Modell zur Bewertung und Darstellung der Moneyness- und Knock-Out-Wahrscheinlichkeiten von Derivaten

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Kurzzusammenfassung

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Gleichungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolübersicht

1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Ziel
1.3 Themenabgrenzung

2 Einführung in die Thematik
2.1 Derivate
2.2 Optionen
2.2.1 Plain Vanilla Optionen
2.2.2 Digitale Optionen
2.2.3 Barrier Optionen
2.3 Zertifikate am Beispiel des Bonuszertifikates
2.4 Knock-Out Produkte

3 Preisbewertungsmodelle für Optionen
3.1 Grundlagen zur Preisbestimmung
3.2 Cox-Ross-Rubinstein Modell
3.3 Black-Scholes Modell
3.3.1 Plain Vanilla Optionen
3.3.2 Europäische Digitale Optionen
3.3.3 Amerikanische Digitale Optionen

4 Modell zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung
4.1 Modellannahme
4.2 In-the-money Wahrscheinlichkeit einer Option
4.3 Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Produktes
4.4 Barrieren Ereignis Wahrscheinlichkeit eines Zertifikates

5 Volatilität als Schätzparameter
5.1 Bedeutung der Volatilität für das Modell
5.2 Charakteristik unterschiedlicher Volatilitäten
5.3 Kombination der Prognosen für das Modell

6 Resümee
6.1 Umsetzbarkeit
6.2 Vorteile & Nachteile
6.3 Aktuelle Situation
6.4 Schlussbemerkung

Anhangsverzeichnis

Anhang

Literaturverzeichnis

Vorwort

Die Idee zu dieser Arbeit kam während meines Praxissemesters im Bereich „Equity Derivatives Trading“ auf dem Trading Floor der Deutschen Bank AG in Frankfurt am Main. Durch die tägliche Arbeit mit derivativen Finanzinstrumenten stellte sich mir immer öfter die Frage nach erweiterter Transparenz und einer brauchbaren Risikokennzahl der gehandelten Produkte für den Privatanleger. Innerhalb dieser Wochen reifte die Planung meines Modells und es konnten durch die steile Lernkurve immer mehr Parameter berücksichtigt werden, wodurch sich zum Schluss alle Puzzleteile zusammenfügten und die Grundidee des Modells geboren war.

Ein Dank geht deshalb an meine damaligen Kollegen und Vorgesetzten des Teams, die mir jederzeit zur Seite standen und auch stets offen für tiefgründigere Fragen waren. Ohne das Wissen und die Expertise, die mich dort erwartet haben, wäre solch eine Modell schwer zu entwickeln gewesen.

Ein besonderer Dank geht an Herrn Yannick Trant aus dem oben genannten Team, der mir die Mitarbeit an seinen Projekten bezüglich der Volatilität ermöglichte, die mich Tag für Tag neu herausforderten und durch die ich ein umfassendes Verständnis dieser Marktvariablen generieren konnte.

Alzey, der 25.02.2016 Roman Ullmer

Kurzzusammenfassung

Strukturierte Produkte sind heutzutage weit verbreitet und werden auch von vielen privaten Investoren genutzt. Um die Transparenz zu erhöhen, wird in dieser Arbeit ein universelles finanzmathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von möglichen positiven sowie negativen Ereignissen eines Produktes erörtert und erklärt.

Dabei wird zunächst auf die grundlegende Struktur von Derivaten sowie auf die Notwendigkeit solch einer Kennzahl eingegangen. Im weiteren Verlauf wird die Kernkomponente dieses Modells, eine Option, in Ihrer Zusammensetzung durchleuchtet und die Preisbildung aufgezeigt. Die gewonnenen Erkenntnisse werden anschließend genutzt, um allgemeingültige Gleichungen zur Berechnung der Kennzahlen herzuleiten.

Anschließend wird die Volatilität als unbekannter Parameter dieses Modells untersucht, um eine geeignete Schätzung für das Modell treffen zu können.

Letztendlich werden die Umsetzbarkeit eines solchen Modells überprüft sowie Vor- und Nachteile der Berechnungen diskutiert, um, mit einem Vergleich der gegenwärtigen Situation, Möglichkeiten für die Zukunft aufzuzeigen.

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Entwicklung Zertifikatevolumen Deutschland

Abbildung 2: GuV Long Call

Abbildung 3: GuV Long Put

Abbildung 4: GuV Short Call

Abbildung 5: GuV Short Put

Abbildung 6: GuV Digital Call

Abbildung 7: GuV Digital Put

Abbildung 8: GuV Bonuszertifikat

Abbildung 9: Einperioden-Binomialmodell

Abbildung 10: Zweiperioden-Binomialmodell

Abbildung 11: Delta einer Plain Vanilla Call Option

Abbildung 12: ITM Wahrscheinlichkeit einer Plain Vanilla Call Option

Abbildung 13: ITM Wahrscheinlichkeit einer Plain Vanilla Put Option

Abbildung 14: Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Call

Abbildung 15: Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Put

Abbildung 16: Barrieren Ereignis Wahrscheinlichkeit eines Bonuszertifikates

Abbildung 17: 3D ITM Wahrscheinlichkeit einer Plain Vanilla Call Option

Abbildung 18: 3D Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Call

Abbildung 19: Vanna & N(d2) Sensitivität auf eine Volatilitätsänderung eines Calls

Abbildung 20: Vanna & N(d2) Sensitivität auf eine Volatilitätsänderung eines Puts

Abbildung A1: GuV Capped Bonuszertifikat

Abbildung A2: GuV Reverse Bonuszertifikat

Abbildung A3: GuV Aktienanleihe

Abbildung A4: Berechnung ITM Wahrscheinlichkeit & Delta eines Calls

Abbildung A5: Berechnung Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Call

Abbildung A6: Berechnung Volatilitäts Sensitivitäten eines Calls

Abbildung A7: Berechnung 3D ITM Wahrscheinlichkeit eines Calls

Abbildung A8: Berechnung 3D Knock-Out Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out Call..

Abbildung A9: Volatilitäts Smile

Abbildung A10: Volatilitäts Skew

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Arten und Positionen von Plain Vanilla Optionen

Tabelle 2: Eigenschaften von Barrier Optionen

Tabelle 3: Preisuntergrenzen und Innerer Wert von Optionen

Tabelle 4: Einflussfaktoren auf den Optionspreis

Tabelle A1: Tabelle Standardnormalverteilung

Gleichungsverzeichnis

Gleichung 1: Put-Call-Parität für europäische Optionen

Gleichung 2: Put-Call-Parität für amerikanische Optionen

Gleichung 3: Preisgleichung Call im Einperioden-Binomialmodell

Gleichung 4: Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung

Gleichung 5: Black-Scholes Preisgleichung für einen europäischen Call

Gleichung 6: Black-Scholes Preisgleichung für einen europäischen Put

Gleichung 7: Black-Scholes Preisgleichung für einen europäischen Digital Call

Gleichung 8: Black-Scholes Preisgleichung für einen europäischen Digital Put

Gleichung 9: Black-Scholes Preisgleichung für einen amerikanischen Digital Call

Gleichung 10: Black-Scholes Preisgleichung für einen amerikanischen Digital Put

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolübersicht

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

1.1 Problemstellung

„Kaufe nie, was du nicht verstehst“ - Warren Buffet¹

Seit den 90er Jahren erfreuen sich als Wertpapier gestaltete, verbriefte Optionen, auch Optionsscheine genannt,² bei privaten Investoren immer größerer Beliebtheit. Vor allem förderten die starken Börsenjahre 1999 und 2000 diesen Trend.³ Dies lag hauptsächlich daran, dass es erstmals möglich war, als privater Investor ohne einen Anschluss an eine Terminbörse, Derivate mit Optionskomponente zu handeln. Denn Optionsscheine können über Parkettbörsen oder direkt über den Emittenten gehandelt werden.⁴ Diesen Trend erkannten die Banken, die gleichzeitig Emittent der Optionsscheine waren, und begannen damit, durch Kombination verschiedener Basiswerte und Optionsscheine, neue Produkte zu formen, mit denen es nun auch dem Privatanleger ohne viel Aufwand möglich war, verschiedene Optionsstrategien zu verfolgen. Diese Produkte sind heutzutage als Zertifikate bekannt.⁵ Allerdings kam es durch die Finanzkrise 2008 zu einschlägigen Veränderungen innerhalb der Bankenlandschaft, sodass sich die Emittenten neue Strategien überlegen mussten, um Investoren zurückgewinnen zu können.⁶ Denn gerade im Bereich der strukturierten Produkte war der Vertrauensverlust besonders stark, was in Abbildung 1 zu erkennen ist. So wurden Zertifikate und strukturierte Produkte sogar für die Finanzkrise verantwortlich gemacht. Der entstandene Imageschaden musste durch vollständige Transparenz und konsequente Aufklärung wiederhergestellt werden.⁷ Dies wurde vor allem durch die Einführung von Produktinformationsblättern für jedes strukturierte Produkt versucht. In diesen Produktinformationsblättern wird detailliert erklärt, wie das spezifische Produkt funktioniert und unter welchen Marktbedingungen Gewinne bzw. Verluste entstehen können. Weitere Punkte zur Bildung von Transparenz waren die Einführung einheitlicher Begriffe, ein Zertifikate Rating sowie einheitliche Risikoklassen, in die die Zertifikate eingeteilt wurden.⁸ In Abbildung 1 ist jedoch seit Mitte 2011 ein erneuter stetiger Rückgang des Zertifikatevolumens in Deutschland zu erkennen, was auf wiederkehrende Zweifel und Unsicherheiten des Privatanlegers gegenüber den strukturierten Produkten hindeutet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Entwicklung Zertifikatevolumen Deutschland⁹

Das Ende der Möglichkeiten in Sachen Transparenz, um den Negativtrend zu beenden, ist allerdings noch lange nicht erreicht. So fällt auf, dass bei einem Großteil der Emittenten keine Informationen über die Höhe der möglichen Knock- Out Wahrscheinlichkeit bei Produkten mit Barriere und keine Informationen über die Wahrscheinlichkeit bei Optionsscheinen am Ender der Laufzeit im Geld zu laden, dargestellt werden. Dort gibt es also auch in Zukunft weiteren Optimierungsbedarf, was die Problemstellung dieser Arbeit darstellt.

1.2 Ziel

Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, ein Modell zur Berechnung der Knock-Out Wahrscheinlichkeit von strukturierten Produkten mit Barriere und der Moneyness Wahrscheinlichkeit von Optionsscheinen, zu entwickeln. Dabei wird auf verschiedenen mathematischen und statistischen Modellannahmen aufgebaut, um die Wahrscheinlichkeit in jeder Marktsituation und während der kompletten Laufzeit des Produktes stets aktuell angeben zu können. Dabei soll eine Analyse der zu wählenden Parameter, wie z.B. der verschiedenen möglichen Volatilitäten, helfen, ein möglichst realistisches Ergebnis darzustellen. Die Umsetzung und mögliche Live-Darstellung auf der Internetseite des Emittenten soll ebenfalls erörtert werden. Grundgedanke dieses Modells ist also die nachhaltige Erweiterung der Transparenz für den Privatanleger am Derivatemarkt.

1.3 Themenabgrenzung

In dieser Arbeit geht es ausschließlich um die Berechnung und Darstellung der Knock-Out Wahrscheinlichkeit von strukturierten Produkten mit Barriere sowie der Moneyness Wahrscheinlichkeit von Optionsscheinen für den Privatanleger auf dem Zertifikatemarkt in Deutschland. Da Optionsscheine verbriefte, d.h. als Wertpapier gestaltete Optionen sind,¹⁰ wird im Folgenden nur noch von Optionen gesprochen. Wie bereits erwähnt, lassen sich durch Kombination von Basiswerten und verschiedenen Optionen, Zertifikate mit unterschiedlichen Auszahlungsprofilen und auch Barrieren strukturieren. Aufgrund dessen ist die Anwendung des im Folgenden beschriebenen Modells analog für den Großteil der Zertifikate möglich, weshalb zur Berechnung ausschließlich auf Optionen und Knock-Out bzw. Bonus Zertifikate eingegangen wird. Bei der späteren Erörterung der Umsetzbarkeit des Modells wird allerdings nochmal die Möglichkeit der Anpassung auf andere Produkte betrachtet. Nicht Teil dieser Arbeit sind andere, unverbriefte Derivate wie z.B. Futures oder Swaps. Ebenso wenig wird auf den Nutzen und die Konsequenzen für den institutionellen Anleger eingegangen.

2 Einführung in die Thematik

2.1 Derivate

Wird der Kapitalmarkt betrachtet, so fällt auf, dass es zwei Geschäftsarten gibt, die jeweils OTC, also over-the-counter, d.h. im Direkthandel mit einer Gegenpartei (nicht standardisierter Vertrag), oder über die Börse (standardisierter Vertrag) gehandelt werden können.¹¹ Zum einen das Kassageschäft und zum anderen das Termingeschäft. Beiden Geschäften können Basiswerte wie Aktien, Anleihen, Währungen, Rohstoffe, etc. zugrunde liegen. Spezifisch für ein Kassageschäft ist die Dauer zwischen Kaufzeitpunkt und Lieferung des Basiswertes. Der sog. Valutatag ist in Deutschland zwei Arbeitstage nach dem Kaufzeitpunkt. Da hier endgültige Geschäfte zum Festpreis geschlossen werden, gibt es keine Wahrscheinlichkeit mit der das Geschäft nicht zustande kommen könnte,¹² weshalb der Kassamarkt in dieser Arbeit nicht weiter in Betracht gezogen wird. Die zweite Geschäftsart ist das Termingeschäft, bei dem die Dauer zwischen Kaufzeitpunkt und Lieferung deutlich größer ist. Der Preis wird dabei während des Kaufs vertraglich festgesetzt, ist jedoch erst mit Lieferung fällig.¹³ Dadurch können Risiken der Basiswerte transferiert werden. Diese Produkte werden Derivate (lat. derivare = ableiten) genannt, da Ihr Preis vom Wert eines zugrundeliegenden Basiswertes und der Ausgestaltung des Vertrages abhängt.¹⁴ Zu unterscheiden sind auf dem Terminmarkt vor allem Futures bzw. Forwards, die ein unbedingtes Termingeschäft darstellen und Optionen, die bedingtes Termingeschäft genannt werden.¹⁵ Da Futures bzw. Forwards also Geschäfte sind, bei denen zum Kaufzeitpunkt der Preis, der Lieferzeitpunkt und die Menge schon vertraglich festgelegt werden,¹⁶ spielen sie bei der Erarbeitung des Modells keine weitere Rolle. Von Swaps, also Tauschgeschäften,¹⁷ wird ebenfalls abgesehen.

Optionen dagegen, sind sog. bedingte Termingeschäfte, was bedeutet, dass der Optionskäufer das Recht hat zu entscheiden, ob das beim Kauf vereinbarte Geschäft am Erfüllungstag zustande kommt oder nicht.¹⁸ Da der Käufer der Option das Optionsrecht nur ausübt, wenn es für ihn vorteilhaft ist,¹⁹ stellt sich die Frage nach der Eintrittswahrscheinlichkeit der vorteilhaften Situation für den Optionskäufer, die in den folgenden Kapiteln ermittelt wird. Des Weiteren gibt es viele, von Banken emittierte Derivate, die aus anderen Derivaten, Basiswerten und Vertragsbestandteilen, zu einem neuen Produkt zusammengeführt werden, die teilweise auch nur unter gewissen Bedingungen zur Erfüllung des Geschäftes führen.²⁰ Da sich hier ebenfalls die Frage nach der Eintrittswahrscheinlichkeit einer für den Käufer des Derivates vorteilhaften Situation stellt, wird diese ebenfalls im Folgenden ermittelt.

2.2 Optionen

2.2.1 Plain Vanilla Optionen

Optionen sind, wie bereits erwähnt, sog. bedingte Termingeschäfte, bei denen der Käufer entscheiden darf, ob das vereinbarte Geschäft am Erfüllungstag zustande kommt oder nicht. M. Bloss/D. Ernst/J. Häcker/D. Sörensen erklären, dass „das Wort Option vom lateinischen „optio“ kommt, welches mit „freier Wille“ oder „das Recht zu wünschen“ zu übersetzen ist.“²¹ Standardisierte Optionen ohne besondere Eigenschaften werden dabei Plain Vanilla²² Optionen genannt.²³ Bei der Plain Vanilla Option wird zwischen der Kaufoption, einem sog. Call, und der Verkaufsoption, einem sog. Put, unterschieden.²⁴ Die Kaufoption gibt dem Käufer das Recht, die festgelegte Menge des Basiswertes zu einer bestimmten Zeit, zum ausgemachten Preis, vom Verkäufer der Option zu kaufen.

Dieser zuvor ausgemachte Preis nennt sich Basispreis. Die Verkaufsoption gibt dem Käufer dagegen das Recht, die festgelegte Menge des Basiswertes zu einer bestimmten Zeit zum Basispreis an den Verkäufer der Option zu verkaufen.²⁵ Wie zu erkennen ist, gibt es für Calls und Puts jeweils die Möglichkeit, die Option zu kaufen oder zu verkaufen. Der Kauf stellt die sog. Long Position dar, während der Verkauf die sog. Short Position darstellt.²⁶ Der Verkäufer erhält für den Verkauf eine Optionsprämie, da er abhängig von der Entscheidung des Käufers ist und sich verpflichtet, dessen Forderung zu erfüllen. Diese Prämie stellt den Preis der Option dar.²⁷ In Tabelle 1 werden die Arten und Positionen von Plain Vanilla Optionen nochmals übersichtlich dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Arten und Positionen von Plain Vanilla Optionen²⁸

Das letzte Charakteristikum einer Plain Vanilla Option ist die Laufzeit der Option und im Zusammenhang damit, die Frage, wann das Optionsrecht ausgeübt werden kann. Eine amerikanische Option kann zu jedem Zeitpunkt während Ihrer Laufzeit ausgeübt werden. Eine europäische Option kann dagegen nur bei Fälligkeit, also am Ende der Laufzeit der Option, ausgeübt werden.²⁹

Um sich die Chancen und Risiken eines Call/Put Kaufs bzw. Verkaufs verständlicher zu machen, lohnt es sich, das Gewinn und Verlust Profil zum Fälligkeitstag darzustellen. Abbildung 2 zeigt das GuV Profil eines Long Call, wohingegen Abbildung 3 das GuV Profil eines Long Put demonstriert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: GuV Long Call³⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: GuV Long Put³¹

Analog dazu, lassen sich, wie in Abbildung 4 für Calls und in Abbildung 5 für Puts, auch die GuV Profile aus Verkäufersicht darstellen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: GuV Short Call³²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: GuV Short Put³³

Es ist zu erkennen, dass das Verlustrisiko in den Long Positionen auf die bezahlte Optionsprämie begrenzt ist, während die Gewinnmöglichkeiten beim Call unbegrenzt und beim Put sehr hoch sind. Dies ist damit zu erklären, dass der Käufer beim Long Call das Recht hat, den Basiswert zu einem vorher bestimmten Basispreis zu kaufen. Da der Preis des Basiswertes während der Optionslaufzeit theoretisch unendlich hoch werden kann, kann der Basiswert über die Option günstig erworben werden und gleichzeitig zu einem höheren Preis verkauft werden. Daraus ergibt sich die unbegrenzte Gewinnmöglichkeit.³⁴ Analog dazu ergibt sich beim Put ein Vorteil, wenn das Recht besteht, den Basiswert zum Basispreis zu verkaufen, obwohl der Preis des Basiswertes in der Zwischenzeit deutlich geringer ist. Der Basiswert kann also zum Basispreis an den Verkäufer der Option verkauft werden und gleichzeitig am Kassamarkt zum günstigeren Preis zurückgekauft werden. Daraus ergibt sich eine hohe Gewinnmöglichkeit, die erst bei einem Preis von Null des Basiswertes begrenzt ist.³⁵ Da der Verkäufer eines Calls bzw. Puts, wie bereits erläutert, die Gegenposition einnimmt, sind die Gewinn und Verlustrisiken aus Verkäufersicht entgegengesetzt. Bei einem Long Call wird am Fälligkeitstag ein Gewinn erzielt, wenn der Preis des Basiswertes den Basispreis zumindest um die Höhe der gezahlten Optionsprämie übersteigt.³⁶ Beim Long Put dagegen kommt es am Fälligkeitstag zu einem Gewinn, wenn der Preis des Basiswertes mindestens um die gezahlte Optionsprämie niedriger ist als der Basispreis.³⁷ Dementsprechend wird der Käufer einer Call Option am Fälligkeitstag sein Wahlrecht nur ausüben, wenn der Preis des Basiswertes über dem Basispreis liegt.³⁸ Der Käufer einer Put Option wird dagegen am Fälligkeitstag sein Wahlrecht nur ausüben, wenn der Preis des Basiswertes geringer ist als der Basispreis seiner Option.³⁹

Neben den bereits erläuterten Plain Vanilla Optionen, gibt es eine Reihe von exotischen Optionen, die besondere Spezifikationen aufweisen. Diese Optionen sind nicht börsengehandelt, sondern werden ausschließlich über den OTC- Derivatemarkt angeboten. Gründe für die Existenz von exotischen Optionen sind vor allem die passgenaue Strukturierung auf die spezifische und spezielle Marktmeinung von Investoren, damit gezielt auf bestimmte Szenarien spekuliert oder gehedged (abgesichert) werden kann, aber auch steuerliche und bilanzielle Aspekte.⁴⁰ Im Folgenden werden zwei Arten von exotischen Optionen, die Digitale Option sowie die Barrier Option, näher erläutert, da diese für die später folgenden Wahrscheinlichkeitsberechnungen von großer Bedeutung sein werden.

2.2.2 Digitale Optionen

Digitale Optionen (auch Binäre Optionen genannt) sind so gestaltet, dass sie einen bestimmten Betrag auszahlen oder eine bestimmte Menge des Basiswertes liefern, wenn der Basispreis beim Call überschritten oder beim Put unterschritten wird. Der Basispreis muss allerdings nicht gezahlt werden. Falls das nicht der Fall ist, verfällt die Digitale Option wertlos.⁴¹ Der Name bezieht sich auf das binäre Zahlensystem, indem es nur zwei mögliche Zustände, eins und null, gibt.⁴² Zahlt die Option einen bestimmten Festbetrag aus, so handelt es sich um eine sog. Cash-or-Nothing-Option. Liefert die Option dagegen eine bestimmte Menge des Basiswertes, so handelt es sich um eine sog. Asset-or-Nothing- Option.⁴³ Der Optionsstil kann auch hier wieder amerikanisch oder europäisch sein. Bei europäischer Ausrichtung entscheidet, analog zur Plain Vanilla Struktur, die Höhe des Preises des Basiswertes am Fälligkeitstag über eine mögliche Auszahlung. Dahingegen ist bei amerikanischer Ausrichtung für das Auszahlen das einmalige Tangieren des Basispreises durch den Preis des Basiswertes ausreichend.⁴⁴ In Abbildung 6 ist das GuV Profil einer Digitalen Call Option am Fälligkeitstag zu sehen, während in Abbildung 7 das GuV Profil einer Digitalen Put Option zum Laufzeitende zu sehen ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: GuV Digital Call⁴⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: GuV Digital Put⁴⁶

Hier wird das spezielle binäre Auszahlungssystem nochmals verdeutlicht. Es gibt also nur die Möglichkeiten „Auszahlung“ oder „keine Auszahlung“. Die Optionsprämie muss allerdings, wie bei einer Plain Vanilla Option, beim Kauf gezahlt werden.⁴⁷

2.2.3 Barrier Optionen

Barrier Optionen gehören ebenfalls zu den exotischen Optionen, wobei sie laut H.P. Deutsch/M. Beinker „mittlerweile so gebräuchlich sind, dass sie von vielen Marktteilnehmern schon nicht mehr als exotisch angesehen werden.“⁴⁸ Grundsätzlich handelt es sich bei Barrier Optionen um Plain Vanilla Optionen mit eingebauter Barriere.⁴⁹ Es wird unterschieden zwischen Knock-In und Knock-Out Optionen. Die Knock-In Option wird erst aktiv, wenn der Preis des Basiswertes eine bestimmte Schwelle erreicht hat. Die Option wird dann zur Plain Vanilla Option. Im Gegensatz dazu verhält sich eine Knock-Out Option von Beginn an wie eine Plain Vanilla Option, wird allerdings deaktiviert, d.h. sie verfällt wertlos, wenn der Preis des Basiswertes eine bestimmte Schwelle erreicht.⁵⁰

Barrier Optionen werden grundsätzlich im europäischen Optionsstil gestaltet, was, wie bereits erläutert, bedeutet, dass die Option nur zum Fälligkeitstag ausgeübt werden kann. Die Barriere kann jedoch jederzeit während der Laufzeit der Option durchbrochen werden und somit zur Aktivierung bei Knock-Ins bzw. zur Deaktivierung bei Knock-Outs führen.⁵¹ Zu unterscheiden sind insgesamt acht verschiedene Optionsmöglichkeiten, die in Tabelle 2 dargestellt sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Eigenschaften von Barrier Optionen⁵²

Da Barrier Optionen während der Laufzeit aktiviert oder inaktiviert werden, wird auf die Darstellung der GuV Profile zum Laufzeitende verzichtet.

2.3 Zertifikate am Beispiel des Bonuszertifikates

Zertifikate sind, wie eingangs bereits erwähnt, strukturierte und verbriefte Derivate aus verschiedenen Bausteinen, um auch als Privatinvestor differenzierte Optionsstrategien verfolgen zu können.⁵³ So erlaubt der Einsatz von Zertifikaten die flexible Anpassung an die Markterwartungshaltung der Investoren. Es kann, je nach Ausstattung des Zertifikates, von steigenden,fallenden und sogar von seitwärts laufenden Märkten profitiert werden.⁵⁴ Zu beachten ist allerdings, dass Zertifikate sog. Inhaberschuldverschreibungen sind, die, neben anderen Risiken, ebenfalls das Risiko der Insolvenz des Emittenten in sich tragen. Im Falle einer solchen Insolvenz und einem damit verbundenen Zahlungsausfall könnte das Investment zum Totalverlust führen. Hier lohnt es sich, die Ratings des jeweiligen Emittenten, die eine Aussage über die Bonität treffen, bei den Ratingagenturen anzuschauen. Eine weitere Möglichkeit wäre die Analyse von CDS (Credit Default Swaps) auf den Emittenten, die Kreditausfallversicherungen darstellen. Hohe Spreads würden in dem Fall auf eine geringe Bonität des Emittenten hinweisen.⁵⁵

Verständlicher wird die Funktionsweise von Zertifikaten bei einem Blick auf einen speziellen Typ von Zertifikaten inklusive dessen Aufbau und Funktionsweise: Das Bonuszertifikat.

Das Bonuszertifikat ist ausgestattet mit einer unteren Barriere und einem Bonuslevel. Das Zertifikat zahlt am Ende der Laufzeit den Bonusbetrag in Höhe des Bonuslevels aus, falls die Barriere während der gesamten Laufzeit nicht berührt oder durchbrochen wird.⁵⁶ Wird die Barriere allerdings gerissen, so verwandelt sich das Bonuszertifikat in ein Partizipationszertifikat, dass die Wertentwicklung des Basiswertes eins zu eins widerspiegelt. Steigt der Preis des Basiswertes vor einem möglichen Bruch der Barriere an und überschreitet das Bonuslevel, wird der Anleger oberhalb des Bonuslevels auch nur eins zu eins an der Wertentwicklung des Basiswertes partizipieren. Anleger können somit auch in Seitwärtsphasen des Marktes eine positive Rendite erzielen, wenn der Preis des Basiswertes während der Laufzeit die Barriere nicht tangiert.⁵⁷

In Abbildung 8 ist das GuV Profil eines Bonuszertifikates zu sehen, wodurch das spezielle Auszahlungsprofil dieses Zertifikates deutlich wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8: GuV Bonuszertifikat⁵⁸

Um das Auszahlungsprofil des Bonuszertifikates so strukturieren zu können, werden aus Sicht der Investoren zwei verschiedene Komponenten gekauft und zusammengefügt. Benutzt werden ein Zero-Strike-Call⁵⁹, der den Basiswert ohne Dividende widerspiegelt,⁶⁰ sowie eine zuvor kennengelernte Barrier Option, der Down-and-out-Put.⁶¹ Dabei entspricht die Barriere des Down-and-out-Puts auch der Barriere des Bonuszertifikates. Der Basispreis des Down-and-out-Puts entspricht dagegen dem Bonuslevel des Bonuszertifikates.⁶² Wie bereits erwähnt, verhält sich der Down-and-out-Put wie eine Plain Vanilla Put Option, wenn die Barriere nicht gerissen wird. Der Put gleicht also zwischen Barriere und Basispreis die Verluste beim Kursrückgang des Basiswertes im Zero-Strike-Call aus. Oberhalb des Basispreises ist der Down-and-out-Put am Fälligkeitstag wertlos, wodurch der Anleger dann nur noch einfach an der positiven Wertentwicklung des Basiswertes über den Zero-Strike-Call teilnimmt. Wird die Barriere gerissen und der Down-and-out-Put somit wertlos, partizipiert der Anleger nach dem Barrierenbruch auch nur noch eins zu eins an der Wertentwicklung des Basiswertes und der Bonusbetrag entfällt. Erläuterungen zu weiteren Zertifikatetypen sowie deren Auszahlungsprofile und Strukturierungen finden sich in Anhang 1.

2.4 Knock-Out Produkte

Knock-Out Produkte replizieren das Investment in den Basiswert. Dabei wird eins zu eins an der Entwicklung des Basiswertes teilgenommen. Da allerdings ein Großteil des Preises für den Basiswert vom Emittenten fremdfinanziert wird, ergibt sich eine Hebelwirkung auf das eingesetzte Kapital des Investors. Den Rest der Finanzierung des Basiswertes übernimmt der Investor, indem er den Preis für das Knock-Out Produkt bezahlt. Dieser Preis ist als Margin (Sicherheitsleistung) zu interpretieren. Im Hintergrund baut der Emittent bei diesem Geschäft eine Position im Basiswert auf, die er zum Großteil selbst, d.h. bis zur Barriere, finanziert. Fällt der Preis des Basiswertes um die von dem Investor hinterlegte Margin (Preis des Knock-Outs), so löst der Emittent die Position im Basiswert auf, damit für den Emittenten keine Verluste entstehen. Der Investor verliert allerdings die komplette hinterlegte Margin, was einem Totalverlust gleichkommt. Es kommt zu einem Knock-Out Ereignis.⁶³ Zwar besteht der Preis des Knock-Outs zum Großteil nur aus der hinterlegten Margin, allerdings ist auch ein kleiner Anteil an Finanzierungs- und Risikokosten durch den Emittenten zu finden. So verlangt der Emittent eine Risikoprämie für sein Gap- und Liquiditätsrisiko. Das Gaprisiko beschreibt das Risiko, dass der Basiswert zu einem deutlich niedrigeren und unter der Barriere liegenden Eröffnungskurs handelt, als zum Schlusskurs am vorherigen Abend.⁶⁴ Der Emittent würde somit einen Verlust erleiden, da die Margin des Investors ab Erreichen der Barriere aufgebraucht ist und keine Nachschusspflicht besteht, womit alle weiteren Verluste durch den Emittenten zu tragen sind.⁶⁵ Das Liquiditätsrisiko beschreibt eine ähnliche Situation, in der es dem Emittenten aufgrund mangelnder Liquidität am Markt nicht möglich ist, den Basiswert zu verkaufen.⁶⁶ Die geschilderte Situation bezog sich auf einen Knock-Out Call. Analog dazu lässt sich auch ein Knock-Out Put durch die Short Position des Emittenten im Basiswert replizieren.⁶⁷ Die Hebelwirkung sowie spezielle Konstruktionen werden in Anhang 2 genauer erläutert.

3 Preisbewertungsmodelle für Optionen

3.1 Grundlagen zur Preisbestimmung

Um Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten von lukrativen Situationen für den Investoren treffen zu können, werden in diesem Kapitel zunächst die Grundlagen der Preisbildung erörtert. Im Anschluss folgt eine Betrachtung verschiedener Methoden zur genauen Ermittlung des fairen Wertes verschiedener Optionen.

Wie bereits kennengelernt, entsteht für den Investor einer Call Option eine lukrative Situation, wenn der Preis des Basiswertes am Ende der Laufzeit über dem Basispreis liegt. In solch einer Situation wird davon gesprochen, dass sich die Option „In the money“ (ITM) befindet. Ist der Basispreis gleich dem Preis des Basiswertes, so ist die Option „At the money“ (ATM). Der letztmögliche Zustand, dass der Preis des Basiswertes unter dem Basispreis notiert, wird „Out of the money“ (OTM) gennant. Für Put Optionen müssen die Notationen ITM und OTM folglich den entgegengesetzten Platz einnehmen. Dementsprechend fällt sofort auf, dass es für die Investoren nur sinnvoll ist, Optionen auszuüben, die sich ITM befinden. Ist eine Option ITM, so besitzt sie einen sog. „inneren Wert“, der gleich der Differenz zwischen Preis des Basiswertes und Basispreis ist.⁶⁸ Am Fälligkeitstag entspricht der Preis der Option somit entweder seinem inneren Wert, wenn die Option ITM ist, oder null.⁶⁹ Da nun der Preis einer Option am Fälligkeitstag bekannt ist, stellt sich die Frage nach dem Preis während der Laufzeit. Dafür bedarf es zunächst, die Preisuntergrenzen für europäische und amerikanische Calls sowie Puts zu ermitteln.⁷⁰ In Tabelle 3 sind die Preisuntergrenzen, der innere Wert, sowie die ITM, ATM und OTM Situationen übersichtlich dargestellt. Es werden die Notationen 0 für den aktuellen Preis des Basiswertes, für den Basispreis, für den Wert einer amerikanischen Call Option, für den Wert einer amerikanischen Put Option, für den Wert einer europäischen Call Option, für den Wert einer europäischen Put Option, für die Laufzeit der Option sowie als stetiger risikoloser Zinssatz für eine Anlage mit der Laufzeit verwendet. Zu beachten ist, dass in dieser Arbeit mit der Form der stetigen Verzinsung gerechnet wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Preisuntergrenzen und Innerer Wert von Optionen⁷¹

Zu erkennen ist, dass die Preisuntergrenze bei amerikanischen Optionen während der gesamten Laufzeit dem inneren Wert entspricht. Dies liegt daran, dass amerikanische Optionen während der gesamten Laufzeit ausgeübt werden können und ansonsten Arbitragemöglichkeiten gegeben wären. Wenn ein amerikanischer Put unter seinem inneren Wert notieren würde, wäre es möglich den Basiswert gleichzeitig neben dem Put zu kaufen und den Put sofort auszuüben. Es würde ein Arbitragegewinn erzielt werden. Bei der europäischen Option kann dagegen erst am Fälligkeitstag ausgeübt werden, weshalb der Basispreis, der eine Ein- oder Auszahlung in der Zukunft darstellt, mit ି abgezinst werden muss.⁷² Des Weiteren muss bei europäischen sowie amerikanischen Optionen ein bestimmter Zusammenhang zwischen den Preisen für Calls und den merkmalsgleichen Puts gelten, damit keine risikofreien Arbitragegewinne möglich sind. Dieser Zusammenhang wird auch „Put-Call- Parität“ genannt.⁷³

So muss für eine europäische Option die folgende Gleichung gelten, damit keine risikofreien Arbitragegewinne möglich sind:⁷⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 1: Put-Call-Parität für europäische Optionen

Für amerikanische Optionen muss dagegen die folgende Ungleichung gelten:⁷⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2: Put-Call-Parität für amerikanische Optionen

Da nun die Preisuntergrenzen sowie die Beziehungen zwischen Call Preis und Put Preis bekannt sind, stellt sich die Frage nach der Zusammensetzung des Preises von Optionen und welchen Einflussfaktoren die Preise unterliegen. Der Optionspreis besteht grundsätzlich aus zwei Komponenten, dem inneren Wert, der bereits erläutert wurde und dem Zeitwert. Der Zweitwert ist als Bewertung der Chance, am Ende der Laufzeit ITM zu landen, zu interpretieren.⁷⁶ Dieser wird durch den risikolosen Zinssatz, mögliche Erträge und die Volatilität (Intensität der Schwankung des Basiswertes um seinen Mittelwert) während der Laufzeit der Option und zu guter Letzt auch durch die Laufzeit an sich beeinflusst.⁷⁷ Dabei erhöht der Anstieg der Volatilität und der Laufzeit sowohl den Preis des Calls, als auch des Puts. Dies ist damit zu erklären, dass eine längere Laufzeit, eine größere Chance darstellt, ITM zu landen und eine größere Volatilität, dass die Wahrscheinlichkeit weit ITM oder weit OTM zu landen höher wird. Da der Verlust, wie bereits erwähnt, auf die gezahlte Optionsprämie begrenzt ist und der mögliche Gewinn sehr hoch bzw. unendlich ist, wirkt sich eine Steigerung der Volatilität dementsprechend erhöhend auf den Preis der Option aus. Durch eine Steigerung des Zinssatzes ergibt sich ein höherer Call Preis und ein niedrigerer Put Preis, da die in der Zukunft liegenden Ein- bzw. Auszahlungen (Basispreis) stärker diskontiert werden.

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¹ Vgl. Rezmer, A., Was Sie von Warren Buffet lernen können, 2010,http://www.handelsblatt.com/finanzen/anlagestrategie/trends/anlage-grundregeln-was-sie-von- warren-buffett-lernen-koennen/3744552.html

² Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S. 41

³ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S.11

⁴ Vgl. Braun, A., Futures, Optionen und Optionsscheine, 2015,http://boerse.ard.de/boersenwissen/boersenwissen-grundlagen/futures-optionen-und-optionsscheine- 102.html

⁵ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S. 11

⁶ Vgl. DDV, DDV Pressemitteilung zum 5. Deutschen Derivatetag, 2008,http://www.derivateverband.de/DE/MediaLibrary/Document/PM/PM%20Deutscher%20Derivate%20Ta g%202008.pdf

⁷ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, Deckblatt

⁸ Vgl. DDV, DDV Jahresbericht 2010: Transparenz schafft Vertrauen, 2010, S. 18 ff.,http://www.derivateverband.de/DE/MediaLibrary/Document/PM/11%2002%2015%20DDV- Jahresbericht,%20FINAL.pdf

⁹ Eigene Abbildung, angelehnt an DDV, DDV Marktvolumen, 2016, http://www.derivateverband.de/DEU/Statistiken/Marktvolumen

¹⁰ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S. 41

¹¹ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 25ff.

¹² Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S. 5

¹³ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 28

¹⁴ Vgl. Heldt, C., Derivate, http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/derivate.html

¹⁵ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.160

¹⁶ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2010, S. 155ff.

¹⁷ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S. 222

¹⁸ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.32

¹⁹ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.34

²⁰ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S.11

²¹ Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 195

²² Das Wort Plain Vanilla bedeutet englisch „einfach Vanille“ und stellt etwas Gewöhnliches dar.

²³ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 714

²⁴ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.32

²⁵ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 254 f.

²⁶ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 256

²⁷ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.32 f.

²⁸ Eigene Tabelle, angelehnt an Bösch, M., Derivate, 2014, S.35

²⁹ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 198 f.

³⁰ Eigene Abbildung, angelehnt an Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 255

³¹ Eigene Abbildung, angelehnt an Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 256

³² Eigene Abbildung, angelehnt an Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 257

³³ Eigene Abbildung, angelehnt an Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 257

³⁴ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.36 ff.

³⁵ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.44 ff.

³⁶ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.37

³⁷ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.45

³⁸ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 254 f.

³⁹ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 255 f

⁴⁰ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 714

⁴¹ Vgl. Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 344 ff.

⁴² Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 411

⁴³ Vgl. Bruns, C./Meyer-Bullerdiek, F., Professionelles Portfoliomanagement, 2008, S. 430 f.

⁴⁴ Vgl. Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 344

⁴⁵ Eigene Abbildung, angelehnt an Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 411

⁴⁶ Eigene Abbildung, angelehnt an Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 411

⁴⁷ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 722

⁴⁸ Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 347

⁴⁹ Vgl. Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 347

⁵⁰ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 719

⁵¹ Vgl. Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 347

⁵² Eigene Tabelle, angelehnt an Deutsch, H.P./Beinker, M., Derivate und Interne Modelle, 2014, S. 348

⁵³ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 547

⁵⁴ Vgl. Deutsche Bank, Das kleine 1x1 der Zertifikate, 2011, S. 3

⁵⁵ Vgl. Goldman Sachs, Zertifikate Kompass, 2010, S. 7 ff.

⁵⁶ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 554

⁵⁷ Vgl. Bruns, C./Meyer-Bullerdiek, F., Professionelles Portfoliomanagement, 2008, S. 626 f.

⁵⁸ Eigene Abbildung, angelehnt an Deutsche Bank, Bonus-Zertifikate, 2011, S. 4

⁵⁹ Plain Vanilla Call Option mit Basispreis 0, auch LEPO (Low Exercise Price Option) genannt.

⁶⁰ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 203

⁶¹ Vgl. Bloss, M./Ernst, D./Häcker, J./Sörensen, D., Financial Engineering, 2014, S. 554

⁶² Vgl. WGZ Bank, Zertifikate-Fibel, 2015, S. 22, https://www.wgz-zertifikate.de/export/sites/wgzbank/de/zertifikate/downloads/zertifikate-fibel.pdf

⁶³ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S.81 ff.

⁶⁴ Vgl. Deutsche Bank, Starke Kursbewegungen mit WAVE´s, 2014, S. 8

⁶⁵ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S.82

⁶⁶ Vgl. Deutsche Bank, Starke Kursbewegungen mit WAVE´s, 2014, S. 8

⁶⁷ Vgl. HSBC Trinkaus, Zertifikate und Optionsscheine, 2012, S.82

⁶⁸ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 261

⁶⁹ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.56

⁷⁰ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.57 f.

⁷¹ Eigene Tabelle, angelehnt an Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 282 ff.

⁷² Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.57 f.

⁷³ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.69 f.

⁷⁴ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 287

⁷⁵ Vgl. Hull, J.C., Optionen, Futures und andere Derivate, 2012, S. 289

⁷⁶ Vgl. Bösch, M., Derivate, 2014, S.59

⁷⁷ Vgl. Cuthbertson, K./Nitzsche, D., Financial Engineering, 2001, S. 192