Empirische Kapitalmarktforschung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlegende Begriffe der Statistik
2.1 Varianz und Standardabweichung
2.2 Kovarianz
2.3 Erwartungswert

3 Bereichsfelder der empirischen Kapitalmarktforschung
3.1 Schatzungen
3.1.1 Das Urnenmodell
3.1.2 Daten
3.1.3 Schatzung des Erwartungswertes
3.1.4 Schatzung von Varianz und Kovarianz
3.2 Schatzfehler
3.2.1 Konfidenzintervalle
3.2.2 StichprobengroBe
3.3 Modellfehler
3.3.1 Realitatsnahe von Rendite-Modellen
3.3.2 Normalverteilung
3.4 Schiefe
3.5 Kurtosis

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Versicherung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Rechtsschiefe Verteilung

Abbildung 2: Linksschiefe Verteilung

Abbildung 3: Leptokurtosis

1 Einleitung

Die Kapitalmarktforschung hat in den vergangenen Jahrzehnten stark an Bedeutung gewonnen. Sowohl auf der theoretischen Seite, als auch im Bereich der empirischen Kapitalmarktforschung wurden groBe Fortschritte gemacht, um Gestaltungsaufgaben im Bereich der Kapitalanlagen oder der Risikostreuung besser ausfullen zu konnen. Das Wirtschaftsleben wird da- von gepragt wie man sinnvoll Geld anlegen kann, wie sich bei einer Geld- anlage die Renditen entwickeln konnen und wie hoch das Risiko ausfallt. Um diesem Thema naher zu kommen, sind im Bereich der empirischen Kapitalmarktforschung Methoden und Ansatze entwickelt worden, die zur Bewaltigung dieser Aufgaben dienen sollen.

Diese Arbeit soll einen Einblick in die empirische Kapitalmarktforschung geben und einige Bereichsfelder darstellen. So werden im zweiten Kapitel zunachst grundlegende Begriffe der Statistik dargestellt, um einen generel- len Einblick in das Thema zu finden. Im dritten Kapitel wird dann konkret auf einige Bereiche der empirischen Kapitalmarktforschung eingegangen. Insbesondere stehen hier die Schatzungen, Schatzfehler, Modellfehler, Schiefe und Kurtosis im Fokus der Arbeit, die im weiteren Verlauf darge- stellt und erlautert werden. Das Fazit fasst die zentralen Punkte dieser Ar­beit zusammen und gibt einen kleinen Ausblick auf zukunftige Entwicklun- gen im Bereich der empirischen Kapitalmarktforschung.

2 Grundlegende Begriffe der Statistik

2.1 Varianz und Standardabweichung

Sowohl bei der Varianz als auch bei der Standardabweichung handelt es sich um Streuungsparameter. Zunachst soll auf die Varianz eingegangen werden. Die Varianz Var(X), welche auch als adargestellt wird, ist das StreuungsmaB fur eine Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X). Sie stellt die mittlere quadratische Abweichung von Haufigkeitsverteilungen dar.

Bei einer diskreten Zufallsvariable X gilt dann:^[1]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei bezeichnet eine diskrete Zufallsvariable endliche oder abzahlbar unendliche Werte.^[2]

Bei einer stetigen Zufallsvariable X gilt: ^[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Zufallsvariable wird dann als stetig bezeichnet wenn bei zwei Werten a<b jeder Zwischenwert in diesem Intervall moglich ist.^[4]

Bis auf einige Ausnahmen auf die hier nicht naher eingegangen werden soll, ist die Varianz immer positiv. Zieht man hieraus die Wurzel, so erhalt man die Standardabweichung, fur welche also gilb[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Entsprechend der Darstellung der Varianz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird die Standardabweichung mit dem Symbol a dargestellt.^[5]

2.2 Kovarianz

Bei der Kovarianz handelt es sich um eine MaBzahl fur zwei Zufallsvariab- len X und Y. Es handelt sich hierbei um den Erwartungswert der beiden genannten Zufallsvariablen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die wie folgt definiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beide Variablen sind das Produkt von Zufallsvariablen und sind um Null zentriert. Weisen X und Y einen linearen Zusammenhang auf ist das Pro­dukt positiv, tun sie es nicht, ist das Produkt negativ.

Auch hier wird zwischen stetigen und diskreten Zufallsvariablen unter- schieden. Fur die diskreten Zufallsvariablen gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fur die stetigen Zufallsvariablen gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3 Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X) ist ebenfalls eine MaBzahl fur das Zentrum einer bestimmten Verteilung. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable mit den Werten xksowie der Wahrscheinlichkeit pk, wird wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fur den Erwartungswert wird oftmals die Schreibweise „verwendet. Der Erwartungswert ist von dem ahnlich zu berechnenden arithmetischen Mittel zu separieren. Das arithmetische Mittel definiert die Lage von Daten, der Erwartungswert hingegen die Lage der Verteilungen. Kurz formuliert ist der Erwartungswert also ein Wert mit den Wahrscheinlichkeiten pt gewichtetes

Mittel, der von X moglichen Werte xt .^[6]

Der Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen wird wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Eigenschaften des Erwartungswertes bei diskreten Zufallsvariablen lassen sich auf die mit stetigen Zufallsvariablen ubertragen.^[7]

3 Bereichsfelder der empirischen Kapitalmarktforschung

3.1 Schatzungen

3.1.1 Das Urnenmodell

Fur die Schatzung der Renditen soll im Folgenden das Urnenmodell vorge- stellt werden, da dieses nach vorherrschender Meinung die groBte Reali- tatsnahe hat.

Das Urnenmodell ist ein Instrument der Statistik und veranschaulicht an- hand von Kugeln, (2 verschiedene Farben) die aus einer Urne gezogen werden, diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen.^[8]

Im Bezug auf die Rendite weist das Urnenmodell folgende Eigenschaften auf: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen ist immer die gleiche, da davon ausgegangen werden kann, dass die Urne, aus der die Renditen „gezogen“ werden, immer die gleiche ist. Diese Eigenschaft wird als Statio- naritat bezeichnet. Die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind somit ebenfalls konstant. Eine weitere Eigenschaft des Urnenmodells be- steht in der Unabhangigkeit der Perioden voneinander. Bei hohen Renditen in einer Periode kann nicht davon ausgegangen werden, dass diese hohen Renditen wieder erreicht werden konnen. Dies hangt unter anderem damit zusammen, dass alle Informationen an den Finanzmarkten unverzuglich verarbeiten werden. Die Preisbildung findet umgehend statt. Die dritte Ei- genschaft des Urnenmodells bezogen auf die Renditen ist die Normalver- teilung der (diskreten) Renditen. Dies gilt aber nur dann, wenn ein Zeitraum von ungefahr einem Jahr betrachtet wird.

Daher lasst sich das Urnenmodell in Kurzform wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das R bezeichnet dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das i be- schreibt die Unabhangigkeit voneinander. Das id bedeutet identically dist­ributed und beschreibt also die identische Verteilung der Renditen in den einzelnen Perioden. Das N steht fur die Normalverteilung.^[9]

3.1.2 Daten

Fur die Schatzung einer zukunftigen Rendite mussen nun die Verteilungs- parameter bestimmt werden. Da es sich um zukunftige GroBen handelt, gelten diese naturlich als unsicher. Makrowitz, der grundlegende Arbeiten uber die Portfoliotheorie verfasst hat, gibt als Verteilungsparameter den Erwartungswert der zukunftigen Rendite, sowie die Streuung, also die Standardabweichung an. Betrachtet man die Diversifikation von Renditen, also verschiedene Anlagen, spielt ebenfalls die Korrelation der Rendite eine Rolle.

Um diese Daten nun erheben zu konnen, greift man auf historische Daten zuruck. Aus diesem Datenmaterial werden die Verteilungsparameter ge schatzt.^[10] Die historischen Daten konnen hier als eine Stichprobe gesehen werden. Da die Daten auch tatsachlich eine Zufallsstichprobe widerspie- geln mussen, durfen die Daten keineswegs verzerrt werden. Eine Verzer- rung der Daten konnte sich aus folgenden Problemen ergeben:

- Es werden nur Daten verwendet, die einfach zu beschaffen sind
- Es werden nur Daten von den Markten verwendet, die heute noch exis- tieren. Nicht mehr existierende Markte werden nicht berucksichtig
- Es werden Informationen verwandt, die erst spater bekannt wurden
- Es werden nur Daten von groBen, internationalen Firmen verwandt, nicht aber die Daten von Unternehmen, die sich nicht in einem gewissen Index befinden.

Um tatsachlich unverzerrte Informationen zu erhalten, muss sorgfaltig ge- arbeitet werden, sodass diese Daten auch tatsachlich als Zufallsstichprobe angesehen werden konnen.^[11]

3.1.3 Schatzung des Erwartungswertes

Unter der Voraussetzung, dass bei den Daten keinerlei Verzerrung stattge- funden hat und somit die historischen Daten als Zufallsstichprobe angese­hen werden konnen, kann nun der Erwartungswert der zukunftigen Rendite geschatzt werden. Wie bereits in Kapitel 3.1.1 dargestellt, gehen wir von einer normalverteilten unabhangigen Ziehung aus. Das bedeutet fur die Schatzung des Erwartungswertes eine relativ einfache Vorgehensweise. Es werden hierfur sogenannte Standardschatzer verwendet, also eine stan- dardisierte Schatzfunktion. Diese mussen verschiedene Eigenschaften aufweisen:^[12]

- Ein guter Schatzer zeichnet sich dadurch aus, dass er dem tatsachli- chen Wert moglichst nahe kommt. Die Differenz zwischen der Schat­zung und dem tatsachlichen Wert bezeichnet man als Schatzfehler. Ziel ist es, dass der Schatzfehler verschwindet. Eine Schatzfunktion ohne Schatzfehler wird als „erwartungstreu“ oder „unverzerrt“ bezeichnet.

- Aufgrund der Schwierigkeit einer erwartungstreuen Schatzfunktion, ist eine zweite Eigenschaft dieser Funktion die Konsistenz. Sie stellt mini­male Anforderungen an eine Schatzfunktion. Die Konsistenz besteht dann, wenn mit einem größer werdenden Stichprobenumfang die Wahrscheinlichkeit größer wird, dass die Schätzung mit dem tatsächlichen Wert übereinstimmt.^[13]

[...]

^[1] Vgl. Fahrmeier/Kunstler/Pigeot/Tutz (2009), S. 227.

^[2] Vgl. Bamberg/Baur/Krapp (2007), S. 122.

^[3] Vgl. Bamberg/Baur/Krapp (2007), S. 122.

^[4] Vgl. Fahrmeier/Kunstler/Pigeot/Tutz (2009), S. 269.

^[5] Vgl. Bamberg/Baur/Krapp (2007), S. 122.

^[6] Vgl. Fahrmeier/Kunstler/Pigeot/Tutz (2009), S. 242.

^[7] Vgl. Fahrmeier/Kunstler/Pigeot/Tutz (2009), S. 283.

^[8] Vgl. Stiefl (2006), S. 81.

^[9] Vgl. Spremann (2006), S.76ff.

^[10] Vgl. Spremann(2002). S. 51

^[11] Vgl. Spremann (2006), S. 120f.

^[12] Vgl. Spremann (2006), S. 121.

^[13] Vgl. Assenbacher (2002), S. 73ff.