Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell


Bachelorarbeit, 2008

24 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

0. MOTIVATION

1. EINLEITUNG
1.1. Modellierung des Aktienkurses mit dem log-linearen Ansatz
1.2. Stochastische Prozesse und Brownsche Bewegung
1.3. Die Black-Scholes-Formel

2. WICHTIGE VERTEILUNGEN
2.1. Normalverteilung
2.2. x 2-Verteilung
2.3. F-Verteilung
2.4. t-Verteilung (Student-Verteilung)
2.5. Dichte der T4-Verteilung mit Varianz 1

3. E-TEST
3.1. Das Modell

4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE
4.1. Durchführung der Simulation
4.2. Programmierung des F-Tests
4.3. Ergebnis und Interpretation

5. TEST MIT REALEN DATEN
5.1. Prüfen der Modell-Voraussetzungen für die realen Daten
5.2. Testergebnisse

6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL

QUELLENVERZEICHNIS

0. Motivation

Aktienkurse sind von großer Unsicherheit geprägt, da genaue Vorhersagen über Kurswerte nicht möglich sind. Dies liegt daran, dass die Aktienkurse sehr vielen Einflüssen unterliegen, wie z.B. der allgemeinen Marktsituation, der Firmenstrategie, politische Ereignisse usw. Aus diesem Grund werden Modelle gesucht, die Aktienkurse möglichst genau beschreiben, um diese Unsicherheit zu verkleinern oder gar zu beseitigen. Dabei wählt man gerne stochastische Modelle, um Aktienkurse zu modellieren, weil man annimmt, dass die Kurse zumindest zu einem gewissen Anteil zufällig verlaufen und somit auch nicht exakt vorherzusagen sind.

Den Anfang zum Thema stochastische Modellierung machte im Jahr 1900 Louis Bachelier mit seiner Disertation. Ein wichtiges Ergebnis für die moderne Finanzmathematik lieferten 1973 Black und Scholes mit ihrer Black-Scholes Formel zur Bewertung von Preisen europäischer Optionen. Das Modell basiert auf der Arbitrage-Theorie, in der keine risikolosen Gewinne existieren, da davon ausgegangen wird, dass diese sofort von den Marktteilnehmern erkannt und über eine Preisanpassung eliminiert werden. Das Black-Scholes Modell wurde wegen seiner Einfachheit sehr beliebt in der Praxis und wird auch heute noch verwendet. Die Volatilität spielt im Black-Scholes Modell eine wichtige Rolle, da sie als einzige Größe im Modell unbekannt ist. Diese muss geschätzt werden, womit wir im Bereich Statistik sind.

In der Finanzwelt spielt die Statistik eine große Rolle, wenn es darum geht bestimmte Parameter für ein Modell zu schätzen. Dabei muss man sich auf aktuelle bzw. vergangene Kurswerte beschränken. Auch die Volatilität muss auf diese Art und Weise bestimmt bzw. geschätzt werden. Somit könnte man die Statistik als eine Schnittstelle zwischen den theoretischen Modellen und der Realität betrachten.

Im Rahmen dieser Bachelorarbeit konzentrieren wir uns ausschließlich auf das Black-Scholes Modell. Nach einer kurzen Einführung bezüglich des Modells soll das Verhalten von Kurswerten zunächst theoretisch mit Hilfe von simulierten Zufallswerten betrachtet werden, bevor reale Finanzdaten analysiert werden. Dabei werden auch Tests bezüglich Parameter-Schätzwerten durchgeführt. Hier wird besonders auf die Varianz eingegangen. Schließlich sollen Abweichungen zwischen theoretischem Modell und Realität betrachtet werden, wobei vor allem die Verteilung der realen Werte analysiert wird.

1. Einleitung

1.1. Modellierung des Aktienkurses mit dem log-linearen Ansatz

Zunächst stellt sich die Frage: „Wie modelliert man einen Aktienkurs?"

Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese Frage zu beantworten. Es soll hier der sogenannte log­lineare Ansatz gewählt werden. Im Folgenden wird nur die Idee für diesen Ansatz beschrieben, dabei folgen wir den Darlegungen in [3.].

Wir betrachten uns zunächst ein risikoloses Wertpapier, genannt „Bond" mit Preis zum Zeitpunkt t=0 K(0)=0. Wir wollen nun die Preisentwicklung des Bonds wie ein Sparguthaben modellieren. Ein solches Sparguthaben K folgt bei kontinuierlicher Verzinsung der Vorschrift

K(t)=Kc ert

zu einem Zeitpunkt t mit dem Startkapital K0 und einer festen Zinsrate r.

Nun stellen wir uns einen Aktienkurs ähnlich wie ein Bond vor, nur dass sich der Aktienpreis gemäß einer zufälligen Störung um den Bondpreis bewegt. Als Ausgleich für das Risiko, dass sich aus dieser Störung ergibt, wählt man eine höhere Zinsrate r'. Da der Logarithmus des Bondpreises linear ist, legt dies den sogenannten log-linearen Ansatz für den Aktienkurs S nahe:

ln(S(t))=ln(Sü)+r'+m(t)

wobei m(t) die „zufällige Störung" darstellen soll.

Für m(t) werden verschiedene Eigenschaften gefordert, z.B.:

- Ε(ω)=0, d.h. ω hatkeine Tendenz
- ω ist abhängig von der Zeit t
- ω stellt die Summe der Abweichungen von ln(S(t)) von ln(S(0))+r't dar Man modelliert m(t) mit einer Brownschen Bewegung.

1.2. Stochastische Prozesse und Brownsche Bewegung

In diesem Abschnitt wird die Brownsche Bewegung eingeführt, da das Black-Scholes Modell auf diesem Ansatz aufbaut.

Definition (Filterung):

(ß.,F,P) sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Familie {F}tei von Sub-o-Algebren von Fmit einer geordneten Indexmenge I für die Fs c Ft mit s<t, s,tel gilt, heißt Filterung.

Mit Hilfe von Filterungen werden beobachtete Ereignisse (z.B. Aktienkurs-Werte) bis zu einem Zeitpunkttel modelliert.

Definition (Stochastischer Prozess mit Filterung):

Eine Menge {(Xt,F)} tei bestehend aus einer Filterung {Ft}tei und einer Familie von Rn-wertigen Zufallsvariablen {Xt}tei, wobei Xt F-messbar ist, heißt stochastischer Prozess mit Filterung {Ft}tei.

Definition (Brownsche Bewegung) :

Eine Brownsche Bewegung ist ein reellwertiger stochastischer Prozess { W}tei mit folgenden Eigenschaften:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Brownsche Bewegung mit Drift μ und Volatilität σ:

Xt :=gt + oWt mitg,oe E undt>0

Unter der Annahme, dass der Aktienkurs St diesem Modell folgt, erfüllt St folgende stochastische Differentialgleichung

dSt = μ St dt + σ St dWt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ergibt sich für die Rendite des Aktienkurses:

Der Renditen-Prozess ist somit eine geometrische Brownsche Bewegung.

1.3. Die Black-Scholes-Formel

Auch heute noch wird das bereits 1973 publizierte Black-Scholes Modell für Preise von Optionen häufig verwendet. Dieses Modell basiert auf den oben genannten Annahmen und Definitionen, wobei das Black-Scholes-Modell für europäische Call-Optionen, geschrieben auf ein Wertpapier S mit Ausübungspreis K, Ausübungszeitpunkt T und Auszahlung C(T)=max{S(T)-K,0} betrachtet wird. Zusätzlich wird angenommen, dass der Drift μ und die Volatilität σ konstant sind. Unter diesen Voraussetzungen gilt:

Black-Scholes-Formel für eine europäische Call-Option C:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Ф die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung ist und r die konstante Zinsrate darstellt.

In dieser Formel sind alle Parameter bekannt, bis auf die Volatilität σ. σ wird aus Vergangenheitswerten des Aktienkurses geschätzt.

Modellieren wir den Aktienkurs St als eine geometrische Brownsche Bewegung, so sind die logarithmierten relativen Zuwächse (log-Renditen) gegeben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist Rt der Zuwachs Yt - Yt-1 des logarithmierten Aktienkurses Yt=ln(S(t)). Rt ist eine unabhängig identisch normalverteilte Zufallsvariable und besitzt somit die Varianz

Var(Rt) = σ2

(siehe [1.], S. 92 ff).

Die unbekannte Varianz schätzen wir in der Simulation für verschiedene Stichproben sowohl für generierte Zufallszahlen, die einer bestimmten Verteilung unterliegen, als auch für reale Finanzdaten. Wir wollen uns dann betrachten, welcher Verteilung die Renditen wirklich folgen und auch ob die Varianz verschiedener Perioden gleich ist. Die Gleichheit bezüglich der Varianz wird mit dem F-Test überprüft. Am Schluss wollen wir also wissen, in wie weit die Voraussetzungen für das Black-Scholes Modell in der Realität wirklich zutreffen und wo es Abweichungen gibt.

2. Wichtige Verteilungen

Für die folgenden Betrachtungen über den F-Test und die Verteilung der Finanzdaten werden verschiedene Verteilungen benötigt. Diese werden in diesem Kapitel aufgeführt.

(Für 2.1 bis 2.4 siehe [4.])

2.1. Normalverteilung

Die Verteilung mit der Dichte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

fürg e Ε,σ>0 heißt die Normalverteilung mit Parametern μ, σ (kurz:j\T(g,o2)). Wobei μ der Erwartungswert und σ2 die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariable ist. Für die Parameter (μ,σ)=(0,1) heißt die Verteilung Standardnormalverteilung.

Die log-Renditen einer geometrischen Brownschen Bewegung sind normalverteilt.

2.2. χ 2-Verteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die x2-Veteilung wird beim F-Test eine Rolle spielen.

2.3. F-Verteilung

F-verteilt mit n und m Freiheitsgraden (Fn,m-verteilt). Die F-Verteilung besitzt die Dichte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Teststatistik des F-Tests ist Fn,m-verteilt.

2.4. t-Verteilung (Student-Verteilung)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die t-Verteilung wird bei der Approximation der realen Daten eine wichtige Rolle spielen.

2.5. Dichte der t4-Verteilung mit Varianz 1

Im Folgenden werden wir die Renditen sowohl durch die Standardnormalverteilung, als auch durch die t4-Verteilung simulieren. Die Zufallsvariablen X~ J\T(0,1) und Y*~ U müssen also vergleichbar sein. Für den Erwartungswert von X und Y gilt: E(X)=E(Y*)=0.

Für die Varianz von X gilt: Var(X)=1. Die Varianz von Y* ist: Var(Y*)=^^=2. Wir müssen also Y* auf Varianz 1 skalieren.

Allgemein gilt für die Varianz einer Zufallsvariable Y:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir betrachten also die Zufallsvariable . anstatt Y*. Somit gilt immer noch E(X)=E(Y)=0, aber Var(X)=Var(Y)=1.

Schließlich bestimmen wir noch die Dichtefunktion für Y:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist die Dichte einer tn-verteilten Zufallsvariablen T mit n Freiheitsgraden, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Gamma-Funktion ist.

Um die Dichte von Y zu bestimmen, wenden wir den Transformationssatz für Dichten an:

Satz: (Transformationssatz für Dichten)

Sei X reellwertige Zufallsvariable mit Dichte f.h:E sei eine streng monotone C1-Funktion. Dann besitzt Y=h(X) die Dichte g(y)=f(h-1(y))-|(h-1)'(y)|.

[...]

Ende der Leseprobe aus 24 Seiten

Details

Titel
Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell
Hochschule
Technische Universität Kaiserslautern
Note
1,7
Autor
Jahr
2008
Seiten
24
Katalognummer
V168854
ISBN (eBook)
9783640871742
ISBN (Buch)
9783640871803
Dateigröße
878 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
varianz-, verteilungs-betrachtungen, finanzdaten, bezug, black-scholes, modell
Arbeit zitieren
Andreas Vetter (Autor), 2008, Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/168854

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell



Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden