Endziffernregeln im Mathematikunterricht. Unterrichtsstunde zur Teilbarkeit durch 2, 4 und 5


Unterrichtsentwurf, 2011

22 Seiten


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Sachanalyse

2. Didaktische Reflexion
2.1. Einordnung in den Bildungsplan ´04
2.2. Einbettung der Stunde in die Unterrichtseinheit
2.3. Bedeutung des Themas für die Schüler/innen
2.4. Exemplarität und didaktische Reduktion
2.5. Aufgabenanalyse und mögliche Schwierigkeiten

3. Kompetenzerwerb/ Lernziele
3.1. Übergeordnete Kompetenzen / Ziele
3.2. Fachliche Lernziele
3.3. Methodische Lernziele
3.4. Soziale Lernziele
3.5. Personale Lernziele

4. Methodische Reflexion
4.1. Artikulation des Unterrichts
4.1.1. Begrüßung/ Einstieg
4.1.2. Erarbeitung
4.1.3. Ergebnissicherung
4.1.4. Abschluss
4.2. Methoden und Sozialformen
4.2.1. Partnerarbeit
4.3. Medien
4.3.1. Das („Endziffern“-) Spiel
4.3.2. Ziffernkarten und Tafelbild
4.4. Alternativen

5. Verlaufsplan & Anlagen

6. Literaturverzeichnis.

1. Sachanalyse

Mit einem Blick auf verschiedene Messgeräte (z.B. Uhren, Waagen, usw.), wird deutlich, wie die Zahlen, nach denen wir unser tägliches Leben ausrichten, teilbar sind. Um herauszufinden, dass eine Zahl a Teiler einer Zahl b ist, ist es nicht immer notwendig, die gesamte Zahl b durch a zu teilen. In einigen Fällen gibt es allgemeingültige Regeln, die eine Entscheidung hierüber vereinfachen. Das eine Zahl durch 2 teilbar ist wenn ihre Endziffer eine gerade Zahl (2; 4; 6; 8; 0) ist, sollte den Schülerinnen und Schülern schnell bewusst werden. Gleiches gilt für die Teilbarkeit durch die Zahl 5. Anhand eines kurzen mathematischen Beweises1, soll hier lediglich die Teilbarkeit durch die Zahl 4 betrachtet werden:

Jede Zahl a Î N ist durch 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis:

Mit Hilfe der Summenregel wird zunächst gezeigt, dass 100 und alle Vielfachen von 100 durch 4 teilbar sind. Anschließend wird gezeigt, dass die Endstellenregel für 4 gültig ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weitere Teilbarkeitsregeln sind:2

- Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).
- Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
- Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
- Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

2. Didaktische Reflexion

2.1. Einordnung in den Bildungsplan ´04

Die Unterrichtsstunde „Endziffernregeln – Teilbarkeit durch 2, 4 und 5“ im Fach Mathematik Sek. 1 lässt sich im Bildungsplan ´04 für die Realschule – Klasse 6 der Leitidee: Zahl zuordnen. Hinsichtlich der Kompetenzentwicklung von Schülerinnen und Schülern heißt es dort: „Die Schülerinnen und Schüler können den Aufbau des Dezimalsystems verstehen; Rechenoperationen im erweiterten Zahlenbereich sicher ausführen, einschließlich dafür notwendiger Überschlagsrechnungen; Rechengesetze auch zum vorteilhaften Rechnen nutzen.“ 3 Die Leitidee wird in dieser Stunde einer, laut Bildungsplan, vertikalen Ausrichtung folgen. Diese „vertikale Ausrichtung verfolgt die Bearbeitung von Problemen innerhalb der mathematischen Welt und die Anwendung gelernter mathematischer Operationen und heuristischer Strategien zur Lösung von Problemen.“ 4

2.2. Einbettung der Stunde in die Unterrichtseinheit

In der Unterrichtseinheit „Teilbarkeit natürlicher Zahlen N“ spielt das Thema „Endziffernregeln“ eine zentrale Rolle, da hier wie vom Bildungsplan verlangt, Rechengesetze zum vorteilhaften rechnen erlernt werden sollen. Aufgrund der vorausgegangenen Unterrichtsstunde „Teiler und Vielfache“ können die Schülerinnen und Schüler Teiler und Vielfache einer vorgegebenen Zahl angeben, sowie die zu einer Zahl zugehörigen Teiler- und Vielfachenmenge notieren. Mit diesen Vorerfahrungen können die Schülerinnen und Schüler die Endziffernregel für die Teilbarkeit durch 2, 4 und 5 selbständig erarbeiten. Einen Überblick über die Unterrichtseinheit „Teilbarkeit natürlicher Zahlen N“ gibt folgende Auflistung:

1. Teiler und Vielfache
2. Endziffernregel
3. Quersummenregel
4. Primzahlen
5. Zusammenfassung

2.3. Bedeutung des Themas für die Schüler/innen

In den letzten Mathematikstunden habe ich festgestellt, dass die Schülerinnen und Schüler die Endziffernregel bei Divisionsaufgaben nicht angewendet haben, auch wenn sie diese möglicherweise bereits in der Grundschule erlernt haben. Die Beschäftigung mit solchen Regeln wird aber dringend empfohlen, da sie ein tieferes Verständnis im Umgang mit Zahlen fördern. Insbesondere auf die bevorstehende Einführung der Bruchrechnung ist dies von elementarer Bedeutung. Endziffernregeln können aber auch helfen sogenannte „Fermi-Aufgaben“5 zu lösen und somit auch als mathematische Hilfe in die reale Welt übertragen werden, zum Beispiel wenn es darum geht, einen Gegenstand unter einer bestimmten Personengruppe aufzuteilen , wie einen Kuchen oder eine Tüte Bonbons. „Die Teilbarkeit gehört zu den Grundlagen der Mathematik. Man muss sie gut beherrschen, um andere Rechenoperationen ausführen zu können.“ 6

Fermi-Aufgabe

Die Schülerinnen und Schüler der Klasse 6a möchten einen Ausflug ins Stuttgarter Stadttheater machen und dort eine Vorstellung besuchen. In der Klassenkasse sind noch 550 Euro. Reicht das Geld aus der Klassenkasse, um den Ausflug zu bezahlen?

Abb.1: Beispiel für eine Fermi-Aufgabe, bei der die Endziffernregel angewandt werden kann.

Quelle: Eigene Darstellung

2.4. Exemplarität und didaktische Reduktion

Wie bereits angedeutet, sollen die Schülerinnen und Schüler die Endziffernregeln für die Teiler 2, 4 und 5 selbständig erarbeiten. Damit sie den Sachverhalt in ihrer Arbeit besser erschließen können, erhalten sie vorgefertigte Ziffernkärtchen, die die Elemente aus der Menge der natürlichen Zahlen auf eine geringere Anzahl reduzieren. Jedoch können die Elemente bzw. Lösungen variieren. Wie in der Sachanalyse aufgeführt ist (Vgl. Kap. 2), gibt es eine Vielzahl weiterer Teilbarkeitsregeln. Die didaktische Reduktion wird daher bereits dadurch ersichtlich, dass in dieser Unterrichtsstunde, nur die Teiler 2, 4 und 5 erarbeitet werden. Zu einem späteren Zeitpunkt sollen die Schülerinnen und Schüler allerdings die Gelegenheit dazu bekommen, durch die Bildung von Analogien7, weitere Teilbarkeitsregeln zu finden.

2.5. Aufgabenanalyse und mögliche Schwierigkeiten

Zur Überprüfung der Teilbarkeit der unterschiedlichen Zahlen, sollen die Schülerinnen und Schüler auf die schriftliche Division zurückgreifen. Bei einigen kann die schriftliche Division zu Problemen führen, auch wenn diese bereits in diesem Schuljahr wiederholt und ausführlich besprochen wurde. Allerdings besitzen alle Schülerinnen und Schüler das notwendige Wissen eine Divisionsaufgabe lösen zu können, so dass sie die in dieser Unterrichtsstunde auftretenden Probleme zur schriftlichen Division selbstständig in den Griff bekommen müssen. Weitere Schwierigkeiten sind zu erwarten, wenn es um die Teilbarkeit durch die Zahl 4 geht. Diese Aufgabe wird bereits aus diesem Grund als Differenzierungsaufgabe betrachtet, die stärkere Schülerinnen und Schüler so lange bearbeiten können, bis (im besten Fall) alle anderen Schülerinnen und Schüler die Endziffernregeln durch 2 und 5 erkannt haben. Entsprechend diesem Problem sind die verwendeten Ziffernkarten so gestaltet, dass sie zur Veranschaulichung dieser Schwierigkeit dienen können.

3. Kompetenzerwerb/ Lernziele

3.1. Übergeordnete Kompetenzen / Ziele

Mathematik soll die Schülerinnen und Schüler befähigen, „Probleme mithilfe unterschiedlicher heuristischer Strategien zu lösen. Dabei werden Strukturen, die in einem allgemeinen Kontext enthalten sind, erkannt, […], Beziehungen und Regelmäßigkeiten entdeckt […].“ 8 In dieser „vertikal ausgerichteten“ Unterrichtsstunde lernen die Schülerinnen und Schüler mathematische Operationen zur Lösung von Problemen kennen. Die Schülerinnen und Schüler erwerben somit grundlegende Kompetenzen und Einsichten bei denen der Leitgedanke im Mittelpunkt steht, dass die Schülerinnen und Schüler Rechengesetze auch zum vorteilhaften Rechnen nutzen können.9

[...]


1 Mathematisch inkorrekt wird im folgenden Beweis die Zahl „0“ als natürliche Zahl N betrachtet. In der Schule ist diese Vorgehensweise, aufgrund der didaktischen Reduktion, aber vollkommen legitim.

2 http://www.mathepower.com/teilbarkeit.php, [Stand: 21.10,2011]

3 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport, S.61

4 Ebd., S. 60

5 Fermi-Aufgaben sind komplexe Probleme, die keine oder für die rechnerische Lösung nur unzureichende numerischen Informationen enthalten. Die Schülerinnen und Schüler sind somit gezwungen, die benötigten Daten selbst zu recherchieren, zu erfragen oder zu schätzen. (Vgl. http://www.cornelsen.de/sbk/1.c.1573196.de, [Stand 21.10.2011]

6 http://www.mathepower.com/teilbarkeit.php, [Stand: 21.10.2011]

7 Die Analogiebildung ist neben der Fähigkeit zur Induktion und Deduktion wesentlicher Bestandteil exemplarischen Lernens.

8 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport, S.60

9 Ebd., S. 61

Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
Endziffernregeln im Mathematikunterricht. Unterrichtsstunde zur Teilbarkeit durch 2, 4 und 5
Hochschule
Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Realschulen) Reutlingen
Autor
Jahr
2011
Seiten
22
Katalognummer
V984880
ISBN (eBook)
9783346348623
ISBN (Buch)
9783346348630
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Mathematik, Teilbarkeit, Endziffern, Regelwissen
Arbeit zitieren
Martin Briol (Autor), 2011, Endziffernregeln im Mathematikunterricht. Unterrichtsstunde zur Teilbarkeit durch 2, 4 und 5, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/984880

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