Das Teile-Ganzes-Konzept als Teilaspekt des Zahlenbegriffserwerbs. Entwicklung der Lernumgebung zur Förderung

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung / Beschreibung Fallkind

2. Das Teile-Ganzes-Konzept als Teilaspekt des Zahlenbegriffserwerbs
2.1 Begriffsbestimmung
2.2 Verortung innerhalb des Erwerbs des Zahlenbegriffs
2.3 Vorwissen, zu verknupfendes Wissen und Wissensaufbau

3. Entwicklung der Lernumgebung
3.1 Standpunktbestimmung, Pramissen und Ziele
3.2 Der Ansatz: Zahlen zerlegen
3.2.1 Zahlen zerlegen mit der Kugelketten (Basisubung zum Einstieg)
3.2.2 Zahlen zerlegen mit der Wendeplattchen (Aufbauubung)
3.2.3 Zahlen zerlegen mit Fingerbildern (Variante)
3.3.4 Automatisieren der Zahlzerlegung
3.5 Anwendung auf Rechenoperationen
3.6 Erganzungen
3.7 Organisatorische Aspekte der Lernumgebung

4. Entwicklung des Fallkindes (Prognose und Kritik)

5. Literatur

1. Einleitung

In der vorliegenden Arbeit soll die Thematik Diagnostik und Fordern anhand des konkreten Fallbeispiels der Schulerin Julia¹ beschrieben und diskutiert werden. Die Schulerin besucht die 2. Klassenstufe einer Flexklasse. Aufgrund „ mangelnder Leistungen “ verweilte sie bereits ein zweites Jahr in der 1. Klassestufe, ruckte zum aktuellen Schuljahr jedoch in die 2. Klasse auf. Regular ware sie bereits im 3. Schuljahr zu verorten. Von Seiten der Schule wurde eine Sonderpadagogin mit der Durchfuhrung eines Intelligenztests (CFT1-R) beauftragt. Dieser ergab einen IQ von 70.

Zur genaueren Standortbestimmung fur den Bereich der mathematischen Fahigkeiten bzw. zur losungsprozessanalystischen Erfassung des individuellen zahlenmathematischen Lernstandes wurde mit Julia der Jenaer Rechentest durchgefuhrt.²

Bezuglich der Zahlenmathematischen Kompetenzen ergab der Test, dass Julia in den Bereichen Zuordnung Anzahl - Zunahme, grobe und exakten Differenzbestimmung sowie Operationslogik der Addition bereits adaquate Leistungen erbringen kann, jedoch im Bereich kardinaler Zahlenbegriff (Wertbeziehungen) eine gravierende Beeintrachtigung der Rechenfahigkeiten und in den Bereichen ordinaler Zahlenbegriff (Wertegleichheit) sowie Operationslogik der Subtraktion und Zusammenhang von Addition und Subtraktion eine mittlere Beeintrachtigung der Rechenfahigkeiten aufweist.

In der qualitativen Auswertung des Tests fallt folgendes auf:

- Zumeist zahlt Julia zur Losung der ihr gestellten Aufgaben. Gelegentlich werden Ergebnisse auch geraten.
- Bereits bei der simultanen Mengenerfassung hat Julia Schwierigkeiten.
- Selten kommt Julia zu spontanen, sicheren Losungen. Dies ist jedoch auf das Abrufen von auswendig gelernten Aufgabensatzen zuruckzufuhren.
- Soll Julia exakte Unterschiede (Differenzen) bestimmen, schafft sie dies im direkten Vergleich (Objekte liegen sich exakt gegenuber) durch Zahlen.
- Julia hat die Operationslogik der Subtraktion (zumindest teilweise) nicht verstanden. Deutlich wird dies z.B. bei der Aufgabe „Erklare (mit Wurfeln), was mit 6 - 4 = 2 gemeint ist! “, die sie versucht zu losen, indem sie 6 Wurfel nimmt, dann 4 weitere Wurfel als Gruppe daneben legt, diese 4 dann wiederum mit den Worten „Minus heifit Wegnehmen “ bei Seite schiebt und auf das Ergebnis 6 kommt.
- Auch Platzhalter- sowie Tausch- und Umkehraufgaben kann Julia nicht (sachgerecht) bearbeiten.
- Aus den letzten drei Punkten lasst sich ableiten, dass Julia u.a. das Teile-Ganzes- Konzept als elementaren Teilaspekt des Zahlenbegriffserwerbs nicht vollumfanglich erfasst bzw. sicher verstanden hat.

Hier gilt es nun primar anzusetzen.³ Im Folgenden findet daher unter Punkt 2 eine genauere Betrachtung des Teile-Ganzes-Konzepts und dessen Verortung innerhalb des Zahlenbegriffserwerbs statt. AnschlieBend wird unter Punkt 3 eine Lernumgebung entwickelt, die mittels gezielter und aufeinander aufbauender Ubungen die Schulerin fordern soll, ein umfangliches kardinales Zahlenverstandnis aufzubauen bzw. das Teile-Ganzes-Konzept zu verstehen. AbschlieBend soll unter Punkt 4 ein Ausblick auf die zu erwartende Entwicklung Julias vorgenommen, aber auch reellen Gegebenheit und Herausforderung der Praxis kritisch betrachtet werden.

2. Das Teile-Ganzes-Konzept als Teilaspekt des Zahlenbegriffserwerbs

2.1 Begriffsbestimmung

Der Begriff „ Teile-Ganzes-Konzept “⁴ beschreibt die Erkenntnis, dass Zahlen zerlegbar und aus anderen Zahlen zusammengesetzt sind. Eine Zahl steht daher nicht nur fur eine bestimmte Menge an sich, sondern die Menge setzt sich wiederum aus Teilmengen zusammen (vgl. et. al. PIKASS (2019)).

„Das Verstandnis, dass eine Menge in verschiedene Anzahlen zerlegt und wieder zusammengesetzt werden kann, stellt die Grundlage dar zur Erkenntnis, dass Zahlen auch Beziehungen zwischen Mengen modellieren “ (zit. n. SCHERER / MOSER OPITZ (2010:99)).

Diese Vorstellung von Beziehungen zwischen Mengen bezeichnet RESNICK (et. al. 1983) auch als sog. protoquantitatives Verstandnis. Gemeint ist damit u.a. die „ Einsicht, dass ein Ganzes, welches in zwei (oder auch mehr; S.D.) Teile geteilt wurde, nicht mehr oder weniger geworden ist“ (zit. n. HAsel-Weide (2016:8)).

Ferner gehort zu dieser Erkenntnis auch die Einsicht, dass die Teilmengen in Relation zueinander variieren konnen, ohne dass dies einen Einfluss auf die Gesamtmenge hat (vgl. PiKASS (2019); Abb. 1).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Verortung innerhalb des Erwerbs des Zahlenbegriffs

Das Teile-Ganzes-Konzept bzw. dessen Verstandnis ist eine wesentliche Grundlage fur den Erwerb bzw. Aufbau des arithmetischen Rechnens. Gehen wir davon aus, dass Zahlen kein Rechnen ist bzw. es kein „ zahlendes Rechnen “ gibt, sondern dieser Ausdruck vielmehr einen Widerspruch in sich darstellt (vgl. KWAPiS (2013)), erscheint ein Rechnen i.e.S. ohne die Basis eines kardinalen Zahlenverstandnisses unmoglich. Wird nicht begriffen, dass sich z.B. die Zahl 8 exemplarisch aus den beiden Teilmenge 4 und 4 zusammensetzt bzw. in diese geteilt werden kann, konnen folgende Rechnungen nicht sinngemaB erfasst werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Abb. 2: )

Damit stellt das Teile-Ganzes-Konzept die Basis fur die folgenden Rechenoperation, wie Addition (auch Tauschaufgaben), Subtraktion (auch i.S.v. Umkehraufgaben; vgl. Umkehroperation), Multiplikation (bereits verdoppeln) und Division (bereits halbieren), dar bzw. ist deren elementare Voraussetzung.

2.3 Vorwissen, zu verknupfendes Wissen und Wissensaufbau

RESNICK (1983) beschreibt in seinem protoquantitativen Schema, dass Kinder, bevor sie Mengen und Zusammenhange zwischen Zahlen nummerisch beschreiben konnen, ein Verstandnis uber Beziehungen zwischen Mengen erwerben, das aber bereits folgende mathematische Kompetenzen tangiert:

1. ) Das Vergleichsschema (comparison scheme)

Zwei Mengen konnen qualitativ miteinander verglichen werden (mehr/weniger/gleich).

2. ) Das Zunahme-Abnahme-Schema (increase-decrease-scheme)

Es wird erkannt, dass durch Hinzufugen von Objekten eine Menge groBer und durch Wegnahme kleiner wird (Dynamik). Wird nichts hinzugefugt bzw. weggenommen, bleibt die Menge gleich (konstante Beziehungen).

3.) Teile-Ganzes-Schema (part-whole-scheme)

(vgl. 2; 2.1)

Bevor Kinder sich folglich mit dem Teile-Ganzes-Konzept auseinandersetzen konnen, sollten sie in der Lage sein, die Zuordnung von Zahl+Zahlname+Zahlsymbol zu bewerkstelligen. Ferner sollten sie die grobe und exakte Differenzbestimmung i.S.d. o.g. Vergleichs- und Zunahme-Abnahme-Schemas verstanden haben.⁵

Eine weitere Vorstufe des Teile-Ganzes-Konzept ist die Voraussetzung, dass eine Zahl als Anzahl verstanden wurde. Die ist erfolgt, wenn ein Kind:

1.) die Anzahl der Elemente einer gegebenen Menge bestimmen und
2.) zu einer gegebenen Zahl die entsprechende Menge legen kann (vgl. FALK (2018:9)).[5]

3. Entwicklung der Lernumgebung

3.1 Standpunktbestimmung, Pramissen und Ziele

Wie bereits unter Pkt. 1 beschrieben, ergab die qualitative Auswertung des diagnostischen Interviews im Rahmen des Jenaer Rechentests, dass die Schulerin Julia Schwierigkeiten hat, eine Gesamtmenge sinnvoll in zwei (oder mehr) Teilmengen zu zerlegen. Sie erkennt folglich auch noch nicht die daraus resultierenden Beziehungen zwischen den (Teil-)Mengen und die sich daraus ableitenden Rechenoperationen (z.B. das Prinzip der Subtraktion).

Jedoch ist die Julia in der Lage, sicher eine Zuordnung von Zahl, Zahlname und Zahlsymbol vorzunehmen.⁶ Auch kann sie zwei Mengen miteinander vergleichen und die Darstellung sicher sprachlich beschreiben (mehr/weniger/gleich)⁷ Hierbei schafft sie es durch abzahlen auch den dargebotenen Unterschied konkret zu beschreiben („In meiner Reihe liegen 2 Wurfel mehr als in deiner Reihe. “).⁸ Zudem ist sie imstande auch die Dynamik des Hinzufugens und Wegnehmens (z.B. mit Steckwurfeln) sprachlich zu formulieren („ Es sind mehr/weniger geworden.“).

Ziel der zu entwickelnden Lernumgebung wird es sein, mit der Schulerin auf verschiedenen Ebenen (enaktiv, symbolisch und ikonisch) das Teile-Ganzes-Konzept zu erarbeiten. Dabei soll versucht werden, stets dem Primus eines aktiv-entdeckenden Unterrichts (bspw. durch das selbststandige Entdecken und Erkennen(-lassen) von Strukturen und Mustern) Rechnung zu tragen, um ein tieferes Verstandnis fur die mathematischen Zusammenhange zu fordern.⁹

[...]

¹ Der Name der Schulerin wurde anonymisiert.

² Genutzt wurde der JRT1/2013 in der Version vom 15.11.2013, da dieser i.d.R. zum Ende der 1. Klasse bzw. kurz nach Beginn der 2. Klasse durchgefuhrt werden kann. Der Einsatz gerade dieses Tests begrundet sich darin, dass der JRT detaillierte Auskunft uber den Verstandnisgrad und uber die Kompetenzen des Probanden bez. der aufeinander aufbauenden Teilgebiete der Zahlenbegriffsentwicklung gibt. Ferner bietet er mittels qualifizierter Aussagen uber den mathematischen Lernstand die Moglichkeit durch nachholende Lernprozesse punktgenau anzusetzen bzw. zu intervenieren. Ein nicht zu unterschatzender Vorteil des JRT gegenuber standardisierten Testverfahren ist auBerdem, dass explizit benannt wird, was der Proband verstanden hat und vor allem wie er dieses Wissen anwendet. Dadurch wird es moglich, den JTR auch als Instrument der Unterrichtsevaluation, -planung und -entwicklung einzusetzen + Prozessorientierung (vgl. JTR1 (2013)).

³ Wenngleich die qualitative Auswertung des JRT1 auch leichte Defizite der Schulerin hinsichtlich des Ordinalzahlaspekts aufzeigt, sollen sich die Ausfuhrungen in der vorliegenden Arbeit auf das Teile- Ganzes-Konzept beschranken, da die Entwicklung einer kardinalen Zahlvorstellung insbesondere fur „den Aufbau tragfahiger Zahlvorstellungen im Anfangsunterricht und somit fur die Prevention von Rechenschwierigkeiten und die Entwicklung flexibler Rechenstrategien“ wesentlich ist (zit. n. Pikass (2019-I)). Dennoch sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass „ein kardinales Zahlverstandnis nicht ohne Bezug zur Zahl als Zahlzahl und zur Idee der Ordnungszahlen entfalten lasst“ (zit. n. ebd.). Daraus folgt, dass der Aufbau kardinaler und ordinaler Zahlvorstellungen sich gegenseitig bedingt und unmittelbar aufeinander bezogen ist (vgl. ebd.). Dies gilt es in der Konzeption der Lernentwicklung (vgl. Pkt. 3). zu berucksichtigen. Aus diesem Grund konnen an dieser Stelle z.B. Zahlaktivitaten bzw. Zahlprozesse eingebaut werden, die aber auch auf ein kardinales Verstandnis abzielen (z.B. durch die Frage: „Wie viele sind es zusammen?“).

⁴ Dieser Begriff geht in seiner originaren Bedeutung uber den des „Kardinalzahlaspekts“ hinaus, der (lediglich) die Machtigkeit einer Menge bzw. die Anzahl ihrer Elemente beschreibt. Synonym kann auch der Begriff „ Konzept Gesamt- und Teilmenge “ verwandt werden.

⁵ Bei der Schulerin Julia ist dies der Fall (vgl. 1).

⁶ Die Schulerin kann z.B. durch Finger, Plattchen oder Wurfel dargebotene Gesamtmengen korrekt benennen (jedoch zumeist durch Zahlen und nicht durch simultanes Erfassen) und das dazu passende Zahlensymbol darstellen. Im Zahlenraum bis 20 erfolgt die Darstellung recht sicher.

⁷ Grobe Differenzbestimmung

⁸ Exakte Differenzbestimmung.

⁹ In diesem Sinne definieren BEYER, K. / GEBERT, A. / HUMS-HEUSEL, M. / PFENG, A. / STRYCK, T. / TRETTER, K. (2009:4) Lernumgebungen als Aufgabenstellungen, die das aktiv-entdeckende Lernen begunstigen. Durch die Moglichkeit Spielraume fur die eigene Gestaltung des Losungsweges