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Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
Was ist Wahrscheinlichkeit? Wie ist diese naiv definiert?
Was ist Wahrscheinlichkeit? Wie ist diese naiv definiert?
Was ist Wahrscheinlichkeit? Wie ist diese naiv definiert?
Bei der Wahrscheinlichkeit geht es um Dinge, die vom Zufall abhängen
P (A) := lim
n
N
n
(A)
n
N
n
(A) . . . Anzahl, wie oft A bei n Versuchen augetreten ist
Es handelt sich deshalb um den Limes der relativen Häufigkeit
Was sind die Hauptprobleme?
Was sind die Hauptprobleme?
Was sind die Hauptprobleme?
· Grenzwert: Wir können das Experiment nicht unendlich oft durchführen und daher keinen Grenzwert bestim-
men (weil wir keine Folge haben)
· Konvergenzkriterium: Selbst wenn wir eine Folge haben, so wissen wir nicht, ob die Folge konvergiert
Was braucht man alles für die Axiomatische Wahrscheinlichkeit?
Was braucht man alles für die Axiomatische Wahrscheinlichkeit?
Was braucht man alles für die Axiomatische Wahrscheinlichkeit?
-Algebra
Sei = . Eine Familie A von Teilmengen von (A A ) heißt -Algebra, falls:
(1) A
(2) Falls A A, dann ist \A A (d.h. wenn A A, dann ist auch das Komplement drinnen)
(3) Falls (A
j
)
jN
A, dann ist
jN
A
j
A (d.h. die Vereinigung ist ebenfalls drinnen)
Wahrscheinlichkeitsraum
Es sei = 0, A eine -Algebra auf und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Dann nennt man (, A, P ) einen
Wahrscheinlichkeitsraum.
. . . Menge aller möglichen Ereignisse, A . . . -Algebra, P . . . Wahrscheinlichkeitsmaß
Was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Sei = 0 und sei A eine -Algebra auf . Eine Funktion P : A R heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, falls:
(1) A A : P (A) 0
(2) P () = 1
Birgit Bergmann
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(3) Falls (A
j
)
jN
A und paarweise disjunkt, dann gilt
P
jN
A
j
=
jN
P (A
j
)
Als Ergebnis erhalten wir eine Zahl
Welche Eigenschaften hat das Wahrscheinlichkeitsmaß?
Welche Eigenschaften hat das Wahrscheinlichkeitsmaß?
Welche Eigenschaften hat das Wahrscheinlichkeitsmaß?
P () = 1, P (A) 0
wichtiger: Falls (A
j
)
jN
A und paarweise disjunkt, dann gilt
P
j=1
A
j
=
j=1
P (A
j
)
Wie hängen die naive und die axiomatische Wahrscheinlichkeit zusammen?
Wie hängen die naive und die axiomatische Wahrscheinlichkeit zusammen?
Wie hängen die naive und die axiomatische Wahrscheinlichkeit zusammen?
durch das Starke Gesetz der großen Zahlen
Starke Gesetz der großen Zahlen
Starke Gesetz der großen Zahlen
Sei (, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsmaß und (X
n
)
nN
eine Folge von unabhängigen, integrierbaren Zufallsvaria-
blen auf (, A, P ), die gleiche Verteilung haben. Setze µ := E(X
1
). Dann gilt:
lim
n
1
n
n
j=1
X
j
= µ P - fast sicher
Modell vom Immer-wieder-Wiederholen
Modell vom Immer-wieder-Wiederholen
Modell vom Immer-wieder-Wiederholen
Wahrscheinlichkeitsraum (, A, P ) (Experiment einmal durchführen)
Wahrscheinlichkeitsraum ( ~
, ~
A, ~
P ) (Immer-wieder-Wiederholen)
~
:= {(
1
,
2
, . . .) :
n
n N}
Sei n N und seien A
1
, A
2
, . . . , A
n
A.
Setze [A
1
, A
2
, . . . , A
n
] := {(
1
,
2
, . . .) :
1
A
1
,
2
A
2
, . . . ,
n
A
n
} . . . Zylindermenge
~
A sei die von der Zylindermenge erzeugte -Algebra
Setze ~
P ([A
1
, A
2
, . . . , A
n
]) :=
n
j=1
P (A
j
)
(, A, P ), X : R Zufallsvariable
( ~
, ~
A, ~
P ) Für n N setze ~
X
n
: ~
R, ~
X
n
((
1
,
2
, . . .)) := X(
n
)
Zufallsvariable X beim n-ten Versuch... X(
n
)
Birgit Bergmann
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Das ist eine Zufallsvariable, weil für R gilt:
{ ~
X
n
} = [, , . . . , , {X }] A
Warum braucht man die -Algebra?
Warum braucht man die -Algebra?
Warum braucht man die -Algebra?
Beim Glücksrad kann man nicht von allen Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Man lässt nur gewisse
Werte zu und zwar R\Q
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit konkret ausrechnen?
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit konkret ausrechnen?
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit konkret ausrechnen?
mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit
In der Schule ist das formale Hinschreiben eher schlecht, es sollte zuerst naiv gerechnet werden
Ist bei elementaren Beispielen immer klar, wie sie zu rechnen sind?
Ist bei elementaren Beispielen immer klar, wie sie zu rechnen sind?
Ist bei elementaren Beispielen immer klar, wie sie zu rechnen sind?
Nein, Gegenbeispiel: Gegeben sei ein Kreis. Wir wählen zufällig eine Sehne. Wie groß ist P , dass die Länge dieser
Sehne Radius ist?
Man kann die Wahrscheinlichkeit auf 3 Möglichkeiten [1) Wir wählen zufällig zwei Punkte, 2) Wir wählen zufällig
eine Richtung vom Mittelpunkt, auf der Strecke zufällig einen Punkt und bilden die Senkrechte darauf, 3) Wir wäh-
len zufällig einen Durchmesser dort zufällig einen Punkt, bilden die Senkrechte und erhalten 2.Punkt am Kreis] und
haben 3 verschiedene Ergebnisse [1) P =
1
3
, 2) P = 1 -
1
2
3 0.1340, 3) P =
1
4
] erhalten. Daraus folgt, dass es
nicht klar ist, was mit zufällig wählen gemeint ist. Es ist NICHT immer klar, weil es müsste genauer gesagt werden,
was zufällig wählen bedeutet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Würfeln irgendwann einen 6er haben?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Würfeln irgendwann einen 6er haben?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Würfeln irgendwann einen 6er haben?
P(6er irgendwann) = 1, das besagt da Null-Eins-Gesetz
Das Null-Eins-Gesetz sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse größer Null gleich Eins ist, d.h. die Wahr-
scheinlichkeit, dass es irgendwann eintritt, ist Eins.
Wir würfeln 400mal und 399mal ist bereits ein 6er gekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt noch
Wir würfeln 400mal und 399mal ist bereits ein 6er gekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt noch
Wir würfeln 400mal und 399mal ist bereits ein 6er gekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt noch
einmal ein 6er kommt?
einmal ein 6er kommt?
einmal ein 6er kommt?
p =
1
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Begründungen:
(1) anschaulich: Der Würfel hat sich nicht gemerkt, auf welche Seite er gefallen ist
(2) mathematisch: aufgrund der Unabhängigkeit
Birgit Bergmann
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(3) mathematisch: wegen der bedingten Wahrscheinlichkeit
Warum kommt bei einem Mal würfeln der 6er mit Wahrscheinlichkeit p =
1
6
?
Begründungen:
(1) Der Würfel hat 6 Seiten und ist symmetrisch. Warum sollte eine Seite öfters kommen?
(2) wegen der Entropie (durchschnittliche Information)
Was ist Entropie?
Was ist Entropie?
Was ist Entropie?
Definition: Sei
p
1
p
2
..
.
p
n
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dann heißt h
p
1
p
2
..
.
p
n
:= -
n
j=1
p
j
log p
j
die Entropie die-
ser Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei -0 log 0 := 0
Satz: Für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung
p
1
..
.
p
n
gilt h
p
1
..
.
p
n
log n. Weiters gilt h
p
1
..
.
p
n
= log n genau
dann, wenn p
j
=
1
n
j {1, . . . , n}
Anmerkungen: - log p
j
liefert das j-te Ergebnis daraus folgt, dass die Summe die durchschnittliche Information be-
schreibt
Beweis des Satzes: Wir haben den Satz mittels Induktion bewiesen. Beim Induktionsschritt handelt es sich um ei-
ne Extremwertaufgabe. Wir haben die Methode der Langrange'schen Multiplikatoren (F = f - g) verwendet,
wobei g die Nebenbedingung ist!
F = -
n
j=1
p
j
log p
j
-
n
j=1
p
k
- 1
Dieser Ausdruck muss nach p
j
abgeleitet werden, d.h. die partiellen Ableitungen berechnen und somit erhalten wir:
0 =
F
p
j
Produktregel
=
- log p
j
- p
j
1
p
j
=1
- · 1
Birgit Bergmann
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Dann formen wir den Ausdruck um und erhalten:
p
j
= e
--1
Jetzt verwenden wir die Nebenbedingung und betrachten den RAND und nicht die 2.Ableitung ausrechnen, weil die-
se nur Information zu lokalen Extrema liefert. Wir interessieren uns für globale Extrema und daher muss der Rand
betrachtet werden:
Rand: j mit p
j
= 0
Danach ist die Induktion möglich
Kombinatorik
Kombinatorik
Kombinatorik
z.B. Wie viele Möglichkeiten gibt es in Italien einen Lottoschein auszufüllen?
Es gibt 90 Kugeln und es werden 6 Kugel gezogen. Also
90
6
Wie kommt diese Formel zustande?
1. Kugel: 90 Möglichkeiten, 2. Kugel: 89 Möglichkeiten, ...
Wie lautet die axiomatische Definition einer Zufallsvariablen?
Wie lautet die axiomatische Definition einer Zufallsvariablen?
Wie lautet die axiomatische Definition einer Zufallsvariablen?
Sei (, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Funktion X : R heißt Zufallsvariable (zufällige Veränderli-
che), falls R : { : X() } A (Messbarkeitsbedingung)
Was ist eine Zufallsvariable?
Was ist eine Zufallsvariable?
Was ist eine Zufallsvariable?
Die Zufallsvariable ist eine Funktion X : R, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Diese Funktion hängt
mit der Verteilung zusammen.
Wie ist die Verteilung von X definiert?
Wie ist die Verteilung von X definiert?
Wie ist die Verteilung von X definiert?
Sei (, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsvariable auf . Dann heißt die Funktion F : R R,
die durch F (t) := P (X t) definiert ist, die Verteilung von X.
Um das Problem mit dem Ergebnis auf der rechten Seite zu umgehen, definiert man: R : {X } A. Und
so hängen die beiden Definitionen, die der Zufallsvariable und die der Verteilung, zusammen!
Was ist dabei ein wichtiger Zwischenschritt?
Was ist dabei ein wichtiger Zwischenschritt?
Was ist dabei ein wichtiger Zwischenschritt?
Das Wegkommen vom Wahrscheinlichkeitsraum ist ein wichtiger Schritt. In diesem Zusammenhang ist dieser Satz
ganz wichtig:
Eine Funktion F : R R ist genau dann Verteilung einer Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(, A, P ), wenn
Birgit Bergmann
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- Birgit Bergmann (Author), 2013, Stochastik für Lehramtskandidaten. Fragen zur mündlichen Prüfung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/302928
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