Modellierung des Markenwahlverhaltens von Konsumenten mittels Markov-Ketten

Inhaltsverzeichnis

II Abbildungsverzeichnis *

1 Einleitung *

2 Markov-Ketten *
2.1 Definition und Merkmale von Markov-Ketten *
2.2 Übergangswahrscheinlichkeiten *
2.2.1 Anwendung der Übergangswahrscheinlichkeiten in Matrizenform *
2.2.2 Darstellung von Übergangswahrscheinlichkeiten als Diagramm *
2.3 Stationarität und die Chapman-Kolmogorov-Gleichungen *
2.4 Gleichgewichtszustände *
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit *

3 Modellierung von Markenwahlverhalten mittels Markov-Ketten *
3.1 Ziele der Modellierung und verschiedene Modellierungsansätze *
3.2 Der Übergang von der statistischenTheorie zur betriebswirtschaftlichen Praxis.
3.3 Wichtigste Modellprämissen *
3.3.1 Die Prämisse der Markov-Eigenschaft *
3.3.2 Die Prämisse der Stationarität *
3.3.3 Prämisse der konstanten Kaufintensität *
3.4 Marketing-Modellierung mittels Markov-Ketten im Ansatz von Styan und Smith *
3.4.1 Modellierung mittels quasi-heterogener, Markov-Ketten im Ansatz von Massy, Montgomery und Morrison *
3.4.1.1 Das Brand-Loyal-Modell (BL-Modell) *
3.4.1.2 Das Last-Purchase -Loyal- Modell (LPL-Modell) *
3.5 Weitere Entwicklungen von Markov-Modellen des Markenwahlverhaltens *

4 Zusammenfassung und kritische Würdigung *

5 Anhang *

6 Literaturverzeichnis *

I Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

II Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2-1: Eine 3x3 Matrix für Übergangswahrscheinlichkeiten (In Anlehnung an Meffert, Steffenhagen 1977, S.103)

Abbildung 2-2: Übergangsdiagramm einer Markov-Kette (Quelle: Meffert,Steffenhagen 1977, S.101)

Abbildung 5-1: Aus der Abbildung 2-1 abgeleitete Markov-Kette zweiter Ordnung (in Anlehnung an Meffert, Steffenhagen 1997, S. 108)

1 Einleitung

Die nach Andrej A. Markov (1856-1922), einem Schüler Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheffs (1821-1894), benannten Markov-Prozesse (Vgl. St Andrews University 1996) gehören zusammen mit den stationären, den linearen, den Prozessen mit unabhängigen Zuwächsen und den Martingalen zu den Haupttypen stochastischer Prozesse. Die Markov-Eigenschaft von Prozessen beschreibt die Abhängigkeit der Prozeßzustände im Zeitablauf.

In der Wirtschaftswissenschaft ist das Interesse an zukünftigen Zuständen sehr hoch. Im Marketing dienen Prognosen zukünftiger Marktreaktionen zur Bestimmung gezielter Marketingaktionen. Besonderes Augenmerk wird dabei auf die Verteilung der Markenpräferenzen durch Konsumenten gerichtet, und gerade hier lassen sich Markov-Prozesse einsetzen. Die ersten Versuche fanden schon sehr früh statt, es fehlte jedoch ein theoretischer Unterbau, der 1957 durch Anderson und Goodman geliefert wurde. Diese Grundlage erwies sich als äußerst fruchtbar für die vielen Anwendungen der Markov-Prozesse auf dem Feld des Marketing. Es folgten unter anderen Untersuchungen durch Maffei (1961), Styan und Smith (1964), Ehrenberg (1965), Massy, Montgomery und Morrison (1977) und viele andere.

Im Rahmen dieser Hausarbeit soll zunächst einmal eine theoretische Behandlung von Markov-Ketten als spezielle Markov-Prozesse erfolgen, in der auf später im Text angesprochene Besonderheiten der Markov-Modellierung eingegangen wird. Den empirischen Zusammenhängen ist das Kapitel 3 gewidmet, in dem hauptsächlich anhand von bereits erfolgten empirischen Untersuchungen die Methoden der Modellierung mittels Markov-Ketten vorgeführt werden sollen. Das Kapitel 3 spricht auch Probleme, die mit der Verwendung der Markov-Ketten-Modellierung verbunden sind an und erläutert ebenfalls wichtige neuere Ansätze der Modellierung. Abschließend erfolgt eine Zusammenfassung und kritische Würdigung der vorgestellten Ansätze und Methoden.

2 Markov-Ketten

2.1 Definition und Merkmale von Markov-Ketten

Eine Markov-Kette ist ein besonderer stochastischer Prozeß [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit einem abzählbaren Zustandsraum E und einem diskreten Parameterraum [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , für den die sogenannte Markov-Eigenschaft gilt. Die Markov-Eigenschaft besagt, daß bei bekanntem gegenwärtigen Zustand die Zustände in der Zukunft nicht von der Vergangenheit abhängen. Zur Ermittlung der jeweiligen Zustandswahrscheinlichkeiten werden sogenannte Übergangswahrscheinlichkeiten verwendet, welche bei Markov-Ketten und -Prozessen erster Ordnung nur aus den Zuständen zweier aufeinanderfolgenden Perioden ermittelt werden. Auf Übergangswahrscheinlichkeiten wird später eingegangen werden. Die beschriebenen Eigenschaften lassen sich wie folgt in Gleichungsform wiedergeben:

Gleichung -1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Verkürzt ergibt sich:

Gleichung -2: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Vgl. Fahrmeir, Kaufmann, Ost 1981, S.14).

Nicht alle Autoren sind sich über die exakte Abgrenzung von Markov-Prozessen und -Ketten einig. Von manchen wird ein diskreter Zustandsraum allein als Bedingung für das Vorliegen einer Markov-Kette betrachtet (Vgl. Massy, Montgomery, Morrison 1970, S.80), während andere (Vgl. Rinne 1997, S.445) eine solche nur für den Fall eines ebenfalls diskret vorliegenden Parameterraumes T vorliegen sehen. Allgemein handelt es sich um einen diskreten Prozeß, wenn der Parameterraum T abzählbar viele Elemente enthält. Dieser wird auch stochastische Folge oder stochastische Kette genannt.(Vgl. Rinne 1997, S.435), die genaue Unterscheidung zwischen Prozessen und Ketten aber spielt für das hier erarbeitete Thema keine wesentliche Rolle.

In Gleichung 2-2 wird für die Zustände in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Abhängigkeit von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] also dem unmittelbar vorhergehenden Zustand unterstellt. Für Markov-Ketten höherer (n-ter) Ordnung wird die Abhängigkeit von n vorhergehenden Zuständen unterstellt. Man kann sagen, daß je höher die Ordnung (der Grad) der Markov-Kette, desto geringer ihre ‘Vergeßlichkeit’. Somit sind die Zustände einer Markov-Kette 0-ter Ordnung nicht von den Vorperioden abhängig, es handelt sich dann um einen diskreten Bernouilli- Prozeß. Man kann nun von Gleichung 2-1 und von Gleichung 2-2 ausgehend die bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmen, die direkt als Übergangswahrscheinlichkeit interpretiert wird. (Vgl. Fahrmeir, Kaufmann, Ost 1981, S.14) Sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von i zum Zeitpunkt t zu j zum Zeitpunkt t+1. Wird zum Beispiel in der Zeilenvektor von Zustandswahrscheinlichkeiten für die Zustände 1,2,...,n in Periode 0 mit der nachfolgend erläuterten Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten P multipliziert, so ergibt sich in Gleichung 2-5, der Vektor der in Periode 1 zu erwartenden Zustandswahrscheinlichkeiten als

Gleichung -3: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Gleichung -4: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Gleichung -5: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2.2 Übergangswahrscheinlichkeiten

Die Übergangswahrscheinlichkeiten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden mit Hilfe von Matrizen dargestellt, Daneben gibt es noch die Möglichkeit einer graphischen Verdeutlichung mittels Diagrammen. Auf beide soll im folgenden kurz eingegangen werden.

2.2.1 Anwendung der Übergangswahrscheinlichkeiten in Matrizenform

Bei Vorhandensein entsprechender Übergangswahrscheinlichkeiten kann man eine quadratische Matrix P aufstellen, die Übergänge von ŕ zu t+1 für die verschiedenen Zustände vereinigt. Abbildung 2-1 zeigt eine solche 3x3-Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten für die Zeitpunkte t=0 und t=1. Die Zeilen stellen die verschiedenen Zustände zum Zeitpunkt t=0 dar, während den Spalten die entsprechenden Zustände in t=1 entnommen werden können. Da es sich um eine quadratische Matrix handelt, bleibt die Anzahl der Zustände in den betrachteten Zeitpunkten t auf jeden Fall gleich. Innerhalb der Matrix erfolgt die Eintragung der einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten auf intuitive Weise, durch Zuordnung der Werte zur entsprechenden Zeile und Spalte. Die hervorgehobenen Elemente der Hauptdiagonalen zeigen Übergangswahrscheinlichkeiten für solche Fälle an, für die es zu keiner Zustandsveränderung im Zeitablauf kommt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung -1: Eine 3x3 Matrix für Übergangswahrscheinlichkeiten (In Anlehnung an Meffert, Steffenhagen 1977, S.103)

Für eine derartige stochastische, Matrix gelten allgemein folgende Bedingungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Addition der Elemente einer Zeile ergibt jeweils 1, wie in Abbildung 2-1 zu sehen ist.

2.2.2 Darstellung von Übergangswahrscheinlichkeiten als Diagramm

Zur Verdeutlichung der Übergangswahrscheinlichkeiten kann auch die Diagrammform gewählt werden, die in Abbildung 2-2 dargestellt wird. In dieser Abbildung lassen sich die Unterschiede zwischen den Zustandsübergängen und der Konstanz der Zustände im Zeitablauf verdeutlichen. Es wird eine Kette mit drei Zuständen i, j und k zu zwei Zeitpunkten betrachtet, wobei die Beschriftung an die Gleichung 2-3 angelehnt ist. Unveränderte Zustände werden im Diagramm durch gestrichelte Linien dargestellt, und es werden ihnen die Übergangswahrscheinlichkeiten pii, p¿ und pkk zugeordnet. Jeder Zustand ist mit jedem anderen Zustand durch zwei gewölbte Pfeile verbunden. Diese Pfeile symbolisieren die Übergänge zwischen zwei Zuständen.

2.3 Stationarität und die Chapman-Kolmogorov-Gleichungen

Bei der Annahme einer Unabhängigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten von t im Zeitablauf, die Stationarität genannt wird, ermöglichen die Chapman-Kolmogorov- Gleichungen die Bestimmung von Zuständen, die weiter als nur eine Periode in der Zukunft liegen. Mittels dieser Gleichungen wird ein Ausgangszustand einer mehrmaligen Transformation durch die stationäre Übergangsmatrix unterzogen. In Anlehnung an die bisherige Bezeichnung der einstufigen

Übergangswahrscheinlichkeiten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , sollen die mehrstufigen

Übergangswahrscheinlichkeiten mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet werden. Das hier zusätzlich

auftauchende n drückt aus, innerhalb von wievielen Transformationen es zu der Zustandsänderung von i zu j gekommen ist. In Formelschreibweise ergibt sich die Gleichung 2-6.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung -2: Übergangsdiagramm einer Markov- Kette

(Quelle: Meffert,Steffenhagen 1977, S.101)

Gleichung -6: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Es gilt somit auch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung lautet:

Gleichung -7: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß der Prozeß im Zustand / beginnt und innerhalb von n+m Übergängen im Zustand j endet. Auf dem Weg zu j wird der Zustand k nach n Übergängen erreicht. Die Summe aller Zwischenschritte k ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Prozeß nach n+m Übergängen sich im Zustand j befindet. In Formelschreibweise ergibt sich also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung -8: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Gleichung 1 -4 läßt sich nun auch auf Matrizen übertragen und es folgt dann für P (n), eine n-Schritt-Übergangsmatrix:

Gleichung-9: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Dies heißt, daß man die n-Schritt-Übergangsmatrix durch das n-fache Multiplizieren der Matrix P mit sich selbst erhalten kann. Ist beispielsweise die ( einstufige ) Matrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegeben, und möchte man wissen, welche Übergangsmatrix sich ergibt, wenn P vier Mal auf einen Ausgangszustand angewendet wird, so kann man mittels der Gleichung 2-9 ohne weiteres die zugehörige P (4) ermitteln:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um aus R

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu erhalten wird die Multiplikation der Matrix noch einmal wiederholt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Vgl. Ross 1996, S.138ff.)

2.4 Gleichgewichtszustände

Für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich bei der Verwendung einer stationären Matrix der Übergangs­wahrscheinlichkeiten ein Konvergenzzustand mit dem zu Gleichung 2-5 analogen Zeilenvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Er ist gegeben, wenn

Gleichung -10: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

und

Gleichung-11: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Zutreffen. Bei fortwährender Anwendung der Übergangswahrscheinlichkeiten auf die sich jeweils ergebenden Zustände, ergibt sich eine beliebig genaue Annäherung an eine stabile Zustandsverteilung, in der die Fluktuationen innerhalb der einzelnen Zustände keine Verschiebungen mehr hervorrufen. Die Übergänge zwischen den Zuständen gleichen sich gegenseitig aus (Vgl. Opitz,Schader 1975, S. 93,94).

2.5 Konvergenzgeschwindigkeit

Zwar erreicht ein Markov-Prozess, bis auf Sonderfälle, nicht genau den Konvergenzzustand, jedoch kommt es oft zu einer raschen Annäherung an diesen Zustand. Für jeden Fall läßt sich ermitteln, wie lange es dauert bis ein Zustand in beliebiger Nähe des Konvergenzzustandes erreicht wird. Der Grad der Nähe wird nach Maffei (1961, S. 113ff.) durch c, das Verhältnis der Werte aus dem zu Gleichung 2-5 analogen Zeilenvektorx(t) und dem Konvergenzzeilenvektor . Ein Wert von 0,95 für c kann als eine Aussage interpretiert werden, daß der Prozeß 95% des Wegs bis zum Konvergenzzustand zurückgelegt hat.

3 Modellierung von Markenwahlverhalten mittels Markov- Ketten

3.1 Ziele der Modellierung und verschiedene Modellierungsansätze

Das Ziel der Modellierung des Markenwahlverhaltens von Konsumenten ist allgemein die Analyse oder/und Prognose der künftigen Entwicklungen auf den Produktmärkten. So versucht man mit Hilfe von Modellen die Auswirkungen verschiedener Marketingmaßnahmen auf die Produktwahl der Konsumenten zu untersuchen, um eine optimale Marketingstrategie zu entwickeln. Markov-Ketten können im Rahmen einer marketingorientierten Anwendung Absatzprognosen liefern, Aussagen über Substitutions- und Partizipationseffekte machen, Anhaltspunkte zu der Dringlichkeit absatzpolitischer Maßnahmen geben und Informationen zur Beeinflussung der Markentreue von Konsumenten bereitstellen (Vgl. Meffert 1992, S.130). Modelle bilden die Wirklichkeit vereinfacht ab und führen durch eine Unmenge an Variablen bedingte Tatsachen auf nur ein paar wenige zurück. Andere einflußnehmende Größen werden ausgeklammert oder als konstant betrachtet. Die als konstant betrachteten Variablen lassen sich auch zu speziellen Modellprämissen, also Grundeigenschaften des Modells zusammenfassen. Diese Prämissen unterscheiden sich bei einer Vielzahl der zum Thema erstellten Modelle wesentlich und könnten als Gliederungsmerkmale verwendet werden. Eine solche Einteilung würde die Gefahr der Unübersichtlichkeit bergen, da jedes Modell mit seinen Prämissen eine Variation eines zuvor erarbeiteten Modells ist.

Innerhalb der letzten 41 Jahre wurde eine Vielzahl marketingorientierter Anwendungen von Markov-Ketten entwickelt. Im Folgenden sollen die wichtigsten Modelle und Konzepte vorgestellt werden. In der Entwicklung der Modellierung des Markenwahlverhaltens von Konsumenten mittels Markov-Ketten spielt die, in der Einleitung bereits erwähnte, pionierhafte Veröffentlichung von Anderson und Goodman (1957) eine überaus wichtige Rolle als theoretisches Fundament für alle nachfolgenden Ansätze. Erste empirische Untersuchungen wie zum Beispiel von Styan und Smith (1964) waren für die Betonung des Praxisbezuges des markovschen Konzeptes und für die Entwicklung eines Interesses dafür in Marketingkreisen mitentscheidend. Ihre Schwächen lagen jedoch in der starren Übernahme der bis dahin entwickelten theoretischen Konzepte. Massy, Montgomery und Morrison (1977) entwickelten ein neues Konzept, welches sich kritisch mit den bis dahin benutzten Eigenschaften von Markov-Modellen auseinandersetzte und führten empirische Untersuchungen zur Überprüfung ihres Ansatzes durch. Diese Modelle können als klassisch bezeichnet werden. Das durch sie geschaffene Grundgerüst wurde im laufe der letzten 20 Jahre um eine Vielzahl von Ansätzen ergänzt, die sich durch eine höhere Komplexität auszeichnen. Entscheidend für die Entwicklung dieser neuen Ansätze waren Fortschritte bei datenverarbeitenden Anlagen, die eine Analyse von Datenmengen ermöglichten, von denen zu den Anfangszeiten der statistischen Analyse mittels Markov-Ketten niemand zu träumen gewagt hätte. Im folgenden soll zunächst in einem kurzen Abschnitt eine Brücke zwischen der vorangegangenen theoretischen Betrachtung und der Praxis geschlagen werden. Danach werden die zentralen Modellannahmen die bei der Entwicklung der Markov-Modelle verwendet wurden erläutert. Im Hauptteil dieses Kapitels wird die Modellierung des Markenwahlverhaltens anhand der verschiedenen oben erwähnten Arbeiten vorgestellt.

3.2 Der Übergang von der statistischenTheorie zur betriebswirtschaftlichen Praxis.

Bei der Modellierung der Markenwahlentscheidung des Konsumenten werden den Zuständen der Markov-Kette die einzelnen Marken zugeordnet. Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen entsprechen somit den Wahrscheinlichkeiten des Wechsels eines Konsumenten von einer Marke zur anderen. Bei Modellen erster Ordnung wird unterstellt, daß die Kaufentscheidung des Konsumenten nur von der eine Periode zurückliegenden abhängig ist. Beim Aufstellen einer Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten repräsentieren die Elemente der Hauptachse Markentreue, während alle anderen Elemente als Markenwechsel aufzufassen sind. Die Markenwahl der Periode t=1 wird ermittelt, indem der als Zeilenvektor vorliegende Ausgangszustand in t=0 mit der Übergangsmatrix multipliziert wird. Der Stationarität entspricht eine im Zeitablauf unveränderte Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten für die Markenwahl des Konsumenten, beziehungsweise des Aggregats aller Konsumenten. Mittels der Chapman-Kolmogorov-Gleichungen läßt sich die Marktsituation die weiter als eine Periode in der Zukunft liegt analog zu der eben erwähnten Methode der Berechnung der Marktsituation in der folgenden Periode ermitteln. Gleichgewichtszustände entsprechen auf dem Markt der Konstanz der Verhältnisse der Markenabsätze, sie sind Prognosen für die Aufteilung des Marktes auf die verschiedenen Marken bei angenommener Konstanz aller Variablen. Wichtiger ist in diesem Zusammenhang die Konvergenzgeschwindigkeit, die den Marketingfachmann über die Dringlichkeit von Marketingaktionen unterrichtet.

3.3 Wichtigste Modellprämissen

In Anlehnung an Teil 1 und an Meffert und Steffenhagen (1977, S.103), lassen sich die Merkmale der Modellierung mittels Markov-Ketten in Anlehnung auf die folgenden Prämissen, die in Haupt- und Nebenprämissen eingeteilt wurden, zurückführen:

Hauptprämissen:

1. Markov-Eigenschaft
2. Stationaritätsannahme

Nebenprämissen:

1. Periodenabgrenzung/Kauffrequenz
2. Geschlossenheit des Marktes

3.3.1 Die Prämisse der Markov-Eigenschaft

Die allgemeine Formulierung der Markov-Eigenschaft wurde bereits in Teil 2 vorgenommen und eine im Zusammenhang mit dem Marketing stehende, kurze Erklärung wurde in, Abschnitt 3.2 doch was bedeutet dies speziell für die hier behandelte Modellierung? Diese wichtigste Prämisse erklärt, daß die Markenwahl der Individuen in der Zukunft im Prinzip nur von der individuellen Markenwahl in der Gegenwart abhängt, im Allgemeinen wird bei der Modellierung also ein Prozeß erster Ordnung angenommen. Prozesse zweiter Ordnung, solche bei denen das Gedächtnis der Konsumenten zwei Perioden zurückreicht und die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten die Informationen zweier Perioden enthält, also eine Raummatrix ist, können ohne weiteres in Prozesse erster Ordnung transformiert werden. Dabei bedient man sich eines kleinen Kunstgriffes. Anstatt sich wie in Abbildung 2-1 in Zeile und Spalte jeweils nur auf einen Zeitpunkt t=0 und t=1, in Zeile respektive Spalte zu beziehen, werden Zustandspaare für t=0 und t=1 in den Zeilen und t=1 und t=2 in den Spalten gebildet. Es werden die Übergangswahrscheinlichkeiten für die neuen Zustände ermittelt und in die Matrix eingetragen. Die Anzahl der Zustände vervielfacht sich und es entsteht allgemein aus einem Prozeß zweiter Ordnung mit m Zuständen ein Prozeß erster Ordnung mit m2 Zuständen. Bei der Transformation ist zu beachten, daß die tatsächliche Anzahl der Übergangswahrscheinlichkeiten dadurch geringer wird, daß solche Kombinationen die nicht kompatibel sind entfallen. Nicht kompatibel ist zum Beispiel eine Kombination bei der ein zweiter Zeilenwert für t=1 nicht mit dem ersten Parameter des Spaltenwertes für t=1 übereinstimmt. Im Anhang wird eine solche, aus der Abbildung 2-1 abgeleitete, Matrix für eine Kette zweiter Ordnung dargestellt. Die nicht kompatiblen Zustandspaare werden durch Bindestriche hervorgehoben. Analog dazu ergibt sich aus einem Prozeß n-ter Ordnung mit m Zuständen ein Prozeß erster Ordnung mit mn Zuständen. In der Praxis spielen solch komplizierte Markov-Prozesse jedoch aufgrund der großen Informationsmengen, die zu Ihrer Betrachtung benötigt werden, keine erwähnenswerte Rolle. Meffert und Steffenhagen (1977,S.103) erinnern in Ihrer Betrachtung der Markov-Ketten daran, daß bei Markovscher Betrachtung von Prozessen eigentlich doch keine absolute Unabhängigkeit der Zustände vorliegt. Sie argumentieren, daß bei einer Betrachtung von Markov-Prozessen im Zeitablauf t=1 nur von t=0 abhänge, t=0 sei aber wiederum durch eine Markov-Abhängigkeit von t=-1 gegeben. Der Zeitablauf sei also gleichermaßen eine Folge von miteinander verschachtelten Markov-Abhängigkeiten.

3.3.2 Die Prämisse der Stationarität

Die Stationarität der Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten ist das zweite Hauptmerkmal von Markov-Modellen. Die in Abschnitt 2.3 bereits kurz erwähnte Unabhängigkeit der Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten von t "kennzeichnet das Modell markovscher Ketten als reine Entwicklungsprognose." (Meffert, Steffenhagen 1977, S.104). S omit entspricht die Konstanz des Parametersystems eines Markov-Prozesses der Invarianzannahme zum Parametersystem bei den sogenannten Trendmodellen, die Wirkungen eines Ursachenkomplexes als Tendenz erkennen und prognostizieren können, und bei den sogenannten Indikatormodellen, die Vorhersagen mittels Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen nicht oder nur wenig beeinflußbaren Variablen (Indikatoren) und der Prognosegröße ermöglichen. Änderungen von Marketing-Variablen werden im Rahmen der Stationarität nicht erfaßt, sondern nur in der Tendenz fortgeschrieben (Meffert, Steffenhagen 1977, S.104).

3.3.3 Prämisse der konstanten Kaufintensität

Diese Prämisse betrifft gleich zwei Merkmale der Kaufentscheidungen der betrachteten Konsumentengruppen und spielt in der Empirie in Fällen eine Rolle, in denen die Konsumenten mehrere oder keine Käufe innerhalb einer betrachteten Periode tätigen, oder aber in denen die Bestimmung der Periodenlänge allgemein Schwierigkeiten bereitet. Um Nichtkäufe zu erfassen, wird eine "Scheinmarke" eingeführt, die dafür sorgt, daß diese ebenfalls im Modell berücksichtigt werden. Der Einführung der Scheinmarke ist insofern kritisch zu begegnen, als eine solche "unechte" Marke die Aussagen des Modells verzerren kann. Sie führt zu einer Vermischung von Markenwahl- und Kaufeintrittswahrscheinlichkeiten. Mehrfachkäufe können regulär behandelt werden, indem man eine mehrfache Zählung vornimmt. Da in erster Linie die Anzahl der gekauften Produkte betrachtet wird, stört eine solche Mehrfachzählung nicht die Aussage des Modells, solange es sich um eine Marke handelt. Kommt es innerhalb einer Periode zu Käufen mehrerer Marken durch einen und denselben Konsumenten, so stehen mehrere Möglichkeiten zur Berücksichtigung dieses Sonderfalles zur Auswahl. Man könnte zum Beispiel nur das zuletzt gewählte Produkt betrachten oder aber bei vielen Käufen einfach das meistgewählte Produkt wählen. Insbesondere im letzten Fall spielt die Wichtigkeit einer geeigneten Periodenabgrenzung eine große Rolle. "Die Wahl der Periodenlänge ist zunächst vom Verbrauchsrhythmus der jeweiligen Produktgattung abhängig zu machen" (Meffert/Steffenhagen 1977, S.105). Daneben wird auch das Problem der individuell variierenden Kaufintervalle bei Meffert/Steffenhagen (1977,S. 105) angesprochen, denn dadurch, daß Intervalle für alle Konsumenten bestimmt werden kommt es bei unterschiedlichem Kaufverhalten zu Mehrfach-, beziehungsweise Nichtkäufen. Dieser Punkt erfordert eine genaue und leider mühsame Überprüfung der Grundgesamtheit und macht in diesem Zusammenhang auch deutlich, daß bestimmte Produkte für eine Modellierung geeigneter sind als andere.

3.3.4 Die Prämisse der Geschlossenheit des Marktes

Die Besonderheit der Markov-Eigenschaft und somit auch der quadratischen Matrizen, schließt die Behandlung von neu auf den Markt kommenden Produkten aus. Ebenfalls können Käufer, die ein Produkt zum ersten Mal kaufen nicht berücksichtigt werden. In Abhängigkeit vom Grad des verwendeten Markovschen Modells muß ein Produkt bereits mindestens n Perioden auf dem Markt sein, um in das Modell aufgenommen zu werden (Vgl. Meffert/Steffenhagen 1977, S.105).

3.4 Marketing-Modellierung mittels Markov-Ketten im Ansatz von Styan und Smith

Die von Styan und Smith (1964) zum ersten mal ausführlich mittels Markov-Ketten durchgeführte Untersuchung des Produktwahlverhaltens von Konsumenten bezog sich auf Daten, die für "Procter and Gamble" von einem Marktforschungsinstitut zusammengetragen wurden. Als statistische Masse wurden 100 Haushalte oder Familien in Leeds, Yorkshire, Großbritannien gewählt. Das Untersuchte Merkmal war die, wöchentlich erfasste, Wahl eines Waschmittels. Es wurden vier verschiedene Kategorien. Dabei handelte es sich um zwei echte Zustände (Kauf eines Waschmittels oder Kauf von Seifenpulver), einen gemischten (Kauf sowohl des Waschmittels als auch des Seifenpulvers) und einen unechten Zustand (Scheinmarke der das Ausbleiben einer Kaufaktivität zugeordnet wurde, Nichtkauf). Der Untersuchungszeitraum betrug 26 Wochen. Nachdem die Durchschnittswerte durch die übliche Auswertung ermitteln wurden, wurde der Frage nachgegangen, welches Verhalten der Käufer die Ergebnisse bedingte. Um dies zu untersuchen, wurde für jede der untersuchten Wochen eine Übergangsmatrix erstellt, in der sowohl Bewegungen zwischen einzelnen Zuständen als auch das Verharren der Zustände, das bereits als Loyalität interpretiert wurde, erfaßt wurden. Mit diesen 25 Matrizen sollte gezeigt werden, daß die Produktwahl einer Periode von der Produktwahl in der vorangegangenen Periode abhing. Unter Zuhilfenahme eines c 2-Homogenitätstests, der von Anderson und Goodman (1957) zu diesen Zwecken bereits empfohlen wurde, wurde für alle 25 Matrizen die folgenden Hypothesen geprüft:

Ho: Es liegt eine Markov-Kette nullter Ordnung vor (Poisson-Prozess/-Verteilung)

H1 : Es liegt eine Markov-Kette erster Ordnung vor (Abhängigkeit von t-1).

Ho wurde in allen 25 Fällen abgelehnt. Einer Untersuchung auf höhere Ordnung der Markov-Kette gingen Styan und Smith dadurch aus dem Wege, daß sie sich auf die mangelnden Daten berufen haben. Der Abdruck des Tests zur Prüfung der Homogenität erfolgt im Anhang. Nachfolgend wurde die Stationarität der Übergangsmatrizen untersucht, wobei wiederum eine Nullhypothese H0 und eine Alternativhypothese H1 aufgestellt wurden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Prüfung erfolgte mittels eines Likelihood-Quotienten-Tests, der ebenfalls im Anhang kurz aufgeführt wird. Da der Test eine Ablehnung der Nullhypothese für die vorhandenen Daten nicht erlaubt, gehen Styan und Smith von einer gegebenen homogenen Markov-Kette aus. Das heißt von einer Kette mit stationären Übergangswahrscheinlichkeiten. Die stationäre Übergangsmatrix wird im Beispiel mittels eines Maximum-Likelihood-Verfahrens ermittelt. Weiterhin wird auf die Grenzverteilung eingegangen und auf ihre Bedeutung für die Stationarität. Es ist einleuchtend, daß falls eine Konvergenz feststellbar wäre und bedacht würde, daß eine Konvergenz nur bei Stationarität vorliegt, die Tatsache, daß die empirischen Werte recht genau den prognostizierten Konvergenzverteilungen der Zustände entsprechen als weiteres Indiz für das Vorhandensein einer homogene Markov-Kette wäre. Genau diese Übereinstimmung tritt bei der Studie von Styan und Smith auf. In der Untersuchung wird auch die Möglichkeit der Vorhersage zukünftiger Zustände vorgeführt, indem ein beliebiger Zeilenvektor, der die Zustände in t vorgibt mit einer der ermittelten Übergangsmatrizen von rechts multipliziert wird (siehe Gleichung 2-5).

Insgesamt werden in dieser Studie für die Modellierung wichtige Schritte durchgeführt und es ergeben sich die erwünschten Möglichkeiten zur Prognose von Zuständen in der Zukunft. Die Behandlung weist jedoch einige Schwachstellen auf. Insbesondere kritisieren Massy, Montgomery und Morrison (1977, S.91) die Rückschlüsse auf die Ordnung der Markov-Kette, die über die Aggregation aller Haushalte erfolgen.

In dieser bis zur Mitte der 70er Jahre dauernden Anfangsphase der Anwendung von Markov-Ketten, gab es noch andere Vorschläge zur Modellierung von Markenwahlverhalten, darunter zum Beispiel von Harary und Lipstein, die 1965 ein Markov-Modell vorstellten, in welchem die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten P durch jeweilige Multiplikation mit einer Veränderungsmatrix C zu jeder Periode verändert wurde. Dies war nur ein Ansatz zur Begrenzung der Stationaritätsprämisse, die sehr früh schon als überaus problematisch und Wirklichkeitsfremd erkannt wurde. Der am ausführlichsten erarbeitete Modellierungsversuch entstammt Massy, Montgomery und Morrison (1977) (Vgl. Poulsen, 1990 S.5).

3.4.1 Modellierung mittels quasi-heterogener, Markov-Ketten im Ansatz von Massy, Montgomery und Morrison

Die von Massy, Montgomery und Morrison (1977, S. 99ff.) entwickelten zwei Modelle führen die Heterogenität der Käufer mittels einer beta-verteilten Variablen p ein. Es werden ebenfalls Ketten erster Ordnung untersucht, jedoch erfolgt die Beschränkung auf zwei Zustände, um die bei höherer Zustandszahl rasch wachsende Datenmenge einzuschränken.

3.4.1.1 Das Brand-Loyal-Modell (BL-Modell)

Im Brand-Loyal-Modell werden unter der Scheinmarke alle Marken außer die von den Käufern als ‘Lieblingsmarke’ bezeichnete Marke zusammengefaßt. Es ergibt sich somit eine quadratische Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten für die beiden Zustände in t=0 und t=1. Die beobachtete subjektive ‘Lieblingsmarke’ der Käufer wird mit 1 und die Scheinmarke mit 0 bezeichnet. Es ergibt sich eine Matrix laut Abbildung 3-1. Das beta-verteilte p dient wie erwähnt der Einbeziehung der Heterogenität. Da in diesem Modell die Loyalität von Käufern gegenüber einer bestimmten Marke betrachtet wird, entspricht einem hohen p die erhöhte Neigung der Käufer zur Wiederholung der Kaufentscheidung aus der Vorperiode. Gleichzeitig sagt ein größeres p aus, daß die Wahrscheinlichkeit des Wechsels von den anderen Marken auf die Favoritenmarke höher ist. Dadurch verringert sich gleichzeitig die Kaufwahrscheinlichkeit für die anderen Marken, wie man an p11 unschwer erkennen kann. Die auf der Symmetrieachse liegenden Übergangswahrscheinlichkeiten für Markentreue poo und p11 sind negativ korreliert. Das dort auftauchende k ist eine Konstante die die Intensität des Brand-Loyal-Effektes bestimmt. Je größer die Konstante k ausfällt, desto mehr tritt die Markenwahl der Vorperiode in den Vordergrund.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung -1: Übergangsmatrix im BL-Modell (Quelle:Meffert, Steffenhagen 1977, S.109)

Aus der Konstanz von k und der Variabilität von p folgt auch die Bezeichnung des BL-Modells und des, im nächsten Abschnitt erläuterten, LPL-Modells als "quasi­heterogen" (Vgl. Meffert, Steffenhagen 1977, S.110).

3.4.1.2 Das Last-Purchase -Loyal- Modell (LPL-Modell)

Das Last-Purchase-Loyal-Modell ist sehr eng an das obige Brand-Loyalty-Modell angelehnt. Die Datenmenge wird ebenfalls durch die Beschränkung auf zwei Marken eingegrenzt. Jedoch handelt es sich bei der Marke 1 hier nicht um die von den Käufern als ‘Lieblingsmarke’ bezeichnete, sondern statt dessen um die vom Anwender des Modells als Gegenstand der Untersuchung gewählte Marke. Die Übergangsmatrix des Last-Purchase-Loyal-Modells sieht wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung -2: Übergangsmatrix im LPL-Modell (Quelle:Meffert, Steffenhagen 1977, S.110)

Wie im BL-Modell ist p von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängig. Ein niedrigeres p eines Käufers repräsentiert dann die niedrigere Wahrscheinlichkeit zum Wiederholungskauf der Vorperiode im Vergleich zu der hohen Wahrscheinlichkeit eines Käufers mit einem hohen p. Die Konstante k variiert dabei die Wirkung des Last-Purchase-Loyal-Effektes. Für k =1 ergibt sich eine einfache Markov-Kette erster Ordnung (Massy, Montgomery, Morrison 1970, S.110).

Empirische Anwendungen der beiden quasi-heterogenen Modelle zeigten eine Überlegenheit des Brand-Loyal Ansatzes. Besonders positive Ergebnisse gab es bei der Untersuchung des Kaffeemarktes der Jahre 1956 bis 1959 durch Massy, Montgomery und Morrison (1970, S. 117ff.). Obwohl beide Modelle das dem Markov- Ansatz anhängende Problem der Homogenität aufgreifen, zeigen sie eine entscheidende Schwäche auf. Diese ist die Beschränkung auf nur zwei Zustände, die sie in der Empirie nur bedingt brauchbar macht.

3.5 Weitere Entwicklungen von Markov-Modellen des Markenwahlverhaltens

Es sollen nun Zusammenfassend andere, später entstandene Ansätze der Modellierung des Markenwahlverhaltens mittels Markov-Ketten vorgestellt werden. Diese Ansätze Entwickeln Grover und Dillon (1988) zum Beispiel setzen zur Bestimmung der Marktcharakteristika die Methode der Spektralzerlegung ein. Diese Methode dient der Ermittlung der in Abschnitt 2.5 behandelten Konvergenzzustände und der Geschwindigkeiten mit denen diese eintreten. Dazu bedient sie sich der Informationen, die durch die Übergangsmatrix und mit ihr im Zusammenhang stehende abgeleitete Matrizen gegeben sind. Die Methode der Spektralzerlegung wird in vielen Wissenschaftsfeldern erfolgreich angewendet um Matrizen zu analysieren (Vgl. Murphy, 1996). Grover und Dillon (1988) gelingt es aber, zum ersten mal eine Anwendung für das Markenwahlverhalten abzuleiten. Poulsen (1990) stellt in seinem Aufsatz die Verwendung gemischter und latenter Markov-Ketten (mixed and latent Markov models) zur Modellierung des Markenwahlverhaltens vor.

Er verwendet die beiden Ansätze um die seiner Meinung nach größten Unzulänglichkeiten der in den Frühjahren entwickelten Modelle zu eliminieren, nämlich die Annahmen der Homogenität und der fehlerfreien Erfassung der Daten. Poulsen Ansatz richtet sich nach der aktuellen Auffassung von Markov-Ketten, die durch den Grundgedanken der partiellen Segmentierung beeinflußt ist. Partielle Segmentation (oder partielle Zerlegung) bedeutet die Aufteilung der Gesamtheit der Käufer in verschiedene Gruppen. Für diese wird angenommen, daß die Kaufentscheidungen ihrer Mitglieder mittels nicht-stationärer Wahlprozesse erster Ordnung darstellbar sind. Gleichwohl ist die Anzahl aller Klassen oder Segmente nicht bekannt. Poulsen verweist darauf, daß es durch den Einsatz gemischter Markov-Modelle möglich ist, alle zur stochastischen Modellierung des Kaufverhaltens benötigten Größen, insbesondere Heterogenität der Käuferschaft, Ordnung des Prozesses und die Nichtstationarität der individuellen Kaufwahrscheinlichkeiten zu erfassen (Vgl. Poulsen 1990, S.7). In dem von Poulsen vorgestellten latenten Markov-Modell konstituieren sich die verschiedenen Zustände der Kette aus unterschiedlichen Verhaltensmodellen. Die Zustände unterliegen weiterhin Verschiebungen, die sich aus einer konstanten (=stationären) Matrix von Übergangswahrscheinlichkeiten ergeben. Das Attribut "latent" weist darauf hin, daß weder die einzelnen Zustände noch die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen in Erscheinung treten Sie müssen erst abgeleitet werden.

Das Modell besteht aus zwei Teilen, einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Beziehung zwischen der beobachteten Markenwahl und dem latenten nicht beobachtbarem Zustand jedes Konsumenten einerseits und den durch eine Markov- Übergangsmatrix beschriebenen Veränderungen der Übergangsmatrizen andererseits.

4 Zusammenfassung und kritische Würdigung

Im Verlauf dieser Arbeit wurde die Modellierung des Markenwahlverhaltens von Konsumenten mittels Markov-Ketten vorgestellt. Nach einer allgemeinen Einführung in die Theorie der Markov-Prozesse und Markov-Ketten wurde auf ihre Bedeutung für die Betriebswirtschaft eingegangen. Es wurde der Gegenstand der Arbeit, der Bereich der Anwendungen im Marketing, in welchem Markov-Ketten schon seit längerer Zeit zur Modellierung der Nachfrage für bestimmte Produktfelder angewendet werden, vorgestellt. Nachdem die für die Modellierung relevanten Grundannahmen aufgezählt und erläutert wurden, erfolgte die Vorstellung und Besprechung der wichtigsten Modellierungsansätze, die im Laufe der Zeit entwickelt wurden. Diese reichten von den ersten Untersuchungen von Styan und Smith (1964) bis zu den gemischten und latenten Markov-Modellen von Poulsen (1990). Obwohl alle Modellierungsversuche auf den theoretischen Erkenntnissen von Anderson und Goodman (1957) basieren, zeigte sich, daß es viele, teilweise große, Unterschiede zwischen den verschiedenen Ansätzen gibt.

Nachdem der Zweck der Modellierung in Abschnitt 3.1 erläutert wurde, soll nun auch darauf eingegangen werden, wie sinnvoll eine solche Modellierung ist und inwiefern gerade die Markov-Ketten ein Mittel zur Ermittlung der erwünschten Informationen sein können.

Frank M. Bass (1974) beschließt seinen Aufsatz, indem er seinen Kritikern vorschlägt, den folgenden Satz zu widerlegen: "Es wird niemals möglich sein, gute Voraussagen über das Individuelle Markenwahlverhalten von Konsumenten zu abgesonderten Wahlzeitpunkten zu machen." (Bass 1974, S.19). Eine solche Voraussage ist nicht das Ziel der Modellierung (wie Bass selbst betont). Das Ziel ist für das Marketing ist eine bessere Kontrolle der Entwicklungen bei Veränderungen der Marketingvariablen für das Aggregat aller Käufer, bei gleichzeitiger Betrachtung der individuellen Unterschiede, die für die Grundgesamtheit als relevant angesehen werden. Spätere markovsche Modelle im Marketing berücksichtigen dies durch die Behandlung der Heterogenität, auf die zum Beispiel in Abschnitt 3.4.1.eingegangen wurde. Der gezeigte Markov-Ansatz hat insgesamt als Methode zur Modellierung in einer theoretischen Erweiterung der Theorie der stochastischen Präferenz eine hohe Legitimität. Die mit den Markov-Modellen konkurrierenden linearen Lernmodelle und Kaufneigungsmodelle wurden ebenfalls im Laufe der Zeit optimiert. Mit den Fortschritten bei der Modellierung mittels Markov-Ketten ergibt sich jedoch eine überzeugende Möglichkeit zu recht unkomplizierten Aufarbeitung von Informationen. Lineare Lernmodelle beispielsweise ermöglichen zwar eine auf den ersten Blick überzeugende Analyse, die Aussagefähigkeit wird jedoch mit einer hohen Menge an erforderlichen Daten erkauft. Die Schwächen der einfachen Markov-Modelle wurden kontinuierlich behandelt und zu einem großen Teil beschränkt oder beseitigt. Nicht zuletzt läßt sich die Bedeutung von Markov-Ketten messen an der Vielzahl der Veröffentlichungen in Büchern und Fachzeitschriften. Gute Ergebnisse werden in der Empirie in einem Bereich erzielt, der nur wenig mit Marketing zu tun hat. Markov- Ketten werden in der Agrarwirtschaft "z.B. zur Prognose derMilchleistungen der Kühe, der Flächenerträge bei Getreide und Veränderungen der Betriebsgrößenstruktur" (Henze 1994, S.160) verwendet. Sowohl aktuellere, als auch bereits früheste empirische Anwendungen im Marketing weisen darauf hin, daß der Modellierungsansatz mittels Markov-Ketten nicht die gleiche Gültigkeit für alle Güterkategorien hat. Die bekanntesten Untersuchungen bezogen sich jeweils auf solche Kategorien, bei denen "aufgrund kontinuierlichen Bedarfs im Haushalt ein programmierter Entscheidungsprozeß vermutet werden kann." (Meffert, Steffenhagen 1977, S.111). Die Anwendung auf andere Güterkategorien in der Vergangenheit eher vermieden. Es scheint, als seien Daten a priori schon "modelliert" worden. Insbesondere trifft dies für Massy, Montgomery, Morrison (1970) zu. Hier wurde eine Grundgesamtheit für die empirische Prüfung ihrer Modelle heranzogen, die durch vorhergehende Auswahlverfahren in solchen Maße eingeschränkt wurde, daß sie nur beschränkt als empirisch abgeleitet beschrieben werden kann. Es ist davon auszugehen, daß auch in Zukunft weitere praxisbezogene Ansätze entwickelt werden, die jedoch mit Bestimmtheit nicht einfacher aufgebaut sein werden, als die jetzigen.

5 Anhang

Homogenitätstest zur Bestimmung der Ordnung:

(Vgl. Styan,Smith 1964, S.54f.)

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] soll die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten darstellen. Bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] handelt es sich um die Übergangswahrscheinlichkeit des Zustandes i in der Periode k zum Zustand j in der Periode [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Es läßt sich formulieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anderson und Goodman (1957) zeigen, daß:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausdrückt, daß das Verhältnis der Verteilundsfunktion der linken Seite zu der Verteilungsfunktion der rechten Seite bei gegen unendlich strebendem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen eins geht.

Likelihood-Quotienten-Test zur Überprüfung auf Stationarität:

(Vgl. Styan,Smith 1964, S.55f.)

Neben der Fisher-Approximation für m(m-1)(t-1)>100 gilt für andere Fälle, die Tabellen entnommen werden können:

Sind [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

dann ist die Schätzung der stationären Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den Zuständen i und j nach der Maximum-Likelihood-Methode:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und die Schätzung der Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen i zum Zeitpunkt k und j zum Zeitpunkt k+1 nach der Maximum-Likelihood-Methode lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach Anderson und Goodman wird bei dem Likelihood-Quotienten-Test das l wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für große [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Fischer-Approximation lautet für m(m-1)(t-1)>100:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

v entspricht dabei der Anzahl der Freiheitsgrade.

Darstellung einer Matrix für eine Markov-Kette zweiter Ordnung.

Zustandskombinationen für:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung -1: Aus der Abbildung 2-1 abgeleitete Markov-Kette zweiter Ordnung (in Anlehnung an Meffert, Steffenhagen 1977, S. 108)

6 Literaturverzeichnis

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