Veränderte Zahlenmauern: Was passiert mit dem Zielstein? (Mathematik, 1./2. Klasse)

Thema der Unterrichtsreihe

„Wir erforschen Zahlenmauern“

Eine operativ- und problemstrukturierte Übungsform zur Festigung und Vertiefung der Addition und Subtraktion sowie des Ergänzens im Zahlenraum bis 20/ 100 / 1000.

Thema der Unterrichtsstunde

„Veränderte Zahlenmauern: Was passiert mit dem Zielstein?“

Die SuS^[1] erforschen Veränderungen in der Dreierzahlenmauer bezüglich des Zielsteins, wenn der Eckstein sich um eins vergrößert und wenden Forschermittel an.

- Einbettung der Stunde in die Unterrichtsreihe

Zentrale Absichten der Unterrichtsreihe

Die SuS trainieren sich im Zahlenrechnen und schnellen Kopfrechnen im Zahlenraum bis 20/ 100/ 1000 anhand des Übungsformates „Zahlenmauern“. Dabei festigen sie ihre Fähigkeiten in den Grundrechenarten Addition und Subtraktion bzw. Ergänzen und nutzen Zahlbeziehungen und Rechengesetze für vorteilhaftes Rechnen (LP 2008: s. 62). Zudem lernen die SuS ihre Denkprozesse und Vorgehensweisen angemessen und nachvollziehbar darzustellen sowie sich mit anderen darüber auszutauschen und mathematische Zusammenhänge in Form von Auffälligkeiten zu erkennen, zu beschreiben und in Ansätzen zu begründen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Zentrale Absicht der Stunde und Lernchancen

Meine Absicht:

Ich gebe den SuS die Chance, eigene Vermutungen über mathematische Zusammenhänge herzustellen und diese zu überprüfen, indem sie beobachten und beschreiben wie sich der Zielstein verändert, wenn der Eckstein der ersten Reihe um eins größer wird.

Im Sinne meiner formulierten Absicht eröffne ich folgende Lernchancen:

Auf der Ebene der Sacherfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- eigene Vermutungen über mathematische Auffälligkeiten und Zusammenhänge herzustellen.
- mathematische Auffälligkeiten (sukzessive Veränderung des Zielsteins um eins in einer Zahlenmauerfolge) mit Hilfe von Forschermitteln zu beobachten und zu beschreiben und in Ansätzen zu begründen.
- ihre Vermutungen anhand eines Beispiels zu hinterfragen, ob ihre Aussagen zutreffend sind (erkennen dass die Muster auch in anderen Zahlenmauerfolgen auftreten).
- Additionsaufgaben im Zahlenraum bis 20/ 100/ 1000 unter Ausnutzung von Rechengesetzen und Zerlegungsstrategien zu lösen.

Auf der Ebene der Individualerfahrungen

Jede/r SchülerIn hat die Chance,

- Fähigkeiten zum mathematischen Forschen zu entwickeln.
- einen reflektierten Umgang der Unterrichtsstunde durch Selbsteinschätzung (Feedback – Zielscheibe) zu erlangen.
- nach seinem/ ihrem individuellem Lernniveau zu rechnen und zu entdecken.
- sich mit Hilfe des „Wortspeichers“ in mathematischer Fachsprache auszudrücken.

Auf der Ebene der Sozialerfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- sich im Darstellen/ Kommunizieren zu schulen, indem sie in Partnerarbeit ihre Beobachtungen präsentieren und verständlich mitteilen.
- aus Ideen und Erfahrungen anderer Kinder zu lernen.
- eigene Erfahrungen und Ideen in der Klassengemeinschaft zu kommunizieren.

- Sachinformationen zur Stunde

Das Übungsformat ‚Zahlenmauer’ ist in der Literatur auch unter den Bezeichnungen: Rechenpyramide, Zahlenturm, Ziegelmauer oder Turmrechnen bekannt (Padberg). Da in dem an unserer Schule verwendeten Mathematiklehrgang „Super M“ der Begriff Zahlenmauer benutzt wird, werde ich diesen ebenfalls verwenden.

„Die Zahlenmauer ist eine operative Übungsform, die auch noch im Zahlenraum bis 20 und darüber hinaus gut einsetzbar ist“ (Schipper et al. 1996: 87). „Zahlenmauern entstehen, indem auf zwei benachbarte Steine ein dritter Stein mit der Summe der beiden unteren Steine aufgesetzt wird. Eine Zahlenmauer mit drei [Grundsteinen] führt demnach zu 3, eine Zahlenmauer mit vier [Grundsteinen] zu 6 Additionsaufgaben “ (Quak at al. 2006: 182). Das Ausfüllen einer Zahlenmauer erfordert je nach vorgegebenen oder gesuchten Zahlen entweder Additionsaufgaben (beim Rechnen von unten nach oben) oder Subtraktions- beziehungsweise Ergänzungsaufgaben (beim Rechnen von oben nach unten). In der vorliegenden Stunde errechnen die SuS die Zahlenmauer additiv von unten nach oben, da in der Aufgabenstellung die Grundsteine schon vorgegeben sind. Subtraktionsaufgaben verwenden sie nur falls sie ihre Ergebnisse überprüfen. Den obersten Stein der Zahlenmauer nennen wir Zielstein und die untersten Steine Grundsteine. Die Steine an den Ecken nennen wir Ecksteine und den mittleren Stein Mittelstein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Prinzip der 3er-Zahlenmauer

In der vorliegenden Stunde geht es darum, dass die SuS erforschen wie sich der Zielstein einer Dreierzahlenmauer verändert, wenn der linke Eckstein der ersten Reihe um eins größer wird. Wie in der Abbildung zu sehen ist, wird der linke Eckstein der zweiten Reihe um eins größer und somit auch der Zielstein. Der Zielstein wird immer um die Zahl (x) vergrößert, um die der linke Eckstein der ersten Reihe auch vergrößert wird, weil die Position a und c jeweils einfach in den Zielstein eingehen. Somit gilt dies auch für den rechten Eckstein der ersten Reihe.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2: In der 3er-Zahlenmauer wird der linke Eckstein um eins vergrößert.

- Fachdidaktische Analyse

Quak et al. nennen Zahlenmauern als ein Beispiel für produktive und operative Übungsformate. Diese „sollen beziehungsreiches Üben fördern“ und „Kinder zur Herstellung von „Produkten“ und damit verbunden auch zum Erfinden eigener Aufgaben anregen“ (2006: 181). Dadurch ergibt sich ein „sinnhaftes Üben mit Spaß, Motivation und vielfältigen Entdeckungen“ (ebd.: 182). Zudem können sie an das Schwierigkeitsniveau der Kinder angepasst werden und somit über die gesamte Grundschulzeit und darüber hinaus verwendet werden (vgl. ebd.: 182). Außerdem „fordern und fördern [diese] ein bewegliches Umgehen mit Zahlen und Rechenoperationen“ (Schipper et al.: 84). Somit bieten Zahlenmauern, nach den zentralen Leitideen des Mathematikunterrichts, ein geeignetes Übungsformat mit ergiebigen Aufgaben für eine leistungsheterogene Schuleingangs-phase.

In der Stunde „Wir erforschen Veränderungen in der Dreierzahlenmauer“ entspricht das Errechnen der spezifischen Zahlenmauer dem Bereich ‚Zahlen und Operationen‘ als eine der vier inhaltlichen Kompetenzen im Lehrplan und kann den Schwerpunkten ‚Zahlenrechnen‘ und ‚schnelles Kopfrechnen‘ zugeordnet werden. „Die SuS lösen Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis [20,] 100 [, 1000] unter Ausnutzung von Rechengesetzen und Zerlegungsstrategien mündlich oder halbschriftlich“ (MSW 2008: S.13).

In der Stunde sollen folgende prozessbezogene Kompetenzen vertieft und weiterentwickelt werden.

- Hierbei liegt der Schwerpunkt auf dem Bereich „Vermuten und Überprüfen“ und in Ansätzen „Begründen“. „Die SuS stellen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge oder Auffälligkeiten an“ und „testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen etc. zutreffend sind“ (MSW 2008: S.8).

Darstellen/ Kommunizieren: Die SuS stellen ihre beobachteten Auffälligkeiten (mit Hilfe des Wortspeichers) für den Partner bzw. im gemeinsamen Kinositz für alle nachvollziehbar dar. Hier wird die LAA die SuS zur Verbalisierung ihrer Erkenntnisse ermuntern.

Das fachdidaktische Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens wird ermöglicht in der Arbeitsphase, die eine eigenaktive Auseinandersetzung mit der Überprüfung unserer Vermutungen fordert.

Um eine natürliche Differenzierung zu ermöglichen und der Heterogenität in der Klasse gerecht zu werden, sind die Arbeitsblätter individuell auf den Lernstand der SuS angepasst. So rechnet jedes Kind in seinem Tempo, auf seinem Niveau (Zahlenraum 10, 20, 100, 1000 mit und ohne Zehnerübergang) unter Benutzung selbst ausgewählter Hilfsmittel. Zudem findet eine Differenzierung in der Partnerarbeit statt, in der die SuS sich die Zahlen für ihre Zahlenmauerfolge selbst ausdenken sollen oder mit vorgegebenen Grundsteinen arbeiten.

Das Prinzip der Strukturorientierung unterstreicht, „dass mathematische Aktivität häufig im Finden, Beschreiben und Begründen von Mustern besteht“ (MSW 2008, S.18). Dieses Prinzip äußert sich in der Stunde darin, dass die Kinder mathematische Auffälligkeiten (sukzessive Veränderung des Ecksteins bzw. Zielsteins um eins in einer Zahlenmauerfolge) mit Hilfe von Forschermitteln beobachten und beschreiben sowie in Ansätzen begründen.

Da das Übungsformat der Zahlenmauer in jedem Schuljahr der Grundschule und sogar auf weiterführenden Schulen angewandt werden kann, wird auch das Spiralprinzip umgesetzt. So lernen die Erstklässler die Zahlenmauer zum ersten Mal kennen und die Zweitklässler bearbeiten diese unter gleicher Fragestellung auf einem höherem Niveau (größerer Zahlenraum, größere Mauerstruktur).

- Analyse der Lernaufgabe

Im Folgenden soll die Lernaufgabe anhand der Anforderungsbereiche analysiert werden (vgl. Blum 2006).

A1 (Reproduzieren): In der Arbeitsphase üben sich die SuS anhand der operativ strukturierten Übung in der Addition, indem sie auf dem Arbeitsblatt systematisch variierte Zahlenmauerfolgen ausrechnen (vgl. Wittmann 1992: 180). Dies entspricht dem Anforderungsbereich I in den Bildungsstandards, da das Ausführen eine routinierte Tätigkeit (Plus rechnen) erfordert. Hier sind die Grundsteine in der Zahlenmauerfolge vorgegeben, um den Schwerpunkt im Beobachten und Anwenden von Forschermitteln zu setzen. Jedes Arbeitsblatt enthält drei Zahlenmauern, die nebeneinander angeordnet sind. An drei Zahlenmauern können die SuS die Verhältnismäßigkeit für den Zielstein gut erkennen und die einzelnen Mauern und ihren Verlauf besser vergleichen. Zudem sind nicht zu viele Zahlenmauern auf dem Blatt vorhanden, sodass die SuS diese sowohl im Austausch mit ihrem Partner als auch im Plenum gut darstellen können. In der Stunde werden Dreierzahlenmauern untersucht, da die SuS mit diesen aus den vorangegangenen Stunden vertraut sind und Viererzahlenmauern wären für viele der Erstklässler noch zu komplex.

A2 (Zusammenhänge herstellen): Der Anforderungsbereich II wird umgesetzt, indem die SuS den gesetzmäßigen Zusammenhang der Ergebnisse in den Zahlenmauerfolgen erkennen, beschreiben und in Ansätzen begründen. Dazu werden erste Forschermittel im Tafelbild angewandt (einkreisen/ farbig markieren/ Pfeile), sodass die SuS angeregt werden in der Transformation ebenfalls Forschermittel zu nutzen, um die sukzessive Vergrößerung des linken Ecksteins oder Zielsteins kenntlich zu machen. Auf dem Arbeitsblatt wurde auf Markierungen dieser bewusst verzichtet, damit die SuS eigenaktiv Forschermittel einsetzen können.

A3 (komplexe Tätigkeiten): In der Partnerarbeit besteht für die SuS die Möglichkeit ihre gewonnenen Feststellungen zu verallgemeinern. Hier können sie die Erkenntnis gewinnen, dass die Erhöhung des Zielsteins um 1 unabhängig von den gewählten Zahlen in den Grundsteinen erfolgt. Zusätzlich können sie erste Vermutungen zur Begründung anstellen. In der Forscheraufgabe werden schnelle SuS dazu angeregt zu überlegen, was passiert mit dem Zielstein, wenn sich der Mittelstein jeweils um 1 vergrößert und wenden somit ihre Erkenntnisse auf eine ähnliche Aufgabenstellung an.

In der gemeinsamen Reflexion im Kinositz erläutern die SuS beobachtbare Auffälligkeiten anhand ihrer ‚Präsentationsmauer‘ aus der Partnerarbeit. Hier wird die LAA zur Verbalisierung ihrer Erkenntnisse Hilfestellung geben. Zudem wird gemeinsam überlegt, was mit dem Zielstein passiert, wenn sich der rechte Eckstein um 1 vergrößert (Anforderungsbereich III). An dieser Stelle wird die prozessbezogene Kompetenz ‚Argumentieren‘ angebahnt. Die konkrete Beantwortung der Frage, warum sich der Zielstein, wie beobachtet und beschrieben verändert, wird in der darauffolgenden Stunde thematisiert (Plättchenbeweis). Sowie die Klärung der Forscheraufgabe (Was passiert mit dem Zielstein, wenn sich der Mittelstein um 1 vergrößert), findet in der nächsten Stunde statt und wird dann von allen SuS bearbeitet.

- Besondere Informationen zur Lerngruppe

Das Leistungsniveau der xxx ist heterogen. In der Lerngruppe befinden sich vier SuS, deren Lern- und Leistungsschwierigkeiten im Folgenden genauer beschrieben werden sollen.

Bei xxx wurde ein Förderbedarf im Bereich soziale und emotionale Entwicklung festgestellt. Bei xxx ist ein AOSF-Verfahren im Bereich soziale und emotionale Entwicklung eingeleitet worden. Ihnen fällt es sehr schwer, sich auf Lernaufgaben im Allgemeinen einzulassen. Beiden Kindern kommt hier die Partnerarbeit entgegen, da sie von ihren Mitschülern/-innen unterstützt und motiviert werden. Schaffen sie es, sich auf die Lernaufgabe einzulassen, so traue ich beiden eine aktive Teilnahme an der Partnerarbeit und auch das Kommunizieren ihrer Entdeckungen im Sitzkreis zu. Schaffen sie es nicht, bekommen sie in diesem Fall eine kurze Auszeit am eigentlichen Sitzplatz oder werden auf eine andere Gruppe aufgeteilt.

xxx hat einen ausgewiesenen Förderschwerpunkt im Bereich Lernen und xxx im sprachlichen Bereich. Sie haben beide Schwierigkeiten dem Regelunterricht im Fach Mathematik zu folgen und Lernaufgaben umzusetzen. Sie befinden sich beide im dritten Schulbesuchsjahr und rechnen mit Hilfsmitteln im Zahlenraum bis 20. Sie arbeiten in der Stunde auf dem gleichen Niveau, wie die Erstklässler. Zur Unterstützung der Versprachlichung von Sachverhalten, dient der Wortspeicher, sowie die Stundenfrage an der Tafel.

xxx ist zu Beginn des Schuljahres unmittelbar aus Polen in die Klasse gekommen und verfügt noch über wenig Deutschkenntnisse. Er hält sich jedoch an die Regeln und Rituale der Klasse, versucht zudem durch Nachahmen der anderen Kinder die Lernaufgabe umzusetzen und wird daher noch nicht zielgleich unterrichtet.

- Erhebung der Lernvoraussetzungen für die konkrete Stunde

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Darstellung des Unterrichtsverlaufes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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^[1] Im Folgenden wird die Abkürzung SuS für Schüler und Schülerinnen verwendet.