Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie
Definitionen:
D1 : Mehrere Versuche unter denselben Bedingungskomplex und mit nicht vorhersagbarem Ausgang bilden ein Zufallsexperiment ( ZE ).
D2 : Ein Ereignis ist genau dann Elementarereignis _i , wenn es nicht als Vereinigung disjunkter Ereignisse, die von _ verschieden sind, darstellbar ist.
D3 : Kolmogoroff , Laplace
D4 : Allgemeine Wahrscheinlichkeit bei unendlicher Merkmalsmenge:
f(_) : Wahrscheinlichkeitsbelag.
D5 : Wahrscheinlichkeiten nach D4 mit f(_) = const. heißen geometrische Wahrscheinlichkeiten.
D6 : Bedingte Wahrscheinlichkeit :
D7 : Ereignis A ist stochastisch unabhängig von B, falls :
D8 : A1, A2, ..., An heißen vollständig stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von zwei und mehr Ereignissen Ai1, ..., Aik mit verschiedenen Indizes gilt :
für 2 _ k _ n ( · 2n - n - 1 Möglichkeiten )
D9 : ZE1 und ZE2 heißen stochastisch unabhängig, wen für alle Elemente von _1 x _2 gilt : P(_1i, _2k)=P(_1i)·P(_2k) _ i,k
D10 : Das Bernoulli-Experiment besteht aus der n-maligen Durchführung des Einzelexperiments
mit :
- Einzelereignisse sind stochastisch unabhängig.
- gleiche Einzelwahrscheinlichkeiten in allen Einzelexperimenten P(A1) = P(A2) = ... = P(An) = p
D11 : Eine Zuordungsvorschrift, die jedem Element aus _ eindeutig eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zuordnungsvariable X(_) ( Zufallsgröße ), wobei gilt : P(x = -_) = 0, P(x = +_) = 0
D12: Verteilungsfunktion der ZV X : FX(x) = P(X _ x)
D13: In der Regel ist Fy(y) nicht geschlossen angebbar. Es sind meist Fallunterscheidungen notwendig.
D14: Erwartungswert :
D15:
D16: Varianz:
Sätze
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten:
S3.1 Disjunkte Ereignisse : A _ B = _ _ : unmögliches Ereignis.
K I P(A) _ 0
K II P(_) = 1 _ : sicheres Ereignis
K III P(A_B) = P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse A und B
L I _ = {_1, _2, ..., _m} m endlich
L II P(_1) = P(_2) = ... = P(_m) alle Elementarereignisse
L III
S3.2 Bernoulli - Theorem
Allgemeine Wahrscheinlichkeiten:
S4.1
S4.2 ·
S4.3 P(_) = 0
S4.4 P(B) _ P(A) für A _ B
S4.5 P(A_B) = P(A) + P(B) - P(A_B) Verallgemeinerung von K III
S4.6
S4.7
S4.8 Multiplikationssatz P(A_B) = P(A / B) P(B) = P(B / A) P(A)
S4.9 vollständige Wahrscheinlichkeit
S4.10 Bayessche Formel
Stochastische Unabhängigkeit:
S5.1 für A stochastisch unabhängig von B
S5.2 P(A_B) = P(A) P(B) vgl. K III
S5.3 Disjunkte Ereignisse sind immer stochastisch unabhängig.
S5.4 Aus der vollst. stoch. Unabhängigkeit folgt immer die paarweise stoch. Unabhängigkeit.
S5.5 A1, A2, ..., An seien stochastisch unabhängig. Ersetzt man beliebig viele Ai durch
, dann bleiben die Ereignisse vollständig stochastisch unabhängig.
Verbundereignisse:
S6.1 n Dinge, von denen n1, n2, ..., nr gleich sind,
können insgesamt auf
Arten angeordnet werden.
S6.2 Binomialverteilung
S6.3 sicheres Ereignis
S6.4 Polynomialverteilung
Zufallsvariablen:
S7.1 Eigenschaften: F(-_) = 0 F(_) = 1
S7.2 aus x1<x2 folgt F(x2)_F(x1) · FX(x) ist monoton steigend.
S7.3 P(X>x) = 1 - FX(x)
S7.4 P(x1<X_x2) = F(x2) - F(x1)
S7.5 rechtseitiger Grenzwert:
linksseitiger Grenzwert :
S7.6 P(X = x) = F(x+) - F(x-)
S7.7
S7.8
Transformation von Zufallsvariablen:
S8.1
S8.2 P(X _ _) = P(Y _ y) = Fy(y) mittels FX(x) ermitteln.
S8.3
transformierte Dichtefunktion
Momente und Zentralmomente von ZV
S9.1 Erwartungswert tranformierter ZV
S9.2 Linearitätsgesetz E(aX + b) = a E(X) + b
S9.3 Bei symmetrischen Funktionen liegt der Schwerpunkt immer auf xs. Daher gilt : E(X) = xs
S9.4 E((X - _x)2) = E(X2) - _x2
Häufig gestellte Fragen zu "Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie"
Was ist ein Zufallsexperiment (ZE)?
Ein Zufallsexperiment ist eine Reihe von Versuchen unter denselben Bedingungen, deren Ausgang nicht vorhersagbar ist.
Was ist ein Elementarereignis?
Ein Ereignis ist ein Elementarereignis, wenn es nicht als Vereinigung disjunkter Ereignisse darstellbar ist, die von ihm verschieden sind.
Was versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist.
Wann ist ein Ereignis stochastisch unabhängig von einem anderen?
Ein Ereignis A ist stochastisch unabhängig von B, wenn das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst.
Was bedeutet vollständig stochastische Unabhängigkeit für eine Menge von Ereignissen?
Eine Menge von Ereignissen A1, A2, ..., An ist vollständig stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von zwei oder mehr Ereignissen die Wahrscheinlichkeit ihrer gemeinsamen Realisierung das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein Bernoulli-Experiment besteht aus der n-maligen Durchführung eines Einzelexperiments, bei dem die Einzelereignisse stochastisch unabhängig sind und gleiche Einzelwahrscheinlichkeiten vorliegen.
Was ist eine Zufallsvariable (ZV)?
Eine Zufallsvariable ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element aus einem Ereignisraum eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.
Was ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable?
Die Verteilungsfunktion FX(x) einer Zufallsvariable X gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt: FX(x) = P(X ≤ x).
Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable?
Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Wert, den eine Zufallsvariable über viele Wiederholungen des Zufallsexperiments annimmt.
Was ist die Varianz einer Zufallsvariable?
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert.
Was besagt das Bernoulli-Theorem?
Das Bernoulli-Theorem beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von unabhängigen Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit.
Was ist der Multiplikationssatz in der Wahrscheinlichkeitstheorie?
Der Multiplikationssatz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens zweier Ereignisse A und B gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit von A und der bedingten Wahrscheinlichkeit von B gegeben A ist: P(A ∩ B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A).
Was ist die Bayessche Formel?
Die Bayessche Formel ermöglicht die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gegeben B unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit von B gegeben A und der Einzelwahrscheinlichkeiten von A und B.
Wie transformiert man Zufallsvariablen?
Die Transformation von Zufallsvariablen beinhaltet die Anwendung einer Funktion auf eine Zufallsvariable, wodurch eine neue Zufallsvariable entsteht. Die Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der transformierten Variablen können aus den entsprechenden Funktionen der ursprünglichen Variablen abgeleitet werden.
Was ist das Linearitätsgesetz des Erwartungswertes?
Das Linearitätsgesetz besagt, dass der Erwartungswert einer linearen Kombination von Zufallsvariablen gleich der linearen Kombination ihrer Erwartungswerte ist: E(aX + b) = a E(X) + b.
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- Sebi Richter (Autor), 1998, Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/96327
