Der Begriff ”Fraktal“ wurde in den 70er Jahren von Mandelbrot in seinem Buch ”The fractal geometry of nature“ geprägt. Obwohl es keine präzise Definition eines ”Fraktals“ gibt, hat es Einzug in unseren Sprachgebrauch gefunden. Erstes Interesse an den Eigenschaften von Prozessen auf Fraktalen kam von mathematischen Physikern auf, die sich fragten, wie sich beispielsweise Wärme oder eine Flüssigkeit auf Fraktalen ausbreitet.
Um diese Fragen zu beantworten, braucht man die Theorie der ”Analysis auf Fraktalen“. Die Ausbreitung von Wärme lässt sich durch die Wärmegleichung beschreiben. Ist der Definitionsbereich des Laplace-Operators allerdings ein Fraktal, ergibt sich z.B. das Problem, dass Kurven wie das Sierpinski Dreieck oder die KochKurve nicht glatt sind. Solche Schwierigkeiten zu beheben ist eine neue Herausforderung in der Mathematik, der sich die Analysis auf Fraktalen und insbesondere die Untersuchung stochastischer Prozesse auf selbstähnlichen Mengen widmet.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Das Sierpinski Dreieck
2.1 Konstruktion einer Diffusion auf dem Sierpinski Dreieck
2.2 Eigenschaften des Grenzprozesses
2.3 Diffusionen auf anderen fraktalen Mengen
3 Dirichlet Formen und Elektrische Netzwerke
3.1 Halbgruppen und Resolvente
3.2 Dirichlet Formen
3.3 Spuren von Dirichlet Formen
3.4 Elektrische Netzwerke
3.4.1 Leitfähigkeit
3.4.2 Elektrische Äquivalenz
4 Reguläre f.r. Fraktale
4.1 Similituden und selbstähnliche Strukturen
4.2 Post-kritisch endliche selbstähnliche Mengen
4.3 Maße auf p.c.f.s.s. Mengen
5 Renormalisation auf f.r. Fraktalen
6 Diffusion auf p.c.f.s.s. Mengen
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Konstruktion und Untersuchung von Diffusionsprozessen (stetigen starken Markov-Prozessen) auf fraktalen Mengen, insbesondere auf dem Sierpinski Dreieck und allgemeineren post-kritisch endlich selbstähnlichen Mengen.
- Konstruktion von Diffusionsprozessen durch Approximation mittels Random Walks auf Graphen.
- Theorie der Dirichlet Formen als analytisches Instrument zur Beschreibung von Diffusionen.
- Nutzung elektrischer Netzwerke zur Untersuchung der Struktur von Diffusionsprozessen auf Fraktalen.
- Analyse der Renormalisation auf fraktalen Strukturen zur Definition der Grenzformen.
- Existenz- und Eindeutigkeitsfragen für Diffusionsprozesse auf p.c.f.s.s. Mengen.
Auszug aus dem Buch
Konstruktion des Sierpinski Dreiecks
Sei G0 = {(0, 0),(1, 0),(1/2, √3/2)} = {a0, a1, a2} die Menge der Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge eins. Sei H0 die abgeschlossene konvexe Hülle von G0. Das Sierpinski Dreieck (kurz: SG für engl. Sierpinski gasket) G wird nun wie folgt konstruiert. Seien b0, b1, b2 die Mittelpunkte der drei Seiten von H0, und sei A das Innere des Dreiecks mit den Eckpunkten {b0, b1, b2}. Sei H1 = H0 − A, so dass H1 aus drei abgeschlossenen gleichseitigen Dreiecken besteht, welche jeweils Seitenlänge 2−1 haben. Nun wiederholen wir diese Operation auf jedem dieser Dreiecke und erhalten die Menge H2, die aus neun gleichseitigen Dreiecken besteht, welche jeweils Seitenlänge 2−2 haben (siehe Abbildung 2.1).
Fahren wir in dieser Art und Weise fort erhalten wir eine fallende Folge von abgeschlossenen nicht-leeren Mengen (Hn)∞ n=0, und wir setzen G = ∩∞ n=0 Hn.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in das Forschungsfeld der Analysis auf Fraktalen und die Motivation für die Untersuchung stochastischer Prozesse auf selbstähnlichen Mengen.
2 Das Sierpinski Dreieck: Detaillierte Konstruktion des Sierpinski Dreiecks und die Definition einer Diffusion als schwacher Limes von zeitreskalierten Random Walks auf approximierenden Graphen.
3 Dirichlet Formen und Elektrische Netzwerke: Mathematische Grundlagen der Theorie der Dirichlet Formen sowie die Verbindung zu elektrischen Netzwerken als Hilfsmittel zur Analyse der Prozesse.
4 Reguläre f.r. Fraktale: Untersuchung von geometrischen Eigenschaften selbstähnlicher Strukturen und Einführung der Klasse der post-kritisch endlich selbstähnlichen (p.c.f.s.s.) Mengen.
5 Renormalisation auf f.r. Fraktalen: Einführung der Renormalisationsabbildung zur systematischen Konstruktion von Dirichlet Formen auf p.c.f.s.s. Mengen.
6 Diffusion auf p.c.f.s.s. Mengen: Konkrete Konstruktion der Diffusion auf allgemeinen p.c.f.s.s. Mengen als Grenzwert von Diffusionsprozessen auf den graphischen Approximationen.
Schlüsselwörter
Fraktale Geometrie, Sierpinski Dreieck, Diffusion, Markov-Prozesse, Dirichlet Formen, Elektrische Netzwerke, Renormalisation, Selbstähnlichkeit, p.c.f.s.s. Mengen, Brownsche Bewegung, Hausdorff-Maß, Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis auf Fraktalen, Random Walk, Metrik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Konstruktion und Analyse von stochastischen Prozessen, insbesondere Diffusionsprozessen, auf komplexen fraktalen Strukturen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Analysis auf Fraktalen, die Theorie der Dirichlet Formen, die Nutzung von elektrischen Netzwerken zur Modellierung sowie die Theorie der Renormalisation.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist der Nachweis der Existenz einer Diffusion auf selbstähnlichen Mengen und deren Konstruktion als Grenzwert von zeitstetigen Markov-Ketten auf approximierenden Graphen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden methodisch die wahrscheinlichkeitstheoretische Annäherung (über Random Walks) und die analytische Herangehensweise (über Dirichlet Formen und Generatoren) kombiniert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die detaillierte Untersuchung des Sierpinski Dreiecks, die Theorie der Dirichlet Formen, die Definition p.c.f.s.s. Mengen sowie die Konstruktion der Renormalisation und der finalen Diffusion.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie p.c.f.s.s. Mengen, Dirichlet Formen, Renormalisation und elektrische Netzwerke definiert.
Was unterscheidet das Sierpinski Dreieck von anderen Fraktalen in dieser Arbeit?
Das Sierpinski Dreieck dient als einfachstes, nicht-triviales zusammenhängendes Fraktal als Musterbeispiel für die Konstruktion der Diffusion, während andere Fraktale wie der Sierpinski Teppich oder die Vicsek Menge auf zusätzliche Schwierigkeiten bei der Konstruktion hinweisen.
Wie werden elektrische Netzwerke im Kontext von Fraktalen genutzt?
Sie dienen als Hilfsmittel, da eine enge Verbindung zwischen Random Walks auf Graphen und elektrischen Widerstandswerten besteht, was die Analyse der Energieformen (Dirichlet Formen) auf den Fraktalen erleichtert.
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- Dr. Christine Aust (Author), 2007, Stochastische Prozesse auf selbstähnlichen Mengen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/418205
