Größenvorstellungen entwickeln

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Begriff Länge
2.1 Qualitative Bestimmung von Längen
2.2 Quantitative Bestimmung von Längen
2.2.1 Messinstrumente

3. Relevanz von Stützpunktvorstellungen

4. Bilderbücher im Mathematikunterricht

5. Analyse „Millimeter, Zentimeter – Donnerwetter“

6. Unterrichtsbeispiele mit dem Buch

7. Zusammenfassung

8. Anhang
8.1 Abbildungen zum Buch „Millimeter, Zentimeter – Donnerwetter“
8.2 Arbeitsblatt
8.3 Größenbuch

9. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

„Bilderbücher sind Kindern vertraut. Sie sprechen in besonderer Weise ihre Gefühlswelt an und schaffen damit eine gute Voraussetzung für hohe Motivation und die Bereitschaft, sich mit Fragen und Herausforderungen auseinanderzusetzen“ (Effenberger 2015, S. 10). Dieses Zitat spiegelt das große Potential von Bilderbüchern wider. In dieser Arbeit wird untersucht, ob dieses Potenzial auch für den Mathematikunterricht in der Grundschule gilt. Spezialisiert wird sich auf den Größenbereich Längen aus der inhaltsbezogenen Kompetenz „Messen und Umgang mit Größen“. Nach einer Definition des Begriffs Größe, werden die qualitative und die quantitative Bestimmung von Längen, und die dazugehörigen Messinstrumente, erläutert. Danach wird auf die Relevanz von Stützpunktvorstellung der Schülerinnen und Schüler und in Kapitel 4 speziell auf den Umgang mit Bilderbüchern im Mathematikunterricht eingegangen, sodass im nächsten Kapitel eine Analyse des ausgewählten Bilderbuches „Millimeter, Zentimeter – Donnerwetter“ stattfinden kann. Im darauffolgenden Kapitel 6. Unterrichtsbeispiele mit dem Buch werden anhand der inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen Inspirationen an Aufgaben für Schülerinnen und Schüler im Unterricht mit der Implikation des Buches gegeben.

2. Begriff Länge

Die Länge gehört zu der inhaltsbezogenen Kompetenz Messen und Umgang mit Größe, die das Wissen um Zahlen und Operationen und Raum und Form verbindet (vgl. Ruwisch 2010, S. 177). Neben Gewicht, Zeit, Geld, Flächeninhalt und Volumina gehören Längen zu den unterrichtenden Basisgrößen im Mathematikunterricht in der Grundschule. Der Begriff Länge hat viele Bedeutungen in verschiedensten Bereichen, wie beispielsweise der Physik oder der Zeit (vgl. Nührenbörger 2002, S. 5). Im Mathematikunterricht geht es um die Bestimmung von Objektlängen, wobei die Größe eine Abstraktion von objektiv messbarer Eigenschaften ist (vgl. Ruwisch 2010, S. 180). „Mit Längen- d.h. je nach Situation auch Breite, Höhe, Tiefe, Abstand oder Weite – ist die Eigenschaft gemeint, die die räumliche Ausdehnung (das Ausmaß) bzw. den Abstand (Distanz, Entfernung) zwischen zwei Enden eines Objekts oder zwischen zwei verschiedenen Objekten beschreibt“ (Nührenbörger 2002, S. 5). Die Größenangabe der Länge besteht aus der Maßzahl und der Maßeinheit. Die grundschulrelevanten Maßeinheiten sind Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter und Kilometer. Die Tatsache, dass dieselbe Größe mit verschiedenen Einheiten benannt werden kann, ist für Schülerinnen und Schülern eine neue Erkenntnis (vgl. Ruwisch 2010, S. 180). Im zweiten Schuljahr werden Zentimeter und Meter behandelt und ab der dritten Klasse dann Millimeter, Dezimeter und Kilometer (vgl. Ruwisch 2010, S. 180ff.).

Das Messen folgt drei zentralen Kernideen (vgl. Zöllner & Reuter 2018, S. 19); als erster Schritt muss eine Einheit gefunden werden. Als Längenrepräsentanten müssen Objekte gefunden werden, die eine eindimensionale Linearität aufweisen und die Schülerinnen und Schüler müssen diese Längeneigenschaft erkennen und dabei die anderen Eigenschaften, wie beispielsweise die Beschaffenheit oder das Gewicht, ausblenden (vgl. Nührenbörger 2002, S. 12, 17). Diese Einheit muss dann wiederholt abgetragen werden, sodass die zu messende Länge unterteilt wird. Zum Schluss muss die entstandene Einheit gezählt werden. „Das Verständnis für die Einheit und ihre Rolle im Messprozess ist somit grundlegend für die Entwicklung eines tragfähigen Messverständnisses und eines Größenkonzepts“ (Zöllner & Reuter 2018, S. 19). Bei der Bestimmung von Längen unterscheidet man zwei unterschiedliche Verfahren. Zum einen die qualitative Bestimmung und zum anderen die quantitative Bestimmung von Längen (vgl. Nührenbörger 2002, S. 18).

2.1 Qualitative Bestimmung von Längen

Bei der qualitativen Bestimmung von Längen handelt es sich um eine anummerale Bestimmung, die vom Vergleichen ausgeht (vgl. Nührenbörger 2002, S. 18). Schülerinnen und Schüler müssen für dieses Verfahren keine Kenntnisse über Zahlen, Messinstrumente und Maßeinheiten haben, da die Längenbeziehungen über die visuell aufschlussgebenden Informationen erfahren werden. Durch eine Abstraktion von Repräsentanten wird die Größe „Länge“ erreicht. Als Grundlage fungieren Adjektive, wie „klein“, „groß“, „niedrig“ und „hoch“. Jedoch ist zu beachten, dass die jeweiligen Bedeutungen der Adjektive subjektiv sind. Sie werden davon abhängig gemacht, wie groß man selbst ist und wie ein Gegenstand in einem bestimmten Umfeld wirkt. Daraus folgt, dass die Wahrnehmung nicht immer beständig ist, sondern von Zeit zu Zeit und von Umfeld zu Umfeld schwanken kann (vgl. Nührenbürger 2002, S. 19).

Als typische Längenrepräsentanten gelten beispielsweise Stifte, Streichhölzer oder Schulhefte, wobei bei Schulheften darauf hingewiesen werden muss, welche Länge beim Messvorgang zum Einsatz kommt. Das Verhältnis zwischen den Repräsentantenbereichen beschreiben die Äquivalenzrelation und die Ordnungsrelation (vgl. Nührenbörger 2002, S. 12).

Durch die Äquivalenzrelation können die Repräsentanten der Größe in bestimmte Klassen eingeordnet werden, wenn sie kongruent zueinander sind. Mathematisch formuliert, muss die Relation symmetrisch (wenn a~b, dann muss auch b~a gelten), reflexiv (für alle a~a gelten) und transitiv (wenn a~b und b~c, dann auch a~c gelten) sein (vgl. Nührenbörger 2002, S. 12).

Die Ordnungsrelation beinhaltet, dass die Repräsentanten hierarchisch strukturiert werden, also eine Relation durch „länger als“ oder „kürzer als“ beschrieben werden kann. Hierbei muss die Asymmetrie (wenn a < b, dann ist niemals b < a) und die Transivität (wenn a < b und b < c, dann ist auch a < c) gelten (vgl. Nührenbörger 2002, S. 13).

Man kann bei der qualitativen Bestimmung von Längen zwischen dem direkten und dem indirekten Vergleich unterscheiden. Beim direkten Vergleich werden die Repräsentanten aneinandergelegt und miteinander in Beziehung gesetzt. Beispielsweise werden zwei Stifte miteinander verglichen. Sie können identisch lang oder einer länger/ kürzer als der andere sein. Der indirekte Vergleich hingegen arbeitet mit einem beweglichen Vergleichsobjekt. Ein solches Vergleichsobjekt kann eine Schnur sein, die auf die Länge eines zu vergleichenden Objektes zugeschnitten wurde (vgl. Nührenbörger, S. 18f.).

2.2 Quantitative Bestimmung von Längen

Bei der quantitativen Bestimmung von Längen geht es nicht mehr um den Vergleich einzelner Repräsentanten durch Adjektive, sondern es werden Messinstrumente für die Bestimmung einer Maßzahl herangezogen. Es betrifft die Frage nach der Anzahl der Einheiten. Die Schülerinnen und Schüler brauchen hierfür Kenntnisse über Maßeinheiten und -zahlen, über den Umgang mit Messinstrumenten, sowie über Zähl- und Rechenprozesse (vgl. Nührenbörger 2002, S. 46). Meist dienen die Messinstrumente als Repräsentanten einer Einheit. Sie geben im Gegensatz zum quantitativen Vergleich eine Auskunft über das Ausmaß des zu messenden Objekts und nicht über die subjektive Wahrnehmung (vgl. Nührenbörger 2002, S. 22). Ein Beispiel wäre ein exakt 1m langes Seil für den Repräsentanten der Maßeinheit Meter. Wird nun als Einheit ein Bleistift gewählt, so wird danach gefragt, wie viele Bleistifte man braucht, um das zu messende Objekt zu messen. Der Bleistift wird nicht qualitativ mit dem zu messenden Objekt verglichen, sondern in eine quantitative Verbindung gesetzt. Wichtig ist beim Messvorgang, dass das Messinstrument ohne Überlappungen und Lücken an das zu messende Objekt angelegt und gezählt wird. Der Vorgang basiert auf der Idee des Vervielfältigens, Zerlegens und Zählens von konstant großen linearen Einheiten (vgl. Nührenbörger 2002, S. 23).

2.2.1 Messinstrumente

Bei der qualitativen Bestimmung von Längen kommen folglich Messinstrumente zum Einsatz. Man unterscheidet zwischen konventionellen Messgeräten und willkürlichen Einheitsrepräsentanten (vgl. Zöllner & Reuter 2018, S. 19). Nührenbörger betitelt diese als normierte und nicht-normierte Messinstrumente.

Erstere wurden explizit zur Repräsentation konventioneller Maßeinheiten konstruiert. Sie veranschaulichen verschiedene Maßeinheiten und können längenkonsistent und längenveränderbar sein (vgl. Nührenbörger 2002, S. 33). Ein Lineal ist ein längenkonsistentes und ein Zollstock ein längenveränderbares Messinstrument. Sie vereinen alle drei Kernideen des Messens. Kinder kennen schon im Kindergarten einige Messinstrumente und können diese auch teilweise schon benutzen. Jedoch erlernen sie die Technik des Anwendens, ohne ein Verständnis der drei Kernideen zu haben (vgl. Zöllner & Reuter 2018, S. 19). Ein Beispiel ist die Aussage eines dreijährigen Kindes, welches beschreibt, wie man mit einem Zollstock seine Körpergröße misst: „Da muss man die Füße ranstellen und eben gucken, wie groß man ist“ (vgl. Peter-Koop 2008, S. 18). Wenn Kinder die Technik erlernen, ohne ein Verständnis der Kernideen zu haben, können die Schwierigkeiten folgen, dass der Anfangspunkt der Messung falsch gewählt wird, also die Kinder nicht bei 0, sondern bei 1 anfangen oder die Kinder die Markierungen auf dem Messgerät zählen und nicht die Abstände zwischen den Markierungen messen. Bei einem defekten Lineal, bei welchem der Anfangspunkt nicht mehr zu erkennen ist, sei das Messen aus Sicht der Kinder nicht möglich. Sehr wichtig ist folglich die Einsicht, dass die gleiche Einheit in einem Messprozess wiederholt abgetragen wird (vgl. Zöllner & Reuter 2018, S. 19).

Die nicht-normierten Messinstrumente kann man auch als zweckentfremdete Gegenstände betiteln. Bei diesen kann man noch einmal in zwei Unterkategorien unterscheiden; nicht-normierte gegenständliche, beispielsweise ein Stift, und nicht-normierte körpereigene, beispielsweise eine Schrittlänge (vgl. Nührenbörger, S. 28). Dabei kann die Längeneigenschaft eindeutig linear oder mehrdeutig ausgerichtet sein und die Qualität des Messinstruments längenkonsistent oder längenveränderbar sein (vgl. Nührenbörger 2002, S. 30).

Der Vergleich ist für Kinder wesentlich einfacher als das Messen (vgl. Nührenbörger 2002, S. 46). Das Unterteilen der Länge und das wiederholte Abtragen der Einheit werden veranschaulicht, sowie das Ermitteln der Maßzahl durch Zählen geübt. Es kann jedoch auch dazu führen, dass Kinder den Messprozess mit dem Zählprozess gleichsetzen und nicht erkennen, dass das willkürliche Messinstrument die Länge des zu messenden Gegenstands in Einheiten teilt und diese Einheiten gezählt werden (vgl. Zöllner & Reuter, S. 20). Albrecht Abele geht in seinem Planungsmodell von drei Stufen für den Aufbau von Unterricht für Längen aus und spiegelt damit genau wider, dass der Vergleich für Kinder einfacher ist und somit dieser am Anfang der Unterrichtseinheit zu Längen thematisiert werden sollte. Die erste Stufe beinhaltet den unmittelbaren Längenvergleich von Strecken, die zweite Stufe den mittelbaren Längenvergleich von Strecken durch Hilfsstrecken und willkürliche Einheiten und die dritte Stufe beinhaltet die Verwendung der konventionellen Längeneinheiten (vgl. Abele 1983, S. 105). Es sind demnach normierte und nicht-normierte Messinstrumente nötig, damit die Kinder ein Messverständnis entwickeln (vgl. Zöllner & Reuter 2018, S. 20).

3. Relevanz von Stützpunktvorstellungen

„Es genügt nicht, wenn Zweitklässler die Maßeinheit 1 m kennen und damit rechnen können. Sie müssen insbesondere Gegenstände nennen oder zeigen können, die ungefähr 1 m lang sind, müssen sich unter bestimmten Maßangaben etwas Konkretes vorstellen können (3,50 m ist so lang wie mein Kinderzimmer), Gegenstände aufgrund ihrer Vorstellung miteinander vergleichen (der Teppichboden ist breiter als mein Zimmer, er wird schätzungsweise 4 m breit sein) und mit geeigneten Messgeräten in entsprechenden Einheiten und sinnvoller Genauigkeit messen können“ (Ruwisch, S. 178). Stützpunktvorstellungen sind gefestigte innere Repräsentanten einer Person von einer Größe. Sie machen demnach einen wichtigen Teil aus und sind unverzichtbar, wenn geschätzt und Sachaufgaben sinnvoll gelöst werden sollen (vgl. Rink 2018, S. 25). Die Schülerinnen und Schüler müssen einen Fundus an Repräsentanten zu den Standardeinheiten und weitere Stützpunktvorstellungen zu Vielfachen und Teilen von Einheiten kennen und nutzen lernen (vgl. Ruwisch 2010, S. 235). Größenvorstellungen sind eine wesentliche Voraussetzung für die Entwicklung eines Repertoires an Stützpunktvorstellungen, welches den Schülerinnen und Schülern ermöglicht, situationsangemessen und flexibel zu schätzen (vgl. Nührenbörger 2002, S. 89). Hierbei greifen Wissen, Vorerfahrung und neue Messerfahrungen ineinander (vgl. Ruwisch 2010, S. 235). Dieses Repertoire lässt sich nur über Sach- und Anwendungssituationen aufbauen (vgl. Ruwisch 2010, S. 177). Besonders vorteilhaft, vor allem bei schwächeren Schülerinnen und Schülern, ist es, über die Jahre ein Größenbuch zu führen, in dem jeweils zu den einzelne Größeneinheiten die im Unterricht behandelten Stützpunktvorstellungen gesammelt werden (vgl. Rink 2018, S. 27).

4. Bilderbücher im Mathematikunterricht

Der Einstieg in eine neue Unterrichtsreihe stellt sich nicht immer als einfach heraus. Das Wecken des Interesses der Schülerinnen und Schülern ist das Ziel, da dieses als Grundlage für das zu bearbeitende Thema und für den Lernprozess gilt. Sturm listet mehrere Kriterien für einen guten Einstieg auf. Der Einstieg muss Interesse wecken, die Schülerinnen und Schüler für den Lernprozess motivieren, an der Lernausgangslage anknüpfen, Vorkenntnisse und Alltagsbedeutungen aktivieren, einen handelnden Umgang mit dem Thema ermöglichen und alle Schülerinnen und Schüler ansprechen (vgl. Sturm 2016, S. 55).

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