Optionsbewertung nach Robert C. Merton (1973)


Trabajo, 2009

25 Páginas, Calificación: 1,7


Extracto


Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung
2.1 Prinzip der Arbitragefreiheit
2.2 Die Annahmen des Modells
2.3 Wert einer Option in Abhängigkeit der Restlaufzeit
2.4 Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Kaufoptionen
2.4.1 Arbitragebeziehung – Kaufoption und Basiswert
2.4.1 Arbitragebeziehung – Kaufoption und andere Einflussgrößen
2.4.2 Optimale Ausübungspolitik
2.5 Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Verkaufsoptionen
2.5.1 Arbitragebeziehung – Verkaufsoption und Basiswert
2.5.2 Arbitragebeziehung – Verkaufsoption und andere Einflussgrößen
2.5.3 Optimale Ausübungspolitik
2.6 Put-Call-Parität

3. Die Black-Scholes Formel

4. Erweiterungen der Black-Scholes Formel
4.1 Berücksichtigung von Dividendenzahlungen
4.2 Bewertung einer „down and out“- Kaufoption
4. Zusammenfassung

5. Anhang
5.1 Softwarelösung MATLAB

6. Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Optionen, Swaps und Futures sind sogenannte derivative Instrumente, d.h. ihr Preis wird aus dem Preis eines zugrundeliegenden Basiswertes abgeleitet. In den vergangenen 35 Jahren stellen Derivate wohl die am stärksten gewachsenen Innovationen auf den globalen Finanzmärkten dar. Grund dafür ist, dass Derivate die Kassamärkte sinnvoll ergänzen und den Risikotransfer zwischen den Marktteilnehmern ermöglichen. Darüber hinaus trägt der Handel mit diesen Instrumenten zunehmend zur Preisfindung an den Finanzmärkten bei. Diesen grundsätzlich positiven Wirkungen steht gegenüber, dass ein zu leichtfertiger, spekulativer Umgang mit Derivaten zu erheblichen Verlusten und externen Effekten führen kann. Um sowohl die positiven als auch die negativen Wirkungen zu verstehen, ist ein grundlegendes Wissen der Funktionsweise solcher derivaten Instrumente nötig. Im Fokus dieser Seminararbeit stehen Optionen. Eine Option gibt das Recht, gegen Zahlung einer Optionsprämie einen bestimmten Basiswert zu einem bereits heute festgelegten Basispreis, zu einem zukünftigen Zeitpunkt (bei Fälligkeit) zu kaufen (Kaufoption), oder zu verkaufen (Verkaufs- option) . Grund für den weltweit zunehmenden Handel mit Optionen ist die hohe Volatilität auf den verschiedenen Märkten (z.B. Aktien-, Devisen-, Rohstoffmärkte). Volatilität bedeutet Risiko und beinhaltet sowohl Chancen als auch Gefahren. Die Chancen bestehen darin, aus Kursschwankungen Gewinne zu erzielen, die Gefahren, Verluste zu erleiden. Optionen übertragen das Risiko an diejenigen, die bereit und in der Lage sind, dieses zu übernehmen. Sie ermöglichen ein kostengünstiges und effizientes Risikomanagement. Voraussetzung für den Handel mit Optionen ist, dass der Preis einer Option (die Optionsprämie) so festgelegt wird, dass sowohl der Optionskäufer, als auch der Optionsverkäufer in der Option ein faires Geschäft sehen. Die Optionsbewertungs- theorie versucht diesen theoretisch „fairen“ Preis1 anzugeben. Für die Übernahme von Risiko wird von einem risikoaversen Marktteilnehmer eine Risikoprämie gefordert. Das Problem der Optionsbewertung war, dass je nach Risikoeinstellung der Marktteilnehmer diese Risikoprämie variierte. Daher war sie in der Optionsbewertung kaum zu erfassen. Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton gelang es Anfang der Siebziger Jahre eine Formel zur Optionsbewertung zu bestimmen die nicht mehr von den Risiko- präferenzen der Marktteilnehmer abhängig war. „Für eine neue Methode der Bewertung von derivaten Instrumenten“ bekamen Robert Merton und Myron Scholes im Jahr 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen. Fischer Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben. Die Frage, wie mit Hilfe der Black-Scholes Formel eine Option theoretisch „fair“ bewertet wird, und welchen Beitrag der Nobelpreisträger Robert Merton zur Optionsbewertung geleistet hat ist Gegenstand dieser Seminararbeit. Grundlage ist seine Veröffentlichung aus dem Jahr 1973 „Theorie of Rational Option Pricing“. Es wird zunächst geklärt, was unter einer rationalen Optionsbewertung zu verstehen ist und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen. Aus dieser sogenann- ten präferenz- und verteilungsfreien Bewertung können bereits grobe Abschätzungen für den Wert einer Option gemacht werden. Diese bildet den Rahmen einer rationalen Optionsbewertung und dient als Grundlage für die Herleitung der Black-Scholes Formel und deren Erweiterungen durch Robert Merton.

2. Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung

2.1 Prinzip der Arbitragefreiheit

Ausgangspunkt einer rationalen Optionsbewertung ist ein vollkommener Kapitalmarkt. Unter Arbitrage versteht man die Erzielung von risikolosen Zahlungsüberschüssen – ohne Anfangsauszahlung – durch Nutzung von Preisunterschieden äquivalenter oder dominanter Positionen (Wertpapiere oder Portefeuilles) und deren simultanen Kauf und Verkauf. Der Zahlungsüberschuss kann sofort oder zu einem späteren Zeitpunkt an- fallen. Arbitragegeschäfte bauen daher prinzipiell auf Dominanz oder Äquivalenz auf.

Zwei Positionen A und B sind äquivalent, wenn Position A in jedem zukünftigen Zeit- punkt und Zustand gleichhohe Zahlungen liefert wie Position B.

Eine Position A dominiert eine Position B, wenn sie in jedem zukünftigen Zeitpunkt und Zustand mindestens gleichhohe Zahlungen wie B und in mindestens einem Zeitpunkt und Zustand eine höhere Zahlung als B liefert.

Voraussetzung für eine rationale Optionsbewertung ist, dass die Option so bewertet wird, dass sie weder dominant gegenüber einer anderen Option ist, noch von dieser dominiert wird.2 Es darf daher keine Möglichkeit zur Arbitrage geben. Aus den Äquiva- lenz- und Dominanzüberlegungen lässt sich das Prinzip der Arbitragefreiheit ableiten:

Im Marktgleichgewicht gilt:3

Zwei äquivalente Positionen haben denselben Preis (law of one price).

Eine Position, die eine andere dominiert hat einen höheren Preis.

Das Prinzip der Arbitragefreiheit ist notwendige Voraussetzung für ein Marktgleichge- wicht und Grundlage für eine rationale Optionsbewertung. Um die dauerhafte Existenz von Arbitragemöglichkeiten auszuschließen wird im folgenden Modell die schwache Präferenzannahme getroffen, dass die Marktteilnehmer ein größeres Vermögen stets einem geringeren Vermögen vorziehen. Dadurch nutzen diese jede Möglichkeit zur Arbitrage, wodurch sich immer wieder eine arbitragefreie Gleichgewichtssituation ein- stellt. In diesem Gleichgewicht soll es einen theoretisch „fairen“ Optionswert geben.

2.2 Die Annahmen des Modells

Für die präferenz- und verteilungsfreie Bewertung gelten folgende Annahmen:

(A1) Die Marktteilnehmer besitzen homogene Erwartungen und handeln rational. Sie sind Nutzenmaximierer, was bei positivem Grenznutzen des Geldes dazu führt, dass ein größeres Vermögen stets einem geringeren Vermögen vorgezogen wird.

(A2) Es herrscht Arbitragefreiheit. Sollten Möglichkeiten zur Arbitrage existiert haben, so wurden diese bereits von rational handelnden Marktteilnehmern genutzt, und zwar solange, bis sich ein Marktgleichgewicht einstellt.

(A3) Die Finanzmärkte sind friktionslos, d.h. es fallen keine Kosten beim Handeln an. Insbesondere keine Steuern, Transaktions- und Informationskosten. Es sind keine Sicherheitsleistungen zu erbringen.

(A4) Die gehandelten Finanzinstrumente sind ohne Einschränkung beliebig teilbar. Leerverkäufe sind uneingeschränkt möglich. Zum bekannten, konstanten, risiko- losen Zinssatz werden Mittel in beliebiger Höhe angelegt oder aufgenommen.

2.3 Wert einer Option in Abhängigkeit der Restlaufzeit

Die Restlaufzeit einer Option ist gegeben durch T — t. Hierbei ist T der Zeitpunkt der Fälligkeit (Verfalltag) und t ein Zeitpunkt während der Laufzeit der Option (Kalender- zeit). Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem heutigen Datum. Am Verfalltag, steht der Optionskäufer vor der Entscheidung, ob er sein Recht ausübt oder verfallen lässt. Zu diesem Zeitpunkt besteht keine Unsicherheit bezüglich dem Basiswertkurs ST mehr. Der

Der Wert einer Option lässt sich am Verfalltag eindeutig bestimmen durch:

Basiswert S kann zum vereinbarte Basispreis X gekauft bzw. verkauft werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

CT (PT) ist der Wert einer amerikanischen Kaufoption (Verkaufsoption) und cT (gT) der Wert einer europäischen Kaufoption (Verkaufsoption) zum Zeitpunkt der Fälligkeit T. Amerikanische Optionen können sowohl vor der Fälligkeit t < T, als auch erst zum Zeitpunkt der Fälligkeit t = T ausgeübt werden. Europäische Optionen können nur zum

Zeitpunkt der Fälligkeit ausgeübt werden. Da das Recht der vorzeitigen Ausübung einer amerikanischen Option am Verfalltag selbst keinen zusätzlichen Wert mehr hat, ent- spricht ihr Wert einer ausstattungsgleichen4 europäischen Option. Optionen sollten bei Fälligkeit ausgeübt werden, wenn sie sich „im Geld“ befinden und nicht ausgeübt, wenn sie sich „aus dem Geld“ befinden. Bei einer Option „am Geld“ herrscht Indifferenz.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vor dem Verfalltag ist die Optionsbewertung komplexer. Es werden neben dem aktuellen Basiswertkurs und dem Basispreis zusätzliche wertbeeinflussende Faktoren, wie die Dauer der Restlaufzeit, die zukünftige Kursentwicklung und Volatilität des Basiswertes, die Zinsentwicklung oder mögliche Dividendenzahlungen relevant. Da die zukünftige Entwicklung dieser Faktoren in der Regel unsicher ist wird der Optionswert unter Einfluss dieser stochastischen Faktoren selbst zu einer stochastischen Größe. Der Wert der Option zu irgendeinem Zeitpunkt t , wenn t der Verfalltag bzw. die sofortige Ausübung ist, wird als innerer Wert bezeichnet. Es gilt für eine

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei positiver Restlaufzeit T — t > 0 besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass sich die Option weiter ins Geld bewegt und ausgeübt wird. Als Maß für diese Wahrschein- lichkeit kann der Zeitwert angegeben werden. Er ist von diesen zusätzlichen wertbeein- flussenden Faktoren abhängig und wird mit abnehmender Restlaufzeit geringer. Der Optionswert ergibt sich vor dem Verfalltag aus dem inneren Wert plus dem Zeitwert.

Der Wert einer Option zum Zeitpunkt t vor dem Verfalltag, lässt sich bestimmen durch:

Wert der Option(t) = innerer Wert(t) + Zeitwert(t).

Ohne weitere Annahmen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. Kursprozesse dieser wertbeeinflussenden Faktoren lässt sich der Zeitwert und damit der theoretisch „faire“ Wert der Option vor dem Verfalltag nicht exakt bestimmen. Aus Arbitrage- beziehungen lassen sich aber Wertgrenzen angeben. Innerhalb dieser Grenzen lässt sich der Wert einer Option grob abschätzen. Diese präferenz- und verteilungsfreie Options- bewertung hat den Vorteil, dass sie unabhängig von jedem Bewertungsmodell gültig ist, da sie einzig auf dem Prinzip der Arbitragefreiheit beruht. Sie bildet somit den Rahmen einer rationalen Optionsbewertung und wird im folgenden getrennt für Kauf- und Ver- kaufsoptionen gebildet. Dividenden beeinflussen den Optionswert in besonderer Weise und erfordern entsprechende Korrekturen der Wertgrenzen.

2.4 Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Kaufoptionen

2.4.1 Arbitragebeziehung – Kaufoption und Basiswert

Amerikanische Kaufoptionen beinhalten im Gegensatz zu europäischen Kaufoptionen das zusätzliche Recht auf vorzeitige Ausübung. Eine Ausübung ist somit jederzeit, nicht nur am Verfalltag möglich. Wird angenommen das dieses zusätzliche Recht einen positiven Wert hat, gilt für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine amerikanische Kaufoption ist zu jedem Zeitpunkt t mindestens gleichviel oder mehr Wert als eine ausstattungsgleiche europäische Kaufoption. Die Differenz wird als „early exercise premium“ ϵ bezeichnet. Wird weiter angenommen, dass das Recht einen Basiswert zu irgendeinem Zeitpunkt t zu erwerben, nie wertvoller sein kann, als der Basiswertkurs St selbst, gilt unter Berücksichtigung der Bedingung (5) als Wertober- grenze für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis: Wird die Wertobergrenze St durch ct ﹥ St oder Ct ﹥ St verletzt, besteht für einen rational handelnden Marktteilnehmer die Möglichkeit zur Arbitrage. Zum Zeit- punkt t wird der Basiswert St gekauft und die Kaufoption ct bzw. Ct verkauft. Dadurch kann ein Zahlungsstrom in Höhe von ct — St bzw. Ct — St erzielt werden. Strategie 1: Wird die Option – bis zum oder am Verfalltag – ausgeübt (ST ﹥ X), ist der Basiswert zum Basispreis X zu liefern, d.h. es verbleibt ein Gesamtgewinn in Höhe von X zuzüg- lich des anfänglich verzinsten Zahlungsstroms. Strategie 2: Verfällt die verkaufte Option (ST ≤ X) erhält man den Basiswert mit ST ≥ 0, wieder zuzüglich des anfänglich verzinsten Zahlungsstroms. Das folgende Aribtragetableau zeigt diese Strategien:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In beiden Strategien besteht die Möglichkeit zur Arbitrage. Bei einer rationalen Opti- onsbewertung darf es keine Möglichkeit zur Arbitrage geben. Die Wertgrenze ist daher einzuhalten. Eine sehr einfache Abschätzung für die Wertuntergrenze erhält man aus der Eigenschaft, dass eine Option lediglich ein Recht und keine Verpflichtung beinhaltet, sodass die Kaufoption keinen negativen Wert haben kann. Unter Berücksichtigung der Bedingung (5) gilt für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis: Falls Bedingung (7) durch ct € 0 bzw. Ct € 0 verletzt wird, könnte über den Kauf der Kaufoption und deren Halten ein Arbitragegewinn erzielt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund des Rechts auf vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Kaufoption kann für sie eine weitere Wertuntergrenze angegeben werden. Ihr Wert muss zu jedem Zeit- punkt t mindestens dem inneren Wert entsprechen. Es gilt für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Käufer einer europäischen Kaufoption erhält das Recht am Verfalltag den Basis- wert zum Basispreis X zu erwerben. Bis zu diesem Zeitpunkt kann er den Betrag risiko- los am Kapitalmarkt anlegen. Daher gilt für den Wert einer europäischen Kaufoption:5

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


1 Es wäre hier angebrachter von einem theoretisch „fairen“ Wert anstatt von einem Preis zu sprechen. Der theoretisch „faire“ Wert einer Option ist das Ergebnis eines Bewertungsmodells. Dieser soll im folgenden bestimmt werden. Er sollte nicht fälschlicherweise als der einzig, „wahre“ Wert verstanden werden. Er ist vielmehr „fair“ im Sinne des jeweiligen Modells und dessen Annahmen. Der Preis einer Option ist das Ergebnis einer marktmäßigen Bewertung und weicht in der Regel vom theoretisch „fairen“ Wert ab.

2 Vgl. Merton (1973), S. 143, Annahme 1.

3 Vgl. Neus (2007), S. 328.

4 Ausstattungsgleiche Optionen haben denselben Basiswert, Basispreis, und dieselbe Laufzeit.

5 Vgl. Merton (1973), S. 144, Theorem 1.

Final del extracto de 25 páginas

Detalles

Título
Optionsbewertung nach Robert C. Merton (1973)
Universidad
University of Tubingen  (Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Abteilung Betriebswirtschaftslehre I: Bankwirtschaft)
Curso
Nobelpreisträger
Calificación
1,7
Autor
Año
2009
Páginas
25
No. de catálogo
V128820
ISBN (Ebook)
9783640350421
ISBN (Libro)
9783640350148
Tamaño de fichero
1234 KB
Idioma
Alemán
Palabras clave
Optionen, Derivate, Finanzinstrumente, Black, Scholes, Kaufoption, Verkaufsoption, Call, Put, Matlab, Put-Call-Parität, Black-Scholes-Formel, präferenzfrei, verteilungsfrei, Bewertung, Hedging, Delta, Optionsbewertung, Robert Merton, duplizieren, Universität Tübingen, optimale Ausübungspolitik, down and out Call, Volatilität, Basiswert, Basispreis, Ausübungspreis, Dividenden, Dominanz, Arbitragefreiheit, Wertgrenzen, Zeitwert, europäische Option, amerikanische Option, Black-Scholes Differentialgleichung, Delta-Hedging, fairer Wert, fairer Preis, Theorie of rational Option Pricing, Optionsprämie, Risikotranfer, Finanzmärkte, erwartete Rendite, Verteilungsfunktion, Aktienkurse, Log-Normalverteilung, geometrisch Brownsche Bewegung, kontinuierlich, Arbitragebeziehung, Basiswertkurs, Fälligkeit, Wiener Prozess, Stochastik, dynamische Handelsstrategie, Arbitrage
Citar trabajo
Jan Dölker (Autor), 2009, Optionsbewertung nach Robert C. Merton (1973), Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/128820

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