Grundlagen, Herleitung und Eigenschaften des Black-Scholes-Modells


Hausarbeit, 2009

17 Seiten, Note: 1.7


Leseprobe

Gliederung:

1. Einführung

2. Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells
2.1 Eine erhebliche Rolle des Modells bei der Bewertung von Finanzoptionen
2.2 Brown´sche Bewegung
2.3 Wiener-Prozess
2.4 Filtration Marktzuteilung
2.5 Martingal
2.6 Itǒ-Prozess
2.7 Basiswert von Wertpapieren

3. Die Black-Scholes Differentialgleichung
3.1 Annahmen des Black-Scholes-Modells
3.2 Itǒ`s Lemma
3.3 Delta-Hedging. Wert des Portfolios

4. Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung
4.1 Die Wärmeleitungsgleichung
4.2 Feymann Kac Theorem
4.3 Europäische Call-Option
4.4 Sensitivitätskennzahlen

5. Bedeutung des Modells fürs Praxis

Literatur

1. Einführung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Darstellung des Black-Merton-Scholes Modells, der Erläuterung der mathematischen Modellbildung und der Anwendung auf die Bewertung einer Option. Zuerst werden die Grundlagen des Black-Scholes-Merton Modells und wichtige Begriffe erläutert, im nächsten Abschnitt wird die Differentialgleiching des Modells hergeleitet. Anschließend wird die Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung durchgeführt sowie die Verdeutlichung der Sensitivitätskennzahlen gemacht. Ein numerisches Beispiel am Ende der Arbeit zeigt der Zusammenhang zwischen dem Black-Scholes Preis und einem Deltahedge.

2. Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells

2.1 Eine erhebliche Rolle des Modells bei der Bewertung von Finanzoptionen.

Das Black-Scholes -Modell stellt ein finanzmathematisches Modell dar, das bei der Bewertung von Finanzoptionen eine entscheidende Rolle spielt. Bei der Optionsbewertung besteht die Schwierigkeit, für die Kursrisiken eine passende Prämie zu definieren. Die Risikoprämie hängt von den Risikoeinstellungen der Marktteilnehmer ab. Die Risikoeinstellungen verändern sich jedoch mit der Zeit. Das Black-Scholes -Modell vermeidet bestimmte Anforderungen für die Risikoprämie. Das Modell wurde 1973 von Fischer Black und Myron Samuel Scholes veröffentlicht. Robert C. Melton veröffentlichte einen separaten Artikel. Er war ebenfalls an der Ausarbeitung des Modells beteiligt und wurde 1997 zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Nobelpreis für Wirtschaftwissenschaften geehrt. Leider verstarb Black bereits 1995. Die Eigenartigkeit, Einmaligkeit und Originalität des Modells ist umstritten.

2.2 Brown´sche Bewegung

Der schottische Botaniker Robert Brown (1773-1858) entdeckte im Jahr 1827 Wärmebewegung von Teilchen. Diese Bewegung nennt man brown´sche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung). Robert Brown beobachtete unter dem Mikroskop, wie Pollenkörner in einem Wassertropfen regellose Bewegungen machten. Eine Erklärung dafür sind die unsichtbaren Moleküle des Wassers, die von allen Seiten gegen die sichtbaren Pollenteilchen stoßen. Das ist ein naturwissenschaftliches Phänomen der brown´schen Bewegung. Das mathematische Modell gleichen Namens ist als Wiener-Prozess bekannt.

2.3 Wiener-Prozess.

Man kann die Pollen als eine Aktie und das Wasser als den Aktienmarkt darstellen. 1923 hat der amerikanische Mathematiker Norbert Wiener eine mathematische Formulierung der brown´sche Bewegung aufgestellt. Das Black-Scholes Modell basiert auf der Annahme, dass der natürliche Logarithmus des Basiswertes S einer Option einem Wiener-Prozess folgt. Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der unabhängige, normalverteilte Zuwächse hat. Wenn man den Wiener-Prozess als mathematisches Modell für die Bewegung verwendet, versteht man σ2 als mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens pro Zeiteinheit.

In den 1940er Jahren, seit der Einführung der Stochastischen Analysis durch Itǒ Kiyoshi, spielt der Wiener-Prozess die zentrale Rolle im Kalkül der zeitstetigen Stochastischen Prozesse. Bei Betrachtung des Standard Wiener -Prozesses befassen wir uns mit einer Veränderung eines Partikels in einem kleinen und in einem großen Zeitintervall. Zuerst nehmen wir an, dass Δ x eine Veränderung eines Partikels in einem kleinen Zeitintervall Δ t ist.

Eine weitere Annahme ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dann der Erwartungswert von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Die Varianz von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aus diesen beiden Gleichungen erfolgt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Wenn wir einen großen Zeitintervall T nehmen, haben wir T = n ⋅ Δ t, weil T aus n kleineren Intervallen Δ t besteht.

Dann ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Wir berechnen jetzt den

Erwartungswert und die Varianz vonx [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus diesen beiden Gleichungen erfolgt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] betrachtet man ein stetiges Intervall, d.h. dass T in extrem kleine Intervalle unterteilt ist und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Daraus folgt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

2.4 Filtration

Zusätzlich zur Brown´schen Bewegung selbst werden wir eine Notation für die zu jeder Zeit verfügbare Information brauchen. Man tut das mit einer Filtration. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem eine Brown´sche Bewegung W (t), t ≥ 0 definiert wird.

Ein adaptierter an der Filtrierung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stochastischer Prozess [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt Wiener-Prozess oder Standard Brownsche Bewegung, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

1. W 0 = 0 (P- fast sicher), d.h. in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt ein Ereignis E∈ Σ fast sicher, wenn P(E) = 1.
2. Für zwei beliebige Zeitintervalle Δ t sind alle Werte von ΔW unabhängig.
3. Für gegebenes s mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Zuwächse sind also stationär und normalverteilt. Die Änderung Δ W in einem kleinen Zeitraum [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist gleich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],wobei ε der Standartnormalverteilung N (0, 1) unterliegt.
4. Es gibt immer eine fast sicher stetige Version des Prozesses (das lässt sich mit dem Stetigkeitssatz von Kolmogorow-Centsow zeigen).

2.5 Martingal

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um den Begriff Martingal einzuführen. Ein Martingal ist ein stochastischer Prozess, in dem der Erwartungswert einer Beobachtung gleich dem Wert der vorigen Beobachtung ist, ein stochastischer Prozess mit einer Drift von Null. Theorem: Brown´sche Bewegung ist ein Martingal.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn (Wt) ein Wiener-Prozess ist, so nennt man den stochastischen Prozess [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Brownsche Bewegung mit Drift μ (Drift ist die mittlere Änderung eines stochastischen Prozesses pro Zeiteinheit) und Volatilität σ. Damit lassen sich auch stochastische Prozesse darstellen, die tendenziell eher steigen (μ > 0) oder tendenziell eher fallen (μ < 0). Dabei gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der einfache Wiener- Prozess hat eine Driftrate von 0 (der Erwartungswert von W zu jedem zukünftigen Punkt ist gleich seinem aktuellen Wert) und eine Varianzrate von 1,0 (die Varianz der Änderung von W in einem Zeitraum der Länge T gleich T ist). Man kann einen allgemeinen Wiener-Prozess für eine Variable x als folgendes definieren: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei a und b Konstanten sind.

2.6 Itǒ-Prozess

Ein weiterer Typ stochastischer Prozesse ist der Itǒ-Prozess. Da eine Aktie nur positive Werte annehmen kann und ein Pfad eines Wiener Prozesses kann auch negative Werte annehmen, wenden wir uns zu einem Itǒ-Prozess. Ein Itǒ-Prozess ist ein allgemeiner Wiener- Prozess, bei dem die Parameter a und b Funktionen von Variablen x und der Zeit t sind. Die Inkremente von x(dx) setzen sich aus zwei Teilen zusammen: aus einem deterministischen und einem stochastischen Teil. Dieser Prozess kann man durch die Gleichung definieren: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die Varianzrate und die erwartete Driftrate eines Itǒ-Prozesses können mit der Zeit sich ändern. In einem kleinen Zeitintervall zwischen t und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unterliegt die Variable x die Änderung von x zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit der Annahme, dass Drift- und Varianzrate von x im Intervall [ t, t + Δ t ] konstant die Werte a(x,t) und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aufweisen.

2.7 Basiswert von Wertpapieren

R. Sundaram in seiner Arbeit „Equivalent Martingale Measures and Risk- Neutral Pricing: An Expository Note „ hat der Basiswert von Wertpapieren auf Grund einer geometrischen brownschen Bewegung als folgendes beschrieben: Es gibt zwei Typen von Wertpapieren, der erste Typ (Bond) ist risikolos. Der Zinssatz r (jetzt in stetigen Bedingungen) ist konstant, so dass die Bindung des Preises entwickelt sich von seinem ursprünglichen Wert Β = 1 nach der gewöhnlichen Differentialgleichung: dB = rBdt. Der zweite Typ (Stock) ist riskant. Sein Preis entwickelt sich von seinem ursprünglichen Wert S nach der stochastischen

[...]

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
Grundlagen, Herleitung und Eigenschaften des Black-Scholes-Modells
Hochschule
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Note
1.7
Autor
Jahr
2009
Seiten
17
Katalognummer
V160858
ISBN (eBook)
9783640745913
ISBN (Buch)
9783640746521
Dateigröße
542 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Black-Scholes-Merton-Modell, Wiener Prozess, Feyman Kac Theorem, Bewertung von Finanzoptionen, Kursrisiken
Arbeit zitieren
Dipl.-Volksw. Olena Moor (Autor), 2009, Grundlagen, Herleitung und Eigenschaften des Black-Scholes-Modells, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/160858

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