Extrait
M A T H E M A T I K
G Y M N A S I A L E O B E R S T U F E
Autor Felix Heckert
Datum 17. November 2011
Internet www.mathe-aufgaben.net
2
I
N H A L T
1.
Definitionen im Koordinatensystem
6
1.1
Das kartesische Koordinatensystem
6
1.2
Punkte
6
1.3
Geraden
6
1.4
Funktionen
6
2.
Funktionen
7
2.1
Lineare Funktionen
7
2.2
Steigung
7
2.3
Schnittpunkt
8
2.4
Schnittwinkel
8
2.5
Definitionsmenge
8
3.
Binomische Formeln
9
4.
Mitternachtsformel
9
5.
Kurvendiskussion
9
5.1
Symmetrie
9
5.2
Nullstellen
10
5.2.1
Polynomdivision
10
5.2.2
Das Newton-Verfahren
10
5.3
Grenzverhalten
11
6.
Die momentane Änderungsrate
12
6.1
Die Ableitungsfunktion
12
6.2
Tangenten
12
6.3
Normalen
13
6.4
Ableitungsregeln
13
6.5
Stetigkeit
13
6.6
Differenzierbarkeit
13
7.
Extrempunkte
14
8.
Wendepunkte
15
9.
Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten
15
10. Monotonie
16
11. Funktionsbestimmung
16
11.1
Zwei-Punkte-Form
16
11.2
Punkt-Steigungs-Form
16
11.3
Regeln zur Regression
16
11.4
Regressionen mittels linearer Gleichungssysteme
17
11.5
Regressionen mittels grafikfähigem Taschenrechner (GTR)
17
12. Weitere Funktionstypen
18
12.1
Potenzfunktionen
18
12.1.1
Potenzgesetze
18
12.2
Ganzrationale Funktionen
19
12.3
Gebrochenrationale Funktionen
19
12.3.1
Polstelle
19
12.3.2
Asymptote
20
12.3.3
Näherungsfunktionen
21
12.3.4
Hebbare Lücken
21
12.3.5
Übersicht: Asymptoten und Näherungsfunktionen
22
I
3
12.4
Trigonometrische Funktionen
23
12.4.1
Grundlagen
23
12.4.1.1
Definition
23
12.4.1.2
Weitere Eigenschaften
24
12.4.1.3
Ableitungen
24
12.4.2
Verallgemeinerung
25
12.5
Exponentialfunktionen
26
12.5.1
Definition
26
12.5.2
Exponentialfunktionen zur Basis a
26
12.5.3
Natürliche Exponentialfunktionen
26
12.5.4
Logarithmus
27
12.5.4.1
Logarithmengesetze
27
12.5.5
Wurzelrechnung
28
12.5.6
Wachstum
28
12.5.6.1
Erkennungsmerkmale von Wachstum
29
12.6
Zusammengesetzte Funktionen
30
12.6.1
Ordinatenaddition
30
13. Verschiebung von Schaubildern
30
14. Integrale
32
14.1
Verkettung von Funktionen
32
14.2
Extremwertprobleme
32
14.3
Obersumme / Untersumme
33
14.4
Integralrechnung
33
14.5
Regeln zur Integration
34
14.6
Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
34
14.7
Flächenberechnung
35
14.7.1
Zur x-Achse
35
14.7.2
Zwischen zwei Graphen
35
14.8
Rotationskörper
35
14.9
Uneigentliche Integrale
36
14.10 Mittelwerte von Funktionen
36
14.11 Numerische Integration: Die Kepler'sche Fassregel
37
15. Folgen und Grenzwerte
38
15.1
Definitionen
38
15.2
Rekursive Darstellung
38
15.3
Explizite Darstellung
38
15.4
Arithmetische Folgen
38
15.5
Geometrische Folgen
38
15.6
Übersicht über Folgen
39
15.7
Darstellung von Folgen mit dem GTR
39
15.8
Wachstumsvorgänge in rekursiver Darstellung
40
15.9
Monotonie
40
15.10 Beschränktheit
40
15.11 Grenzwerte
41
15.11.1 Grenzwertsätze
41
15.11.2 Konvergenz
42
15.12 Nullfolge
42
15.13 Vollständige Induktion
43
16. Wichtige Funktionen im Überblick
44
17. Lineare Gleichungssysteme
45
17.1
Ergebnis mit eindeutiger Lösung
46
17.2
Ergebnis ohne Lösung
46
17.3
Ergebnis mit unendlich vielen Lösungen
46
17.3.1
Lineare Gleichungssysteme ohne Parameter
46
17.3.2
Lineare Gleichungssysteme mit Parameter
47
II
4
18. Vektoren
47
18.1
Grundlegende geometrische Formeln
48
18.1.1
Zweidimensional
48
18.1.1.1
Kreis
48
18.1.1.2
Dreieck
48
18.1.1.3
Viereck
48
18.1.2
Dreidimensional
48
18.1.3
Satz des Pythagoras
49
18.1.4
Schwerpunkt eines Dreiecks
49
18.2
Raumdarstellungen
49
18.3
Der Ortsvektor
50
18.4
Der Betrag eines Vektors
50
18.5
Parallelität
50
18.6
Übereinstimmung
50
18.7
Der Gegenvektor
50
18.8
Der Nullvektor
51
18.9
Rechenoperationen
51
18.9.1
Addition
51
18.9.2
Subtraktion
51
18.9.3
Multiplikation mit einem Skalar
51
18.9.4
Skalare Multiplikation mit Vektoren
51
18.9.5
Division mit rationalen Koeffizienten
52
18.10 Mittelpunkte
52
18.11 Einheitsvektor
52
18.12 Lineare Abhängigkeit / Lineare Unabhängigkeit
52
18.12.1 Allgemeine Betrachtung
52
18.12.2 Räumliche Betrachtung
53
18.13 Geraden im Vektorraum
54
18.14 Gegenseitige Lage von Geraden
55
18.14.1 Schnittpunkt(e)
55
18.14.2 Schnittwinkel
56
18.14.3 Parallelität
56
18.15 Abstandsberechnungen
56
15.15.1 Gerade-Gerade
56
15.15.2 Punkt-Ebene (1)
57
15.15.3 Punkt-Gerade (1)
57
15.15.4 Punkt-Gerade (2)
57
15.15.5 Punkt-Punkt-Gerade
57
18.16 Bewegte Vektoren
58
18.17 Der Normalenvektor
59
18.17.1 Das Kreuzprodukt
59
19. Ebenenoperationen
60
19.1
Ebenendarstellungen
60
19.2
Ebenendarstellungen im Beispiel
61
19.3
Die Hesse'sche Normalenform
62
19.4
Graphische Darstellung von Ebenen
62
19.5
Gegenseitige Lage
63
19.5.1
Ebene - Gerade
63
19.5.1.1
Schnittpunkt
63
19.5.1.2
Schnittwinkel
64
19.5.2
Ebene - Ebene
64
19.5.2.1
Schnittgerade
64
19.5.2.2
Schnittwinkel
65
19.5.2.3
Parallelität
65
19.5.3
Punkt - Ebene (2)
65
20. Schnittwinkel Allgemein
66
III
5
V
O R W O R T
Die vorliegende Facharbeit soll als zusammenfassendes Nachschlagewerk über den
mathematischen Themenbereich der gymnasialen Oberstufe dienen, in besonderer Hinsicht auf
die Abitur-Vorbereitung.
Als Taschenrechner für die Bildschirmfotos und die Anleitungen diente ein ,,Texas Instruments
TI-83 Plus". Die übrigen Punkte, Funktionen, Vektoren und Ebenen wurden in Maple erstellt.
Es wird darauf hingewiesen, dass zur Vereinfachung in den entsprechenden Schaubildern die
Bezeichnungen der Funktionen statt beispielsweise ,,K
f
" und der Angabe ,,K
f
sei der Graph von
f" verwendet wird.
Karlsruhe, den 17. November 2011
6
1. Definitionen im Koordinatensystem
1.1
Das kartesische Koordinatensystem
Das kartesische Koordinatensystem (Abb. 1) besteht aus zwei
orthogonalen Zahlenstrahlen, die jeweils eine einheitliche
Einteilung in Längeneinheiten besitzen und sich im Ursprung O
schneiden. Die waagrechte Gerade wird als x-Achse, die
senkrechte Gerade als y-Achse bezeichnet.
1.2
Punkte
Ein Punkt der Form
)
( y
x
P
oder
y
x
f
=
)
(
,
R
y
x
Î
,
,
weist im kartesischen Koordinatensystem einer x-Koordinate
(Abszisse, x-Stelle) aus dem Definitionsbereich genau eine
y-Koordinate (Ordinate, y-Wert) zu.
Der Abstand
d
zwischen zwei Punkten
)
(
a
a
y
x
A
und
)
(
b
b
y
x
B
wird durch die Formel
(
) (
)
2
2
a
b
a
b
y
y
x
x
d
-
+
-
=
(siehe Pythagoras) beschrieben.
1.3
Geraden
Eine Gerade ist eine Linie ohne Anfangs- und Endpunkt. Sie
kann als Graph, soweit sie die Bedingungen von Funktionen
erfüllt, durch eine Funktion beschrieben werden.
1.4
Funktionen
Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, bei der jedem
Element der Definitionsmenge genau ein Element aus der
Zielmenge zugeordnet wird. Eine Funktion kann mehrere
Variablen enthalten oder durch beliebig viele Parameter zur
Funktionenschar (Abb. 3) werden.
Das kartesische 2D-Koordinatensystem stellt ein- und zweidimen-
sionale Objekte (Punkte, Funktionen, Vektoren, ...) dar, das
kartesische
3D-Koordinatensystem
stellt
ein-,
zwei-
und
dreidimensionale Objekte dar. In Koordinatensystemen können
bestimmte Informationen und Beziehungen visualisiert werden.
Funktionen
keine Funktionen
, weil es für einen
x-Wert mehrere
y-Werte gibt
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 1
P(1,4|2)
B
A
f
k
(x)=kx
k=1
k=2
k=3
k=4
7
;
y-Variable
Koeffizient
x-Variable
y-Achsen-
abschnitt
2. Funktionen
2.1
Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion f beschreibt einen Graphen mit
Geraden-Form, der bei positivem Vorzeichen der
Steigung m steigt und bei negativem Vorzeichen der
Steigung m fällt. Ist die Steigung und damit der
Koeffizient m=0, so ist der Graph von f zur x-Achse
parallel
oder
entspricht
ihr
gar.
Der
y-
Achsenabschnitt c gibt den Schnittpunkt S(0|c) mit
der y-Achse an der Stelle x=0 wieder.
Die allgemeine Hauptform linearer Funktionen lautet:
c
x
m
x
f
+
×
=
)
(
2.2
Steigung
Die Steigung m eines Graphen einer beliebigen linearen
Funktion f auf einem bestimmten Abschnitt kann entweder
über den Quotienten der Differenz des y-Abstandes durch
den x-Abstand zweier Punkte A(x
1
|y
1
) und B(x
2
|y
2
) mit dem
Differenzenquotienten
1
1
2
1
2
x
x
y
y
x
y
m
-
-
=
D
D
=
,
2
1
x
x ¹
,
beschrieben werden, oder mit Hilfe der ersten Ableitung für
jeden beliebigen Punkt P(x
0
|y
0
) mit f'(x
0
)=m mit dem
Differenzenquotienten
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
=
¢
®
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
x
x
f
x
f
m
x
f
x
x
.
Voraussetzung für die Bestimmung der Steigung
m
des
Graphen einer Funktion f im Intervall I ist immer, dass f im
Intervall I differenzierbar und damit auch stetig ist.
Für den Steigungswinkel gilt die Formel tan()=m,
°
<
£
°
180
0
a
. Der Steigungswinkel wird wie die Steigung
m in Relation zur x-Achse bestimmt.
Zwischen den Graphen von zwei linearen Funktionen mit
den Steigungen m
1
und m
2
besteht Orthogonalität, wenn gilt:
1
2
1
m
m
-
=
1
D
(sprich: Delta) ist das Symbol für die Veränderung bzw. die Differenz aus dem Größeren minus dem Kleineren
Andere Darstellungsformen sind:
Allgemein
Beispiel
;
Abb. 4
Abb. 5
f(x)=2x+1
y
x
8
2.3
Schnittpunkt
Um den Schnittpunkt der Graphen zweier (z.B. linearer)
Funktionen f und g zu bestimmen, setzt man sie gleich:
f(x)=g(x) um herauszufinden, für welche x-Stelle beide
Graphen im y-Wert einander entsprechen.
2.4
Schnittwinkel
Um den Schnittwinkel der Graphen zweier linearer
Funktionen f und g zu bestimmen, setzt man die
Steigungswinkel
f
und
g
in die Formel ein:
g
f
a
a
b
-
=
;
g
f
a
a >
2.5
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge einer Funktion f ist die Menge aller x für die f definiert ist. An einer
Definitionslücke gibt es keinen Funktionswert. Im Schaubild einer Funktion ohne hebbare Lücken
sind Definitionslücken an senkrechten Asymptoten deutlich zu erkennen. Die Wertemenge W
f
enthält alle Funktionswerte einer Funktion.
Eine Funktion f ist bei folgenden Stellen x
0
nicht definiert:
Term
Ausschluss
Grund
Beispiel
1.
0
0
)
(
x
a
x
f
=
0
0
=
x
Die Division
durch 0 ist
nicht zulässig.
x
x
f
1
)
(
=
;
R
D =
\
0
f ist für alle reellen Zahlen außer 0
definiert
Abb. 7
2.
0
0
)
(
x
x
f
=
0
0
<
x
Innerhalb der
reellen Zahlen
ist die Wurzel
von einer
negativen Zahl
nicht zulässig.
x
x
f
=
)
(
;
{
}
0
>
Î
=
x
R
x
D
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x
aus der Menge der reellen Zahlen, für die
gilt: x>0
Abb. 8
3.
( )
0
0
log
)
(
x
x
f
=
)
ln(
)
(
0
0
x
x
f
=
0
0
=
x
0
0
<
x
Der
Logarithmus
aus 0 ist nicht
zulässig.
Innerhalb der
reellen Zahlen
ist der
Logarithmus
von einer
negativen Zahl
nicht zulässig.
( )
x
x
f
log
)
(
=
;
{
}
0
>
Î
=
x
R
x
D
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x
aus der Menge der reellen Zahlen, für die
gilt: x>0
)
ln(
)
(
x
x
f
=
;
{
}
0
>
Î
=
x
R
x
D
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x
aus der Menge der reellen Zahlen, für die
gilt: x>0
Abb. 9
Abb. 10
Beispielaufgabe:
Abb. 11
Gegeben sei die Funktion
Bestimme die größtmögliche
Definitionsmenge von f.
Rechnung:
Lösung: Zur Bestimmung der Definitionsmenge müssen zwei Polynome näher untersucht werden:
und das Nennerpolynom 2x-4x
2
1. Untersuchung von
: Es muss gelten:
;
® Daher ist
nur für
definiert.
2. Untersuchung von
: Es muss gelten:
® Rechenweg
(Ausschlussverfahren):
®
®
® Definitionslücke
®
®
® Definitionslücke
® Daher ist das Polynom
nur für
und für
definiert.
3. Zusammenfassung der einzelnen Definitionsmengen zur vollständigen Definitionsmenge von f:
Abb. 6
y
x
9
3. Binomische Formeln
Die Binomischen Formeln erleichtern das Ausmultiplizieren von geeigneten
Klammerausdrücken. Bei Bruchtermen, Wurzelrechnung und bei Logarithmusrechnung stellen
die binomischen Formeln nicht selten den einzigen Lösungsweg dar. Es gibt drei verschiedene
Binomische Formeln:
4. Mitternachtsformel
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen mit einer Variablen und dem Grad n=2:
ax
2
+bx+c=0 ;
R
x
c
b
a
Î
,
,
,
; Dabei ist ax
2
das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das
absolute/ konstante Glied.
5. Kurvendiskussion
5.1
Symmetrie
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
3. Binomische Formel:
Weiterhin können mit der ersten binomischen Formel
Quadratzahlen bis 100 einfach berechnet werden:
Quadratische Gleichungen lassen sich,
sofern sie eine Lösung haben, mit der
Mitternachtsformel lösen:
Dabei bestimmt die Diskriminante (hier: der
Term unter der Wurzel) die Lösung:
· Diskriminante > 0 ® zwei reelle Lösungen
· Diskriminante = 0 ® eine reelle ,Doppellösung'
· Diskriminante < 0 ® keine reelle Lösung
Verfremdete Form
Substituierte Form
;
;
Quadratische Gleichungen können auch in verfremdeter Form
auftreten. In einem solchen Fall, muss entsprechend
substituiert (ersetzt) werden, um eine quadratische Gleichung
zu formen. Wichtig ist, dass die vor Angabe der endgültigen
Lösung wieder zurücksubstituiert wird. Wenn also strecken-
weise bei einer Gleichung mit der Variablen x mit einer
Substitution u gerechnet werden muss, so ist das Ergebnis
dennoch stets als x anzugeben.
Achsensymmetrisch
zur y-Achse
Abb. 12
Abb. 13
Punksymmetrisch
zum Ursprung
·
Wenn gilt:
für alle
·
Oder wenn gilt: jeder Exponent zur
Basis x ist gerade (
)
·
Wenn gilt:
für alle
·
Oder wenn gilt: jeder Exponent zur Basis x
ist ungerade (
)
Achsensymmetrisch
zur Geraden
Abb. 14
Abb. 15
Punktsymmetrisch
zum Punkt
·
Wenn gilt:
;
·
Wenn gilt:
;
Das Schaubild einer
Funktion ist
10
5.2
Nullstellen
5.2.1
Polynomdivision
Vorgehensweise: Gegeben sei eine Funktion f
1. Herausfinden einer Nullstelle x
0
der Funktion f
2. Division des Funktionsterms f durch (x-x
0
)
3. Berechnen
Eine ganzrationale Funktion mit dem Grad
n
kann
höchstens
n
Nullstellen haben. (
N
n Î
)
5.2.2
Das Newton-Verfahren
Das Newton'sche Näherungsverfahren ist eine iterative Methode zum Lösen nichtlinearer
Gleichungen und Gleichungssysteme. Bei einer differenzierbaren Funktion f(x) kann damit also
eine Nullstelle f(x)=0 errechnet werden.
Dabei wird die Funktion durch allgemeine Tangenten linearisiert:
Es sei die Funktion f, ihre Ableitung f'=m und die Punkt-Steigungs-Form y-y
1
=m(x-x
1
) :
Formulierung der allgemeinen Tangenten an der Stelle
x
n
der Funktion f:
=
=
=
Von dieser Tangente wird die Nullstelle gesucht, sie
sei vorläufig x
k
:
=
... um eine Zuordnungsvorschrift für x
k
herauszufinden,
muss x
k
isoliert werden:
=
=
=
=
=
x
k
ist zwar nicht die Nullstelle der Funktion, aber sie ist
eine verbesserte Näherung. Beginnt man bei einem
Startwert x
n
, berechnet daraus x
k
, setzt man diese
verbesserte Stelle x
k
wieder in die Formel ein, erhält
man erneut eine verbesserte Stelle gegenüber der
gesuchten Nullstelle der Funktion f. Je öfter man die
Formel anwendet, desto näher gelangt man an das
eigentliche Ergebnis (
® Iteration). Um der Formel nun
diesen iterativen Charakter zu geben, wird statt x
k
das
folgende Glied von x
n
geschrieben:
=
Je nachdem wie groß die Genauigkeit gewünscht ist,
etwa auf die c-te Stelle gerundet, wendet man die
Formel so oft an, bis x
n
und x
n+1
bis zu dieser Stelle c
identisch sind.
Abb. 16
In der Abbildung ist das Schaubild der
Funktion
dargestellt.
Gesucht ist die Nullstelle von f im
abgebildeten Intervall.
Dazu wird eine beliebige Stelle x
n
nahe der
gesuchten Nullstelle von f geraten. Mit x
n
wird
x
n+1
durch
Einsetzen
in
die
Formel
ausgerechnet (mit der unteren Tangenten).
Die Stelle x
n+1
stellt hierbei eine verbesserte
Näherungsstelle als x
n
dar. Diese Stelle x
n+1
setzt man wiederum in die Formel ein (obere
Tangente) und erhält eine noch bessere
Näherungsstelle x
n+2
. Das Verfahren wird
beliebig oft durchgeführt, bis sich eine
folgende Stelle von ihrer vorherigen bis zu
einer bestimmten (je nach Genauigkeits-
wunsch) Dezimalstelle nicht mehr unter-
scheidet.
x
n
x
n+1
=x
n
-
f'(x
n
)
f(x
n
)
® f wird 0 für x
1
=-1 und x
2
=1
Zerlegter
Funktionsterm:
11
5.3
Grenzverhalten
1.
Mit dem Grenzverhalten wird der Verlauf einer Funktion f (zum Beispiel f(x)=x
2
) für
beliebig große und beliebig kleine x-Stellen untersucht.
2. Mit dem Grenzverhalten wird der Verlauf einer Funktion f (zum Beispiel f(x)=x
-1
) von
rechts und von links an eine Definitionslücke heran untersucht.
Untersucht werden soll
Waagrechte
Asymptote
f(x)
®
+
f(x)
®
-
= a
f(x)
®
+
f(x)
®
-
= a
Existiert
nicht
Waagrechte
Asymptote
Existiert
nicht
x
®
+
x
®
-
|x|
®
Definitionslücke
Existiert nicht
Existiert nicht
Senkrechte
Asymptote
bei
f(x)+
x
0
f(x) -
f(x) +
f(x) -
12
6. Die momentane Änderungsrate
Die momentane Änderungsrate m einer im Intervall I[x;x
0
]
differenzierbaren Funktion f an einer Stelle x
0
kann durch zwei
Methoden berechnet werden.
6.1
Die Ableitungsfunktion
Ist
die
Funktion
f
an
den
Stellen
Î
x
D
f
differenzierbar,
so
ist
f'(x)
die
Ableitungsfunktion/Ableitung von f. Die Ableitungsfunktion gibt an jeder x-Stelle den Wert der
Steigung des Graphen von f wieder.
Regeln
Beispiele
a) Potenzregel
n
x
x
f
=
)
(
2
)
(
x
x
f
=
1
)
(
-
×
=
¢
n
x
n
x
f
x
x
x
f
2
2
)
(
1
=
×
=
¢
b) Summenregel
)
(
)
(
)
(
x
h
x
g
x
f
+
=
x
x
x
f
7
3
)
(
3
-
=
)
(
)
(
)
(
x
h
x
g
x
f
¢
+
¢
=
¢
7
9
7
9
)
(
2
0
2
-
=
-
=
¢
x
x
x
x
f
c) Faktorregel
)
(
)
(
x
g
a
x
f
×
=
3
5
)
(
x
x
f
×
=
)
(
)
(
x
g
a
x
f
¢
×
=
¢
2
2
15
3
5
)
(
x
x
x
f
=
×
=
¢
d) Produktregel
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
×
=
)
2
(
4
)
(
3
-
×
=
x
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
¢
×
+
×
¢
=
¢
)
3
(
4
)
2
(
4
)
(
2
3
x
x
x
x
f
×
+
-
×
=
¢
e) Quotientenregel
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
=
x
x
x
f
3
1
5
)
(
-
=
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
¢
-
¢
=
¢
2
9
3
)
(
x
x
f
=
¢
f) Kettenregel
(
)
)
(
)
(
x
v
u
x
f
=
2
2
)
1
(
3
)
(
-
×
=
x
x
f
(
)
)
(
)
(
)
(
x
v
x
v
u
x
f
¢
×
¢
=
¢
(
)
1
12
)
(
2
-
×
=
¢
x
x
x
f
6.2
Tangenten
Hat die Ableitung der Funktion f an der Stelle x
0
den Wert m, so kann die Hauptform der
Tangente (siehe Abb. 18) t durch x
0
über die Punkt-Steigungs-Form berechnet werden:
(
)
)
(
0
0
x
f
x
P
;
m
®
(
)
0
0
)
(
)
(
x
x
m
x
f
x
t
-
×
=
-
®
(
)
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
m
x
t
+
-
×
=
Die Ableitung f' bzw.
die momentane
Änderungsrate m an
der Stelle x
0
beträgt ...
Differenzenquotient
x
0
x
h
x
x-x
0
x
0
x
0
+h
Abb. 17
Abb. 18
t ist die Tangente
an f an der Stelle
x=1,5
t
f
n ist die Normale
an f an der Stelle
x=1,5
t
f
n
13
6.3
Normalen
Der Graph der Normalenfunktion n zum Graph der Tangenten t (Abb. 18) bildet mit diesem
einen Schnittwinkel von 90°. Die Hauptform von
n
ergibt sich aus der Hauptform von
t
und der
Punkt-Steigungs-Form:
t
t
c
x
m
x
t
+
×
=
)
(
;
(
)
)
(
0
0
x
f
x
P
®
(
)
0
0
1
)
(
)
(
x
x
m
x
f
x
n
t
-
-
=
-
®
(
)
)
(
1
)
(
0
0
x
f
x
x
m
x
n
t
+
-
-
=
6.4
Ableitungsregeln
6.5
Stetigkeit
Eine Funktion f ist stetig an einer Stelle
0
x , wenn gilt:
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
=
®
In Abb. 21 ist g eine nicht stetige Funktion, da sie zum
Beispiel für
6
,
1
=
x
keinen Funktionswert hat.
6.6
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f ist differenzierbar an einer Stelle
0
x , wenn
gilt
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
=
-
-
<
®
>
®
Der Graph der in Abb. 21 abschnittsweise definierten
Funktion f ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, da
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
1
1
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
=
-
¹
=
-
-
<
®
>
®
Ist eine Funktion f differenzierbar, so ist sie auch stetig. Ist
eine Funktion g stetig, so muss sie nicht zwangsläufig
differenzierbar sein, Beispiel: g(x)=|x|.
oder
Abb. 21
Abb. 19
Abb. 20
f(x)=x²
f'(x)=2x
f(x)=sin(x)
g(x)=cos(x)
f
g
14
7. Extrempunkte
Es sei eine differenzierbare Funktion f.
Für innere Extremstellen von f sind immer zwei Voraussetzungen nötig:
Notwendige Bedingung:
Die Steigung an diesen Punkten muss
gleich Null sein.
0
)
(
0
=
¢ x
f
Hinreichende Bedingung:
Wenn die zweite Ableitung an diesen Punkten
ungleich Null ist, handelt es sich um einen
Extrempunkt.
(wenn f''(x
0
)=0 und kein Vorzeichenwechsel
von f' ® Sattel-/Terrassenpunkt der Funktion)
(wenn f''(x
0
)=0 und Vorzeichenwechsel
von f' ® Extrempunkt der Funktion)
0
)
(
0
¹
¢¢ x
f
· für f''(x
0
)>0 ® Tiefpunkt
(Steigung des Graphen der Funktion
wechselt an x
0
von negativ nach positiv)
· für f''(x
0
)<0 ® Hochpunkt
(Steigung des Graphen der Funktion
wechselt an x
0
von positiv nach negativ)
Bemerkungen zu ganzrationalen Funktionen:
1. Ist die höchste Potenz eine ungerade Zahl, so gibt es keine globalen Extremstellen.
2. Ist die höchste Potenz eine gerade Hochzahl, so gibt es nur eine globale Extremstelle
Keine
Extremstelle
bei x=0
Extremstelle
bei x=0
In Abb. 22 sind x
0
, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
und x
5
Extremstellen
des Graphen der Funktion auf dem betrachteten
Intervall. Die Stelle x
0
ist ein globales Minimum,
da es auf dem betrachteten Intervall keinen Wert
einer Stelle x gibt, der kleiner ist. Die Stelle x
5
ist
ein globales Maximum, da es auf dem
betrachteten Intervall keinen Wert einer Stelle
gibt, der größer ist. Die Stellen x
1
und x
3
sind
lokale Maxima, da es Werte gibt, die größer sind,
jedoch jeweils rechts und links von x
1
und x
3
nur
kleinere Werte vorhanden sind. Die Stellen x
2
und
x
4
sind lokale Minima, da es Werte gibt, die
kleiner sind, jedoch jeweils rechts und links von x
2
und x
4
nur größere Werte vorhanden sind.
Für Extremstellen am Rand des Intervalls (Randstellen) muss
zunächst der dazugehörige y-Wert berechnet und mit inneren
Extremstellen verglichen werden, ob eine lokale oder globale
Extremstelle vorliegt. Im Intervall I(x
1
;x
2
] muss für x
1
ein
Grenzwert ermittelt werden:
Dieser wird wie der errechenbare Wert von x
2
mit inneren
Extremstellen verglichen.
Für Funktionen, die an einer Stelle x
0
nicht differenzierbar aber stetig sind,
muss zu x
0
ein Wert errechnet
werden,
der
mit
inneren
Extremstellen
der
Funktion
verglichen beziehungsweise mit dem
Verlauf der Funktion begründet wird.
Funktion f, die mindestens an einer Stelle x
0
nicht
differenzierbar ist
® ist x
0
eine Extremstelle?
f ist stetig
f ist nicht stetig
Beweis mit Steigung
vor x
0
und Steigung
nach x
0
®
Extremum,
wenn unterschiedlich
Beweis mit
Grenzwerten
® Extremum, wenn
Grenzwert extremal
Abb. 22
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
Fin de l'extrait de 68 pages
- Citation du texte
- Felix Heckert (Auteur), 2006, Mathematik in der gymnasialen Oberstufe, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/163027
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