Volatilität als eigenständiges Asset. Definition, Eigenschaften, Berechnung

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungen

1 Einleitung

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset
2.1 Was ist Volatilität?
2.2 Historische (realisierte) Volatilität
2.3 Implizite Volatilität
2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität
3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen
3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln
3.1.2 Der Trinomialbaum
3.2 Numerische Iterationsverfahren
3.2.1 Bisektionsverfahren
3.2.2 Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus
3.2.3 Brents Verfahren zur Minimierung
3.2.4 Konvergenzeigenschaften von ableitungsfreien Iterationsverfahren
3.3 Die Volatilitätsoberfläche
3.4 Vorhersagen der Volatilität
3.4.1 Historische Volatilität
3.4.2 Implizite Volatilität
3.4.3 ARCH und GARCH Modelle
3.4.4 Vergleich der Vorhersagegüte verschiedener Schätzer

4 Zusammenfassung

Anhang

A Weitere Iterationsverfahren
A.1 Newton-Raphson Algorithmus
A.2 Das Sekantenverfahren
A.3 Ridders’ Algorithmus
A.4 The Worlds Best Root Finder (TWBRF)

B Beweise zur Vorhersage der Volatilität mit GARCH Modellen
B.1 Vorhersage mit einem GARCH(1,1) Modell
B.2 Vorhersage mit einem GJR-GARCH(1,1) Modell

C Ergänzung zur Replikation von Variance-Swaps

Abkürzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Investieren in Volatilität ist derzeit ein viel diskutiertes Thema. Artikel über Vorzüge und Nachteile der Volatilität und über die Möglichkeiten in Volatilität zu investieren, sind dabei nicht nur in einschlägigen Finanzzeitschriften und -zeitungen, sondern auch in bekannten Tageszeitungen zu finden. Schon seit langem ist bekannt, dass die Volatilität der Renditen des Aktienmarktes negativ mit den Renditen selbst korreliert ist. Bei steigendem Aktienmarkt wird die Volatilität in der Regel geringer; fällt der Aktienmarkt, so steigt die Volatilität in der Regel an. Vor allem große Kurseinbrüche des Aktienmarktes führen zu einem sprunghaften Anstieg der Volatilität.

In dieser Arbeit werden die unterschiedlichen Volatilitätsbegriffe erläutert, verschiedene Verfahren zu ihrer Berechnung vorgestellt, es wird illustriert, warum Volatilität als Assetklasse interessant ist und auf Chancen und Risiken bei der Investition in Volatilität hingewiesen. Hierzu werden zunächst die Begriffe historische und implizite Volatilität definiert. Anschließend wird erörtert, inwiefern man Volatilität als Assetklasse betrachten kann und welche Eigenschaften der Volatilität diese als Assetklasse interessant machen. Danach wird auf die Berechnung und die Eigenschaften der Volatilität eingegangen. Es werden Verfahren zur Berechnung der impliziten Volatilität beschrieben und besondere Eigenschaften der impliziten Volatilität erläutert. Des Weiteren werden verschiedene Schätzverfahren zur Vorhersage der Volatilität vorgestellt und deren Vorhersagegüte diskutiert.

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset

2.1 Was ist Volatilität?

Der Begriff Volatilität ist aus dem Lateinischen abgeleitet: lateinisch volare – fliegen bzw. volaticus – fliegend, flatterhaft, unbeständig. Im Börsenlexikon der ARD^[1] findet sich folgende Definition:

„Die Volatilität ist ein Risikomaß und zeigt die Schwankungsintensität des Preises eines Basiswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Je höher die Volatilität, um so stärker schlägt der Kurs nach oben und unten aus und desto riskanter aber auch chancenreicher ist eine Investition in das Basisobjekt. Es werden historische und implizite Volatilität unterschieden.“

Die Volatilität ist folglich ein Maß für die Größe der Schwankungen des Preises eines bestimmten Basiswertes – z.B. Zinsen, Aktienrenditen, Rohstoffpreise oder Wechselkurse. Die Volatilität ist jedoch kein ideales Risikomaß, da sie nur Auskunft über die Schwankungsbreite des Basiswertes und keine weitere Information über den Verlauf der Verteilungsfunktion der Kursausschläge gibt.^[2] So bleibt zum Beispiel völlig unklar, ob große Kursveränderungen nach unten wahrscheinlicher sind als große Kursveränderungen nach oben. In den beiden nächsten Abschnitten werden die zu unterscheidenden Begriffe historische und implizite Volatilität näher erläutert.

2.2 Historische (realisierte) Volatilität

Der Begriff historische Volatilität bezeichnet die tatsächliche Schwankungsintensität eines Basiswertes über einen bestimmten Zeitraum. In der Regel wird er als Standardabweichung des Basiswertes über diesen Zeitraum definiert. Im Folgenden werden Aktienrenditen als Basiswerte betrachtet. Da man die Volatilität üblicherweise annualisiert angibt, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-1

mit:

n Anzahl der Zeitintervalle im betrachteten Zeitraum

Ri Rendite im i -ten Zeitintervall

- Mittelwert der Rendite im betrachteten Zeitraum

A Annualisierungsfaktor, entspricht der Anzahl der Zeitintervalle pro Jahr

Viele Volatilitätsderivate basieren auf der Volatilität von Tagesrenditen. Da der Erwartungswert von Tagesrenditen relativ klein ist, wird in diesen Kontrakten die realisierte Volatilität häufig folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-2

Zu beachten ist hierbei, dass das System in Gleichung 2-2 einen Freiheitsgrad mehr hat als in Gleichung 2-1^[3], weshalb durch n und nicht etwa durch n -1 dividiert werden muss.^[4] Ein gebräuchlicher Wert für den Annualisierungsfaktor A bei der Verwendung von Tagesrenditen ist 252.^[5] Die Renditen Ri werden entweder als diskrete oder kontinuierliche Renditen berechnet:

Diskrete Renditen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kontinuierliche Renditen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-3

mit:

Si Aktienkurs am Tag i.

Da es keine allgemein gültige Definition des Berechnungsverfahrens der historischen (realisierten) Volatilität gibt, muss stets angegeben werden auf welche Weise die historische (realisierte) Volatilität zu berechnen ist.

2.3 Implizite Volatilität

Im Gegensatz zur historischen Volatilität werden zur Berechnung der impliziten Volatilität keine historischen Daten des Basiswertes herangezogen. Sie beruht vielmehr auf den aktuellen Preisen der Optionen auf den Basiswert. Aus einem Optionspreismodell kann man, sofern alle Parameter mit Ausnahme der Volatilität bekannt sind, die implizite Volatilität bestimmen. Dabei bezeichnet die implizite Volatilität denjenigen Wert für die Volatilität, für den das Optionspreismodell für die Option einen mit dem am Markt gehandelten Preis identischen Preis liefert. In der Regel wird als Optionspreismodell das Black&Scholes Modell herangezogen. Als Eingabeparameter benötigt man in diesem Fall den Preis, den Strike und die Restlaufzeit der Option sowie den aktuellen Kurs des Basiswertes und den risikofreien Zins für die Restlaufzeit. Aus den Black&Scholes Formeln kann man dann mit Hilfe dieser Parameter die implizite Volatilität bestimmen. Da die Black&Scholes Formeln nicht analytisch nach der Volatilität aufgelöst werden können,^[6] kann die implizite Volatilität nur mit Hilfe von Iterationsverfahren bestimmt werden, indem man die Volatilität solange variiert bis der mit dem Modell berechnete Optionspreis gleich dem Marktpreis der Option ist, wobei alle sonstigen Parameter konstant gehalten werden. In Kapitel 3 wird die Methodik zur Bestimmung der impliziten Volatilität im Detail erläutert.

Häufig wird postuliert, die implizite Volatilität sei der vom Markt erwartete Wert der zukünftigen Volatilität.^[7] Dies trifft jedoch nur bedingt zu, da, wie in Abschnitt 3.3 erörtert, auch noch andere Faktoren – wie etwa Nachfrage und Angebot an Optionen – den Wert der impliziten Volatilität beeinflussen. Eine interessante Anwendung der impliziten Volatilität ist der Vergleich von Optionspreisen. Die Optionspreise von Optionen über verschiedene Strike-Preise lassen sich nicht direkt vergleichen. Daher ist es nicht möglich anhand des Optionspreises zu entscheiden, welche Option eher günstig und welche eher teuer ist. Bestimmt man jedoch die implizite Volatilität der Optionen, so kann man die Optionen mit einer höheren impliziten Volatilität als eindeutig teurer identifizieren.^[8]

2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset

In den vorigen Abschnitten ist die Volatilität als statistische Größe – im Falle der historischen (realisierten) Volatilität – beziehungsweise als Parameter eines Optionspreismodells – im Falle der impliziten Volatilität – vorgestellt worden. In diesem Abschnitt wird nun geklärt, inwiefern eine statistische Größe oder ein Modell-Parameter als eigenständige Assetklasse betrachtet werden kann. Des Weiteren wird erläutert, welche Eigenschaften der Volatilität diese als Assetklasse besonders interessant machen.

Wie kann man in Volatilität investieren? Zunächst einmal hat jeder, der eine Long- oder Short-Position in Optionen hält, auch in Volatilität investiert, da die Optionspreise nicht nur vom Wert des Underlyings, sondern auch von der Volatilität abhängen.^[9] Steigt die Volatilität, so steigt auch der Wert von Optionen; fällt die Volatilität, so sinkt der Wert der Optionen. Zwar hängt der Payoff einer einfachen Long- oder Short-Position wesentlich vom Wert des Underlyings ab; es gibt jedoch einfach zu konstruierende Portfolios aus Optionen – wie etwa Straddles oder Butterflies – deren Payoff kaum oder gar nicht vom Wert des Underlyings beeinflusst, sondern im Wesentlichen von der Höhe der Volatilität bestimmt wird. Des Weiteren werden Over-The-Counter Produkte gehandelt, deren Payoff völlig unabhängig vom Wert des Underlyings ist und nur von der Volatilität abhängt. Die bekanntesten OTC-Produkte, welche am liquidesten gehandelt werden, sind die sogenannten Variance-Swaps. Der Payoff eines Variance-Swaps ist die Differenz zwischen der während der Laufzeit des Produkts realisierten Varianz^[10] und einem zu Beginn des Kontraktes festgelegten Referenzwert für die Varianz, und ist damit nur von der realisierten Varianz und nicht vom Wert des Underlyings abhängig. Zudem gibt es mittlerweile börsennotierte Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindizes. So hat die Chicago Board Options Exchange (CBOE) im März 2004 den Handel von VIX Future Kontrakten eröffnet. Darüber hinaus plant die CBOE mit VIX Optionen ein weiteres börsennotiertes Volatilitätsprodukt einzuführen. Zertifikate für den im Dezember 2004 von der Deutschen Börse eingeführten VDAX-NEW werden ebenfalls gehandelt. So bietet etwa Goldman & Sachs seit Juni 2005 Partizipationszertifikate auf den VDAX-NEW an. Auch Merrill Lynch und die Société Général bieten ähnliche Produkte an. Es gibt also zahlreiche Möglichkeiten direkt und indirekt in Volatilität zu investieren. Im Folgenden soll nun geklärt werden, welche Eigenschaften der Volatilität sie als Assetklasse für Anleger besonders reizvoll machen.

Zur Attraktivität von Volatilität als Assetklasse tragen vor allem folgende Eigenschaften bei:

- Volatilität kann nicht auf Null zurückgehen und nicht beliebig ansteigen.
- Volatilität ist im Allgemeinen negativ mit den Renditen des Underlyings korreliert.
- Insbesondere sind hohe Wertverluste des Underlyings verbunden mit einem starken Anstieg der Volatilität.
- Volatilität hat die Eigenschaft gegen einen langfristigen Mittelwert zu streben.
- Volatilität hat eine Tendenz zur Clusterbildung. Hohen Volatilitätswerten folgen meist hohe Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zukunft, niedrigen Volatilitätswerten folgen meist auch niedrige Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zukunft.
- Volatilität hat eine negative Risikoprämie.

Da Volatilität nicht auf Null zurückgehen kann, kann eine Investition in einen Volatilitätsindex nicht zu einem totalen Verlust der Investition führen. Durch negative Korrelation mit den Renditen des Underlyings kann durch Beimischen von Volatilität in ein Portfolio ein großer Diversifikationseffekt erzielt werden.^[11] Dass hohe Wertverluste des Underlyings mit einem großen Anstieg der Volatilität verbunden sind, machen Long-Positionen in Volatilität zu einem interessanten Instrument um Portfolios vor Wertverlusten im Falle eines Crashes abzusichern. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen, dass die Payoff-Struktur einer Long-Position in Volatilität der Payoff-Struktur einer Long-Position in at-the-money Puts sehr ähnlich ist, was in Abbildung 2-1 deutlich wird.^[12] Investitionen in Volatilität stellen daher eine Alternative zur Portfolio-Insurance mit Put-Optionen dar.

Das Streben nach einem langfristigen Mittelwert und die Neigung zur Clusterbildung führen dazu, dass sich Volatilität weitaus besser vorhersagen lässt als Aktienrenditen, was Volatilität als Assetklasse zusätzlich interessant macht.^[13] Es ist allerdings allgemeiner Konsens, dass Volatilität eine negative Risikoprämie hat, d.h. Verkäufer von Volatilität werden für das Bereitstellen einer Absicherung mit einer Prämie belohnt.^[14] Es hängt von der Höhe dieser Prämie ab, ob eine Beimischung von Volatilität zu einem Portfolio lohnend ist; ist die Prämie zu hoch, so wird der Diversifikationseffekt durch Beimischen von Volatilität in das Portfolio teuer erkauft und erscheint unrentabel. In diesem Fall allerdings würde eine Strategie, die systematisch Volatilität verkauft, Profite abwerfen. Es wäre also profitabel, ständig Short-Positionen in Volatilität einzunehmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option^[15]

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität

Wie bereits erwähnt, gibt es keine Möglichkeit, die implizite Volatilität direkt zu bestimmen. Um die implizite Volatilität berechnen zu können, benötigt man zunächst Verfahren mit denen sich der Optionspreis bei gegebenen Parametern (Spot-Preis des Underlyings, Strike-Preis der Option, Restlaufzeit der Option, risikofreier Zinssatz und Volatilität) bestimmen lässt. Deshalb werden im nächsten Abschnitt zwei solcher Verfahren vorgestellt. Die Berechnung der impliziten Volatilität erfolgt dann iterativ. Bezeichnet V (s) den Optionspreis bei gegebenem s ^[16], dann bestimmt man iterativ den Wert der impliziten Volatilität s im p, für den V (s imp) gleich dem am Markt beobachteten Preis der Option VMarkt ist. Weil V (s) theoretisch eine streng monoton steigende Funktion ist, hat die Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-1

genau eine Nullstelle und die Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-2

genau ein Minimum. Für die iterative Bestimmung der impliziten Volatilität können daher sowohl numerische Verfahren zur Nullstellensuche als auch numerische Verfahren zur Minimierung^[17] einer Funktion eingesetzt werden. In Abschnitt 3.2 werden einige solcher Verfahren beschrieben und ihre Konvergenzgeschwindigkeit verglichen.

3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen

3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln

Das von Black und Scholes 1973 entwickelte Modell gilt als Meilenstein in der Optionspreistheorie. Obwohl das Black&Scholes Modell bei der Erklärung von Optionspreisen sehr erfolgreich ist, gibt es einige Kritikpunkte. So wird vor allem die Annahme einer konstanten Volatilität und eines konstanten risikofreien Zinssatzes in Frage gestellt. Um den Unzulänglichkeiten des Black&Scholes Modells Rechnung zu tragen, sind in der Literatur zahlreiche erweiterte Modelle^[18], wie etwa die Jump Diffusion Modelle^[19] oder Stochastic-Volatility^[20] Modelle, vorgeschlagen worden; dennoch wird auch heutzutage häufig bei der Berechnung von Optionspreisen auf das Black&Scholes Modell zurückgegriffen.

Für die Herleitung ihrer Optionspreisformeln haben Black und Scholes folgende Annahmen getroffen:

- Der risikofreie Zins r ist konstant und gleich für alle Restlaufzeiten.
- Der Aktienpreis S folgt folgendem Prozess:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-3

- Es werden keine Dividenden auf die Aktie ausgeschüttet.
- Es finden weder Kapitalerhöhungen noch Kapitalherabsetzungen statt.
- Es handelt sich um europäische Optionen.
- Es gibt keine Transaktionskosten und Steuern.
- Der Handel erfolgt kontinuierlich und sowohl Aktien als auch Optionen sind beliebig teilbar.

Unter diesen Annahmen ergeben sich folgende Optionspreisformeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-4

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-5

Dabei bezeichnet S 0 den Aktienkurs zum Zeitpunkt t = 0, K den Strike-Preis, r den risikofreien Zins, T die Restlaufzeit der Option, s die konstante Volatilität und N (.) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für eine detaillierte Herleitung dieser Formeln sei auf das Paper von Black und Scholes^[21] verwiesen.

3.1.2 Der Trinomialbaum

Da amerikanische Optionen jederzeit ausgeübt werden können und daher die Restlaufzeit unbekannt ist, ist es nicht möglich, eine analytische Formel für die Optionspreise amerikanischer Optionen abzuleiten. Zur Bestimmung des Wertes von amerikanischen Optionen müssen daher iterative Modelle herangezogen werden. Dies gilt auch für europäische Optionen, falls während der Restlaufzeit der Option Dividenden ausgeschüttet werden. Ein einfaches und bekanntes iteratives Modell zur Bestimmung von Optionspreisen ist das Binomialmodell. Hierbei wird die zukünftige Entwicklung des Aktienkurses in einem Binomialbaum abgebildet. Auf diese Weise lässt sich der Erwartungswert des Optionspreises bei Fälligkeit zum Zeitpunkt T einfach bestimmen. Durch Diskontierung mit dem Zinssatz r einer risikolosen Anlage mit gleicher Laufzeit lässt sich dann der faire Preis der Option zum Zeitpunkt t berechnen.^[22]

Ein Nachteil des Binomialbaum-Ansatzes ist jedoch, dass sehr große Baumtiefen nötig sind, um exakte und korrekte Optionspreise zu erhalten. Tian^[23] hat gezeigt, dass man bei Verwendung eines Trinomialbaumes mit geringeren Baumtiefen auskommt. Beim Trinomialbaum wird der Binomialbaum-Ansatz erweitert, indem man dem Aktienkurs neben einer Aufwärts- und Abwärtsbewegung zusätzlich die Möglichkeit einer seitlichen Bewegung einräumt. Im Trinomialmodell erhöht sich der Aktienkurs S innerhalb eines Zeitintervalls D t mit der Wahrscheinlichkeit pu um den Faktor u, er fällt um den Faktor d mit der Wahrscheinlichkeit pd oder bewegt sich mit der Wahrscheinlichkeit pm seitwärts. Zum Zeitpunkt t +D t beträgt der Aktienkurs demnach Su, Sm oder Sd. Ein Trinomialbaum hat also folgende Struktur:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-1: Knoten eines Trinomialbaumes

[...]

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^[1] ARD o.V. (2005).

^[2] Poon (2005) Kap. 1.

^[3] In Gleichung 2-1 geht ein Freiheitsgrad für die Bestimmung des Mittelwertes verloren.

^[4] Siehe Windcliff/Forsyth,/Vetzal (2003).

^[5] Es gibt in etwa 252 Handelstage pro Jahr.

^[6] Dies gilt auch für andere Optionspreismodelle; die meisten Modelle besitzen keine analytische Darstellung, weshalb eine analytische Bestimmung der impliziten Volatilität ohnehin nicht möglich ist.

^[7] Siehe z.B. Christensen/Hansen (2002).

^[8] Siehe Chance (2003).

^[9] Siehe Kapitel 3.

^[10] Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung bzw. der Volatilität.

^[11] Siehe Bowler/ Ebens/Davi/Kolanovi c (2003).

^[12] Siehe Bowler/ Ebens/Davi/Kolanovi c (2003), Hafner/Wallmeier (2005), Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt-Christmas (2004) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[13] Siehe Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt-Christmas (2004).

^[14] Siehe Bakshi/Kapadia (2001), Carr/Wu (2005), Moise (2005) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[15] Abbildung aus Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[16] Alle anderen Parameter sind fix und entsprechen den Werten der am Markt beobachteten Option.

^[17] Auch Verfahren zur Maximierung können eingesetzt werden, indem man – fmin maximiert.

^[18] Siehe auch Abschnitt 3.3.

^[19] Siehe Merton (1978).

^[20] Siehe z.B. Hull/White (1988), Stein/Stein (1991) und Heston (1993).

^[21] Siehe Black/Scholes (1973).

^[22] Siehe Cox/Ross/Rubinstein (1979).

^[23] Siehe Tian (1993).