Performancemessung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Klassische Performancemaße zur Beurteilung von Investmentfonds
2.1 Das Entscheidungsproblem zur Herleitung der Performancemaße
2.2 Sharpe-Maß
2.2.1 Herleitung
2.2.2 Anwendung und Beurteilung
2.3 Jensen - Maß
2.3.1 Herleitung
2.3.2 Anwendung und Beurteilung
2.4 Treynor - Maß
2.4.1 Herleitung
2.4.2 Anwendung und Beurteilung
2.5 Treynor/Black - Maß
2.5.1 Herleitung
2.5.2 Anwendung und Beurteilung

3 Das optimierte Sharpe-Maß

4 Kritische Gesamtbetrachtung der erläuterten Performancemaße

5 Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Das Reward-to-Variability Ratio von Sharpe

2 Das Jensen-Alpha

3 Das Reward-to-Volatility Ratio von Treynor und die 8 charakteristische Linie zur Herleitung des Betas

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Dem Kapitalanleger bieten sich in der heutigen Zeit auf Grund des facettenreichen Kapitalmarktes eine Vielzahl an Möglichkeiten, sein Geldvermögen zu investieren. Eine sehr wichtige Rolle spielen in diesem Zusammenhang Investmentfonds. Sie bieten dem Anleger den Vorteil, dass sie einen leichten Zugang zum Kapitalmarkt bieten, ohne sich um Details der Portfoliozusammenstellung kümmern zu müssen. Kleinanleger, die im Gegensatz zu institutionellen Anlegern in der Regel über einen geringeren Informationsstand verfügen, investieren in Fonds (Aktienfonds, Rentenfonds, Hedgefonds etc.), um von der Expertise des verantwortlichen Fondsmanagers, der das Portfolio des Investmentfonds verwaltet, zu profitieren. Ein Fondsmanager weist auf Grund seiner Erfahrungen im Kapitalanlagegeschäft bessere Fähigkeiten auf, die Chancen und Risiken eines Wertpapiers zu beurteilen. Zusätzlich bieten Fonds den Vorteil, dass sie in der Regel breit diversifiziert sind.

Die folgende Arbeit stellt Ansätze dar, mit denen man die Arbeit des Fondsmanagers beurteilen kann. Die Performance eines Portfolios ist absolut betrachtet wenig aussagekräftig. Man muss vielmehr die geleistete Performance mit geeigneten Referenzportfolios, die eine ähnliche Risikostruktur aufweisen, vergleichen. Diese Beurteilung ist mit den von Sharpe, Jensen, Treynor und Treynor/Black entwickelten klassischen Performancemaßen unter bestimmten Voraussetzungen möglich. Im Folgenden werde ich die genannten Maße im Hinblick auf Rendite- und Risikokriterien erläutern, um dabei Hinweise über die praktische Anwendbarkeit zu geben.^[1]

2 Performancemaße

2.1 Das Entscheidungsproblem zur Herleitung der Performancemaße

Im folgenden Abschnitt wird das zur Herleitung der Performancemaße zu lösende Entscheidungsproblem erläutert. Zusätzlich werden einige Annahmen getroffen, die die Herleitung erleichtern. In der folgenden Analyse gehen wir davon aus, dass die Kapitalinvestoren ihre Entscheidungen durch Nutzenmaximierung anhand des μ-σ-Kriteriums treffen.^[2] Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) stellt die theoretische Grundlage zur Herleitung der Performancemaße dar. Demzufolge ist die Tobin-Separation zur Portfoliogestaltung gültig. Demnach gilt aus portfoliotheoretischer Sicht, dass das risikobehaftete Teilportfolio des Investors präferenzunabhängig ist. Die Präferenzen bestimmen lediglich mit welchem Anteil das risikobehaftete Teilportfolio mit der sicheren Investitionsmöglichkeit kombiniert wird. Hierbei gilt, dass es sowohl zu einer Anlage als auch zu einer Verschuldung zum sicheren Zinssatz kommen kann.

Zur späteren Herleitung der Performancemaße wird zunächst einmal das Entscheidungsproblem dargestellt. Es wird angenommen, dass sich das risikobehaftete Teilportfolio des Investors aus der anteiligen Anlage in einen Investmentfonds f und der Direktanlage in das Portfolio P ergibt. Dieses Teilportfolio kann der Investor mit der sicheren Anlage-/ Verschuldungsmöglichkeit kombinieren. Daraus ergeben sich bei einem Anfangsvermögen A folgende festzulegende Anteile:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kapitalanleger trifft simultan drei Teilentscheidungen. Er entscheidet welcher Anteil des Anfangsvermögens riskant bzw. sicher investiert wird. Zusätzlich muss er den riskanten Anteil auf das Portfolio P und einen auszuwählenden Fonds f aufteilen. Bezeichnen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den sicheren Zinssatz und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]die unsicheren Renditen des Portfolios P bzw. des Fonds f dann gilt für die Gesamtrendite^[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (1)

2.2 Sharpe - Maß

2.2.1 Herleitung

Die Maximierung des Sharpe-Maßes wird in der Portfoliotheorie dazu genutzt, um im ersten Schritt der Tobin-Separation -präferenzunabhängig- die optimale Zusammensetzung des risikobehafteten Teilportfolios zu bestimmen. Wenn man im oben genannten Entscheidungsproblem davon ausgeht, dass der Investor seinen risikobehafteten Anteil komplett in einen zu wählenden Investmentfonds investiert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann muss der Investor nur noch die ihm zur Verfügung stehenden Fonds reihen, weil das Referenzportfolio P unberücksichtigt bleibt. Die Rendite des Gesamtportfolio für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich aus (1):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Daraus ergeben sich für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Rendite des Gesamtportfolios:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um eine zu erwartende fondsunabhängige Rendite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu erreichen, muss der Anleger den risikobehafteten Teil seiner Gesamtanlage je nach Fonds abstimmen. Dieser relative Anteil ergibt sich aus Gleichung (3):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man diesen, ausschließlich in den jeweiligen Fonds investierten risikobehafteten Anteil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], in Gleichung (4) ein, erhält man die Standardabweichung des Gesamtportfolios:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Da die exogen vorgegebene fondunabhängige Rendite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle Fonds gleich ist, muss demzufolge der Fonds vorgezogen werden, der das geringste Risiko aufweist. Demzufolge ist ein Fonds g dem Fonds h vorzuziehen, wenn die Standardabweichung des Gesamtportfolios bei der Wahl von Fonds g geringer ist. Für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgt aus (6)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Aus (7) folgt das Performancemaß von Sharpe (Reward-to-Variability Ratio)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Das Sharpe-Maß errechnet sich aus der erwarteten Überschussrendite des Fonds f pro Einheit des relevanten Risikos, welches in diesem Fall der Standardabweichung des Investmentfonds f entspricht. Sharpe entwickelte dieses Maß bereits im Jahre 1966.^[4] Man erkennt, dass das Sharpe-Maß der Steigung einer „Fondslinie“ mit Startpunkt (0,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) im μ-σ-Diagramm entspricht. Als Benchmark, dient die aus dem CAPM stammende Kapitalmarktlinie (KML), die durch das breit diversifizierte Markportfolio M verläuft. Allerdings ist die Kapitalmarktlinie nicht zwingend notwendig, um die Fonds untereinander separat zu reihen, sondern dient lediglich einer weiteren Vergleichsmöglichkeit.^[5] Man erkennt, dass ein Fonds die KML genau dann übertrifft, wenn die Reward-to-Variability Ratio des Fonds größer ist als die des Marktportfolios.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 : Das Reward-to-Variability Ratio von Sharpe.

2.2.2 Anwendungsmöglichkeiten und Beurteilung

Das Risiko eines Portfolios kann in eine systematische und unsystematische Komponente zerlegt werden. Diese Zerlegung wird bei der Beurteilung von Fonds nach dem Sharpe-Maß allerdings nicht vollzogen, weil das Gesamtrisiko als relevant erachtet wird. Durch die Annahme, dass das unsicher investierte Vermögen komplett in den Fonds investiert wird, stellt das Fondsrisiko das Gesamtportfoliorisiko dar. Demnach darf das Sharpe-Maß für die Beurteilung einzelner Fonds nur dann angewendet werden, wenn das risikoreich zu investierende Kapital komplett in den Fonds investiert wird.^[6] Allgemein ausgedrückt bedeutet dies, dass das Sharpe-Maß nur genutzt werden darf, wenn das zu beurteilende Portfolio dem Gesamtportfolio des Anlegers entspricht. Dies stellt eine schwerwiegende Einschränkung des Sharpe-Maßes in der Anwendbarkeit dar. Für Investoren, die ihr risikobehaftetes Portfolio auf mehrere Fonds oder andere riskante Wertpapiere verteilen, muss folglich ein Performancemaß genutzt werden, welches die Zusammensetzung des Fondsrisikos in eine systematische und unsystematische Komponente zerlegt. Um dies auf das Entscheidungsproblem anzuwenden, wird von der Annahme [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abgewichen. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert.^[7]

2.3 Jensen - Maß

2.3.1 Herleitung

Zur Herleitung weiterer Performancemaße wird von der Annahme, dass das risikoreich investierte Kapital komplett in den Fonds investiert wird, abgewichen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dies hat zur Folge, dass das Gesamtportfoliorisiko nicht nur vom Risiko des Fonds abhängig ist, sondern zusätzlich vom Risiko des alternativen Portfolios P als auch von der Kovarianz zwischen Fonds und Portfolio. Eine andere Extremposition wird eingenommen, indem die Annahme getroffen wird, dass das gesamte risikoreich zu investierende Kapital komplett in das Portfolio P investiert wird und lediglich ein marginaler Anteil des zu beurteilenden Fonds diesem Portfolio beigemischt wird. Aus der Gesamtportfoliorendite (1) ergeben sich für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]der Erwartungswert und die Standardabweichung der Rendite des Gesamtportfolios:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Wenn wiederum eine exogen vorgegebene Gesamtportfoliorendite in Höhe von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erreicht werden soll, muss der Anleger seine riskant investierten Mittel auf den zu bewertenden Fonds abstimmen. Aus (9) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. (11) Setzt man diesen relativen Umfang (11) in die Gleichung der Standardabweichung der Gesamtportfoliorendite (10) ein und zusätzlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen Null geht, gilt logischerweise, dass das Gesamtrisiko lediglich vom Risiko des direkt investierten Portfolios P abhängt. Die Standardabweichung der Rendite des Gesamtportfolios beträgt dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Um aber eine Bewertung der verschiedenen Fonds vornehmen zu können, muss eine marginale Beimischung der jeweiligen Fonds erfolgen, um daraufhin die Veränderung des Risikos des Gesamtportfolios zu ermitteln. Dies erfolgt durch eine Grenzwertbetrachtung an der Stelle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Ableitung der Standardweichung der Rendite des Gesamtportfolios liefert an der Stelle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgendes Ergebnis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Die folgenden Ausführungen sind an Breuer u.a. (2004), S. 376-378 angelehnt.

^[2] Vgl. Breuer u.a. (2004), S. 137-217.

^[3] Die folgenden Ausführungen sind an Breuer u.a. (2004), S. 379 angelehnt.

^[4] Vgl. hierzu Sharpe (1966).

^[5] Vgl. Möhlman (1993), S. 93.

^[6] Vgl. hierzu Bodie u.a. (2005), S.871f.

^[7] Die folgenden Ausführungen sind an Breuer u.a. (2004), S. 383-388 angelehnt.