Die Bedeutung der Optionspreistheorie für die Marktpreise von Aktienoptionen

INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Was ist eine Standard-Option

3. Optionspreistheorie: Zwei Modelle
3.1 Prämissen beider Modelle
3.2 Das diskrete Binominalmodell
3.3 Das stetige Modell nach Black/Scholes

4. Die Anwendung des Modells von Black/Scholes auf die Praxis
4.1 Kritische Würdigung der Modellprämissen
4.2 Die Bestimmung der benötigten Variablen
4.2.1 Der risikolose Zinssatz r
4.2.2 Die Standardabweichung als Volatilität
4.3 Empirische Studien

5. Ist die Optionspreistheorie eine „selbsterfüllende Prophezeiung“?
5.1 Der „Smile-Effekt“ und der „Skew-Effekt“
5.2 Resümee

Literaturverzeichnis

Thesenpapier

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 1 : DAX und VDAX vom 6.12.2005 bis zum 6.12.2010

Abbildung 2 : Der „Skew-Effekt“

Abbildung 3 : Der „Smile-Effekt“

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit befasst sich ausschließlich mit der Bedeutung der Optionspreistheorie für die Bewertung von Standard-Optionen, auch Plain Vanilla Options genannt, auf Aktien. Dabei wird der Optionspreistheorie nach Fischer Black und Myron Samuel Scholes¹ besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Auf andere Optionstypen wie z.B. Asiatische Optionen, Bermu- da-Optionen oder sonstige exotische Optionen wird nicht eingegangen, da sich das B-S Modell lediglich auf Standardoptionen, insbesondere europäischen Typs, bezieht.

Im Abschnitt 2 werden Standard-Optionen zunächst näher erläutert, ihre Eigenschaften aufgezeigt und ihre verschiedenen Ausführungen beleuchtet. Hierauf aufbauend werden in Abschnitt 3 das diskrete Binominalmodell sowie das stetige Modell nach B-S vorgestellt. Begonnen wird hier mit den Prämissen, auf denen beide Modelle basieren.

Ausgehend von dem Modell nach B-S werden in Abschnitt 4 die dem Modell zugrunde liegenden Prämissen genauer beleuchtet und kritisch gewürdigt. Es wird auf Schwierigkeiten bei der Berechnung von Options- preisen eingegangen, die aus der Bestimmung einzelner Variablen des Modells resultieren. Dieser Abschnitt schließt mit der Beleuchtung empirischer Studien ab.

Anhand des B-S Modells wird im Abschnitt 5 überprüft, ob dieses aufgrund seiner immensen Bedeutung für die finanztheoretische Forschung inzwischen den Stellenwert einer „selbsterfüllenden Prophezeiung“ ein- genommen hat.

2. Was ist eine Standard-Option

Standard-Optionen sind Optionen europäischen oder amerikanischen Typs. Eine europäische Option kann lediglich an ihrem Verfallsdatum ausgeübt werden, eine amerikanische Option hingegen jederzeit. Am Verfallsdatum (europäisch) beziehungsweise während der gesamten Laufzeit (amerika- nisch) kann von dem Vertragspartner die Erfüllung, also die Lieferung oder Abnahme der Aktien zum Basispreis verlangt werden. Die Erfüllung kann auch in einem Barausgleich, also der Zahlung der Differenz aus Basispreis und aktuellem Börsenkurs, bestehen. Wie erfüllt werden soll, wird bereits bei Vertragsschluss geregelt.

Als Standard-Optionen existieren Call-Optionen (Kaufoption) und Put-Optionen (Verkaufsoption). Beide Arten räumen dem Käufer das Recht ein, einen Basiswert (Underlying) an oder bis zu einem bestimmten Zeit- punkt (Verfallsdatum) zu einem bereits im Kaufzeitpunkt festgelegtem Preis (Basispreis) in der Zukunft zu kaufen oder zu verkaufen². Die Pflicht zur Ausübung besteht für den Käufer jedoch nicht. Er entscheidet einseitig über den Verfall oder die Ausübung des Rechts³. Im Gegensatz dazu hat der Verkäufer einer Option die Pflicht zum Verfallsdatum oder während der gesamten Laufzeit die Erfüllung zu gewährleisten. Der Optionskäufer zahlt im Kaufzeitpunkt für den Erwerb des Rechts eine Optionsprämie, die der Optionsverkäufer als Gegenleistung erhält⁴. Die Höhe der Prämie kann anhand von Optionspreistheorien berechnet werden. Nachfolgend werden zwei Modelle - das Binominalmodell sowie das B-S Modell - vorgestellt. Sie sind von herausragender Bedeutung für die finanztheoretische Forschung seit den siebziger Jahren.

3. Optionspreistheorie: Zwei Modelle

Das Binominalmodell sowie das Modells von B-S basieren auf sehr ähnlichen Prämissen, so dass sie im Folgenden gemeinsam erläutert und näher beschrieben werden. Modellspezifische Prämissen werden im Zusammenhang mit dem jeweiligen Modell erläutert.

3.1 Prämissen beider Modelle

Beide Modelle haben als Grundlage folgende sieben Prämissen⁵:

- Liquide Mittel können jederzeit in unbegrenzter Höhe zu einem identi- schen Zinssatz sowohl angelegt als auch aufgenommen werden. Der Zinssatz ist während der gesamten Laufzeit der Option konstant.
- Der Markt ist frei von Arbitrage.
- Es fallen keine Transaktionskosten an. Es gibt keine Zeitverzögerung bei Transaktionen und freien Marktzugang.
- Während der Laufzeit der Option gibt es keine Dividendenzahlungen, Kapitalerhöhungen oder sonstige Maßnahmen, die den Wert des Eigenkapitals der Gesellschaft verändern.
- Aktien sind beliebig teilbar und Leerverkäufe sind uneingeschränkt in der Höhe und für jedermann durchführbar. Bonitätsrisiken bei Leerverkäufern oder bei Stillhaltern existieren nicht⁶.
- Während der gesamten Laufzeit besteht eine konstante Volatilität.
- Es werden ausschließlich europäische Aktienoptionen bewertet.

3.2 Das diskrete Binominalmodell

Das diskrete Binominalmodell geht auf John Carrington Cox, Stephen Ross und Mark Rubinstein zurück und wurde 1979 veröffentlicht. Es ist ein diskretes Modell, welches nur zu vorher festgelegten, in ihren Abständen identischen Zeitpunkten Aktienkursveränderungen zulässt⁷. Dabei können nur zwei unterschiedliche Aktienkurse am Ende der Periode angenommen werden⁸. Charakteristisch für dieses Modell ist die Konstanz der Kurs- änderungsfaktoren⁹. Der Aktienkurs verändert sich entweder um u (up) oder d (down). Wobei u > d angenommen wird. Der Aktienkurs S (share) kann somit nach der ersten Periode genau zwei Werte annehmen. Entweder S u oder S d. Allgemein bedeutet dies, dass der Aktienkurs nach n Perioden, k Aufwärtsbewegungen und n-k - k Abwärtsbewegungen folgenden Wert annimmt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Die Wahrscheinlichkeit für eine Bewegung u ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ¹⁰.

Im Folgenden wird beispielhaft für den Ein-Perioden-Fall eine Call-Option Ct betrachtet. Der Basispreis dieser Option ist X. Der Wert der Option ist allgemein im Zeitpunkt t: Ct = max (St - X, 0). Also entweder positiv (Aktienkurs - Basispreis) oder 0. Zinst man nun den Erwartungswert der

Option am Ende von der ersten Periode ab, entspricht dies dem fairen Wert im Zeitpunkt 0. Formal bedeutet dies für den Preis einer Option im EinPerioden-Fall¹¹: E (C1 ) = (C u q + C d (1- q) / 1 + r , wobei r der risikolose Zinssatz einer alternativen Geldanlage ist. Die Put-Option lässt sich analog hierzu bewerten¹², wird aber hier nicht näher erläutert.

Die Berechnung von einer Call-Option mit mehreren Perioden Laufzeit gestaltet sich hingegen schwieriger. Die allgemeine Schreibweise des Binominalmodells ist¹³:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der gegenwärtige faire Preis einer Kaufoption errechnet sich aus dem Binominalkoeffizienten¹⁴, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , der Wahrscheinlichkeit für den

Eintritt p (1− p) , der Differenz aus Aktienkurs und Basispreis sowie der

Abzinsung auf den Zeitpunkt 0. Der Binominalkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten bestehen, um zu einem bestimmten Aktienkurs nach n Perioden und k Aufwärtsbewegungen zu gelangen.

3.3 Das stetige Modell nach Black/Scholes

Das stetige Modell geht auf Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton zurück. Black und Scholes veröffentlichten es separat von Merton im Jahre 1973. Es ist das Ursprungsmodell der präferenzfreien und verteilungsabhängigen Optionswertmodelle¹⁵. Ihr Modell wird oft als Grenzfall des Binominalmodells bezeichnet¹⁶, da durch die Annahme unendlich vieler Perioden die Binominalverteilung gegen die Normalverteilung konvergiert¹⁷.

[...]

¹ Nachfolgend B-S genannt.

² Steiner/Bruns (2007), S. 314-315.

³ Perridon/Steiner (2007), S. 316.

⁴ Hull (2009), S. 234.

⁵ Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 233-234; Black/Scholes (1973), S. 640. 2

⁶ Terstege (1995), S. 86.

⁷ Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232.

⁸ Terstege (1995), S. 56.

⁹ Terstege (1995), S. 58.

¹⁰ Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 233.

¹¹ angelehnt an Kruschwitz/Schöbel (1984), S. 25.

¹² Steiner/Bruns (2007), S. 335.

¹³ Copeland/Antikarov (2002), S. 219.

¹⁴ Copeland/Antikarov (2002), S. 213.

¹⁵ Korn/Korn (2001), S. 103; Terstege (1995), S. 53.

¹⁶ Loistl (1996), S. 352.

¹⁷ Musiela/Rutkowski (1998), S. 42-44; Loistl (1996), S. 352. 4