Stochastische Prozesse auf selbstähnlichen Mengen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Das Sierpinski Dreieck 6

2.1 Konstruktion einer Diffusion auf dem Sierpinski Dreieck 8

2.2 Eigenschaften des Grenzprozesses 17

2.3 Diffusionen auf anderen fraktalen Mengen 20

3 Dirichlet Formen und Elektrische Netzwerke 24

3.1 Halbgruppen und Resolvente 24

3.2 Dirichlet Formen 26

3.3 Spuren von Dirichlet Formen 33

3.4 Elektrische Netzwerke 34

3.4.1 Leitfähigkeit 34

3.4.2 Elektrische Äquivalenz 37

4 Reguläre f.r. Fraktale 45

4.1 Similituden und selbstähnliche Strukturen 45

4.2 Post-kritisch endliche selbstähnliche Mengen 49

4.3 Maße auf p.c.f.s.s. Mengen 57

5 Renormalisation auf f.r. Fraktalen 60

6 Diffusion auf p.c.f.s.s. Mengen 70

Literaturverzeichnis 83

.1 Bildnachweis 88

.2 Abkürzungsverzeichnis 88

Kapitel 1

Einleitung

Der Begriff „Fraktal" wurde in den 70er Jahren von Mandelbrot in seinem Buch „The frac­tal geometry of nature" [Man82] geprägt. Mandelbrot führte Fraktale als eine neue Klasse mathematischer Objekte, die die Natur repräsentieren, ein. Die Wichtigkeit dieses Ansatz­es verbreitete sich schnell in vielen Gebieten der Wissenschaft, wie in der Physik, Biologie und Chemie. In der Mathematik entwickelte sich schnell ein neues Gebiet namens "Fraktaler Geometrie" auf Grundlage der geometrischen Maßtheorie, harmonischen Analysis, dynami­schen Systeme und Ergodentheorie. Fraktale Geometrie behandelt die Eigenschaften solcher (fraktaler) Mengen und Maße auf diesen, wie das bekannte Hausdorff-Maß. Allerdings sind Mengen dieser Art schon seit den frühen zwanziger Jahren bekannt, z.B. in der Analysis als ei­ne Sammlung origineller und ungewöhnlicher Gegenbeispiele. Die Koch-Kurve beispielsweise ist eine kompakte Kurve mit unendlicher Länge. Im Allgemeinen aber gibt es keine exak­te Definition des Wortes „Fraktal"und bisherige Versuche eine präzise Definition zu geben, führten zu Mengenklassen, die entweder zu groß, zu klein oder beides sind. Die mangelnde Eindeutigkeit ist für diese Arbeit aber kein Problem, da wir stochastische Prozesse auf einer speziellen Klasse, nämlich selbstähnlichen Mengen, betrachten. Es gibt zwar keine Objek­te in der Natur, die exakt die Struktur selbstähnlicher Mengen haben, aber selbstähnliche Mengen sind die wohl einfachsten und grundlegendsten Objekte in der Theorie der Fraktale und liefern uns wichtige Informationen was auf anderen Fraktalen passieren könnte. Genauer gesagt untersuchen wir Diffusionen, d.h. stetige starke Markov-Prozesse, auf selbstähnlichen Mengen, insbesondere deren Konstruktion und wesentliche Eigenschaften. Obwohl es keine präzise Definition eines „Fraktals" gibt, hat es Einzug in unseren Sprachgebrauch gefunden und auch wir werden zunächst von Fraktalen bzw. fraktalen Mengen sprechen, bis wir die Definition einer selbstähnlichen Menge kennengelernt haben. Erstes Interesse an den Eigen­schaften von Prozessen auf Fraktalen kam von mathematischen Physikern auf, die auf dem Gebiet der ungeordneten Media arbeiten. Gewisse Media können durch Filtrations-Cluster in kritischem Zustand modelliert werden, die fraktalähnliche Eigenschaften zeigen. Es treten also physikalische Phänomene auf diesen Objekten, die durch Fraktale modelliert werden, auf. Es stellten sich somit Fragen, wie man diese beschreiben kann, also beispielsweise wie Material mit einer fraktalen Struktur vibriert oder wie sich Wärme oder eine Flüssigkeit auf Fraktalen ausbreitet. Wir können uns z.B. ein poröses Material, wie einen Schwamm oder trockene Erde vorstellen und den Weg einer hindurchgeleiteten Flüssigkeit modellieren. Im Prinzip ist unser trockenes Stück Erde also ein fraktalähnliches Gebilde und die Flüssigkeit ein stochastischer Prozess darauf, der sich einen zufälligen Weg durch das Material bahnt, sich also an jedem „Abzweig" zufällig für einen Weg entscheidet. Um diese Fragen zu beantworten, braucht man die Theorie der „Analysis auf Fraktalen". Die Ausbreitung von Wärme lässt sich durch die Wärmegleichung beschreiben. Ist der Definitionsbereich des Laplace-Operators allerdings ein Fraktal, ergibt sich z.B. das Problem, dass Kurven wie das Sierpinski Dreieck oder die Koch-Kurve nicht glatt sind. Solche Schwierigkeiten zu beheben ist eine neue Herausforderung in der Mathematik, der sich die Analysis auf Fraktalen und insbesondere die Untersuchung stochastischer Prozesse auf selbstähnlichen Mengen widmet. Motiviert durch die Studien von Physikern machten Kusuoka und Goldstein unabhängig von einander den ersten Schritt in der mathematischen Entwicklung. Sie konstruierten eine „Brownsche Bewegung" auf dem Sierpin­ski Dreieck. Ihre Methode der Konstruktion heißt heute die wahrscheinlichkeitstheoretische Annäherung. Barlow und Perkins folgten diesem Ansatz und erhielten Abschätzungen für den Wärmekern assoziiert mit der Brownschen Bewegung auf dem Sierpinski Dreieck. Lindstrom erweiterte diese Konstruktion auf spezielle selbstähnliche Mengen - die „nested fractals". Auf der anderen Seite versuchte man auch den Laplaceoperator direkt auf dem Sierpinski Drei­eck als Grenzwert einer Folge diskreter Laplaceoperatoren auf approximierenden Graphen, zu definieren. Dies ist die analytische Herangehensweise, die von Kigami vorgeschlagen und von ihm und Kusuoka erweitert wurde.

In dieser Arbeit, basierend auf den Lecture Notes von M.T. Barlow [Bar98], werden wir beide Aproximationen kennenlernen, eine Diffusion auf einem Fraktal zu konstruieren. In Kapitel 2 betrachten wir zunächst das oben bereits erwähnte und neben der Cantor-Menge wohl ein­fachste, bekannteste und vielleicht auch schönste Fraktal - das „Sierpinski Dreieck". Als klas­sisches Fraktal, insbesondere mit einem gleichseitigen Dreieck als Ausgangsfigur (Initiator), ist das Sierpinski Dreieck ein Musterbeispiel für exakte Selbstähnlichkeit: Die in jedem Schritt erzeugten Teildreiecke sind verkleinerte exakte Kopien des Ausgangsdreiecks. Wir werden eine Folge von random walks auf Graphen, die das Sierpinski Dreieck approximieren konstruieren und durch Hinzunahme eines gewissen Skalierungsfaktors zeigen, dass diese random walks gegen einen Diffusionsprozess auf dem Sierpinski Dreieck konvergieren. Anschließend werden wir die Eigenschaften des Grenzprozesses untersuchen und uns Fragestellungen, ob es andere Diffusionen auf dem Sierpinski Dreieck gibt und ob ähnliche Konstruktionen auch auf ande­ren Fraktalen anwendbar sind, widmen. Die Kapitel drei bis fünf dienen der Vorbereitung der analytischen Konstruktion einer Diffusion mittels Dirichlet Formen auf endlich verzweigten ( „finitely ramified") bzw. post-kritischen selbstähnlichen Mengen. Dazu beschäftigen wir uns in Kapitel 3 zunächst mit der Theorie der Dirichlet Formen. Grundlage dafür sind Operator­halbgruppen, Resolvente und der Erzeuger der Halbgruppe über den man eine Dirichlet Form definieren kann. Diese werden wir zu Beginn des Kapitels kurz einführen. Danach können wir einen für uns später sehr wichtigen Satz aufstellen, der besagt: Ist (E ,D) eine lokale und reguläre Dirichlet Form auf L² (F, p), dann existiert eine Diffusion auf dem Fraktal F mit assoziierter Dirichlet Form E. Ziel der Arbeit wird daher sein, solch eine lokale und reguläre Dirichlet Form auf L² (F, p) zu konstruieren, indem wir eine Folge von Dirichlet Formen auf F approximierenden Graphen definieren, deren Grenzwert eine Dirichlet Form mit solchen Eigenschaften ist. Ein nützliches Hilfsmittel auf diesem Weg sind elektrische Netzwerke, die eine enge Verbindung zu random walks aufweisen. Beispielsweise kann damit man zeigen, dass ein random walk auf dem Rd für d > 3 transient ist. Wir werden uns hier mit effektiven Widerständen, Leitfähigkeitsmatrizen und elektrischer Äquivalenz von Netzwerken befassen und einen kleinen physikalischen Exkurs unternehmen. Im vierten Kapitel werden wir nun eine spezielle Klasse von endlich verzweigten Fraktalen kennenlernen, nämlich die post-kritisch endlich selbstähnlichen Mengen. Dazu befassen wir uns zunächst mit Similituden, was gewisse Ähnlichkeitsabbildungen sind, mit selbstähnlichen Strukturen und der Geometrie regulärer endlich verzweigter Fraktale. An einigen sehr anschaulichen Beispielen werden wir die Be­griffe der kritischen, post-kritischen und endlich verzeigten selbstähnlcihen Menge und deren Zusammenhänge verdeutlichen. Am ende des Kapitels beschäftigen wir uns noch kurz mit Maßen auf post-kritisch endlich selbstähnlichen Mengen, was später noch eine Rolle spielen wird. In Kapitel 5 werden wir schließlich die wichtige Renormalisationsabbildung auf Dirich­let Formen kennenlernen und kommen auf elektrischer Netzwerke zurück. Damit können wir dann eine weitere Bedingung an unsere Dirichlet Formen, die wir auf den Graphen erzeugen wollen, stellen und diese auf Existenz und Eindeutigkeit hin untersuchen. In Hauptkapitel 6 können wir eine Folge von Dirichlet Formen auf den approximierenden Graphen bilden und daraus zunächst eine Initialversion unserer „Grenzform" erzeugen. Über diese definieren wir dann schließlich eine Dirichlet Form auf L²(F, p) und zeigen, dass sie die gewünschten Ei­genschaften besitzt, woraus wir dann die Existenz einer Diffusion auf dem Fraktal F folgern werden. Abschließend werden wir, wie schon in Kapitel 2 auf dem Sierpinski Dreieck, den Grenzprozess konkret angeben. Am Ende dieser Arbeit befindet sich eine kurze Liste häufig verwendeter, aber nicht unbedingt geläufiger, Abkürzungen und soll dem Leser als kleines Nachschlagewerk dienen. Vorausgesetzt werden die Kenntnis eines Markov-Prozesses, sowie dessen Eigenschaften, insbesondere die starke Markov-Eigenschaft. Der Umgang mit Markov­Ketten und elektrischen Netzwerken sind hilfreich, in der Arbeit wird aber deren Verwendung näher erläutert und die entsprechende einführende Literatur angegeben. An einigen Stellen ist ein funktionalanalytisches Basiswissen von Vorteil. Allerdings reichen prinzipiell Kenntnisse in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, wie sie beispielsweise in [Bau74] dargestellt sind, aus. [...]