Die vorliegende Facharbeit soll als zusammenfassendes Nachschlagewerk über den mathematischen Themenbereich der gymnasialen Oberstufe dienen, in besonderer Hinsicht auf die Abitur-Vorbereitung.
Inhaltsübersicht
1. Definitionen im Koordinatensystem
1.1 Das kartesische Koordinatensystem
1.2 Punkte
1.3 Geraden
1.4 Funktionen
2. Funktionen
2.1 Lineare Funktionen
2.2 Steigung
2.3 Schnittpunkt
2.4 Schnittwinkel
2.5 Definitionsmenge
3. Binomische Formeln
4. Mitternachtsformel
5. Kurvendiskussion
5.1 Symmetrie
5.2 Nullstellen
5.2.1 Polynomdivision
5.2.2 Das Newton-Verfahren
5.3 Grenzverhalten
6. Die momentane Änderungsrate
6.1 Die Ableitungsfunktion
6.2 Tangenten
6.3 Normalen
6.4 Ableitungsregeln
6.5 Stetigkeit
6.6 Differenzierbarkeit
7. Extrempunkte
8. Wendepunkte
9. Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten
10. Monotonie
11. Funktionsbestimmung
11.1 Zwei-Punkte-Form
11.2 Punkt-Steigungs-Form
11.3 Regeln zur Regression
11.4 Regressionen mittels linearer Gleichungssysteme
11.5 Regressionen mittels grafikfähigem Taschenrechner (GTR)
12. Weitere Funktionstypen
12.1 Potenzfunktionen
12.1.1 Potenzgesetze
12.2 Ganzrationale Funktionen
12.3 Gebrochenrationale Funktionen
12.3.1 Polstelle
12.3.2 Asymptote
12.3.3 Näherungsfunktionen
12.3.4 Hebbare Lücken
12.3.5 Übersicht: Asymptoten und Näherungsfunktionen
12.4 Trigonometrische Funktionen
12.4.1 Grundlagen
12.4.1.1 Definition
12.4.1.2 Weitere Eigenschaften
12.4.1.3 Ableitungen
12.4.2 Verallgemeinerung
12.5 Exponentialfunktionen
12.5.1 Definition
12.5.2 Exponentialfunktionen zur Basis a
12.5.3 Natürliche Exponentialfunktionen
12.5.4 Logarithmus
12.5.4.1 Logarithmengesetze
12.5.5 Wurzelrechnung
12.5.6 Wachstum
12.5.6.1 Erkennungsmerkmale von Wachstum
12.6 Zusammengesetzte Funktionen
12.6.1 Ordinatenaddition
13. Verschiebung von Schaubildern
14. Integrale
14.1 Verkettung von Funktionen
14.2 Extremwertprobleme
14.3 Obersumme / Untersumme
14.4 Integralrechnung
14.5 Regeln zur Integration
14.6 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
14.7 Flächenberechnung
14.7.1 Zur x-Achse
14.7.2 Zwischen zwei Graphen
14.8 Rotationskörper
14.9 Uneigentliche Integrale
14.10 Mittelwerte von Funktionen
14.11 Numerische Integration: Die Kepler’sche Fassregel
15. Folgen und Grenzwerte
15.1 Definitionen
15.2 Rekursive Darstellung
15.3 Explizite Darstellung
15.4 Arithmetische Folgen
15.5 Geometrische Folgen
15.6 Übersicht über Folgen
15.7 Darstellung von Folgen mit dem GTR
15.8 Wachstumsvorgänge in rekursiver Darstellung
15.9 Monotonie
15.10 Beschränktheit
15.11 Grenzwerte
15.11.1 Grenzwertsätze
15.11.2 Konvergenz
15.12 Nullfolge
15.13 Vollständige Induktion
16. Wichtige Funktionen im Überblick
17. Lineare Gleichungssysteme
17.1 Ergebnis mit eindeutiger Lösung
17.2 Ergebnis ohne Lösung
17.3 Ergebnis mit unendlich vielen Lösungen
17.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Parameter
17.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit Parameter
18. Vektoren
18.1 Grundlegende geometrische Formeln
18.1.1 Zweidimensional
18.1.1.1 Kreis
18.1.1.2 Dreieck
18.1.1.3 Viereck
18.1.2 Dreidimensional
18.1.3 Satz des Pythagoras
18.1.4 Schwerpunkt eines Dreiecks
18.2 Raumdarstellungen
18.3 Der Ortsvektor
18.4 Der Betrag eines Vektors
18.5 Parallelität
18.6 Übereinstimmung
18.7 Der Gegenvektor
18.8 Der Nullvektor
18.9 Rechenoperationen
18.9.1 Addition
18.9.2 Subtraktion
18.9.3 Multiplikation mit einem Skalar
18.9.4 Skalare Multiplikation mit Vektoren
18.9.5 Division mit rationalen Koeffizienten
18.10 Mittelpunkte
18.11 Einheitsvektor
18.12 Lineare Abhängigkeit / Lineare Unabhängigkeit
18.12.1 Allgemeine Betrachtung
18.12.2 Räumliche Betrachtung
18.13 Geraden im Vektorraum
18.14 Gegenseitige Lage von Geraden
18.14.1 Schnittpunkt(e)
18.14.2 Schnittwinkel
18.14.3 Parallelität
18.15 Abstandsberechnungen
15.15.1 Gerade-Gerade
15.15.2 Punkt-Ebene (1)
15.15.3 Punkt-Gerade (1)
15.15.4 Punkt-Gerade (2)
15.15.5 Punkt-Punkt-Gerade
18.16 Bewegte Vektoren
18.17 Der Normalenvektor
18.17.1 Das Kreuzprodukt
19. Ebenenoperationen
19.1 Ebenendarstellungen
19.2 Ebenendarstellungen im Beispiel
19.3 Die Hesse’sche Normalenform
19.4 Graphische Darstellung von Ebenen
19.5 Gegenseitige Lage
19.5.1 Ebene - Gerade
19.5.1.1 Schnittpunkt
19.5.1.2 Schnittwinkel
19.5.2 Ebene - Ebene
19.5.2.1 Schnittgerade
19.5.2.2 Schnittwinkel
19.5.2.3 Parallelität
19.5.3 Punkt - Ebene (2)
20. Schnittwinkel Allgemein
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit dient als umfassendes mathematisches Nachschlagewerk für die gymnasiale Oberstufe und fungiert als systematisches Instrument zur zielgerichteten Vorbereitung auf die Abiturprüfungen.
- Systematische Darstellung grundlegender Funktionen und Kurvendiskussion
- Detaillierte Erläuterung der Differential- und Integralrechnung
- Umfassende Einführung in die Vektor- und Ebenengeometrie
- Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme
- Anwendungsbezogene Beispiele mit graphischer Unterstützung (GTR/Maple)
Auszug aus dem Buch
19.5.1.1 Schnittpunkt
1. Gegeben: eine Ebene und eine Gerade E1 : n1*x1 + n2*x2 + n3*x3 = b g : x = (p1, p2, p3) + t * (v1, v2, v3)
2. Rechnung: Gleichsetzen g : x = (p1 + t*v1, p2 + t*v2, p3 + t*v3) n1 * (p1 + t*v1) + n2 * (p2 + t*v2) + n3 * (p3 + t*v3) = b Ergebnis: t = i
-> Einsetzen des Ergebnisses in die Gerade g : x = (p1 + i*v1, p2 + i*v2, p3 + i*v3)
3. Interpretation des Resultats Durchstoßpunkt: D(p1 + i*v1 | p2 + i*v2 | p3 + i*v3)
Zusammenfassung der Kapitel
1. Definitionen im Koordinatensystem: Grundlagen des kartesischen Koordinatensystems sowie die Definitionen von Punkten, Geraden und Funktionen.
2. Funktionen: Einführung in lineare Funktionen, deren Steigung, Schnittpunkte, Schnittwinkel und Definitionsmengen.
3. Binomische Formeln: Darstellung der drei grundlegenden binomischen Formeln für die Algebra.
4. Mitternachtsformel: Anwendung der Mitternachtsformel zur Lösung quadratischer Gleichungen und Umgang mit der Diskriminante.
5. Kurvendiskussion: Methoden zur Bestimmung von Symmetrie, Nullstellen und Grenzverhalten einer Funktion.
6. Die momentane Änderungsrate: Einführung der Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln, Tangenten, Normalen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
7. Extrempunkte: Bedingungen zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten einer Funktion.
8. Wendepunkte: Kriterien für Wendepunkte bei differenzierbaren Funktionen.
9. Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten: Konzepte zur Bestimmung der Kurven, auf denen Extrem- und Wendepunkte von Funktionenscharen liegen.
10. Monotonie: Definition und Bestimmung von steigenden und fallenden Funktionsverläufen.
11. Funktionsbestimmung: Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen durch Punkte und Regression.
12. Weitere Funktionstypen: Umfassende Behandlung von Potenz-, ganzrationalen, gebrochenrationalen, trigonometrischen und Exponentialfunktionen inklusive Wachstumsprozessen.
13. Verschiebung von Schaubildern: Regeln für die horizontale und vertikale Verschiebung von Funktionsgraphen.
14. Integrale: Integralrechnung, Flächenberechnung, Rotationskörper und numerische Integrationsmethoden wie die Kepler’sche Fassregel.
15. Folgen und Grenzwerte: Definitionen von Folgen, deren Darstellung, Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und Induktionsbeweise.
16. Wichtige Funktionen im Überblick: Kompakte Zusammenstellung der Kerneigenschaften wichtiger Funktionstypen.
17. Lineare Gleichungssysteme: Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, inklusive Parametervarianten.
18. Vektoren: Grundlagen der Vektorgeometrie, Rechenoperationen, Geraden im Vektorraum und Normalenvektoren.
19. Ebenenoperationen: Darstellung von Ebenen, gegenseitige Lage und Schnittwinkelberechnungen.
20. Schnittwinkel Allgemein: Zusammenfassende Formeln für Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen.
Schlüsselwörter
Mathematik, Gymnasiale Oberstufe, Kurvendiskussion, Ableitung, Integralrechnung, Vektorgeometrie, Lineare Gleichungssysteme, Funktionen, Grenzwert, Folgen, Wachstumsprozesse, Trigonometrie, Exponentialfunktion, Logarithmus, Abiturvorbereitung
Häufig gestellte Fragen
Was ist das primäre Ziel dieser mathematischen Facharbeit?
Das Ziel ist es, ein übersichtliches Nachschlagewerk für die gymnasiale Oberstufe zu bieten, das alle mathematischen Themenbereiche der Oberstufe für die Abiturvorbereitung strukturiert zusammenfasst.
Welche Themenfelder werden in der Arbeit schwerpunktmäßig abgedeckt?
Die Arbeit umfasst Analysis (Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung), Analytische Geometrie (Vektoren, Geraden, Ebenen), Lineare Algebra sowie Folgen und Reihen.
Welche mathematischen Methoden und Hilfsmittel werden primär verwendet?
Es werden klassische mathematische Verfahren angewendet. Zur Veranschaulichung und Lösung komplexer Probleme wird der Einsatz von Grafikrechnern (speziell Texas Instruments TI-83 Plus) und Software wie Maple dokumentiert.
Wie ist der Hauptteil der Arbeit strukturiert?
Der Hauptteil ist logisch in Kapiteln gegliedert, die jeweils Definitionen, mathematische Formeln, Bedingungen für Berechnungen und anschauliche Beispiele enthalten.
Was unterscheidet das Newton-Verfahren von anderen Nullstellenberechnungen?
Das Newton-Verfahren ist eine iterative Methode, die besonders bei komplexen, nichtlinearen Gleichungen angewendet wird, bei denen eine direkte algebraische Lösung schwer möglich ist.
Wie lassen sich Gebrochenrationale Funktionen am besten untersuchen?
Die Untersuchung konzentriert sich auf die Analyse von Polstellen, Asymptoten, Näherungsfunktionen und hebbaren Lücken, um den Verlauf der Funktion im Unendlichen sowie an Definitionslücken zu bestimmen.
Welche Bedeutung hat das Kreuzprodukt für die Ebenengeometrie?
Das Kreuzprodukt ist entscheidend, um den Normalenvektor einer Ebene zu bestimmen, wenn zwei Richtungsvektoren gegeben sind, was für die Aufstellung der Ebenengleichung essenziell ist.
Warum wird zwischen dem beschränkten und dem exponentiellen Wachstum unterschieden?
Diese Unterscheidung ist notwendig, da reale Prozesse wie Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall unterschiedlichen mathematischen Gesetzmäßigkeiten unterliegen, was bei der Modellierung durch Differentialgleichungen berücksichtigt werden muss.
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- Felix Heckert (Autor), 2006, Mathematik in der gymnasialen Oberstufe, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/163027
