Das Konzept "Early Algebra". Auswertung von Interviews zur Untersuchung algebraischer Methoden in der Grundschule

Inhaltsverzeichnis

I Einleitung

II Hauptteil
1 Algebra
1.1 Variablen
1.1.1 Variablenaspekte
1.1.2 Der Umgang mit Variablen
1.1.3 Der Umkehrfehler
1.1.4 Mögliche Ursachen für die Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen
1.1.5 Der Übergang von der Arithmetik zur Algebra
1.2 Early Algebra
1.2.1 Pre-Algebra
1.2.2 Early-Algebra
1.2.2.1 Das Measure-Up-Program
1.2.2.2 Zielsetzung der Early Algebra
2 Transfer
2.1 Begriffsdefmition
2.2 Unterschiedliche Arten von Transfer
2.2.1 Kognitiverund emotionaler Transfer
2.2.2 Positiver, negativer und Nulltransfer
2.2.2.1 Dimensionen des positiven Transfers
2.2.2.2 Spezifischer und unspezifischer Transfer
2.3 Transfertheorien
2.3.1 Theorie der„identischen Elemente“ nach Thorndike..
2.3.1.1 Kritik an der Theorie der „identischen Elemente“
2.3.2 Transfer als Übertragung von Prinzipien
2.3.3 Transfer durch metakognitive Kontrolle
2.3.4 Fazit
2.4 Schwierigkeiten bei positiven Transferleistungen
2.5 Didaktische Maßnahmen zur Förderung des positiven Transfers
2.6 Beurteilung der Transferleistung
2.6.1 Allgemeine Beurteilungskriterien
2.6.2 Rahmenmodell zur Einschätzung von proximalem und distalem Transfer nach Barnett und Ceci
3 Erläuterungen zur Unterrichtseinheit
3.1 Ablauf
3.2 Rückblick auf die Unterrichtseinheit
4 Auswertung der Interviews
4.1 Methodisches Vorgehen
4.1.1 Die „Grounded Theory“
4.1.1.1 OffenesKodieren
4.1.1.2 Axiales Kodieren
4.1.1.3 Selektives Kodieren
4.1.2 Vorüberlegungen zur Beurteilung der Transferfähigkeit.
4.2 Analyse
4.2.1 Offenes Kodieren
4.2.1.1 Leistungsschwache Schülerin (Swl)
4.2.1.2 Schüler mittleren Leistungsniveaus (Sml)
4.2.1.3 Leistungsstarker Schüler (Sm2)
4.2.2 Axiales Kodieren
4.2.3 Selektives Kodieren
4.2.4 Ausblick

III Schluss

IV Literaturverzeichnis

V Anhang
1 Tabellarischer Unterrichtsverlauf
1.2 Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit
1.3 Unterrichtsdokumentation
2 Transkriptionslegende
2.1 Transkripte
2.1.1Schwache Schülerin
2.1.2 Mittelstarker Schüler
2.1.3 Starker Schüler
3 Arbeitsblätter Einzelinterviews
4 Zitierweise

„DieMathematik ist das Tor zur Naturwissenschaft, und dieses Tor ist so niedrig und klein, dass man nur als kleines Kind hinein gelangen kann.“ (Cliffordl845 -1879)

I Einleitung

Wie in vielen anderen europäischen Ländern ist der Mathematikunterricht in Deutschland so aufgebaut, dass Algebra erst nach langjähriger Ausbildung der arithmetischen Fähigkeiten in Jahrgangsstufe sieben, beziehungsweise aufgrund der Verkürzung der gymnasialen Schulzeit auf acht Jahre am Gymnasium¹, in Klasse sechs eingeführt wird. Diese Tatsache begründet sich unter anderem dadurch, dass sich aus historischer Sicht die Algebra aus der Arithmetik heraus entwickelt hat und das Kind, in Anlehnung an die Stufentheorie des Entwicklungspsychologen Jean Piaget, erst mit einem Alter von 12 Jahren in das Stadium der formalen Operation übergeht, in der es die Fähigkeit erwirbt, algebraisch zu denken (vgl. GERHARD 2008, 113).

Seit mehreren Jahren, nicht zuletzt durch die Ergebnisse internationaler Vergleichstests wie PISA, wird in Fachkreisen unter dem Begriff ,,Early Algebra“ diskutiert, ob die Einführung erster Ansätze von Algebra in der Grundschule für die Ausbildung der algebraischen Fähigkeiten in der Sekundarstufe förderlich sein könnte (vgl. HRZÂN; SEFIEN 2009, 16ff.). Hintergrund ist die Tatsache, dass Schülerinnen und Schüler² bei der späten Einführung der Algebra in der Sekundarstufe, deutliche Probleme mit dieser Disziplin haben. LINCHEVSKI und HERSCOVICS (1996) beschreiben den Übergang der Arithmetik zur Algebra als ,,cognitive gap“ (vgl. SPECHT 2009, 20ff). Während sich die Arithmetik den Schülern auf natürliche Weise erschließt, muss sich die Algebra erst zum konkreten Unterrichtsgegenstand etablieren, um von den Schülern verstanden zu werden. Dieses ,,cognitive gap“ widerspricht aber nicht grundsätzlich einer früheren Einführung der Algebra, wie es nach der Stufentheorie von PIAGET der Fall ist. GERHARD (2008) stellt in diesem Zusammenhang die These auf, dass der Erwerb von algebraischen Kenntnissen nicht unbedingt abhängig vom Alter, sondern primär von der Art und Weise, wie Algebra von der entsprechenden Lehrkraft vermittelt wird, sei (vgl. GERHARD 2008, 118). Dies untermauerte auch der russische Didaktiker DAVYDOV durch seine aufschlussreichen Experimente in den Jahren 1964 bis 1967. Er bewies, dass der Einsatz von Variablen viel früher erfolgen kann, nämlich bereits im Grundschulalter. Seine Untersuchungen zeigen, dass dies bis zu einem gewissen Grad sogar noch vor dem Rechnen mit Zahlen möglich ist (vgl. MALLE 1993, 158).

Die nachfolgende wissenschaftliche Hausarbeit im Rahmen des ersten Staatsexamen für das Lehramt an Grundschulen wird sich mit der Early Algebra näher auseinandersetzen und an das im Rahmen meines Studiums belegten Seminars „Heute haben wir mit Buchstaben gerechnet!“, anknüpfen. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der Auswertung von Interviews, die während der Durchführung einer Unterrichtsreihe zum Thema „Heute haben wir mit Buchstaben gerechnet!“ in einer zweiten Jahrgangsklasse einer staatlichen Grundschule aufgezeichnet wurden. Im Zentrum steht dabei die Frage, in wieweit die Schüler ihre aus der Unterrichtseinheit erworbenen algebraischen Methoden auf Textaufgaben übertragen können. Eine besondere Stellung innerhalb dieser Arbeit kommt demnach dem Phänomen des „Transfers“ zu.

Die Arbeit untergliedert sich in vier Kapitel. Die ersten beiden Kapitel werden sich mit den theoretischen Aspekten der Algebra und des Transfers beschäftigen, da diese die Grundlage für die Untersuchung der empirischen Daten bilden. Im Rahmen der theoretischen Beschäftigung mit der Algebra soll aufgezeigt werden, woraus bei vielen Schülern die Schwierigkeiten im Umgang mit der Algebra resultieren und wie diesen möglicherweise entgegengewirkt werden könnte. In diesem Zusammenhang wird die Early Algebra mit ihren unterschiedlichen Perspektiven vorgestellt.

Der theoretische Teil zum Thema Transfer beschäftigt sich mit den unterschiedlichen Arten des Transfers und stellt eine Auswahl der gängigsten Transfertheorien vor. Zudem werden Beurteilungskriterien für mögliche Transferleistungen aufgezeigt, die als Richtlinie für die Auswertung der Interviews maßgebend sind. Im dritten Kapitel geht es dann um die Vorstellung der durchgeführten Unterrichtseinheit. Die Auswertung der Interviews vollzieht sich in Kapitel vier. Bevor jedoch die Analyse beginnt, erfolgt ein theoretischer Einblick in die Methode des angewandten Analyseverfahrens. Das Kapitel endet mit einer Zusammenfassung der Analyseergebnisse sowie einem Ausblick auf weitere Forschungsmöglichkeiten.

II Hauptteil

1 Algebra

Wenn darüber diskutiert wird, ob erste Ansätze von Algebra in der Primarstufe Eingang finden sollten, muss man sich zunächst überlegen, wie Algebra überhaupt definiert wird. Der Fokus wird hierbei auf die elementare Algebra gelegt, also auf die Algebra, die in der Sekundarstufe I unterrichtet wird. Die Strukturalgebra, die zu einer späteren Entwicklungsstufe gezählt wird, wird in dieser Arbeit nicht beleuchtet.

Im Rahmen der theoretischen Beschäftigung mit der Algebra wird zudem auf den Begriff der „Variable“ (1.1) sowie auf die „Variablenaspekte“ (1.1.2) eingegangen. In diesem Zusammenhang werden Probleme, die viele Schüler im Umgang mit Variablen haben, aufgezeigt (1.1.3). Der Abschnitt (1.1.4) wird sich mit dem Phänomen des ,,Umkehrfehlers“ auseinandersetzen. Mögliche Ursachen für die Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen werden in Punkt (1.1.5) herausgearbeitet, bevor im Anschluss auf den Übergang von der Arithmetik zur Algebra (1.1.6) eingegangen wird. Das Kapitel (1.2) wird sich anschließend mit der Early Algebra auseinandersetzen.

Bis heute herrscht kein Konsens darüber, wie Algebra genau zu charakterisieren ist und ob man sie überhaupt so strikt von der Arithmetik trennen kann, wie das bisher im Mathematikunterricht der Fall ist. In der Fachliteratur sind meist nur vorsichtige Eingrenzungen, jedoch keine einheitlichen Definitionen vorzufmden (vgl. SPECHT 2009, 9ff.). Dennoch sollen an dieser Stelle einige Annäherungen an den Begriff vorgestellt werden. Die elementare Algebra ist auch als ,,Schulalgebra“, beziehungsweise als ,,Buchstabenrechen“ bekannt, wobei der Begriff „Buchstabenrechnen“ von einigen Autoren kontrovers diskutiert wird (vgl. BERTALAN 2008, 21). Nach MALLE (1993) zählt beispielsweise alles, was mit Variablen, Termen und Gleichungen auf dem Niveau der Schulmathematik zu tun hat, zur elementaren Algebra (vgl. MALLE 1993, 1). Eine ähnliche Definition wurde 1985 von der ICME³ Gruppe „Algebraic Thinking in the Early Grades“ vorgenommen, wonach Algebra durch den Umgang mit Variablen, der Notation von Variablen, der Arbeit mit Funktionen sowie durch negative Zahlen gekennzeichnet ist. WARREN (2003a) hingegen betont die Darstellung von Zahlen, Mengen, Größen sowie die Beziehung dieser zueinander (vgl. SPECHT 2009, lOff.). Zusammen mit PIERCE hat WARREN seine Definition 2004 erweitert und die Schulalgebra durch das Arbeiten mit Termen, der Vereinfachung von Gleichungen, Textaufgaben, Funktionen und Graphen charakterisiert (vgl. ebd., 13ff.). BELL (1996) integriert gleich mehrere Ansätze und bezeichnet Algebra als ein Mittel, um Verallgemeinerungen vorzunehmen, um Beziehungen und Formeln ausdrücken zu können, zur Lösung von Problemen, zur Bezeichnung von Unbekannten sowie zur Lösung von Gleichungen. HEFENDEHL-HEBEKER (2007) fokussiert das Entdecken von Gesetzmäßigkeiten als primäres Ziel der elementaren Algebra. Für sie stellt die Algebra mehr als eine verallgemeinerte Arithmetik dar. Historisch betrachtet sei sie mit geometrischen Größen näher verbunden als mit algebraischen Symbolen. Zudem betont sie, dass die Schulalgebra durch das Erkennen von Beziehungen zwischen Zahlen und Größen sowie deren Manipulation gekennzeichnet sei (vgl. HEFENDEHL-HEBEKER 2007, 150). Weiterhin beschreibt sie, dass die elementar-algebraische Formelsprache ein Darstellungsmittel sei, das besondere Leistungsfähigkeit aufweise. Neben der Fähigkeit, Gedanken zu materialisieren und diese kommunizierbar zu gestalten, entlaste die geregelte Verwendung der Symbole zugleich die Vorstellung und das Denken. Im Gegenzug weist sie daraufhin, dass Algebra nicht ausschließlich durch den Gebrauch von Symbolen zu charakterisieren sei, da sie Ziele aufweise, die über das symbolische Rechnen hinausgehen. Zusammenfassend formuliert sie, dass Algebra eine Weise sei, anhand derer Beziehungen zwischen Zahlen beziehungsweise Größen dargelegt werden könnten und die Möglichkeit bestünde, diese zu manipulieren (vgl. ebd., 148).

Die oben aufgeführten Inhalte verdeutlichen, dass Algebra aus verschiedenen Perspektiven betrachtet werden kann. Es gibt Autoren, die den Fokus eher auf das Problemlosen, Modellieren, auf das Lösen, Aufstellen und Interpretieren von Funktionen, auf Verallgemeinerungen oder das Erkennen von Beziehungen und Strukturen legen. Je nachdem wie der Schwerpunkt gesetzt wird, stehen somit auch unterschiedliche Inhalte im Zentrum des Unterrichtsgeschehens. Allen Perspektiven gemein ist jedoch die Tatsache, dass algebraische Handlungen vom Lernenden verstanden werden müssen, um die elementare Algebra erfolgreich bestreiten zu können (vgl. SPECHT 2009, 14ff.).

Als Grundlage für die vorliegende Arbeit wird das Verständnis von Algebra von HEFENDEHL-HEBEKER (2007) herangezogen, da sie die Algebra durch die Integration mehrerer Ansätze recht allgemein und umfassend beschreibt und auf die Beziehung zu den geometrischen Größen hinweist. Auch im Rahmen der Unterrichtseinheit wurde sich für einen geometrischen Einstieg, in Anlehnung an das Measure-Up-Programm, entschieden. Dies wird jedoch in Kapitel 3 noch näher behandelt.

1.1 Variablen

Während den meisten Menschen der Begriff „Variable“ bekannt ist, ist eine allgemein gültige Begriffsdefinition, bei der alle Variablenaspekte berücksichtigt werden, bislang noch nicht gelungen. MALLE (1993) findet hierfür die passenden Worte in dem er den Variablenbegriff als „schillernd“ und zu „aspektreich“ beschreibt um ihn hinreichend darstellen zu können (vgl. MALLE 1993, 44). In der mathematischen Fachliteratur werden Variablen daher meist nur verwendet und in den seltensten Fällen versucht zu definieren, obwohl sie eine besondere Stellung innerhalb der Mathematik und vor allem im Bereich der Algebra einnehmen. Unter anderem werden sie zur Abstraktion von Wissen, zur Repräsentation von mentalen Objekten sowie zur Kommunikation von mathematischen Ideen und Begründungen benötigt. Auch sind sie ein Mittel zur allgemeinen Darstellung von Sachverhalten. MALLE (1993) beschreibt sie zusätzlich als Werkzeug für Verallgemeinerungen (vgl. SPECHT 2009, 1).

Variablen finden sich in zahlreichen Situationen und lassen sich nicht nur auf den Mathematikunterricht reduzieren. So findet man sie beispielsweise in der Umgangssprache bei Worten wie „Ding“ oder „Sache“. Solche sprachlichen Variablen sind den Schülern bereits aus ihrem sprachlichen Umfeld bekannt. Probleme treten in der Regel lediglich im Zusammenhang mit Buchstabenvariablen auf (vgl. MALLE 1993, 44).

1.1.1 Variablenaspekte

„Variablen haben viele Gesichter“, heißt es bei BARZEL und HERGET (2006) (vgl. BARZEL; HERGET 2006, 5). Diese Ansicht soll im Folgenden Abschnitt durch die Vorstellung der Variablenaspekte nach MALLE (1993) aufgegriffen werden.

Weitere Variablenaspekte finden sich unter anderem bei WARREN (1999), FREUDENTHAL (1983,1973), KÜCHEMANN (1978), USISKIN (1988) und GRIESEL (1982). SPECHT (2009) unterscheidet zusätzlich zwischen Variablenauffassungen und Variablenaspekten (vgl. SPECHT 2009, 27ff).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.l (MALLE 1986,3).

Die Aufgabenbeispiele zeigen, dass in allen drei Aufgaben die Variable x verwendet winde. Betrachtet man sich diese genauer lässt sich feststellen, dass sie jeweils unterschiedliche Bedeutungen hat. Wählend sie in der ersten Aufgabe eine unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl darstellt, verwendet der zweite Schüler die Variable x als Platzhalter für Zahlen, beziehungsweise als eine Leerstelle, in die man Zahlen einsetzen darf. Schaut man sich hingegen das dritte Aufgabenbeispiel an wird deutlich, dass sie hier vermutlich als Symbol verwendet wird dessen Bedeutung zunächst nicht relevant ist, weil der Schüler hier nach gewissen Regeln operiert (vgl. MALLE 1986, 3).

MALLE (1993) unterscheidet in diesem Siime drei Variablenaspekte: den „Gegenstandsaspekt", den „Eimetzimgsaspekt “ und den ,J£alkülaspekt“.

Nach dem Gegenstandsaspekt werden Variablen als unbekannte oder auch als nicht präzise zu bestimmende Zahlen (beziehungsweise als andere Objekte) aufgefasst. Der Einsetzungsaspekt betont die Funktion des ,rPlatzhalters“ für Zahlen oder Objekte. Letzterer stellt Variablen als „bedeutungslose Objekte “ in den Vordergrund, mit denen nach festgelegten Regeln operiert werden kann (vgl. MALLE 1993, 46ff). Die drei Aspekte von Variablen lassen sich auf leime und Gleichungen übertragen (vgl. MALLE 1986, 4). Eine anschauliche Übersicht dazu bietet die folgende Tabelle:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2 (MALLE 1986, 4).

Während der Gegenstandsaspekt als ein eher inhaltlicher Aspekt von Variablen zu betrachten ist, handelt es sich bei den beiden anderen Aspekten um formelle Aspekte. Geschichtlich betrachtet dominierte in älteren Schulbüchern hauptsächlich der Gegenstandsaspekt. Durch die Entwicklungen der „Neuen Mathematik■“ in den sechziger und siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts, winde dieser jedoch förmlich in den Hintergrund gedrängt und durch den Einsetzungsaspekt ersetzt. Der Kalkülaspekt wird dagegen in den Schulbüchern so gut wie nie erwähnt, dennoch behandeln Schüler Variablen häufig nach diesem Aspekt (vgl. FISCHER: MALLE 2004, 4Iff).

Anders als andere Autoren plädieren FISCHER und MALLE (2004) dafür, den Gegenstandsaspekt im Anfangsunterricht der Algebra in den Vordergrund zu stellen, da anhand dessen der inhaltliche Aspekt, mit dem die meisten Schüler Schwierigkeiten haben, betont werden kann (vgl. ebd., 41ff.).

Bei den durchgeführten Interviews, die in Kapitel 3 näher beschrieben werden, stand in Anlehnung an MALLE und FISCHER (2004) daher primär der Gegenstandsaspekt im Vordergrund. Ein Vorteil des Gegenstandsaspektes besteht unter anderem darin, dass er weder Regelwissen, noch Begriffe wie „Platzhalter“ benötigt, um mit den Buchstaben operieren zu können. MALLE (1986) ist der Auffassung, dass sich der Gegenstandsaspekt aus dem vertrauten Zahlenrechnen heraus ergibt (vgl. MALLE 1986, 4).

1.1.2 Der Umgang mit Variablen

MALLE (1993) vermutet aufgrund zahlreicher durchgeführter Interviews und schriftlicher Befragungen, dass rund die Hälfte aller Schüler Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen hat (vgl. MALLE 1993, 3). Diese Defizite gingen auch aus den schlechten Ergebnissen der PISA-Studie hervor, die die deutschen Schüler im Bereich der Algebra aufwiesen (vgl. SCHWEBINGHAUS 2008, 20ff).

Einige Autoren sehen die unzureichende kognitive Entwicklung als Ursache für die auftretenden Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen, andere wiederum führen die Schwierigkeiten auf die späte Einführung der Algebra zurück. Um mögliche Ursachen für die Entstehung der Probleme zu finden, soll zunächst zwischen dem ,.formalen (syntaktischen) Aspekt “ von Variablen und dem ,,inhaltlichen (semantischen) Aspekt“ von Variablen unterschieden werden.

Der formale Aspekt umfasst im Wesentlichen das Umformen von Termen und das Lösen von Gleichungen. Der inhaltliche Aspekt hingegen umgreift das Aufstellen und Interpretieren von Termen und Gleichungen (vgl. FISCHER; MALLE 2004, 33). Jeder der beiden Aspekte bereitet dem Lernenden auf seine Art und Weise Schwierigkeiten. Die größten Probleme zeigen sich jedoch im Umgang mit dem inhaltlichen Aspekt. Diese Tatsache geht vor allem aus dem bekannten ,,Umkehrfehler“ hervor, der 1980 von den beiden amerikanischen Mathematikdidaktikern ROSNICK und CLEMENT (1980) durch eine Untersuchung zur Übersetzung von Texten in Formeln publiziert wurde. Was dieser beinhaltet, soll im Folgenden kurz erläutert werden (vgl. MALLE 1993, 93ff.).

1.1.3 Der Umkehrfehler

ROSNIK und CLEMENT (1980) setzten sich mit dem Phänomen des „Umkehrfehlers“ näher auseinander. Sie führten Untersuchungen durch, in denen es um die Übersetzung von Texten in Formeln und den umgekehrten Fall ging. Dazu bekamen Versuchspersonen, unterschiedlichen Alters (Studenten verschiedener Studienrichtungen) Aufgaben vorgelegt, die dem folgenden Aufgabentypus entsprachen:

„Es sei S die Anzahl der Studenten undP die Anzahl der Professoren an einer Universität. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung mit Hilfe von S und P aus!“ (FISCHER; MALLE 2004, 34)

Das Ergebnis der Untersuchung lautete, dass etwa nur 60% der Befragten die Aufgabe korrekt lösen konnten. Für die Personen, die die Aufgabe falsch lösten, war folgendes Fehlermuster charakteristisch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zunächst glaubte man, der Umkehrfehler sei auf eine nachlässige Fehlinterpretation zurückzuführen. Der Versuch der Interviewer, diesen Denkfehler bei den Studenten zu korrigieren, hatte jedoch wenig Erfolg. Dies zeigte sich vor allem darin, dass bei ähnlichen Aufgaben derselbe Fehler erneut vorgefunden werden konnte. Damit stellte sich heraus, dass das Grundverständnis von Variablen bei den meisten Studenten nicht vorhanden war. So war ihnen beispielsweise nicht klar, dass die Variablen als Anzahl der Professoren und Studenten zu deuten und nicht als Abkürzung für die jeweiligen Personenbezeichnungen anzusehen sind (vgl. ebd., 33ff.).

Weitere Interviews, unter anderem von ROSNICK und CLEMENT (1980), unterstreichen diese Defizite, die Schüler, Studenten aber auch Menschen aus verschieden Berufsgruppen im Bereich der Algebra haben. Dabei liegt den oben genannten Aufgaben kein schwerwiegendes mathematisches Problem zugrunde; selbst die Variablenbezeichnungen und ihre Bedeutungen wurden bei diesen Aufgabentypen mit angegeben (vgl. FISCHER; MALLE 2004, 33ff.). Wie es dennoch dazu kommt, dass derartige Defizite im Umgang mit Algebra kein Ausnahmefall sind, soll im nächsten Abschnitt erörtert werden.

1.1.4 Mögliche Ursachen für die Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen

Sowohl ROSNICK und CLEMENT (1980), als auch MALLE (1993) führen die Defizite im algebraischen Denken vieler Schüler und Erwachsener unter anderem darauf zurück, dass die Versuchspersonen ein falsches Verständnis von Variablen, Termen und Gleichungen erworben haben. Eine mögliche Erklärung dafür finden sie im derzeitigen Mathematikunterricht, der solche Aufgaben nicht integriert. Der gegenwärtige Unterricht der elementaren Algebra stellt hauptsächlich den formalen Aspekt in den Mittelpunkt des Unterrichtsgeschehens (vgl. ebd., 34ff.). Das Umformen von Termen und Gleichungen, ohne diese mit Inhalt zu füllen, dominiert dabei (vgl. MALLE 1993, 15). Nach FISCHER und MALLE (2004) führt dies dazu, dass der Formalismus für die Schüler zum reinen ,,Selbstzweck wird. Zahlreiche Gespräche mit unterschiedlichen Schülern bestätigten sie in ihrer Vermutung, dass das Umformen von Termen und Gleichungen lediglich ein „Spiet darstellt, dessen Regeln mehr oder weniger willkürlich sind. Auch zeigte sich, dass das Buchstabenrechnen häufig noch nicht einmal mit dem Zahlenrechnen in Verbindung gebracht werden konnte. So beeindruckten numerische Gegenbeispiele zu den angegebenen Termen die Schüler in keinster Weise (vgl. FISCHER; MALLE 2004, 34ff.). Zudem kann eine fehlende Abgrenzung der Variablen gegenüber anderen Bereichen in denen im Mathematikunterricht Buchstaben verwendet werden, eine Einschränkung der Ausbildung des Variablenbegriffs hervorrufen (vgl. BERTALAN 2008, 33). Ein weiteres Problem besteht in der Tatsache, dass bis zur Reformbewegung der „Neuen Mathematik“ in den sechziger und siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts, keine allgemein geltende und ausgereifte Didaktik der elementaren Algebra vorhanden war. Um Gleichungen und Terme umstellen zu können, lehrten die Lehrkräfte ihren Schülern zahlreiche Regeln, die sie durch zahllose Übungsaufgaben zu festigen versuchten. MALLE (1993) spricht in diesem Zusammenhang von einer zugrundeliegenden Lernauffassung im Sinne einer ,,Übungsideologie“. Dieser Gedanke ist auch heute noch bei vielen Mathematiklehrern verankert, obgleich jeder Lehrer früher oder später realisiert, dass das stupide Üben zu keinem nachhaltigen Erfolg führt. Im Gegenteil, die Schüler festigen ihre Fehlerstruktur und verinnerlichen falsche Denkstrukturen, die sich im Nachhinein nur schwer wieder korrigieren lassen. Aber nicht nur das stereotype Üben erweist sich als Problem, sondern auch die Tatsache, dass der Unterricht größtenteils unreflektiert erfolgt. Außerdem nehmen die Lehrenden zu wenig Rücksicht auf das, was die Schüler in ihrer späteren Schullaufbahn tatsächlich benötigen und wissen müssen. MALLE (1993) kritisiert in diesem Kontext die Argumente zahlreicher Lehrer, dass Schweres geübt werden muss, um Leichtes zu verstehen. Dadurch verlieren die Schüler seines Erachtens den Blick auf das Einfache und Grundsätzliche (vgl. MALLE 1993, 22ff.).

Als eine weitere Ursache für die Schwierigkeiten im Umgang mit Variablen sind die Unterschiede zwischen Algebra und Arithmetik sowie der Übergang von einem zum anderen zu nennen. So erweist sich beispielsweise der Übergang von der Arithmetik zur Algebra als schwierig, da das Übertragen der arithmetischen Strukturen auf algebraische Kontexte nicht einfach ist. In diesem Zusammenhang sprechen FILLOY und ROJANO (1985) von einem ,,didactical cut. LINCHEVSKI (2001) hingegen verwendet den Begriff ,,cognitivegap“ (vgl. SPECHT 2009, 21ff).

Hinzu kommt, dass Schüler häufig keinen Zusammenhang zwischen dem Rechnen mit Zahlen und dem Rechnen mit Buchstaben sehen. Daher setzen sie auch in den wenigsten Fällen zur Kontrolle ihrer aufgestellten Gleichung Zahlen für die Buchstaben ein (vgl. MALLE 1986, 10). Auffällig ist auch, dass viele Schüler Probleme mit der Bedeutung des Gleichheitszeichens haben. So verwenden sie es in der Regel lediglich als Synonym für: „ist gleich“ (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN2007, 370).

Ein fehlerhaftes oder lückenhaftes Verständnis von Arithmetik beim Übergang zur Algebra kann demnach Schwierigkeiten beim Umgang mit Algebra hervorrufen (vgl. SPECHT 2009, 18ff.). Dieser Auffassung ist auch BOOT (1988). Er argumentiert, dass die Schwierigkeiten der Schüler nicht durch die Probleme mit der Algebra selbst hervorgerufen werden, sondern vielmehr auf Probleme mit der Arithmetik, die nicht korrigiert wurden und sich deshalb auf die Algebra übertragen, zurückzuführen sind (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN 2007, 675). Weiterhin sind die Unterschiede zwischen der Alltagssprache, der Fachsprache und der Symbolsprache als eine mögliche Ursache für die Schwierigkeiten zu nennen. Sowohl die Wortstellung als auch die Objekt-Zahl-Verwechslung bereitet den Schülern Probleme, wie aus der Studenten-Professoren Aufgabe hervorgeht. Möglicherweise stellt auch die späte Einführung der Algebra in Klasse sieben, beziehungsweise in Klasse sechs, ein Indiz für die aufkommenden Schwierigkeiten dar (vgl. SPECHT 2009, 19ff).

Die oben aufgeführten Hypothesen zeigen, dass es zahlreiche mögliche Ursachen gibt. Sicherlich ist in den meisten Fällen ein Zusammenwirken mehrere Ursachen ausschlaggebend für die auftretenden Defizite. Festgehalten werden kann jedoch, dass dem Übergang von der Arithmetik zur Algebra eine entscheidende Rolle zukommt und dieser in Zukunft überdacht und verändert werden muss, um Defiziten im Zusammenhang mit der Algebra entgegenzuwirken. Dies soll nun im folgenden Abschnitt thematisiert werden.

1.1.5 Der Übergang von der Arithmetik zur Algebra

Wo hört Arithmetik auf und wo fängt Algebra an? Eine Frage, die kontrovers diskutiert wird und bislang noch nicht umfassend geklärt werden konnte. Teilweise geht man davon aus, dass algebraisches Denken als eine Verallgemeinerung der Arithmetik aufzufassen sei. Der Unterschied bestehe lediglich im Auswechseln der Zahlen durch Buchstaben. Diese Auffassung gilt jedoch als überholt, da man sich mittlerweile einig ist, dass auch in reinen Zahlenkontexten algebraisch gearbeitet werden kann (vgl. SPECHT 2009, 20ff).

Demnach lässt sich festhalten, dass eine klare Trennung vom Ende der Arithmetik und dem Beginn der Algebra derzeit nicht möglich ist, wenn auch die Forschung stetig bemüht ist, diese Schwierigkeit zu überwinden. Dass Probleme im Umgang mit Algebra jedoch aus den Unterschieden zwischen den Disziplinen Arithmetik und Algebra resultieren können, konnte im vorangegangenen Punkt verdeutlicht werden. Wie bereits erwähnt, bezeichnen einige Autoren die Überwindung dieser Hürde als ,,didactical cut'. So argumentieren FILLOY und ROJANO (1985,1984), dass der ,,didactical cut“ auf einen Bruch zurückzuführen sei, der sich bei der Entwicklung der Fähigkeit mit Unbekannten zu operieren, vollzieht. Der ,,didactical cut“ stellt dabei die Probleme, die beim Lernen und Lehren der Arithmetik und Algebra entstehen, ins Zentrum. LINCHVESKI und HERSCOVICS (1996) hingegen sprechen von einem ,,cognitive gap“. Das ,,cognitive gap“ beschränkt sich nicht nur auf das Operieren mit Unbekannten, sondern tritt auch in anderen Situationen auf. Zu nennen sind Probleme bei der Übersetzung von Aufgaben in die Symbolsprache, die zeichnerische Umsetzung der Funktionen in Graphen, die Umsetzung in Tabellenform sowie die Umsetzung in adäquate Gleichungen (vgl. SPECHT 2009, 20ff.).

Beide Ansätze vermuten, dass der Bruch in einem Zusammenhang mit der Fähigkeit zum Operieren mit Variablen steht (vgl. ebd., 22ff.). Wie bereits in der Einleitung erwähnt, geht GERHARD (2008) davon aus, dass das ,,cognitive gap“ einer frühen Einführung der Algebra nicht grundsätzlich widerspricht. Möglicherweise kann eine frühe Einführung der Algebra den oben genannten Schwierigkeiten sogar entgegenwirken. Was unter der Early Algebra verstanden wird und welche unterschiedlichen Formen es gibt, soll im nächsten Abschnitt herausgearbeitet werden.

1.2 Early Algebra

Die Frühe Algebra, im internationalen Sprachgebrauch als ,,Early Algebra“ bezeichnet, lässt sich historisch gesehen in zwei Perspektiven unterscheiden. Viele Jahre bezog sie sich auf den Zeitpunkt, an dem die Schüler zum ersten Mal mit Algebra konfrontiert wurden. Aufgrund der Tradition und der weit verbreiteten Auffassung, dass Kinder erst mit einem Alter von zwölf Jahren in das Stadium der formalen Operation übergehen, in der sie erst in der Lage sind, algebraisch zu denken, kommen Schüler in vielen Ländern erst ab Klasse sieben, beziehungsweise Klasse sechs, mit Algebra in Kontakt. Die neuere Sichtweise hingegen umgreift die Idee, das algebraische Denken bereits vor dem 12. Lebensjahr zu vermitteln (vgl. SPECHT 2009, 45).

Hierbei lassen sich zwei unterschiedliche Ansätze beobachten:

1.2.1 Pre-Algebra

Bei der Pre-Algebra“ wird der Schwerpunkt auf den Übergang zwischen Arithmetik und Algebra gelegt. Hier wird versucht, durch spezielle Interventionen bereits vor dem eigentlichen Algebra-Unterricht gezielte Förderungsmaßnahmen zu treffen, um somit den plötzlichen Übergang von der Arithmetik zur Algebra zu entschärfen. Pre-algebraische Ansätze versuchen den Gebrauch und die Bedeutung der mathematischen Symbole zu erweitern, beziehungsweise neu zu definieren. Die Begründung liegt darin, dass eine sorgfältige Einführung erster algebraischer Ansätze vor der eigentlichen Einführung in Klasse sieben, beziehungsweise Klasse sechs, den Schülern möglicherweise helfen könnte, die Schwierigkeiten, die sich im Rahmen der Algebra offenbaren, abzubauen, beziehungsweise zu verringern. Dieser Gedanke resultiert aus der Auffassung, dass die genannten Schwierigkeiten aufgrund der anhaftenden Unterschiede zwischen Arithmetik und Algebra entstehen (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN2007, 674ff).

1.2.2 Early-Algebra

Bei der ,,Early Algebra“ hingegen wird die Arithmetik als Teil der Algebra angesehen. Dass viele Schüler Probleme im Umgang mit der Algebra haben, führt dieser Ansatz unter anderem auf die Tatsache zurück, dass der Arithmetik-Unterricht zu lange ohne die Integration von algebraischen Elementen stattfindet. Die Early Algebra integriert deshalb Inhalte aus dem Algebra-Unterricht in den Arithmetik-Unterricht. Zum Teil setzt sie den Algebra-Unterricht sogar noch vor den Arithmetik-Unterricht an, wie aus Projekten des russischen Didaktikers DAVYDOV im nachfolgenden Kapitel hervorgeht(vgl. ebd.,675ff).

Nach HOWE (2005) sind die Arithmetik und die Algebra nicht zwei grundsätzlich verschiedene Disziplinen und sollten demnach auch nicht so strikt getrennt werden, wie es bisher im Schulsystem der Fall ist. Vielmehr sollte angestrebt werden beide Disziplinen ineinander übergehen zu lassen, zumal die Arithmetik algebraischen Charakter aufweise (vgl. ebd., 669).

1.2.2.1 Das „Measure -Up-Programm“

Das Measure-Up-Programm schlägt einen ungewöhnlichen Weg innerhalb der Early Algebra ein. Es basiert auf einem Unterrichtsversuch von DAVYDOV aus den sechziger Jahren (vgl. DOUGHTERY 2008, 391ff.). DAVYDOV stützte sich im Rahmen seines Unterrichtsversuches auf die Arbeit von VYGOTSKI (1934/1987), der grundsätzlich das Lehren von abstrakten und allgemeinen Inhalten ins Zentrum des Unterrichtsgeschehens stellt. Entgegen der Stufentheorie nach PIAGET argumentiert VYGOTSKI, dass das Lernen die Entwicklung leite und nicht umgekehrt. DAVYDOY setzte diese Gedanken um und führte einen Unterrichtsversuch durch, bei dem Grundschulkinder noch vor dem Rechnen mit Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen untersuchten. Im Rahmen dessen verglichen sie die Länge und Größe von verschiedenen Objekten und erstellten, durch die Verwendung von größer/kleiner Zeichen, Ungleichungen. Diese wurden anschließend durch die Verwendung von Buchstaben abstrahiert und schriftlich festgehalten, (vgl. SPECHT 2009, 56). Der recht bizarre Einstieg resultierte aus dem Grundgedanken, dass Schüler nur dann Erfolg in der Mathematik haben können, wenn sie grundlegende Zusammenhänge verstanden haben. Dies sei aufgrund der desolaten Beschäftigung mit den natürlichen und ganzen Zahlen nach DAVYDOV und seinen Kollegen nicht möglich.

Das Measure-Up-Programm geht davon aus, dass der Blick von Schülern der ersten Klasse sehr stark auf das Messen und Vergleichen von Mengen und Objekten gerichtet ist. Ganz intuitiv vergleichen sie Objekte miteinander und beschäftigen sich mit Fragen, wie: „Wer hat mehr, weniger oder gleich viel“ (vgl. DOUGHTERRY 2008, 390ff.).

Für DAVYDOV und Kollegen stellt die intuitive Annäherung an das Messen die Basis für die Entwicklung des Zahlenverständnisses dar. Sie bezeichnen diese Phase auch als „prenumeric stagë\ in der die Schüler mit konkreten Objekten wie Flächen, Länge, Volumen und Maßen noch vor den abstrakten Zahlen arbeiten (vgl. ebd., 390ff.).

Durch das Measure-Up-Programmm erwerben Schüler die Fähigkeit, Eigenschaften von bestimmten Objekten zu beschreiben, sie symbolisch zu notieren und deren Beziehungen zueinander auf mathematische Weise zu analysieren (vgl. SPECHT 2009, 56).

1.2.2.2 Zielsetzung der Early Algebra

James KAPUT ist der Auffassung, dass eine Einführung erster algebraischer Methoden in der Primarstufe erhebliche Vorteile mit sich bringt. Zum einen ist er der Ansicht, dass die Schüler dadurch frühzeitig befähigt werden Zusammenhänge zu erkennen, zum anderen erlangen sie seines Erachtens dadurch die Fähigkeit, eine tiefere Einsicht in mathematische Strukturen zu gewinnen, die wiederum für den späteren, meist abrupten und völlig isolierten Einstieg in die Algebra von Vorteil sein könnten (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN 2007, 669).

Befürworter der Early Algebra argumentieren zudem, dass die Inhalte des Mathematikunterrichtes in der Primarstufe zum Teil tieferes, arithmetisches Verständnis erfordern, das wiederum algebraischer Natur sei und nur durch algebraisches Denken zu bewältigen wäre. So betont SIEGLER (2001), dass das Lernen algebraischer Fähigkeiten das mathematische Verständnis der Schüler enorm stärkt. Er sieht den Vorteil vor allem in der Arbeit mit Gleichungen, die den Schülern die Möglichkeit eröffnen eine Vielzahl unterschiedlicher Situationen darzustellen und zu durchdenken (vgl. ebd., 671ff).

Dass der derzeitige Algebra-Unterricht, wie er in Klasse sieben, beziehungsweise in Klasse sechs, eingeführt wirdjedoch nicht einfach auf die Primarstufe herunter gebrochen werden kann, ist unverkennbar. Vielmehr benötigt er eine neue Definition. Dabei geht es auch nicht darum, komplexe algebraische Aufgaben von Grundschulkindern lösen zu lassen, sondern im Vordergrund steht primär die Entwicklung eines algebraischen Denkens (vgl. ebd., 671).

Erste Untersuchungen, in denen Grundschulkinder mit unterschiedlichen „Knobelaufgaben“ konfrontiert wurden, zeigen, dass ihre Lösungsansätze zum Teil algebraische Elemente aufweisen (vgl. HRZÂN; SEFIEN 2009, 16ff.). Dieser Meinung sind auch LINS und KAPUT (2004). Sie vermuten, dass jüngere Kinder, insbesondere mit entsprechender Unterrichtung, zu algebraischem Denken fähig sind (vgl. ebd., 669ff.). In diesem Zusammenhang möchte ich auf ein Zitat von DAVYDOY (1975b) zurückgreifen:

„There is nothing about the intellectual capabilities ofprimary schoolchildren to hinder the algebraization of elementary mathematics. In fact, such an approach helps to bring out and to increase these 'very capabilities children havefor learning mathematics” (DAVYDOV 1975b, 202).

Damit argumentiert er, dass die kognitiven Ressourcen grundsätzlich nicht gegen einen frühen Einsatz der Early Algebra sprechen. Im Gegenteil, er sieht in der Early Algebra sogar Vorteile für das gesamte mathematische Verständnis der Schüler. Möglicherweise ist die frühe Beschäftigung mit der Algebra hilfreich, um sie von Anfang an besser zu verstehen und nachvollziehen zu können.

Aufgrund der Tatsache, dass die Forschungen bezüglich der Early Algebra noch in den Anfängen sind, besteht jedoch noch keine Einigkeit darüber, was ein mögliches Algebra-Curriculum für die Grundschule beinhalten könnte und welche Fähigkeiten im Rahmen der Early Algebra am Ende der Grundschulzeit sichergestellt sein sollten (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN 2007, 673).

Für eine mögliche Einführung der frühen Algebra gibt es jedoch, wie bereits erwähnt, verschiedene Ansätze. So können „Muster, Funktionen, Beziehungen, Sprache, Darstellungen, Strukturen basierend auf1verallgemeinerter Arithmetik oder Algebra als Werkzeug zur Modellierung mathematischer Ideen und Probleme im Vordergrund stehen“ (SPECHT 2009, 45ff.). Der AlgebraUnterricht muss auch nicht zwingend mit Buchstaben erfolgen. Die klassische algebraische Notation ist nämlich nicht der einzige „Motor“, um algebraische Erfahrungen zu machen. Die Arbeit mit Tabellen, Graphen, speziellen linguistischen Strukturen oder Aufgaben, die die Bedeutung des Gleichheitszeichens nicht nur als „ist gleich“ betonen, stellen ebenfalls gute Möglichkeiten dar, um erste Erfahrungen mit Algebra zu sammeln. BODANSKII (1991) argumentiert zudem, dass sich durch die Kenntnis von algebraischen Methoden Probleme auf einem wesentlich natürlicheren Weg lösen lassen (vgl. CARRAHER; SCHLIEMANN 2007, 671ff).

Laut den hessischen Bildungsstandards für den Mathematikunterricht im Primarbereich, ist das Ziel des Mathematikunterrichtes die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte (vgl. KMK 2004, 6). Dies ist meines Erachtens nur möglich, wenn das Erkennen von Zusammenhängen und Mustern im Zentrum des Unterrichtsgeschehens steht. Die Early Algebra kann in meinen Augen einen Beitrag dahingehend leisten.

Die im späteren Teil der Arbeit vorgestellten Interviews werden überprüfen, inwiefern Schüler einer zweiten Klasse in der Lage sind, algebraische Methoden anzuwenden und ob sie diese erfolgreich auf einen neuen Sachverhalt transferieren können.

2 Transfer

Da bei der Auswertung der Interviews die Überprüfung der Transferfähigkeit algebraischer Methoden im Zentrum steht, muss zunächst auch für diesen Aspekt eine theoretische Grundlage geschaffen werden. Das nachfolgende Kapitel wird sich demnach mit dem Phänomen des „Transfers“ näher auseinandersetzen.

Zunächst wird eine Begriffsdefmition (2.1) vorgenommen, bevor im Anschluss unterschiedliche Arten des Transfers vorgestellt werden (2.2) und die Entwicklung unterschiedlicher Transfertheorien (2.3) aufgezeigt wird. Um zu verstehen, warum ein Großteil der Schüler Probleme beim Transfer von bereits Gelerntem auf neue Situationen zeigen, wird zudem auf die Schwierigkeiten des Transfers eingegangen (2.4). Daraus leiten sich gleichzeitig die didaktischen Maßnahmen für den Unterricht ab (2.5). Das Kapitel endet mit Hinweisen zur Beurteilung von Transferleistungen (2.6), die zugleich als Leitfaden für die Analyse der Interviews gelten.

2.1 Begriffsdefinition

In der Kognitionspsychologie geht man davon aus, dass das, was einmal gelernt wurde, Einfluss auf weitere Lernprozesse hat. In der entsprechenden Fachliteratur wird im Rahmen dessen von „Lernübertragung“, ,,Übungsübertragung,,Lerntransfer“ sowie von der abgekürzten Form des „Transfers“ gesprochen (vgl. FORTMÜLLER 1991, 1).

Der Begriff „Transfer“ stammt aus dem Englischen und lässt sich ins Deutsche durch das Verb „übertragen“ übersetzen. Geprägt wurde er vor allem durch den amerikanischen Psychologen Edward Lee Thorndike, der 1906 vom „Transfer of Training“ sprach (vgl. ODENBACH 1980, 414). Eine einheitliche Begriffsdefmition gibt es bislang nicht, so dass zunächst einige Definitionen vorgestellt werden:

- „...die Beeinflussung späteren Lernens durch vorausgegangene Lernerfahrungen und dasErgebnis dieses Vorganges...“ (WEINERT 1974, 687).
- „Allgemeine Bezeichnung für den Einfluss, den ein bereits erlerntes Material (1) auf das Lernen eines darauffolgenden Materials (2) hat“ fGYMNICH 1999, S.113).
- jede Art der Einwirkung von früher Gelerntem auf neue Situationen“ (JÖRGER 1976, 117).
- „Der Transfer des Lernens ist der Einfluss einer früher gelernten Verhaltensform auf das Aufnehmen, die Darstellung oder die Wiederholung einerzweiten Verhaltensform“ (CORELL 1971,201).

Während die ersten drei Definitionen den Einfluss des vorab Gelernten auf eine neue Lernsituation ins Zentrum stellen, geht es CORELL (1971) in seiner Definition vielmehr um die Übertragung des Gelernten auf irgendeine Tätigkeit, die erneut eine Lerntätigkeit aber auch eine andere Verhaltensweise darstellen kann.

Für die Auswertung der Interviews ist es von Bedeutung, ob die Schüler ihr bereits erworbenes Wissen auf einen anderen Lembereich anwenden können. Der Transfer bezieht sich in diesem Fall folglich auf eine konkrete Lernsituation. Er orientiert sich an den Definitionen nach WEINERT (1974), GYMNICH (1999) und JÖRGER (1976), die die Übertragung des Gelernten auf eine neue Lerntätigkeit ins Zentrum stellen.

2.2 Unterschiedliche Arten von Transfer

2.2.1 Kognitiver und emotionaler Transfer

Innerhalb der Pädagogik wird zwischen ,,kognitivem“ und ,,emotionalem“ Transfer unterschieden. Kognitiver Transfer beinhaltet die Übertragung von Kenntnissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten. Emotionaler Transfer hingegen die Übertragung von Einstellungen und Werthaltungen (vgl. OCHSNER 1975, 67). Ähnlich wie in der Pädagogik findet auch in der Psychologie eine Trennung der kognitiven und emotionalen Komponenten der geistigen Tätigkeit des Menschen statt, dennoch gibt es zahlreiche ,,grenzüberschreitende“ Ansätze. Damit sind Ansätze gemeint, die bestimmte Reaktionen in Problemsituationen auf emotionale Dispositionen zurückführen. Anders als bei den reinen emotions-, beziehungsweise kognitionstheoretischen Modellen, berücksichtigen diese Wechselwirkungen (vgl. FORTMÜLLER 1991, 15).

Bei der zu erbringenden Transferleistung im Rahmen der Unterrichtseinheit standen primär kognitive Fähigkeiten im Vordergrund, wobei meines Erachtens ein enger Zusammenhang zwischen beiden besteht. Damit knüpfe ich an die Ansätze der Psychologie an und vertrete die Auffassung, dass mit einem kognitiven Transfer gleichzeitig auch ein emotionaler Transfer einhergeht, da mit dem Erwerb von Fähigkeiten und der Einsicht in die Strukturen bestimmter Aufgabentypen auch immer eine Veränderung der persönlichen Einstellung gegenüber neuen, beziehungsweise unbekannten Aufgaben verbunden ist. Daher wäre es in meinen Augen sinnvoller, generell von einem emotional-kognitiven Transfer zu sprechen.

2.2.2 Positiver, negativer und Nulltransfer

Bei der Beeinflussung durch das Gelernte auf neue Situationen, ist zusätzlich zwischen einer positiven, negativen und einer null Beeinflussung zu unterscheiden.

Ein „positiver Transfer“ liegt immer dann vor, wenn der Lernende durch vorausgegangene Lernerfahrungen in seinem Lernen positiv beeinflusst wird. Er löst also beispielweise eine neue Aufgabe leichter oder schneller als vorher. ,,Negativer Transfer“ ist eingetreten, wenn die vorausgegangenen Lernerfahrungen den Lernenden bei der Lösung einer neuen Aufgabe in irgendeiner Form behindert, beziehungsweise beeinträchtigt haben. Von negativem Transfer wird auch dann gesprochen, wenn die Anwendung des Gelernten nicht zu falschen, jedoch zu wesentlich umständlicheren Lösungen geführt hat. Beim „Nulltransfer“ ist keinerlei Beeinflussung durch vorab Gelerntes aufNeues festzustellen (vgl. FORTMÜLLER 1991, 9).

2.2.2.1 Dimensionen des positiven Lerntransfers

Der positive Lemtransfer kann zudem hinsichtlich weiterer Dimensionen unterschieden werden:

(1) Lateraler Transfer

Der „ laterale Transfer“ zeichnet sich dadurch aus, dass der Lernende in der Lage ist, unterschiedliche Aufgaben, die jedoch derselben Komplexität entsprechen, zu lösen. Bezogen auf die Mathematik bedeutet dies beispielsweise, dass ein Kind, das die Subtraktion durch eine Rechenmaschine lernt, auch Subtraktionsaufgaben lösen kann, die mit Hilfe von Bauklötzen gelöst werden sollen (vgl. MAHLER; STERN 2006, 783).

(2) Figuraler Transfer

Der Jigurale Transfer“ baut auf die Annahme auf, dass Übertragungsleistungen aufgrund von Analogie-Schlüssen stattfinden. Der Lernende überträgt bereits vermittelte Fertigkeiten auf neue Problemstellungen. Ein figuraler Transfer innerhalb der Mathematik liegt beispielsweise vor, wenn der Lernende sich aus den bereits erworbenen Regeln für das schriftliche Addieren die Regeln zum schriftlichen Subtrahieren ableitet (vgl. ebd., 783ff).

2.2.2.2 Spezifischer und unspezifischer Transfer

Weitere Unterscheidungen lassen sich hinsichtlich der Reichweite der Lernübertragungen vornehmen. So wird unterschieden zwischen „spezifischem“ und „unspezifischem“ Transfer. Bei spezifischen

Transferleistungen überträgt der Lernende hauptsächlich eng umgrenzte, neu erworbene Fähigkeiten auf eine neue Situation oder auf eine neue Aufgabe. Ein Beispiel dafür wäre, dass ein Schüler das Verfahren beim schriftlichen Multiplizieren auf das Verdoppeln eines Ergebnisses anwendet. Nutzt der Lernende jedoch spezielle Strategien und wendet sie auf andere Kontexte, beispielsweise außerhalb der Mathematik, an, dann spricht man von einem unspezifischen Transfer (vgl. ebd., 784). Eine ähnliche Klassifizierung findet sich bei OCHSNER (1975). Er verwendet in diesem Zusammenhang die Begriffe Transfer im „engeren“ und im „weiteren“ Sinne. Der Transfer im weiteren Sinne subsumiert zugleich die Problematik der Anwendung von erworbenem Wissen zur Lösung von Aufgaben und Problemen im beruflichen und alltäglichen Leben (vgl. OCHSNER 1975, 57ff).

Bei MAHLER und STERN (2004) findet man in Verknüpfung dazu die Begriffe „proximalem“ (nahem) und „distalem“ (weitem) Transfer (vgl. MAHLER; STERN 2006, 784). Eine ähnliche Klassifizierung haben auch SALOMON und PERKINS (1987) vorgenommen, in dem sie vom „low-road- Transfer“⁴ und ,,high-road-Transfer“⁵ spvachQn (vgl. WOOLFOLK 2008, 388). Um welche Art von Transfer es sich bei den durchgeführten Interviews handelt, wird in Kapitel 4 herausgearbeitet.

2.3 Transfertheorien

Die Übertragung von erworbenem Wissen auf andere Bereiche stellt seit Jahren ein zentrales Thema in der Pädagogik und pädagogischen Psychologie dar. Im Laufe des 20. Jahrhunderts etablierte sich eine Vielzahl unterschiedlicher Theorien, die bis heute unser Denken beeinflussen, obgleich viele dieser Theorien durch empirische Studien bereits widerlegt wurden. Einen Konsens darüber, ob und unter welchen Bedingungen es zu einem Transfer kommt, gibt es bislangjedoch nicht (vgl. SEEL 2000, 308).

Das Studium der Literatur ergab, dass sich grundsätzlich drei große Entwicklungen im Bereich der Transfertheorien vollzogen haben. Die ersten Theorien basieren auf dem Grundgedanken des Vorhandenseins ,,Identischer Elementeerstmals im Jahre 1913 ausgelöst durch den amerikanischen Psychologen Edward Lee Thorndike. Daran angeschlossen etablierten sich Theorien auf der Annahme: ,,Transfer als Übertragung von Prinzipien Die neuste Sichtweise auf die Transferproblematik orientiert sich an dem „Transfer durch metakognitive Kontrolle“(vg\. HAGER; PATRY; BREZING 2000, 90ff.).

2.3.1 Die Theorie der „identischen Elemente“ nach Thorndike

Die Theorie der „identischen Elemente“ wurde erstmals 1913, aus der Tradition des „Behaviorismus⁶ “ heraus, von Edward Lee Thorndike formuliert. Sie geht davon aus, dass ein positiver Transfer nur dann zu erwarten ist, wenn die Lernsituation (Lemaufgabe) und die entsprechende Anwendungssituation (Anwendungsaufgabe) identische Elemente enthalten (vgl. FORTMÜLLER 1991, 34).

Diese identischen Elemente können inhaltliche, methodische oder Ähnlichkeiten der Einstellung hinsichtlich der Lern- und Anwendungssituation darstellen (vgl. MESSNER 1978, 126).

Thorndike selbst definiert den Begriff wie folgt:

,, Unter identische Bestandteile sind geistige Vorgänge zu verstehen, denen die gleiche Nerventätigkeit im Gehirn als ihre körperliche Begleiterscheinung zugeordnet ist “ (THORNDIKE 1970, 218).

Dass diese physiologische Definition der identischen Elemente Probleme mit sich bringt, erkennt Thorndike selbst. So beschreibt er, dass oft nicht angegeben werden kann, welche Einzelheiten zweier geistiger Fähigkeiten tatsächlich ähnlich sind. Eine Überarbeitung der Begriffsdefinition zur Präzisierung nimmt erjedoch nicht vor (vgl. ebd., 218).

Eine weitere Bedingung der Theorie nach Thorndike ist, dass die aus den identischen Elementen verknüpften Reaktionen der Lemaufgabe zur Bewältigung der Transferaufgabe von Bedeutung sind. Sind sie für die neue Aufgabe nicht förderlich oder stellen sie sogar ein Hindernis dar, kann nach Thorndike ein negativer Transfer auftreten. Dabei scheint das Ausmaß der Verstärkung zur Erlangung einer gewünschten Reaktion aufgrund der identischen Elemente ebenso relevant zu sein, wie das Vorhandensein der identischen Elemente selbst (vgl. FORTMÜLLER 1991, 34).

OSGOOD (1949), GAGE und BERLINER (1979) haben die Theorie der identischen Elemente aufgegriffen und ergänzt. Dem Problem der Bestimmung der identischen Elemente versuchten sie durch die Entwicklung eines Ähnlichkeitskontinuums entgegenzuwirken. Die Basis für erfolgreichen Lerntransfer bilde dabei der Grad der Ähnlichkeit des Stimuli und der Reaktion zwischen Lern- und Anwendungsaufgabe. Beide Ansätze wurden jedoch empirisch widerlegt, da sie im Gegensatz zu Thorndike's Theorie wesentliche transferrelevante Variablen außer Acht ließen. Aus diesem Grund soll im Folgenden nicht näher auf diese Ansätze eingegangen werden. Weitere Informationen zu den Theorien finden sich unter anderem bei FORTMÜLLER (1991) (vgl. ebd., 45ff.).

2.3.1.1 Kritik an der Theorie der „identischen Elemente“

Der wohl bedeutendste Kritikpunkt besteht in der labilen Definition der ,,identischen Elemente“. Nach Thorndike stellen sie die zentralen Variablen dar, die einen Lerntransfer auslösen. Eine exakte inhaltliche Definition dessen, was tatsächlich als identisch zu betrachten ist, ist jedoch bislang ausgeblieben. Selbst beschreibt Thorndike, dass Transfereffekte häufig nur schwer voraussagbar sind und die Gefahr besteht, dass Schüler falsche identische Elemente finden (vgl. ebd., 40ff). An dieser Stelle möchte ich hinzufügen, dass es zudem durchaus möglich ist, dass Schüler nach mehrmaliger erfolgreicher Anwendung einer bestimmten Lösungsstruktur vorschnelle Schlüsse ziehen und sich über einen möglichen alternativen Lösungsansatz keine Gedanken mehr machen. In diesem Fall kann meines Erachtens ebenfalls negativer Transfer eintreten, weil die angewandte Lösungsstrategie möglicherweise vollständig falsch oder deutlich umständlicher ist, als eine Lösung der Aufgabe anhand des „gesunden Menschenverstandes“.

Ein weiterer Kritikpunkt stellt die starke Orientierung an festen ReizReaktionsverbindungen dar. In modernen Ansätzen wird diese Annahme in Frage gestellt. Zudem ist die Ähnlichkeit von Elementen vielmehr an das subjektive Empfinden gekoppelt, so dass von einer objektiven Ähnlichkeit der Lern- und Anwendungssituation nicht die Rede sein kann (vgl. HAGER; PARTY; BREZING 2000, 90).

2.3.2 Transfer als Übertragung von Prinzipien

Der Transfer als Übertragung von Prinzipen wurde erstmals von JUDD (1939) als Ergänzung, beziehungsweise als Erweiterung der Theorie der identischen Elemente aufgegriffen.

JUDD (1939) vertrat die Ansicht, dass die Übertragung von Gelerntem auf eine neue Situation nicht primär von den identischen Elementen abhängig sei, sondern von allgemeinen Prinzipien und Verallgemeinerungen, die dem Lernenden während der Lernphase vermittelt werden. Zur Erlangung von Transfereffekten räumte JUDD demnach der Einsicht in die Regelhaftigkeiten von bestimmten Aufgabentypen eine zentrale Bedeutung ein (vgl. HAGER; PATRY; BREZING 2000, 90).

Ähnlich wie die ,,Theorie der identischen Elemente“, gehen auch die Theorien vom „Transfer durch allgemeine Prinzipien“ davon aus, dass Transfer nur dann eintreten kann, wenn zur Bearbeitung der Transferaufgabe die gleichen Teilprozesse anzuwenden sind, wie sie die Lernaufgabe erforderte (vgl. SEEL 2001, 309).

2.3.3 Transfer durch metakognitive Kontrolle

Hervorgerufen durch die „kognitive Wende “⁷ in den 60iger Jahren, entstanden zahlreiche theoretische Umorientierungen innerhalb der Psychologie, die sich auch auf die Konzeptionen der Transfertheorien auswirkten. Im Zusammenhang mit der Analyse von Informationsverarbeitungsprozessen etablierte sich ein neuer Typus von Transfertheorie, bei dem die Rolle metakognitiver Kontrolle und Überwachung von Informationsverarbeitungsprozessen im Zentrum steht (vgl. HAGER; PATRY; BREZING 2000, 90).

Um sich ein Bild der neuen Sichtweise von Transfer machen zu können, bedarf es zunächst einer Definition von Metakognition. Dazu wird die folgende Definition von HAGER; PATRY; und BREZING (2000) zitiert:

„ UnterMetakognition versteht man eine Reihe von Phänomenen, Aktivitäten und Erfahrungen, die mit dem Wissen und der Kontrolle über eigene kognitive Funktionen (zum Beispiel Lernen, Gedächtnis, Verstehen, Denken) zu tun haben“ (HAGER; PATRY; BREZING 2000, 91).

[...]

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¹ Im weiteren Verlauf der Arbeit wird stellvertretend die Abkürzung „G8“ verwendet.

² Um den Lesefluss zu erleichtern, wird im weiteren Verlauf der Arbeit der Begriff „Schüler“ stellvertretend für „Schülerinnen und Schüler“ verwendet. Dies gilt auch für andere Geschlechtsbezeichnungen.

³ ICME steht für International Congress on Mathematical Education.

⁴ Darunter wird einfacher Transfer verstanden, der sich durch den direkten Gebrauch einer Fertigkeit auszeichnet, wie zum Beispiel das Lesen in alltäglichen Situationen.

⁵ Der „high-road-Transfer“ umgreift höhere Transferleistungen, bei denen der Lernende bewusst Strategien aus der Lerasituation auf die Anwendungssituation transferiert, um zu einer kreativen Problemlösung zu gelangen.

⁶ Der Behaviorismus betont die Außensteuerung des Lernens. Als wesentliches Lernprinzip gilt die Verknüpfung (Assoziation) zwischen Reizen und/oder Reaktionen (vgl. IMHOF 2010, 23ff). Der Transfer nach Thorndike knüpft an das Prinzip der Reizgeneralisierung des klassischen Konditionierens an.

⁷ Unter der „kognitiven Wende“ wird die Entwicklung innerhalb der psychologischen Wissensgemeinschaft vom Behaviorismus zum Kognitivismus verstanden (vgl. GRIESMAYR 2009, 6).