Entwicklung des Bruchzahlbegriffs unter Berücksichtigung vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten in einer 6. Hauptschulklasse

Inhaltsverzeichnis

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

1 Einleitung
1.1 Bezug zum Modul „Rechnen mit Sinn und Verstand“
1.2 Berücksichtung der Ausbildungsstandards
1.3 Zielvorstellungen und Leitfragen

2 Theoretische Grundlagen
2.1 Bruchrechnung
2.2 Repräsentationsebenen

3 Planung der Unterrichtseinheit
3.1 Lehr- und Lernausgangslage
3.2 Didaktische und methodische Überlegungen
3.3 Bildungs- und Erziehungsziele der Unterrichtseinheit

4 Durchführung der Unterrichtseinheit
4.1 Die Unterrichtseinheit im Überblick
4.2 Darstellung ausgewählter Unterrichtsaspekte
4.2.1 Lerntheke
4.2.2 Weitere Darstellungsmöglichkeiten
4.2.3 Bruchbuch
4.2.4 Diagnostischer Test
4.2.5 Beobachtung und mündliche Reflexion

5 Evaluation der Unterrichtseinheit
5.1 Die Lernkontrollen
5.2 Die Beobachtungen und Rückmeldungen
5.3 Schlussfolgerungen in Bezug auf die Zielvorstellungen

6 Schlussfolgerung und Ausblick

LITERATURVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abb.1: Kreisdarstellung

Abb. 2: Bruchlotto

Abb. 3: Wiegen

Abb. 4: Holzstäbe

Abb. 5: Bruchquartett

Abb. 6: Geobrett

Abb. 7a: Ergebnisse Test 1 (vorher)

Abb. 7b: Ergebnisse Test 1 (nachher)

Abb. 8a: Ergebnisse Test 2 (vorher)

Abb. 8b: Ergebnisse Test 2 (nachher)

Abb. 9: Ergebnisse Test

1 Einleitung

„Und merk dir ein für allemal

den wichtigsten von allen Sprüchen:

Es liegt Dir kein Geheimnis in der Zahl,

allein ein großes in den Brüchen.“

Johann Wolfgang Goethe

Schon der Dichter Johann Wolfgang Goethe beklagte die Schwierigkeiten mit der Bruchrechnung. Dennoch kann man im Unterricht auf das Rechnen mit Brüchen nicht verzichten, denn er ist Gegenstand unseres täglichen Lebens. Um die Einführung in die Bruchrechnung aus der Erfolglosigkeit herauszuführen, weisen Publikationen darauf hin, die Bruchzahlen möglichst anschaulich einzuführen, denn „der wahrscheinlich größte Fehler des traditionellen Mathematikunterrichts besteht darin, dass zu schnell auf eine formal-regelhafte Ebene aufgestiegen wird, bevor noch ausreichende intuitive und anschauliche Vorstellung vom jeweiligen Stoff erworben wurde.“^[1] Es sollte also möglichst vermieden werden, die Bruchrechnung anhand von Rechenregeln und unterstützenden Rechenaufgaben, losgelöst von anschaulichen Darstellungen, einzuführen, denn wenn die Schüler^[2] keine anschaulichen Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln, bleiben auch die Rechenregeln ein unverstandenes Recheninstrument, welches nur auswendig gelernt wird und somit auch schnell wieder in Vergessenheit gerät.

Es stellt sich mir nun die Frage, inwieweit die Schüler vielfältige Darstellungs-möglichkeiten von Brüchen zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs benötigen. Brauchen die Schüler unterschiedliche Darstellungsformen oder reicht die allgegenwärtige Kreisdarstellung aus, um sie auf Bruchrechenoperationen vorzubereiten? Dieses möchte ich mit dem in dieser Hausarbeit beschriebenen und analysierten Unterrichtsvorhaben herausfinden.

1.1 Bezug zum Modul „Rechnen mit Sinn und Verstand“

Die vorliegende Hausarbeit befasst sich mit dem Thema: „Entwicklung des Bruchzahlbegriffs unter Berücksichtigung vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten in einer 6. Hauptschulklasse“. Im Modul „Rechnen mit Sinn und Verstand“ wurde ich auf die Problematik der Zahlraumerweiterung bei Schülern aufmerksam.

Die Schüler haben unterschiedliche Zugangsweisen, um eine Vorstellung von Bruchzahlen aufzubauen. Nach BRUNER vollzieht sich die Denkentwicklung auf drei unterschiedlichen Darstellungsebenen, die in Wechselbeziehung zueinander stehen.^[3] Schnell wurde mir bewusst, dass es meine Aufgabe als Lehrerin ist, die Bruchzahlen einerseits auf vielfältige Weise darzustellen, als auch unterschiedliche Lerneingangskanäle im Unterricht zu berücksichtigen.

Weiterhin wurde mir, durch das Modul, die Bedeutung von „Rechnen mit Sinn und Verstand“ klar. Dabei geht es nicht um eine schnelle Herleitung einer Musterlösung, die jeder Schüler einzeln nach einem gesteuerten Ablauf sucht, sondern vielmehr soll die Beweglichkeit und Eigenständigkeit der Schüler auf möglichst handelnder Ebene in Partner- und Gruppenarbeit gefördert werden. Auch diese Prinzipien versuchte ich in meine Unterrichtseinheit zu integrieren, indem ich den Schülern ein Repertoire an Darstellungsmöglichkeiten zur Verfügung stellte, mit denen sie vornehmlich in Partnerarbeit arbeiteten.

Allerdings erwies es sich als ziemlich schwierig, problemorientierte Aufgaben zur Förderung der Beweglichkeit und Eigenständigkeit zu finden.

1.2 Berücksichtung der Ausbildungsstandards

Ich entwickelte für meine sechste Klasse eine Unterrichtseinheit unter Berücksichtigung allgemeiner sowie fachspezifischer Ausbildungsstandards. Im Qualitätsbereich „Planung, Durchführung und Evaluation von Unterricht“ konzentrierte ich mich auf folgende „Allgemeine Ausbildungsstandards“^[4]:

- Die einzelnen Unterrichtsstunden wurden im Kontext der Unterrichtseinheit „Einführung in die Bruchrechnung“ durchgeführt (Ausbildungsstandard 2).

- Durch den Einsatz von Stationen, die eine handelnde Auseinandersetzung ermöglichten, wurde die Selbstständigkeit der Schüler gefördert (Ausbildungsstandard 5).

- Des Weiteren wurde die Unterrichtseinheit unter verschiedenen Gesichts-punkten evaluiert (Ausbildungsstandard 14).

Im Qualitätsbereich „Bildungs- und Erziehungseffekte“ fand nachfolgender Aus-bildungsstandard besondere Beachtung:

- Die Schüler wurden in die Bruchrechnung sowohl in Einzelarbeit, als auch in Partnerarbeit eingeführt.

Was die fachspezifischen Ausbildungsstandards für das Fach Mathematik angeht, so fanden folgende Punkte besondere Berücksichtigung^[5]:

- Die Unterrichtseinheit unterstützte durch die Auswahl geeigneter Darstellungsebenen, Methoden und Aufgaben die Fähigkeit der Lernenden, Problemlösestrategien zu entwickeln.

- Weiterhin wurde die Entwicklung allgemeiner mathematischer Kompetenzen wie Problemlösen, Verwendung von Darstellungen und Kommunizieren gefördert.

- Während der Unterrichtseinheit verwendete ich konsequent und adressatengerecht die mathematische Fachsprache und achtete darauf, dass auch die Lernenden diese Begriffe benutzten (z.B.: Fachwort: Nenner, Schülerwort: Zahl unter dem Strich)

1.3 Zielvorstellungen und Leitfragen

In der Unterrichtseinheit sollten die Schüler eine Grundvorstellung von Bruchzahlen und deren unterschiedlichen Darstellungen erwerben. Dabei gilt es in dieser Arbeit zu überprüfen, ob es sinnvoll war die Bruchzahlen mit vielfältigen Darstellungen und Handlungen einzuführen. Folgende Leitfragen konkretisieren das Ziel und halfen bei der Überprüfung der Zielvorstellung:

1. Inwieweit gelingt es mir durch die verschiedenen Darstellungsformen und der handelnden Auseinandersetzung die Voraussetzung zum Rechnen mit Brüchen zu schaffen?

2. Welche Darstellungsformen waren für meine Schüler besonders geeignet?

Die vorliegende Arbeit beginnt mit einem theoretischen Teil, der die Bruch-rechnung und die Darstellungsebenen nach BRUNER näher erläutert. Es folgt die Planung und Beschreibung der Unterrichtseinheit, die ich im November 2006 in der Klasse 6b der Hauptschule im Hoffmann von Fallersleben Schulzentrum Lütjenburg durchführte und deren Evaluation. Meine gewonnenen Erkenntnisse und Schlussfolgerungen aus meinem Handeln fasse ich in einer abschließenden Reflexion zusammen.

2 Theoretische Grundlagen

2.1 Bruchrechnung

Als Bruch bezeichnet man den Quotienten zweier ganzer Zahlen. Die mathema-tische Schreibweise lautet , wobei a und b natürliche Zahlen sind.

Man liest die Bruchzahl als a b-tel. Einzige Ausnahme bildet die Bruchzahl . Dieser Bruch wird nicht konsequenter Weise als m Zweitel gelesen, sondern als m Halb(e). Die Zahl, die über dem Bruchstrich steht, ist der Zähler, die darunter stehende der Nenner. Während der Nenner angibt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird, gibt der Zähler an, wie viele Teile genommen werden.

Bruchzahlen, deren Zähler gleich 1 ist, bezeichnet man als Stammbrüche. Bruchzahlen, deren Zähler kleiner als der Nenner ist, heißen echte Brüche. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist (=unechte Brüche), kann man den Bruch als gemischte Zahl schreiben.^[6]

Es gibt unterschiedliche Bruchzahlauffassungen, die uns im Alltag begegnen. So kann man eine Bruchzahl folgendermaßen auffassen:

1. als Teil vom Ganzen, z.B. eine Zweidrittelpizza
2. als Maßzahl: Die Bruchzahl beschreibt eine Größe. Man nennt sie auch konkrete Brüche, z.B. m
3. als Operator: Die Bruchzahl gibt eine Rechenoperation an, z.B. von 30 km
4. als Verhältnis, z.B. Mischungsverhältnis, Maßstab
5. als Quotient: Die Bruchzahl als das Resultat einer Division, z.B. = 3 : 4
6. als Skalenwert: Die Bruchzahl bezeichnet eine Stelle auf einer Skala, z.B. Wasserstand in einem Messbecher l.
7. als absoluter Anteil, z.B. drei von 4 =^[7]

Zur Veranschaulichung von Bruchzahlen können im Unterricht vielfältige Darstellungsformen wie z.B. der Kreis, das Rechteck, der Zahlenstrahl, ... eingesetzt werden. So kann z.B. die Bruchzahl dargestellt werden, indem ein Vollkreis in vier gleichgroße Teile zerlegt wird, wobei der Kreisausschnitt sich dann aus drei solchen Teilen zusammensetzt (vgl. Abb.1).^[8] Um den Kreisausschnitt zu bestimmen, müssen folgende Fragen beantwortet werden:

1. Was ist das Ganze?
2. In wie viele Teile ist es zerlegt worden?
3. Sind die Teile „gleich groß“?
4. Wie groß ist ein Teil bezogen auf das Ganze?
5. Wie viele Teile sind zusammengefasst worden?^[9]

2.2 Repräsentationsebenen

Die Denkentwicklung vollzieht sich nach BRUNER gleichzeitig auf verschiedenen Darstellungsebenen, die in Wechselbeziehung zueinander stehen. Der Lernende muss Einsicht auf folgenden Ebenen erlangen, um ein Verständnis des Bruchbegriffs zu erzeugen:

- enaktive Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch eigene Handlungen mit konkretem Material, z.B. Brüche auf dem Geobrett spannen.

- ikonische Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch Bilder (anschau-liche Vorstellungen), z.B. Kreisdarstellung

- symbolische Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilung oder ein System von Zeichen, z.B.

Nach BRUNER ist auf jeder Stufe ein abgeschlossener Lernprozess möglich, d.h. auch ohne die symbolische Schreibweise mit Ziffern kann eine Regel verstanden werden. Für das Lernen ist also nicht die Stufung wichtig, sondern die Übertragbarkeit der Lernerfahrungen in alle drei Repräsentationsebenen.^[10]

3 Planung der Unterrichtseinheit

Im folgenden Absatz möchte ich die Planung der Unterrichtseinheit beschreiben. Hierbei stelle ich die Lehr- und Lernausgangslage dar, berichte von den didaktisch-methodischen Überlegungen und zeige die Bildungs- und Erziehungsziele der Unterrichtseinheit auf.

3.1 Lehr- und Lernausgangslage

Seit dem 2. Halbjahr des Schuljahres 2005/ 2006 unterrichte ich die sechste Hauptschulklasse eigenverantwortlich im Fach Mathematik in fünf Wochenstunden. Die Zusammensetzung hat sich allerdings zum Schuljahreswechsel geändert. Zwei Wiederholer, denen die Bruchrechnung bekannt sein sollte, sowie drei weitere Schüler sind seit Beginn des Schuljahres neu in der Klasse. Die Klasse setzt sich aus 17 Schülern, 13 Jungen und 4 Mädchen im Alter von 11 bis 13 Jahren zusammen.

Die Atmosphäre innerhalb dieser Klasse ist zur Zeit durch Uneinigkeiten und Streitereien zwischen einzelnen Schülern geprägt. Aufgrund der neuen Lerngruppenzusammensetzung hat sich noch keine Klassengemeinschaft entwickelt.

Die mündliche Mitarbeit ist als gut zu bezeichnen. Die meisten Schüler arbeiten gut und gewissenhaft in den Arbeitsphasen. Allerdings ist die Klasse sehr unruhig. Die Schüler, hier allerdings nur die Jungen, sprechen oft in den Unterricht hinein. Viele Schüler haben Schwierigkeiten ruhig auf ihrem Platz zu sitzen.

Die Klasse ist an Lerntheken, Wochenplänen und Partnerarbeit gewöhnt. Die Gruppenarbeit führt zur Zeit, aufgrund der ständigen Auseinandersetzungen innerhalb der Klasse, zu Schwierigkeiten. Es ist allerdings auch zu erwähnen, dass die Schüler bei einer Partnerarbeit sehr motiviert sind.

Es gibt einige Schüler in der Klasse, mit denen es während der Unterrichtseinheit zu Schwierigkeiten kommen könnte. Pa.^[11] und Ti müssen ständig zum Arbeiten aufgefordert werden. Sie haben große Konzentrationsschwierigkeiten und benötigen für die Bearbeitung der Aufgaben viel Zeit. Des Weiteren ist Al. zu erwähnen. Um die Aufmerksamkeit seiner Mitschüler zu bekommen, stört er häufig den Unterricht durch Zwischenrufe.

Weiterhin ist zu erwähnen, dass es immer wieder Verständnisprobleme beim Erfassen von Arbeitsaufträgen gibt. Die Problematik des sinnentnehmenden Lesens spiegelt sich auch bei den Textaufgaben wieder.

Das Thema „Bruchrechnung“ ist für die Schüler der Klasse 6b ein neues Thema. Der Zahlenraum soll durch diese Unterrichtseinheit bei den Schülern erweitert werden. Es besteht lediglich ein Vorwissen dahingehend, dass ihnen Brüche im Alltag bereits begegnet sind, z.B. eine Viertel Pizza, eine halbe Stunde, ...

3.2 Didaktische und methodische Überlegungen

Als eines der schwierigsten Gebiete in der Schulmathematik der Sekundarstufe I wird die Bruchrechnung angesehen. Sie gehört nach verschiedenen Untersuchungen zu den mathematischen Bereichen, die von Schülern wenig verstanden und auch meist ungern bearbeitet werden. Gründe dafür sind vor allem die komplizierte mathematische Struktur des Bruchzahlbegriffs und zudem „der methodisch einseitig ausgerichtete Unterricht und das sehr rasche Übergehen auf die symbolische bzw. formale Ebene.“^[12] Allerdings ist die Behandlung der gemeinen Brüche für die Alltagspraxis sowie für die anwendungsorientierten Gebiete der Mathematik, z.B. Zins-, Prozent- und Verhältnisrechnung, notwendig.

[...]

^[1] Zitiert nach Malle, G. (2004), S.4

^[2] Aus Gründen der Übersichtlichkeit gilt in dieser vorliegenden Ausarbeitung der Begriff „Schüler“ gleichermaßen für Jungen und Mädchen.

^[3] vgl. Zech, F. (1978), S. 104

^[4] vgl. IQSH (2005), S. 10

^[5] vgl. IQSH (2004), S. 7

^[6] vgl. Duden (1994), S. 75f

^[7] vgl. Malle, G. (1989) S. 42

^[8] vgl. Griesel, H. (1973), S. 148

^[9] vgl. Padberg, F. (1989), S. 52

^[10] vgl. Zech, F. (1978), S. 104

^[11] aus Gründen des Datenschutzes wurden die Schüler nicht mit Namen bezeichnet, sondern mit einer Buchstabenkombination.

^[12] Bauer, R.; Maurach, J. (1999), S. 2