Modellberechnungen anhand eines spezifischen Fallbeispiels (Hougen-Watson-Modell) demonstriert.
Schlüsselwörter
Nichtlineare Regression, Excel, Modellselektion, Startwerte, Residuenanalyse, Konfidenzintervalle, Bootstrap-Verfahren, Downhill-Simplex, ANOVA, statistische Modellierung, Funktionsbibliothek, Parameterschätzung, Iterationsverfahren, Fehlerdiagnose, Heteroskedastizität
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die systematische Anwendung und statistische Absicherung nichtlinearer Regressionsmodelle, insbesondere unter Verwendung von Microsoft Excel zur Lösung komplexer Modellierungsaufgaben.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Zentrale Themen sind die Modellauswahl, die Bestimmung geeigneter Startwerte, die Durchführung der Regressionsanalyse selbst, sowie die kritische Validierung der Ergebnisse durch Residuenanalysen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, einen standardisierten Ablaufplan zu liefern, der Anwendern hilft, nichtlineare Modelle erfolgreich und unter Einhaltung statistischer Voraussetzungen an empirische Daten anzupassen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Arbeit nutzt iterative Lösungsverfahren wie das Gauss-Newton- oder das Nelder-Mead-Verfahren, ergänzt durch robuste diagnostische Ansätze wie den Anderson-Darling-Test und Monte-Carlo-Simulationen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die praktische methodische Anleitung, die statistische Diagnose von Regressionsergebnissen und eine umfangreiche, katalogisierte Bibliothek verschiedenster nichtlinearer Regressionsfunktionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren das Dokument?
Die wichtigsten Schlagworte sind nichtlineare Regression, Residuenanalyse, Bootstrap-Verfahren, Parameterschätzung, Modellauswahl und statistische Validierung.
Warum sind die Startwerte für die nichtlineare Regression so kritisch?
Da nichtlineare Modelle iterative Verfahren nutzen, können schlechte Startwerte dazu führen, dass der Algorithmus nicht konvergiert, zu langsam arbeitet oder ein falsches lokales Optimum findet.
Wie unterscheidet sich das Residuen-Resampling vom empirischen Resampling?
Während beim empirischen Resampling Originaldaten wiederholt zufällig gezogen werden, basiert das Residuen-Resampling auf der Anpassung eines Modells, wobei neue Daten durch Hinzufügen zufälliger Residuen zum Modellvorhersagewert künstlich erzeugt werden.
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- Eckehardt Spenhoff (Autor), 2020, Nichtlineare Regressionsmodelle in Excel, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/926206
