Eine Option gibt das Recht, gegen Zahlung einer Optionsprämie einen bestimmten Basiswert zu einem bereits heute festgelegten Basispreis, zu einem zukünftigen Zeitpunkt zu kaufen (Kaufoption), oder zu verkaufen (Verkaufsoption). Grund für den weltweit zunehmenden Handel mit Optionen ist die hohe Volatilität auf den verschiedenen Märkten (z.B. Aktien-, Devisen-, Rohstoffmärkte). Volatilität bedeutet Risiko und beinhaltet sowohl Chancen als auch Gefahren. Die Chancen bestehen darin, aus Kursschwankungen Gewinne zu erzielen, die Gefahren, Verluste zu erleiden. Optionen übertragen das Risiko an diejenigen, die bereit und in der Lage sind, dieses zu übernehmen. Sie ermöglichen ein kostengünstiges und effizientes Risikomanagement. Voraussetzung für den Handel mit Optionen ist, dass der Preis einer Option (die Optionsprämie) so festgelegt wird, dass sowohl der Optionskäufer, als auch der Optionsverkäufer in der Option ein faires Geschäft sehen. Die Optionsbewertungstheorie versucht diesen theoretisch „fairen“ Preis anzugeben. Für die Übernahme von Risiko wird von einem risikoaversen Marktteilnehmer eine Risikoprämie gefordert. Das Problem der Optionsbewertung war, dass je nach Risikoeinstellung der Marktteilnehmer diese Risikoprämie variierte. Daher war sie in der Optionsbewertung kaum zu erfassen. Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton gelang es Anfang der Siebziger Jahre eine Formel zur Optionsbewertung zu bestimmen die nicht mehr von den Risikopräferenzen der Marktteilnehmer abhängig war. „Für eine neue Methode der Bewertung von derivaten Instrumenten“ bekamen Robert Merton und Myron Scholes im Jahr 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen. Fischer Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben. Die Frage, wie mit Hilfe der Black-Scholes Formel eine Option theoretisch „fair“ bewertet wird, und welchen Beitrag der Nobelpreisträger Robert Merton zur Optionsbewertung geleistet hat ist Gegenstand dieser Seminararbeit. Grundlage ist seine Veröffentlichung aus dem Jahr 1973 „Theorie of Rational Option Pricing“.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung
2.1 Prinzip der Arbitragefreiheit
2.2 Die Annahmen des Modells
2.3 Wert einer Option in Abhängigkeit der Restlaufzeit
2.4 Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Kaufoptionen
2.4.1 Arbitragebeziehung – Kaufoption und Basiswert
2.4.1 Arbitragebeziehung – Kaufoption und andere Einflussgrößen
2.4.2 Optimale Ausübungspolitik
2.5 Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Verkaufsoptionen
2.5.1 Arbitragebeziehung – Verkaufsoption und Basiswert
2.5.2 Arbitragebeziehung – Verkaufsoption und andere Einflussgrößen
2.5.3 Optimale Ausübungspolitik
2.6 Put-Call-Parität
3. Die Black-Scholes Formel
4. Erweiterungen der Black-Scholes Formel
4.1 Berücksichtigung von Dividendenzahlungen
4.2 Bewertung einer „down and out“- Kaufoption
4. Zusammenfassung
5. Anhang
5.1 Softwarelösung MATLAB
6. Literaturverzeichnis
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Seminararbeit zielt darauf ab, die Grundlagen der rationalen Optionsbewertung nach Robert C. Merton zu erläutern und den Beitrag des Nobelpreisträgers zur Entwicklung der Black-Scholes-Formel und deren Erweiterungen zu untersuchen.
- Grundlagen der arbitragefreien Bewertung und Annahmen des Modells
- Wertgrenzen und Arbitragebeziehungen für Kauf- und Verkaufsoptionen
- Herleitung und Bedeutung der Black-Scholes-Formel
- Erweiterung der Bewertungsmethodik um Dividenden und Pfadabhängigkeiten (down and out-Optionen)
- Praktische Implementierung und Analyse mittels MATLAB
Auszug aus dem Buch
2.1 Prinzip der Arbitragefreiheit
Ausgangspunkt einer rationalen Optionsbewertung ist ein vollkommener Kapitalmarkt. Unter Arbitrage versteht man die Erzielung von risikolosen Zahlungsüberschüssen – ohne Anfangsauszahlung – durch Nutzung von Preisunterschieden äquivalenter oder dominanter Positionen (Wertpapiere oder Portefeuilles) und deren simultanen Kauf und Verkauf. Der Zahlungsüberschuss kann sofort oder zu einem späteren Zeitpunkt anfallen. Arbitragegeschäfte bauen daher prinzipiell auf Dominanz oder Äquivalenz auf.
Zwei Positionen A und B sind äquivalent, wenn Position A in jedem zukünftigen Zeitpunkt und Zustand gleichhohe Zahlungen liefert wie Position B.
Eine Position A dominiert eine Position B, wenn sie in jedem zukünftigen Zeitpunkt und Zustand mindestens gleichhohe Zahlungen wie B und in mindestens einem Zeitpunkt und Zustand eine höhere Zahlung als B liefert.
Voraussetzung für eine rationale Optionsbewertung ist, dass die Option so bewertet wird, dass sie weder dominant gegenüber einer anderen Option ist, noch von dieser dominiert wird. Es darf daher keine Möglichkeit zur Arbitrage geben. Aus den Äquivalenz- und Dominanzüberlegungen lässt sich das Prinzip der Arbitragefreiheit ableiten:
Im Marktgleichgewicht gilt:
1) Zwei äquivalente Positionen haben denselben Preis (law of one price).
2) Eine Position, die eine andere dominiert hat einen höheren Preis.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Bedeutung derivater Instrumente und die Relevanz der Optionsbewertung für das Risikomanagement sowie die wissenschaftliche Fragestellung.
2. Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung: Darlegung des Prinzips der Arbitragefreiheit sowie Definition der notwendigen Modellannahmen und Wertgrenzen für verschiedene Optionsarten.
3. Die Black-Scholes Formel: Vorstellung des Bewertungsmodells unter Annahme einer geometrischen Brownschen Bewegung und konstanter Parameter.
4. Erweiterungen der Black-Scholes Formel: Analyse von Modellerweiterungen hinsichtlich der Berücksichtigung von Dividenden sowie der Bewertung von Barriere-Optionen.
4. Zusammenfassung: Synthese der Ergebnisse zur Bedeutung des Delta-Hedging und der Leistungsfähigkeit des Merton-Ansatzes.
5. Anhang: Demonstration der praktischen Anwendung der theoretischen Modelle durch Implementierung in MATLAB.
6. Literaturverzeichnis: Auflistung der verwendeten wissenschaftlichen Quellen.
Schlüsselwörter
Optionen, Optionsbewertung, Black-Scholes, Arbitragefreiheit, Delta-Hedging, Basiswert, Volatilität, Finanzmarkt, Derivate, Preisbildung, Call-Option, Put-Option, Risikomanagement, mathematische Modellierung, MATLAB
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die wissenschaftliche Herleitung und Anwendung rationaler Optionsbewertungsmodelle, insbesondere der Ansätze von Black, Scholes und Merton.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zu den zentralen Themen gehören die Arbitragefreiheit als Grundlage der Bewertung, die mathematische Modellierung von Optionspreisen und deren Erweiterung auf komplexe Szenarien wie Dividendenzahlungen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie mittels arbitragefreier Preisbildung ein theoretisch „fairer“ Optionswert bestimmt werden kann und welchen Beitrag Robert C. Merton hierzu geleistet hat.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Arbeit nutzt analytische Methoden der Finanzmathematik, insbesondere das Ito-Lemma zur Herleitung von Differentialgleichungen, sowie die computergestützte Simulation in MATLAB.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Herleitung von Wertgrenzen, der Black-Scholes-Formel, der Theorie des Delta-Hedging und der Implementierung dieser Modelle zur Sensitivitätsanalyse.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie arbitragefreie Bewertung, Volatilität, Basiswert und Delta-Hedging geprägt.
Warum ist das Prinzip der Arbitragefreiheit für das Modell so essenziell?
Ohne die Annahme der Arbitragefreiheit könnten Marktteilnehmer risikolose Gewinne erzielen, was einem stabilen Marktgleichgewicht und somit der Bestimmung eines einheitlichen „fairen“ Preises widersprechen würde.
Welche Rolle spielt MATLAB in der Arbeit?
MATLAB wird genutzt, um die theoretischen Formeln praktisch anzuwenden, Optionspreise zu berechnen und die Sensitivität der Optionswerte gegenüber veränderten Marktparametern grafisch zu visualisieren.
- Citation du texte
- Jan Dölker (Auteur), 2009, Optionsbewertung nach Robert C. Merton (1973), Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/128820
