Leseprobe
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ALIMENTADOS CON CORRIENTE DIRECTA
Primera edición
Ileana
Moreno
Campdesuñer Juan
Curbelo
Cancio
Ingeniera Electrónica
Ingeniero Eléctrico
Profesora Titular
Profesor Asistente
Dra. en Ciencias de la Educación
MSc. en Ingeniería Eléctrica
Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas
Prólogo
Este libro, dirigido fundamentalmente a los estudiantes, tiene la pretensión de orientarlos en el
análisis de circuitos alimentados con corriente directa, contenido incluido en la disciplina Circuitos
Eléctricos. La misma constituye la base teórica que necesitan los estudiantes para poder estudiar, en
esencia, el comportamiento de equipos, dispositivos y otros sistemas eléctricos (computadoras,
sistemas digitales, sistemas de distribución de energía, sistemas de comunicación y otros muchos)
que actualmente son indispensables en la esfera productiva o social, los cuales forman parte de los
contenidos de diferentes disciplinas que conforman los currículos de dichas carreras.
El contenido de este libro constituye el núcleo teórico de la disciplina porque permite a los
estudiantes el análisis de circuitos alimentados con corriente directa, de cualquier complejidad,
utilizando las diferentes herramientas que se les proporcionan. El libro ha sido elaborado a partir de
la experiencia docente de sus autores y recurriendo a la bibliografía orientada en el plan de estudios,
la cual ha sido enriquecida con otros textos actualizados.
En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y propuestos,
lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en el análisis de circuitos
eléctricos. En el caso de los ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial empleando el
lenguaje de programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por
los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al vincular su empleo en el análisis
y diseño de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren dejar claro que la ingeniería asistida
por computadoras debe verse solo como una ayuda y no como un sustituto de la habilidad que debe
caracterizar a un ingeniero para resolver problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se
brinda la respuesta para que pueda verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en diez capítulos. El primero de ellos se ha introducido para recordar o
profundizar sobre la notación científica y el sistema internacional de unidades, contenidos de gran
utilidad para la solución adecuada de los problemas que se presentan en la vida cotidiana del
ingeniero.
Los dos capítulos que aparecen a continuación pueden considerarse como los elementales para el
análisis de circuitos: El capítulo segundo parte de las nociones básicas sobre corriente, voltaje y
potencia en un circuito eléctrico y los diferentes elementos que lo componen. El tercero se dedica a
la aplicación de las leyes universales de los circuitos eléctricos: la ley de Ohm y las leyes de
Kirchhoff en circuitos de un solo lazo y un solo par de nodos para luego generalizarlas en el
Método de las Corrientes de Ramas; además, se explican las combinaciones en serie y paralelo de
los resistores y fuentes de alimentación.
En los cuatro próximos capítulos se exponen diferentes técnicas que permiten simplificar el análisis
de los circuitos eléctricos: En el cuarto capítulo se explican, a partir de las propiedades de las redes
resistivas lineales, los divisores de voltajes y corrientes y las transformaciones recíprocas de fuentes
reales de alimentación, como de las configuraciones en delta y estrella. También se explica el
método de los valores proporcionales para redes con estructura en escalera. El capítulo cinco tiene
un contenido más práctico, el mismo está dedicado a revelar cómo se aplican los conceptos
estudiados hasta el momento en circuitos donde aparecen amplificadores operacionales en sus
diferentes configuraciones. En el capítulo seis se deducen el Método de las Corrientes de Mallas y el
Método de los Voltajes de Nodos a partir de las leyes de Ohm y Kirchhoff, lo que permitirá reducir
el número de ecuaciones necesarias para darle solución a los circuitos y por consiguiente, la
4
posibilidad de errores en los cálculos matemáticos. El capítulo siete contiene los principales
teoremas que pueden aplicarse a la solución de circuitos lineales tales como Superposición,
Thevenin, Norton, Máxima transferencia de potencia, Miller y dual de Miller.
Los restantes capítulos están destinados a los circuitos donde además del resistor, aparecen
capacitores e inductores que son elementos almacenadores de energía y añadirán una respuesta
transitoria a la respuesta total del circuito. De aquí que el capítulo ocho se dedique a las
generalidades de los capacitores e inductores y sus diferentes formas de combinarse. El capítulo
nueve trata sobre los circuitos de primer orden (circuitos RL y RC en serie, paralelo o mixta), es
decir los que están compuestos por un solo elemento almacenador de energía y las respuestas en
estado libre o estimulado. El último de los capítulos será sobre las redes de segundo orden (circuitos
RLC en serie o paralelo), donde aparecen ambos elementos almacenadores de energía y las
respuestas sobre, crítica e infra amortiguadas de las mismas.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las sugerencias que
puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y profundizar.
Los autores
Contenido
Capítulo 1 ... 7
Notación científica. Sistema internacional de unidades ... 7
1.1
Notación científica
... 7
1.2
Sistema internacional de unidades (SI)
... 11
Capítulo 2 ... 19
Elementos del circuito eléctrico ... 19
2.1 Generalidades
... 19
2.2 Nociones básicas sobre corriente, voltaje y potencia de un circuito eléctrico
... 22
2.3 Elementos del circuito eléctrico
... 35
Capítulo 3 ... 51
Leyes de Kirchhoff de los voltajes y las corrientes ... 51
3.1 Leyes de Kirchhoff
... 51
3.2 Combinaciones de resistores y fuentes
... 67
Capítulo 4 ... 79
Transformaciones en redes resistivas lineales ... 79
4.1 Propiedades de las redes resistivas lineales
... 79
4.2 Funciones de entrada y de transferencia
... 81
4.3 Divisores de voltaje y corriente
... 82
4.4 Transformaciones de fuentes reales
... 87
4.5 Transformaciones recíprocas delta-estrella (Transformación de Kennelly)
... 90
4.6 Método de los valores proporcionales
... 95
Capítulo 5 ... 106
Amplificadores operacionales ... 106
5.1 Propiedades fundamentales del amplificador operacional
... 106
5.2 Diferentes configuraciones del amplificador operacional
... 109
Capítulo 6 ... 128
Métodos Generales de solución ... 128
6.1 Métodos Generales de solución
... 128
6.2 Método de las corrientes de mallas (MCM)
... 128
6.3 Método de los voltajes de nodos
... 138
Capítulo 7 ... 158
Teoremas aplicados a la solución de circuitos lineales ... 158
7.1 Teorema de Superposición
... 158
7.2 Teoremas de Thevenin y Norton
... 163
7.3 Teorema de máxima transferencia de potencia
... 177
7.4 Teorema de Miller
... 181
7.5 Dual del teorema de Miller
... 183
6
Capítulo 8 ... 189
Capacitancia e inductancia ... 189
8.1 El capacitor
... 189
8.2 El inductor
... 202
Capítulo 9 ... 220
Circuitos de primer orden en estado transitorio ... 220
9.1 Respuesta de los circuitos de primer orden en estado transitorio
... 220
9.2 Respuesta libre de un circuito RL
... 222
9.3 Respuesta libre de un circuito RC
... 225
9.4 Respuesta estimulada de los circuitos de primer orden
... 233
9.5 Circuito RL estimulado
... 238
9.6 Circuito RC estimulado
... 249
Capítulo 10 ... 267
Circuitos de segundo orden en estado transitorio ... 267
10.1 Respuesta del circuito RLC serie
... 267
10.2 Respuesta del circuito RLC paralelo
... 290
Capítulo 1
Notación científica. Sistema internacional de unidades
Introducción
El primer capítulo de este libro tiene como objetivo dar una breve introducción a dos temas de gran
importancia, no solo en la rama de la ingeniería eléctrica sino en todas las ramas de la ciencia y la
ingeniería: la notación científica y el Sistema Internacional de Unidades.
La notación científica facilita el trabajo con números muy grandes o muy pequeños, que son
normales en trabajos científicos o de ingeniería. Es muy útil para anotar cantidades físicas, pues
estas pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar solo los dígitos
significativos se da toda la información requerida de forma concisa.
El Sistema Internacional de Unidades, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa
en la mayoría de los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El objetivo del Sistema
Internacional de Unidades es garantizar la uniformidad y equivalencia en las mediciones, así como
facilitar las actividades tecnológicas, industriales y comerciales entre los países. Una de las
principales características, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus
unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales.
Ambos temas estarán presentes a través de todo el libro, de aquí la razón de ser de este capítulo.
1.1 Notación científica
A través de las épocas y las regiones, el hombre ha desarrollado diversos sistemas de numeración
para representar información numérica. Estos sistemas se clasifican en posicionales y no
posicionales.
· Sistemas de numeración no posicionales
En los sistemas de numeración no posicionales, el valor de una cifra no depende de la posición que
ocupe dentro del número. El ejemplo más conocido es el de los números romanos. La representación
del número decimal 221 en el sistema de números romanos es CCXXI, en el cual la cifra C aparece
dos veces en el número y siempre vale lo mismo (100), al igual que la cifra X que en sus dos
apariciones vale 10.
· Sistemas de numeración posicionales
En los sistemas de numeración posicionales, el valor de una cifra depende del lugar que ocupe
dentro del número. En un sistema de numeración posicional de base b, la representación de un
número se define a partir de la regla:
(...a
2
a
1
a
0
.a
-1
a
-2
a
-3
...)
b
= ... + a
2
b
2
+ a
1
b
1
+ a
0
b
0
+ a
-1
b
-1
+ a
-2
b
-2
+ ...
Las generalizaciones más simples del sistema decimal se obtienen cuando b es un entero no negativo
mayor a 1 y cuando los a
i
pertenecen al conjunto de enteros en el rango 0
a
i
< b. Así, cuando b es 2
se obtiene el sistema de numeración binario, cuando b es 8 el octal, cuando b es 10 el decimal, y
Notación científica. Sistema internacional de unidades
8
cuando b es 16 el hexadecimal. Pero en general, se podría elegir cualquier b distinto de cero, y los a
i
de cualquier conjunto de números.
En la tabla 1.1 se muestra una comparación de valores numéricos para números decimales de 0 a 16
para diferentes sistemas de numeración.
Tabla 1.1
Números decimales de 0 a 16 para diferentes sistemas de numeración.
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0
0
0
1 1
1
1
2 10 2
2
3 11 3
3
4 100 4
4
5 101 5
5
6 110 6
6
7 111 7
7
8 1000 10
8
9 1001 11
9
10 1010 12
A
11 1011 13
B
12 1100 14
C
13 1101 15
D
14 1110 16
E
15 1111 17
F
16 10000 20
10
El sistema numérico empleado por las personas en la vida cotidiana, es el sistema numérico decimal,
basado en potencias de 10. Las computadoras y calculadoras emplean el sistema binario.
· Sistema numérico decimal
El sistema numérico decimal, también es llamado de módulo 10, base 10, o raíz 10. Los dígitos son
elementos del sistema {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. La escritura de un número decimal debe ser
interpretada de la siguiente forma:
3
2
1
0
1
2
3
10
8
10
3
10
5
10
4
10
0
10
7
10
2
538
.
2704
-
-
-
+
+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
La escritura de magnitudes extremadamente grandes o pequeñas, puede ser engorrosa cuando se
escriben como números decimales ordinarios. La notación científica proporciona un método breve
de expresar tales magnitudes, generalmente como aproximaciones.
Un número en notación científica estándar es escrito como: m.n
1
n
2
n
3
...n
p
x10
z
, donde el punto (.) es
un punto escrito en la línea base (no es el punto elevado indicando multiplicación), y es denominado
punto raíz o punto decimal. El número m (a la izquierda del punto decimal) es un solo dígito del
sistema {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 7, -7, 8, -8, 9, -9}. Cada uno de los números desde n
1
hasta n
p
(a la derecha del punto decimal), es un solo dígito del sistema {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. La
expresión decimal a la izquierda del símbolo de multiplicación es llamada el coeficiente. El valor de
z, la cual es la potencia de 10, puede ser cualquier entero (positivo, negativo o cero).
Algunas calculadoras y programas de computación expresan los números en notación científica
utilizando formato de texto plano. Una letra mayúscula E (en el caso de MATLAB, la letra
Notación científica. Sistema internacional de unidades
9
minúscula e), indica que la cantidad inmediatamente anterior debe ser multiplicada por una potencia
de 10 y esa potencia es escrita inmediatamente después de E (e).
Ejemplo 1.1
Escribir los siguientes números en notación científica estándar: a) 763 000 000 b) -0.0000410015 c)
4.000
R:
a)
8
10
63
.
7
x
b)
5
10
10015
.
4
-
-
x
c)
0
10
000
.
4
x
MATLAB:
b)
>> format
>> -0.0000410015
ans =
- 4.1001e-005
La notación científica se emplea en los documentos técnicos, cuando la potencia de 10 es grande o
pequeña. Si el exponente se encuentra entre -2 o 2 inclusive, los números son escritos en forma
decimal plena como regla. Si el exponente es -3 o 3, los números se escriben en forma decimal plena
o en notación científica. Si el exponente es -4 o menor, o si es 4 o mayor, los valores son expresados
en notación científica como regla. En los ejes de gráficos en ocasiones no se cumple con lo anterior,
teniendo en cuenta la presentación general del gráfico dado.
En las ciencias físicas y la ingeniería se usan prefijos verbales especiales, conocidos como
multiplicadores, para expresar ordenes de magnitud. La tabla 1.2 muestra los prefijos
multiplicadores y sus símbolos.
Tabla 1.2
Potencias de 10 de los prefijos multiplicadores.
Prefijo Símbolo
Multiplicador
Prefijo Símbolo Prefijo
yocto y
10
-24
deca da 10
1
zepto z
10
-21
hecto h 10
2
atto a
10
-18
kilo k 10
3
femto f
10
-15
mega M 10
6
pico p
10
-12
giga G 10
9
nano n
10
-9
tera T 10
12
Notación científica. Sistema internacional de unidades
10
micro
10
-6
peta P 10
15
mili m
10
-3
exa E 10
18
centi c
10
-2
zetta Z 10
21
deci d
10
-1
ninguno - 10
0
Los valores obtenidos experimentalmente no son exactos. En los cálculos, con frecuencia, esos
valores deben ser aproximados. Existen dos formas de aproximación de esos valores, por
truncamiento (directo pero menos preciso) y por redondeo (más preciso pero un poco más
trabajoso).
El proceso de truncamiento, implica la eliminación de todos los números a la derecha de cierto
punto en la parte decimal de la expresión. El redondeo es el método preferido para expresar números
en forma corta. En este proceso, cuando un digito (llamado r) es eliminado en el extremo derecho de
la expresión, el digito q a su izquierda (el cual se convierte en el nuevo r, cuando el viejo r es
eliminado) no cambia si 0 r 4. Si 5 r 9, entonces q se incrementa en 1 (redondeo por exceso ó
hacia arriba). MATLAB redondea por exceso.
Ejemplo 1.2
Expresar el número 3.83017 de forma aproximada con una cifra significativa, empleando: a)
truncamiento; b) redondeo.
R:
a)
Empleando truncamiento:
3.83017
3.8301
3.830
3.83
3.8
3
b)
Empleando redondeo:
3.83017
3.8302
3.830
3.83
3.8
4
MATLAB:
Notación científica. Sistema internacional de unidades
11
>> 3.83017
ans =
3.8302
1.2 Sistema internacional de unidades (SI)
El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el resultado de más de un siglo y medio de esfuerzos e
investigaciones orientadas a simplificar y unificar el uso de unidades de medida.
El primer paso sustantivo en esa dirección fue la creación del Sistema Métrico Decimal en tiempos
de la Revolución Francesa en 1799. Sobre la base del sistema métrico decimal y de las diferentes
modificaciones que se fueron introduciendo a lo largo de los años, la 11º Conferencia General de
Pesas y Medidas (CGPM) en 1960, estableció un conjunto de recomendaciones al que se dio el
nombre de Sistema Internacional de Unidades, cuya abreviatura internacional es SI. El Sistema
Internacional de Unidades ha sido adoptado por la mayoría de los países y hoy constituye un
lenguaje común en el mundo de las ciencias y la tecnología.
El SI también es conocido como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se
ha implantado para su uso cotidiano.
Entre las ventajas de utilización del Sistema Internacional de Unidades se pueden señalar:
1. Unicidad: Existe una y solamente una unidad para cada cantidad física (el metro para
longitud, el kilogramo para masa, el segundo para tiempo, etc). Es a partir de estas
unidades fundamentales, que se derivan todas las demás.
2. Uniformidad: Elimina confusiones innecesarias al utilizar los símbolos.
3. Relación decimal entre múltiplos y sub-múltiplos: La base 10 es apropiada para el manejo
de la unidad de cada cantidad física y el uso de prefijos facilita la comunicación oral y
escrita.
4. Coherencia: Evita interpretaciones erróneas.
En el sistema internacional de unidades (SI), se distinguen dos clases de unidades:
1. Las unidades básicas.
2. Las unidades derivadas.
Las unidades básicas están compuestas, por siete unidades bien definidas que conviene considerar
como independientes desde el punto de vista dimensional: el metro, el kilogramo, el segundo, el
ampere, el kelvin, el mol y la candela.
Las unidades derivadas, son las que están formadas combinando las unidades básicas según
relaciones algebraicas que enlazan las magnitudes correspondientes. Los nombres y los símbolos de
esas unidades están expresados con la ayuda de nombres y símbolos de las unidades básicas.
Algunos de ellos pueden ser sustituidos por nombres y símbolos especiales que pueden ser
utilizados para expresar los nombres y símbolos de otras unidades derivadas.
Las unidades de estas dos clases forman un conjunto coherente de unidades, es decir, un sistema de
unidades ligadas entre sí por reglas de multiplicación y división sin otro factor numérico más que el
1. Las unidades de este conjunto coherente son designadas bajo el nombre de unidades SI.
Notación científica. Sistema internacional de unidades
12
Cada magnitud física solo tiene una unidad SI, aunque esta puede ser expresada bajo diferentes
formas. Sin embargo, una misma unidad SI, en algunos casos, puede emplearse para expresar
valores de magnitudes diferentes.
Los estados establecen, por vía legislativa, las reglas concernientes a la utilización de unidades en el
ámbito nacional, bien de un modo general, bien únicamente en ciertos campos como el comercio, la
salud, la seguridad pública o la enseñanza. En la mayoría de los países, estas legislaciones están
basadas en el empleo del sistema internacional de unidades. La Organización Internacional de
Metrología Legal (OIML), creada en 1955, se ocupa de la armonización internacional de esas
legislaciones.
· Unidades básicas
Las definiciones oficiales de todas las unidades básicas SI son aprobadas por la Conferencia
General de Pesas y Medidas. La primera de estas definiciones fue aprobada en 1889 y la más
reciente en 1983. Estas definiciones son modificadas de acuerdo a la evolución de las técnicas de
medida a fin de permitir una realización más exacta de las unidades básicas.
1. Unidad de longitud (metro)
El metro es la distancia a la que viaja la luz en el vacío durante un espacio de tiempo de 1/299 792
458 de segundo.
2. Unidad de masa (kilogramo)
El kilogramo es la unidad de masa; se define como la masa de un bloque de platino guardado junto
con el metro patrón en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sevres, Francia. La masa de
este bloque es de aproximadamente 0.001 veces la masa de 1 m
3
de agua pura a 4ºC.
3. Unidad de tiempo (segundo)
El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la frecuencia de transición entre dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Durante su sesión de 1997, el Comité
Internacional confirmó queesta definición se refiere a un átomo de cesio en reposo, a una
temperatura de 0º K.
4. Unidad de la corriente eléctrica (ampere)
El ampere es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos,
rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1
metro uno del otro en el vacío, produciría entre esos conductores una fuerza igual a 2 x 10-7 newton
por metro de longitud. Esta definición tiene por efecto el fijar la permeabilidad del vacío a 4 x 10
-7
H.m
-1
exactamente.
5. Unidad de temperatura termodinámica (kelvin)
El kelvin, (símbolo K, en vez de "grado kelvin", símbolo ºK) unidad de temperatura termodinámica,
es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
Debido al modo en que las escalas de temperatura eran habitualmente definidas, resultó de uso
corriente expresar la temperatura termodinámica, símbolo T, en función de su diferencia en razón a
la temperatura de referencia To = 273,15 K, punto de congelación del agua. Esta diferencia de
temperatura es llamada temperatura celsius, símbolo t, y es definida por la ecuación: t = T - T
0
La unidad de temperatura celsius es el grado celsius, símbolo ºC, igual a la unidad kelvin por
definición. Un intervalo o una diferencia de temperatura puede expresarse tanto en kelvin como en
Notación científica. Sistema internacional de unidades
13
grados celsius. El valor numérico de una temperatura celsius t expresada en grados celsius es dada
por la relación:
t/º C = T/K - 273,15
6. Unidad de cantidad de sustancia (mol)
El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que tiene tantas entidades elementales como hay
átomos en 0,012 kilogramos de carbono 12 (no ligados, en reposo y en su estado fundamental); su
símbolo es el "mol".
Cuando se emplea el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos,
moléculas, iones, electrones, y otras partículas o agrupamientos especificados de tales partículas.
7. Unidad de intensidad luminosa (candela)
La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación
monocromática de frecuencia 540 x 10
12
H
z
y cuya intensidad de energía en esa dirección es 1/683
W por estereorradián.
La tabla 1.3 muestra las unidades básicas del sistema internacional, con su nombre y su símbolo.
Tabla 1.3
Unidades básicas del sistema internacional (SI).
Magnitud Unidad
básica
Símbolo
Longitud metro
m
Masa kilogramo
kg
Tiempo segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
Temperatura termodinámica
kelvin
K
Cantidad de sustancia
mol
mol
Intensidad luminosa
candela
cd
Los prefijos y símbolos de prefijos para formar nombres y símbolos de múltiplos y submúltiplos
decimales de las unidades SI, corresponden a los señalados en la tabla 1.1. Estos prefijos SI
representan estrictamente las potencias de 10, no deben ser utilizados para expresar múltiplos de
dos (por ejemplo, un kilobit representa 1000 bits y no 1024 bits).
Entre las unidades básicas del Sistema Internacional, la unidad de masa es la única cuyo nombre
contiene un prefijo por razones históricas. Los nombres y los símbolos de los múltiplos y
submúltiplos decimales de la unidad de masa, están formados por la unión de prefijos a la palabra
"gramo" y de símbolos de estos prefijos al símbolo de la unidad "g". Por ejemplo: 10
-6
kg = 1 mg (1
miligramo) pero no 1 kg (1 microkilogramo).
· Unidades derivadas
Las unidades derivadas son unidades que pueden ser expresadas a partir de las unidades básicas
mediante símbolos matemáticos de multiplicación y de división. Ciertas unidades derivadas han
recibido nombres especiales y símbolos particulares que pueden ser utilizados con los símbolos de
otras unidades básicas o derivadas para expresar las unidades de otras magnitudes.
Notación científica. Sistema internacional de unidades
14
Unidades expresadas a partir de las unidades básicas
La tabla 1.4 muestra algunos ejemplos de unidades derivadas, expresadas directamente a partir de
unidades básicas. Las unidades derivadas están obtenidas por multiplicación y división de las
unidades básicas.
Tabla 1.4
Ejemplos de unidades derivadas expresadas directamente a partir de las unidades básicas.
Magnitudes derivadas
Nombre
Símbolo
Superficie metro
cuadrado
m
2
Volumen metro
cúbico
m
3
Velocidad metro
por
segundo
m/s
Aceleración
metro por segundo cuadrado
m/s
2
Masa en volumen
kilogramo por metro cúbico
kg/m
3
Volumen másico
metro cúbico por kilogramo
m
3
/kg
Densidad de corriente
ampere por metro cuadrado
A/m
2
Campo magnético
ampere por metro
A/m
Intensidad luminosa
Candela por metro cuadrado
cd/m
2
Unidades de nombres especiales y símbolos particulares. Unidades que utilizan
unidades con nombres especiales y símbolos particulares
Por comodidad, algunas unidades derivadas reciben un nombre especial y un símbolo particular.
Esos nombres y símbolos pueden ellos mismos ser utilizados para expresar otras unidades derivadas
como se observa en las tablas 1.5 y 1.6. Los nombres especiales y los símbolos particulares permiten
expresar, bajo forma reducida, unidades frecuentemente utilizadas.
Tabla 1.5
Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos particulares.
Magnitudes derivadas
Nombre Símbolo Expresión
utilizando otras
unidades SI
Expresión en
unidades SI
básicas
Ángulo plano
radián
rad
m·m
-1
Ángulo sólido
estereorradián
sr
m
2
·m
2
Frecuencia herz Hz
s
-1
Fuerza newton
N
m·kg·s
-2
Energía, trabajo,
cantidad de calor
joule J
N
x
m
m
2
·kg·s
-2
Potencia, flujo radiante
watt
W
J/s
m
2
·kg·s
-3
Carga eléctrica,
coulomb
C
A·s
Notación científica. Sistema internacional de unidades
15
cantidad de electricidad
Diferencia de potencial
eléctrico, fuerza
electromotriz
volt V
W/A
m
2
·kg·s
-3
·A
-1
Capacitancia eléctrica
farad
F
C/V
m
-2
·kg
-1
·s
4
·A
2
Resistencia eléctrica
ohm
V/A m
2
·kg·s
-3
·A
-2
Conductancia eléctrica
siemens
S
A/V
m
-2
·kg
-1
·s
3
·A
2
Flujo de inducción
magnética
weber Wb
V*S
m
2
·kg·s
-2
·A
-1
Inducción magnética
tesla
T
Wb/m
2
kg·s
-2
·A
-1
Inductancia henry H
Wb/A
m
2
·kg·s
-2
·A
-2
Temperatura Celsius
Grado Celsius
ºC
K
Flujo luminoso
lumen
lm
Cd x sr
m
2
·m
-2
·cd = cd
Iluminancia lux
lx
lm/m
2
m
2
·m
-4
·cd = m
-2
·cd
Tabla 1.6
Ejemplos de unidades SI derivadas con nombre y símbolos que conllevan unidades SI derivadas
con nombres especiales y símbolos especiales.
Magnitudes
derivadas
Nombre
Símbolo
Expresión de unidades
SI básicas
Velocidad angular
Radián por
segundo
rad/s m·m
-1
·s
-1
= s
-1
Aceleración
angular
radián por segundo
cuadrado
rad/s
2
m·m
-1
·s
-2
= s
-2
Conductividad
térmica
Watt por metro
kelvin
W/(m x K)
m·kg·s
-3
·K
-1
Energía volúmica
joule por metro
cúbico
J/m
3
m
-1
·kg·s
-2
Campo eléctrico
volt por metro
V/m
m·g·s
-3
·A
-1
Densidad de carga
coulomb por metro
cúbico
C/m
3
m
-3
·s·A
Desplazamiento
eléctrico
coulomb por metro
cuadrado
C/m
2
m
-2
·s·A
Permitividad farad
por
metro F/m
m
-3
· kg
-1
·s
4
·A
2
Permeabilidad henry
por
metro H/m
m·kg·s
-2
·A
2
Una misma unidad puede corresponder a varias magnitudes diferentes. Así, el ampere (A) es el
nombre de la unidad SI para la magnitud básica corriente eléctrica, al igual que para la magnitud
Notación científica. Sistema internacional de unidades
16
derivada fuerza magnetomotriz. No es suficiente entonces indicar el nombre de la unidad para hacer
conocer la magnitud medida.
Una unidad derivada puede frecuentemente expresarse de varias maneras utilizando nombres de
unidades básicas y nombres especiales de unidades derivadas. Esta libertad algebraica es de todas
maneras limitada por las consideraciones físicas del sentido común. El joule, por ejemplo, puede
escribirse newton metro, o bien kilogramo metro cuadrado por segundo cuadrado, pero según las
circunstancias algunas formas pueden ser más útiles que otras.
En la práctica, con el fin de reducir el riesgo de confusión entre las magnitudes que tienen la misma
dimensión, se expresa su unidad empleando de preferencia un nombre especial o una combinación
particular de unidades. Por ejemplo, se llama hertz a la unidad SI de frecuencia, en vez de segundo a
la potencia menos uno.
Algunas magnitudes están definidas por el cociente de dos magnitudes de la misma naturaleza;
tienen una dimensión que puede ser expresada por el número uno. La unidad asociada a tales
magnitudes es necesariamente una unidad derivada coherente con las otras unidades del SI, y como
resulta del cociente de dos unidades SI idénticas, esta unidad puede también ser expresada por el
número uno. Tanto es así que la unidad SI de todas las magnitudes cuya dimensión es el producto de
dimensión igual a uno, es el número uno. El valor de esas magnitudes es expresado por un número,
en general la unidad 1 no es mencionada explícitamente. En algunos casos, se atribuye a esta unidad
un nombre especial, con el objetivo de evitar principalmente la confusión con algunas unidades
derivadas compuestas. Es el caso del radián, estereorradián y neper.
· Unidades que no pertenecen al SI
El uso de las unidades SI está recomendado en las ciencias, las técnicas y el comercio. Estas
unidades están adoptadas a nivel internacional por la Conferencia General de Pesas y Medidas y
sirven hoy en día para definir todas las otras unidades.
No obstante, algunas unidades fuera del SI son todavía ampliamente utilizadas en las publicaciones
científicas, técnicas o comerciales y algunas lo serán probablemente todavía durante numerosos
años. Otras unidades fuera del SI, como las unidades del tiempo, son de uso tan extendido a la vida
cotidiana y tan profundamente enraizada en la historia y en la cultura de los hombres, que seguirán
siendo utilizadas en el futuro previsible.
A continuación se señalan algunas de las unidades fuera del SI en uso, debido a que se emplean de
forma tan generalizada que no resulta práctico abandonarlas:
Minuto (min), hora (h), día (d), grado (º), minuto (`), segundo (`'), neper (Np), electrón-volt (eV),
unidad de masa atómica (u), unidad astronómica (ua), milla marina, nudo, area (a), hectárea (ha), bar
(bar), ángstrom (Å).
Ciertas unidades fuera del SI siguen siendo utilizadas ocasionalmente. Algunas de ellas son
importantes para la interpretación de textos científicos antiguos. Entre ellas se encuentran: Ergio
(erg), dina (dyn), maxwell (Mx), gauss (G), oersted (Oe), torr (Torr), atmósfera normal (atm),
caloría (cal), micra (m).
· Reglas de escrituras de nombres y símbolos de las unidades SI
Los símbolos de las unidades SI (y muchos otros símbolos de las unidades fuera del SI) deben ser
escritos según las reglas siguientes:
Notación científica. Sistema internacional de unidades
17
Los símbolos de las unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (), se
expresan en caracteres romanos (rectos). En general, los símbolos de las unidades se
escriben en minúsculas, pero, si el nombre de la unidad deriva de un nombre propio,
la primera letra del símbolo es mayúscula. Por ejemplo, A de ampere, J de joule.
Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes
deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de estos, pero con
minúscula inicial, salvo si se trata de la primera palabra de una frase o del nombre
(grado Celsius). No obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones
castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia
de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio,
vatio, weberio.
Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto
las que terminan en s, x ó z.
Los símbolos de las unidades quedan invariables en plural. Por ejemplo, se escribe 5
kg, no 5 kgs.
Los símbolos de las unidades no están seguidos por un punto, salvo si se encuentran
situados al final de una frase, el punto releva en este caso de la puntuación habitual.
· Expresión algebraica de los símbolos de las unidades SI.
Las expresiones algebraicas que comprenden símbolos de unidades SI deben expresarse bajo una
forma normalizada:
Cuando una unidad derivada se forma multiplicando dos o varias unidades, se
expresa con la ayuda de símbolos de unidades separados por puntos a media altura o
por un espacio.
Por ejemplo: N·m o N m.
Cuando una unidad derivada está formada dividiendo una unidad por otra, se puede
utilizar una barra inclinada (/), una barra horizontal o bien exponentes negativos.
Por ejemplo: m/s o m·s
-1
.
No se debe repetir sobre una misma línea una barra inclinada de un signo de división,
al menos que paréntesis sean añadidos a fin de evitar toda ambigüedad.
Por ejemplo: m/s
2
o m·s
-2
pero no m/s/s.
· Reglas de empleo de los prefijos SI
Existen reglas para la escritura de los prefijos en el Si tales como:
Los símbolos de los prefijos se imprimen en caracteres romanos (rectos), sin espacio
entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad.
El conjunto formado por el símbolo de un prefijo junto al símbolo de una unidad
constituye un nuevo símbolo inseparable (símbolo de un múltiplo o submúltiplo de
esta unidad) que se puede elevar a una potencia positiva o negativa y combinar con
otros símbolos de unidades para formar símbolos de unidades compuestas.
Por ejemplo: 1 cm
3
= (10
-2
m)
3
= 10
-6
m
3
Notación científica. Sistema internacional de unidades
18
1 V/cm = (1 V)/(10
-2
m) = 10
2
V/m
No se deben utilizar los prefijos compuestos, es decir formados por la yuxtaposición
de varios prefijos.
Por ejemplo: 1 nm pero no 1 mµm.
Un prefijo no debe ser nunca empleado solo.
Por ejemplo: 10
6
/m
3
pero no M/m
3
.
Los nombres de las unidades no deben de ser mezclados con los signos de las
operaciones matemáticas.
Por ejemplo: Se puede escribir "metro por segundo", pero no metro/segundo o metro
segundo
-1
.
Cuando el producto de dos unidades es escrito por completo, se recomienda el uso
del espacio entre ellas pero nunca el uso del punto. Es tolerable el empleo del guión
en estos casos.
Por ejemplo: Se debe escribir newton metro o newton-metro, pero no newton. metro.
El valor numérico y el símbolo de la unidad deben ser separados por un espacio, aún
cuando se use como un adjetivo.
Por ejemplo: 35 mm, en vez de 35mm o 35-mm.
Siempre que sea posible, el prefijo de una unidad debe de ser escogido dentro de un
intervalo adecuado, normalmente entre 0.1 y 1000.
Por ejemplo: 250 kN; 0.6 mA.
· Notación numérica
En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la parte decimal. Debe
dejarse un espacio entre grupos de 3 dígitos, tanto a la izquierda como a la derecha de la coma (15
739,012 53). En números de cuatro dígitos puede omitirse dicho espacio. La coma no debe usarse
como separador de los miles.
Las operaciones matemáticas solo deben aplicarse a símbolos de unidades (kg/m
3
) y no a nombres
de unidades (kilogramo/metro cúbico).
Debe estar perfectamente claro a qué símbolo de unidad pertenece el valor numérico y qué
operación matemática se aplica al valor de la magnitud.
Ejemplos:
35 cm x 48 cm pero no 35 x 48 cm
100 g ± 2 g pero no 100 ± 2 g
Capítulo 2
Elementos del circuito eléctrico
Introducción
Este apartado introduce elementos generales acerca de los circuitos eléctricos y los elementos que lo
constituyen. Se tratan las variables fundamentales que caracterizan el estado de los circuitos
eléctricos: corriente, voltaje y potencia. Se definen y clasifican los elementos fundamentales del
circuito eléctrico, haciéndose énfasis en el resistor y los diferentes tipos de fuentes de alimentación.
Se ilustra cómo las fuentes dependientes, en combinación con otros elementos del circuito, permiten
representar dispositivos activos electrónicos, como los transistores. Cada uno de los ejemplos
mostrados en el capítulo, tiene una solución total o parcial empleando MATLAB.
2.1 Generalidades
Las ecuaciones de Maxwell permiten explicar cualquier fenómeno electromagnético, sobre la base
de los campos magnéticos y eléctricos que producen las distribuciones de carga y de corriente en un
elemento o dispositivo. Estas ecuaciones son objeto de estudio en el campo de la física, y la solución
de problemas con el empleo de las mismas puede ser muy compleja.
Los conceptos de la teoría de circuitos eléctricos se fundamentan en las ecuaciones de Maxwell,
pero el proceso matemático se simplifica enormemente. Esta teoría se emplea cuando las longitudes
de onda de las señales eléctricas existentes en el circuito son mucho mayores que las dimensiones
del dispositivo físico, lo que implica asumir que las señales (perturbaciones) se propagan de forma
instantánea en el circuito.
Cuando las frecuencias de las señales de trabajo son muy elevadas (longitudes de onda pequeñas),
como ocurren con las señales de muy alta frecuencia (radares), no pueden aplicarse los conceptos de
la teoría de circuitos, debiéndose emplear directamente las ecuaciones de Maxwell.
La teoría de circuitos eléctricos permite analizar, describir y comprender la operación de un circuito,
sin tener en cuenta cómo se mueve, gana, pierde o transfiere energía una carga en el conductor; sino
cómo se comporta el flujo total de cargas y cuáles son las transformaciones energéticas globales que
se producen.
Del mismo modo, dicha teoría tampoco estudia el funcionamiento interno de los dispositivos, sino
que emplea modelos de los mismos para determinar las variables de interés, permitiendo estudiar las
relaciones que existen entre ellas en diferentes puntos y partes de una red, y el comportamiento de la
misma, cuando esta actúa como un enlace (sistema intermedio), entre un estímulo (señal) aplicado a
su entrada y la respuesta que se obtiene a su salida. En este caso, a la red le corresponde una función
matemática denominada función de transferencia.
La teoría de circuitos eléctricos permite tratar tanto los problemas de transmisión de grandes
cantidades de energía, como lo problemas de transmisión de grandes volúmenes de información. Se
divide en dos partes principales:
· Análisis de circuitos: Conocidos la excitación (estímulo) y el circuito, hallar la respuesta
(salida).
· Síntesis de circuitos: Conocidos la excitación (estímulo) y la respuesta (salida), hallar el
circuito requerido.
Elementos del circuito eléctrico
20
El objetivo fundamental del análisis de circuitos es determinar la transformación y la distribución de
la energía en distintas partes de un dispositivo, en las cuales las variaciones de las distintas
magnitudes, respecto al tiempo, son relativamente lentas. Mediante el mismo, se puede determinar la
función de transferencia (transmisión) de la red cuyos elementos son conocidos. En este texto se
tratará únicamente la parte correspondiente al análisis de circuitos.
Un circuito eléctrico (red) es la interconexión de un conjunto de elementos a través de los cuales
puede circular una corriente eléctrica, y cuyo objetivo es la distribución y control de la energía
eléctrica, así como la transformación recíproca de esta y otras formas de energía. Generalmente, el
término circuito describe interconexiones simples de algunos pocos elementos, mientras que el
término red se asocia a circuitos de mayor número de elementos y complejidad.
Los elementos fundamentales de un circuito eléctrico son: las fuentes de energía eléctrica (pilas,
acumuladores, generadores, etc.) que transforman la energía química, mecánica, térmica y otras, en
energía eléctrica; los receptores de energía eléctrica (lámparas eléctricas, motores, etc.) que
transforman la energía eléctrica en lumínica, mecánica y otras formas de energía; los interruptores
que abren o cierran el circuito, interrumpiendo la transformación de energía en el instante deseado; y
los conductores que unen los anteriores elementos entre sí.
En adelante se utilizará, en lugar de fuentes de energía eléctrica, expresiones más breves: fuentes de
alimentación, fuentes de energía o simplemente fuentes; y en lugar de receptores de energía
eléctrica, términos más sencillos: receptores, cargas, consumidores.
Para facilitar el análisis de los procesos que se realizan en un circuito eléctrico, se suele reemplazar
el mismo por un esquema equivalente o modelo idealizado (modelo de circuito, circuito eléctrico o
red), el cual ayuda a representar el comportamiento del circuito real mediante otro compuesto por
elementos ideales, empleándose símbolos gráficos en vez de una representación pictórica. Este
modelo de circuito representa el dispositivo físico en forma más o menos precisa.
Cada modelo es válido dentro de determinadas condiciones de temperatura, presión, niveles de
voltaje o corriente, etc. Estas condiciones permiten decidir si utilizar en ciertas situaciones el
modelo o prescindir de él por no adecuado, debido a que los resultados que se obtendrían superarían
los márgenes de error razonables.
Un elemento ideal (puro) es una representación abstracta de un dispositivo, el cual se caracteriza por
un solo parámetro. Aunque el parámetro está físicamente distribuido en el elemento real, la
idealización permite concentrarlo en un punto representado por un símbolo gráfico (circuitos con
parámetros concentrados). Cuando las dimensiones de los elementos individuales y de todo el
circuito, sean muy grandes en comparación con la longitud de onda de las señales, se deberá tener en
cuenta la presencia de los parámetros distribuidos (líneas de transmisión eléctrica de longitud
superior a 300 km).
Al elemento ideal del circuito capaz de representar la transformación de otras formas de energía en
energía electromagnética se le llama fuente. Corresponde a los elementos físicos: pilas,
acumuladores, generadores, etc. Actualmente, los procedimientos más utilizados para producir
electricidad son por inducción electromagnética y por reacciones químicas.
El procedimiento de inducción electromagnética para generar electricidad tiene lugar en todas las
centrales eléctricas, independientemente del tipo de energía primaria utilizada. La generación de
electricidad por transformaciones químicas, está basada en el proceso de la electrólisis; al
introducirse dos electrodos de materiales conductores distintos en una disolución, en ellos se
produce una separación de cargas y el sistema puede generar electricidad.
Elementos del circuito eléctrico
21
Al elemento ideal del circuito capaz de representar la transformación de la energía eléctrica en calor
u otra forma de energía disipativa se le denomina resistor ideal. Corresponde a los elementos
físicos: lámparas incandescentes, calefactores, etc.
Al elemento ideal capaz de representar el almacenamiento de energía en un campo eléctrico se le
llama capacitor ideal. Corresponde al elemento físico capacitor (condensador).
Al elemento ideal capaz de representar el almacenamiento de energía en un campo magnético se le
denomina inductor ideal. Corresponde al elemento físico inductor (bobina).
Los elementos reales presentan en general los tres efectos, los no deseados se consideran parásitos
(resistencia y capacitancia en un inductor). En la práctica, uno de esos efectos es generalmente
mucho mayor que los otros, en este caso el elemento real puede ser representado por un solo
elemento ideal (inductor ideal).
Todos los elementos ideales tienen dos terminales o bornes, por lo que se denominan dipolos. Un
elemento ideal no puede ser subdividido en otros elementos simples. Los elementos ideales permiten
analizar o predecir el comportamiento del dispositivo real pudiendo este ser representado por uno o
varios elementos ideales.
Existen elementos en los cuales el valor de los mismos es una función del voltaje que se les aplica o
de la corriente que circula por ellos, estos elementos se denominan no lineales o alineales (el voltaje
a través de ellos no es linealmente proporcional a la corriente que pasa por los mismos, a la derivada
o a la integral de la corriente). Un circuito eléctrico con un solo elemento no lineal se considera no
lineal. En este texto solo se considerarán elementos lineales.
Existen elementos cuyo comportamiento con respecto a dos terminales, depende de su orientación o
posición (diodo), estos elementos se denominan unilaterales, los que presentan el mismo
comportamiento independiente de su posición (resistor, inductor, capacitor) se denominan
bilaterales. En este texto solo se considerarán elementos bilaterales.
Se considerará en todo momento que los conductores que unen las fuentes y los receptores son
ideales, la resistencia de los mismos es nula y no poseen capacitancia ni inductancia.
Los elementos del circuito eléctrico se clasifican en:
· Elementos activos: Corresponden a las fuentes de energía eléctrica (fuentes de voltaje o
corriente), que actúan como estímulos, excitaciones o funciones forzantes.
· Elementos pasivos: Corresponden a los elementos consumidores o almacenadores de energía
eléctrica (resistor, inductor, capacitor), constituyen por ello los receptores o cargas. Un
elemento pasivo no puede suministrar más energía que la que anteriormente recibió del
circuito.
Los componentes y dispositivos prácticos pueden representarse por medio de una adecuada
combinación de elementos pasivos y activos.
Una red que contiene al menos un elemento activo, tal como una fuente de voltaje o de corriente, es
una
red activa; si no contiene ninguna fuente, es una red pasiva. En una red pasiva no existen
señales (corrientes o voltajes), mientras no se aplique un estímulo externo. Al retirarse el estímulo
externo las señales (variables) pueden existir, en general, durante cierto tiempo.
En una red con varias fuentes, puede suceder que una o varias estén actuando como generadores
(entregando energía a la red) o como cargas (absorbiendo energía de la red).
Elementos del circuito eléctrico
22
En dependencia de los elementos que conformen los circuitos eléctricos, estos pueden ser
clasificados en: circuitos lineales, circuitos cuasi-lineales y circuitos no lineales.
Los circuitos lineales están formados por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y
elementos lineales. El comportamiento de los mismos puede caracterizarse por ecuaciones
diferenciales lineales. En estos circuitos, la función de transferencia (transmisión) es independiente
de la forma o de la magnitud de la señal aplicada, siendo exclusivamente una característica de la red,
esta función de transferencia puede ser determinada aún sin conocer el estímulo o función forzante.
Los circuitos cuasi-lineales, a pesar de contener elementos no lineales, pueden considerarse dentro
de ciertos límites de funcionamiento como lineales.
Los circuitos no lineales no pueden ser aproximados a lineales sin que los errores en los resultados
obtenidos excedan los límites permisibles. Estos circuitos requieren un análisis especial,
generalmente complejo.
En este texto, solo se analizarán redes activas y pasivas, finitas, de parámetros concentrados,
lineales, bilaterales y en las cuales los parámetros de los elementos no varían en el tiempo.
2.2 Nociones básicas sobre corriente, voltaje y potencia de un circuito eléctrico
La corriente y el voltaje se consideran las variables (magnitudes) fundamentales que caracterizan el
estado de los circuitos eléctricos. Estas variables, que caracterizan el estado de un sistema físico
real, son evaluadas mediante mediciones.
Las características más importantes de los elementos o de los dispositivos eléctricos formados por la
combinación de los primeros se describen, en forma adecuada, mediante el conocimiento de los
voltajes y corrientes, como funciones del tiempo, en puntos o pares de puntos de interés.
Los cuerpos físicos están formados por moléculas y cada molécula está formada por uno o más
átomos. El átomo está formado por un núcleo, en el cual están agrupados un cierto número de
protones (con carga positiva) y neutrones (sin carga), alrededor del núcleo giran en órbitas a gran
velocidad los electrones (con carga negativa). En condiciones de equilibrio, un átomo es
eléctricamente neutro (el número de protones es igual al número de electrones), este número
determina los diferentes elementos (cobre, aluminio, hierro, etc.) y sus propiedades físicas y
químicas.
El núcleo (positivo) atrae a los electrones (negativos); en mayor grado, a los de las órbitas cercanas
y en menor grado, a los de las orbitas más alejadas (electrones libres), los cuales pueden escapar con
cierta facilidad de la atracción del núcleo, creando condiciones favorables para la aparición de una
corriente eléctrica. Si un átomo pierde electrones se convierte en un ión positivo (catión) y si gana
electrones en un ión negativo (anión), dejando en ambos casos de ser eléctricamente neutro. La
carga eléctrica de un cuerpo es la cantidad de electrones que tiene de más (carga eléctrica negativa)
o de menos (carga eléctrica positiva).
La corriente eléctrica se define como el movimiento ordenado de cargas eléctricas en un sentido
determinado, permitiendo la transportación de energía eléctrica. La carga eléctrica, como se señaló
anteriormente, es una propiedad de algunas partículas subatómicas y se mide en coulomb,
simbolizándose con la letra mayúscula
C.
Un coulomb es la carga total que poseen aproximadamente 6.24×10
18
electrones. Un solo electrón
(partícula subatómica) tiene una carga de -1,602×10
-19
C, poseyendo cada electrón la misma
cantidad elemental de carga eléctrica (muy pequeña para propósitos prácticos). La variable usada
para representar la carga eléctrica es la letra q o
Q, la letra mayúscula hace referencia a cargas
Elementos del circuito eléctrico
23
constantes y la letra minúscula indica cargas variables en el tiempo; también puede señalarse la
dependencia del tiempo, escribiendo q(t).
Aunque la carga eléctrica es un elemento importante en la electrostática y la electrodinámica, no se
utiliza mucho en el análisis de los circuitos eléctricos, por lo que solo se considerarán en algunos
ejemplos en el presente libro.
Las cargas eléctricas (positivas, negativas o ambas al mismo tiempo) se mueven a través de
diferencias de potencial (las cargas positivas se mueven en sentido opuesto a las negativas), por
medio de conductores metálicos en la mayoría de los casos (movimiento de electrones), aunque
pueden hacerlo a través de los gases (válvulas electrónicas gaseosas terminadas en conductores),
donde la corriente es un movimiento de electrones en una dirección y de iones positivos en la
dirección opuesta y a través de soluciones líquidas, donde la corriente es un movimiento de iones
positivos y negativos en direcciones opuestas.
En el caso de los conductores metálicos, las cargas eléctricas negativas (electrones libres de la red
cristalina que forman los átomos) se mueven desde el potencial negativo que es la fuente de
electrones, hacia el positivo, que atrae las cargas negativas, Este movimiento recibe el nombre de
corriente electrónica, mientras que se considera por convención que la corriente eléctrica fluye al
revés, continuando con la convención de los primeros investigadores de la electricidad que
consideraban que las cargas positivas eran las que se desplazaban, convenio que no afecta los
resultados de análisis de circuitos en ningún caso.
El material más usado en los conductores metálicos es el cobre (Cu), por ser relativamente barato y
buen conductor de la electricidad, al igual que el aluminio (Al). Sin embargo, los mejores metales
conductores son el oro (Au) y la plata (Ag), aunque ambos se utilizan muy limitadamente por su alto
costo. El oro se emplea en la fabricación de circuitos integrados y microprocesadores, mientras que
la plata se utiliza para revestir los contactos eléctricos de algunos tipos de relés diseñados para
interrumpir un flujo de corriente de valor elevado. El aluminio, por su parte, se emplea para fabricar
los cables gruesos, sin forro, que se emplean en las líneas de transmisión de energía eléctrica.
Para que sea posible la circulación de la corriente eléctrica entre dos puntos, entre los cuales existe
una diferencia de potencial, debe existir un camino continuo entre los mismos; si este se interrumpe,
se interrumpe el flujo de electrones y la corriente eléctrica cesa.
La intensidad de la corriente eléctrica (en lenguaje informal corriente) es una medida del flujo de
electricidad. La corriente eléctrica se mide en una unidad llamada ampere, la cual se abrevia con la
letra mayúscula
A. El nombre de Ampere se emplea en memoria de André Marie Ampere, un físico
francés de principio del siglo XIX (1775-1836).
La intensidad de la corriente eléctrica
se define como la rapidez de variación de las cargas a través
de una superficie (sección transversal de un conductor) en el tiempo y se expresa como:
( )
dt
t
dq
t
q
i
t
=
=
0
lim
(2.1)
donde:
i: intensidad de la corriente (A)
q: carga electrostática (C)
t: tiempo (s)
Aunque 1 A corresponde a una carga en movimiento a la razón de variación de 1 C/s, en el Sistema
Internacional de Unidades el coulomb es definido realmente en términos del ampere.
Elementos del circuito eléctrico
24
La carga total que circula (se mueve) por un elemento de circuito entre los instantes de tiempo t
o
y t,
puede determinarse mediante la expresión:
idt
q
t
t
=
0
(2.2)
No en todos los casos circulará el mismo número de electrones a través de un conductor, esto
dependerá de la diferencia de potencial en los extremos del conductor y de la conductividad del
mismo.
No debe confundirse la razón de flujo de carga eléctrica con la velocidad de los portadores de carga.
Por ejemplo, cuando por un conductor circula una corriente de un Ampere, la velocidad neta de
movimiento de los electrones a lo largo de la longitud del conductor, puede ser de algunas decenas
de micrómetros por segundo. La corriente eléctrica origina señales eléctricas que se propagan con
velocidad cercana a la de la luz. Cuando el dispositivo físico real es de un tamaño despreciable en
comparación con la longitud de onda de la corriente eléctrica, se puede considerar que todos los
fenómenos eléctricos ocurren de forma simultánea en todos los puntos del circuito.
La corriente se representa simbólicamente por I,
i(t), o simplemente i. El empleo de la letra
mayúscula está asociado con un valor constante mientras que la minúscula está asociada con un
valor instantáneo, pues la variable puede cambiar su valor de un instante a otro (es función del
tiempo). En la figura 2.1 están representados varios tipos de corriente.
Una corriente cuyo valor es siempre constante se llama
corriente continua
o directa y corresponde a
la figura 2.1a). La figura 2.1b) representa una corriente que varía sinusoidalmente con el tiempo.
Este tipo de corriente se llama
corriente alterna. Las figuras 2.1c) y 2.1d) representan corrientes
exponenciales y sinusoidales amortiguadas respectivamente.
Figura 2.1: Varios tipos de corrientes.
Como se señaló anteriormente, convencionalmente el sentido de la corriente es aquel, en que se
moverían las cargas positivas. Simbólicamente, la corriente se representa utilizando una punta de
flecha sobre el conductor o cercana a este.
La corriente tiene tanto magnitud como dirección. En la figura 2.2a), la dirección de la flecha y el
valor de 3 A indican o bien, que una corriente neta positiva de 3 A se está moviendo a la derecha o
que una corriente neta de -3A se está moviendo hacia la izquierda.
Elementos del circuito eléctrico
25
a) b)
Figura 2.2: Representación de la corriente eléctrica.
En la figura 2.2b) existen dos posibilidades: o -3 A fluye hacia la izquierda o 3 A están circulando
hacia la derecha. Estas cuatro afirmaciones y ambas figuras son equivalentes.
También es posible utilizar la notación de doble subíndice, I
AB
= 5 A indica que una corriente de 5 A
circula del punto A al punto B o que una corriente de -5 A circula del punto B al punto A, de aquí
que I
AB
= -I
BA
. Se considera que en la representación utilizando punta de flecha, esta coincide con el
segundo subíndice.
La magnitud de la corriente, en un momento dado, a través de un conductor, es la misma en todos
sus puntos, no importa la longitud del conductor o que su sección transversal no sea constante. Si la
continuidad de un conductor eléctrico por el que circula una corriente (
circuito cerrado) se
interrumpe, la corriente cesará (
circuito abierto).
En la práctica, todos los circuitos eléctricos se pueden abrir (circuito abierto) o cerrar (circuito
cerrado) de acuerdo a los requerimientos, utilizando un interruptor por el cual circula la corriente del
circuito y el cual se puede accionar, manual, eléctrica o electrónicamente.
El instrumento que mide la corriente que circula por un elemento se denomina
amperímetro. Un
amperímetro ideal tiene una resistencia interna de valor cero y actúa igual que un cortocircuito. Los
amperímetros se colocan en serie con el elemento por el cual circula la corriente que se quiere
medir. En la figura 2.3 se muestra el símbolo de un amperímetro. Uno de los terminales del
amperímetro está marcado con el signo +.
Figura 2.3: Amperímetro midiendo la corriente que pasa por R (i, i
ab
).
Si la lectura del amperímetro es de +10 A, la corriente i (i
ab
) será igual a +10 A, si la lectura es de -
10 A, i será igual a -10 A.
Ejemplo 2.1
Dada la gráfica (figura 4) de i vs t de la figura, calcule la carga total que se ha movido a través del
punto de referencia en el intervalo de tiempo, - 2 < t < 5 s.
Figura 2.4: Gráfica de i vs t.
Elementos del circuito eléctrico
26
R:
dt
dq
i
=
idt
dq
=
idt
q
t
t
=
0
para: - 2 t 1 s:
i = 5A
C
t
dt
q
15
))
2
(
1
(
5
5
5
1
2
1
2
=
-
-
=
=
=
-
-
para: 1 t 4 s :
A
t
i
3
23
3
8
+
-
=
C
t
t
dt
tdt
dt
t
q
3
3
23
6
8
3
23
3
8
)
3
23
3
8
(
4
1
4
1
2
4
1
4
1
4
1
=
+
-
=
+
-
=
+
-
=
para: 4 t 5 s:
i = -3A
C
t
dt
q
3
3
3
5
4
5
4
-
=
-
=
-
=
3
3
15
-
+
=
t
q
= 15 C
MATLAB:
>> syms t
>> q1=int(5,t,-2,1)
q1 =
15
>> q2=int((-8/3)*t+23/3,t,1,4)
q2 =
3
>> q3=int(-3,t,4,5)
q3 =
-3
>> qt=q1+q2+q3
qt =
15
Ejemplo 2.2
La carga total que pasa por el punto A de un cierto conductor hacia la derecha, entre t = 0 y t es
identificada como q
A
(t) = 100
t
e
200
-
cos 500t mC. (a) ¿Qué carga fluye a través de A hacia la derecha
entre t = 1 ms y t = 2 ms? (b) ¿Cuál es la corriente en A hacia la derecha en t = 1 ms? (c) Suponga
Elementos del circuito eléctrico
27
que la corriente en A dirigida hacia la derecha sea i
A
(t) = 2(
)
8000
5000
t
t
e
e
-
-
-
A, encuentre la carga
que fluye hacia la derecha entre t = 10 µs y t =80 µs.
R:
a)
i =
dt
dq
A
=
dt
x
t
e
d
t
3
200
10
)
500
cos
100
(
-
-
i = (-5×10
4
t
sen
e
t
500
200
-
- 2x10
4
t
e
t
500
cos
200
-
)x10
3
-
A
q =
t
t
idt
0
q = 10
3
-
-
-
-
-
×
-
×
-
3
3
10
*
2
10
200
4
200
4
)
500
cos
10
2
500
10
5
(
dt
t
e
t
sen
e
t
t
q = -35.6×10
3
-
C = -35.6 mC
b)
i = -50
t
sen
e
t
500
200
-
- 20
t
e
t
500
cos
200
-
A
en t = 1 ms:
i = -50
)
180
5
.
0
cos(
20
)
180
5
.
0
(
2
.
0
2
.
0
o
o
x
e
x
sen
e
-
-
-
i = -19.6242 - 14.3681 = -34 A
c)
q =
t
t
idt
0
q =
dt
e
e
t
t
)
(
2
5
5
10
*
8
10
8000
5000
-
-
-
-
-
q = 0.0134x10
3
-
C = 13.4 µC
MATLAB:
a)
>> syms t
>> qA=100*exp(-200*t)*cos(500*t)*10^-3;
>> i=diff(qA,t)
i =
-20*exp(-200*t)*cos(500*t)-50*exp(-200*t)*sin(500*t)
>> q=int(i,t,10^-3,2*10^-3)
Elementos del circuito eléctrico
28
q =
1/10*exp(-2/5)*cos(1)-1/10*exp(-1/5)*cos(1/2)
>> numeric(q)
ans =
-0.0356
Problemas de consolidación
2-1. Una carga q pasa a través de un alambre del punto 1 al punto 2. Calcule la corriente I
12
(t) que
pasa a través del alambre para 0 t 2 s, si q(t) está definido por las siguientes funciones:
a) q = 10e-2t C; b) q = 10 cos 2t C
R: a) -20e-2t A; b) -20 sen 2t A
2-2. Una corriente i pasa a través de una componente del punto 1 al punto 2. La corriente i es igual a
cero para t < 0 y es igual a 4 A para t 0. Encuentre la expresión para la carga q(t) que pasa a través
del elemento del punto 1 al punto 2 para -1 < t 2 s.
R: 4t C
Cualquier elemento simple del circuito debe poseer dos terminales con los cuales puede conectarse
con otros elementos. La figura 2.5 muestra un elemento general en el que existe un camino por el
que puede entrar la corriente en el elemento y un segundo camino por el cual la corriente puede
salir.
Figura 2.5: Elemento general del circuito.
Suponga que una corriente continua entra por el terminal A de la figura 5, pasa por el elemento y
sale por B. Si el paso de estas cargas eléctricas a través del elemento requiere un consumo de
energía, entonces se dice que entre los dos terminales del elemento existe un
voltaje eléctrico, una
tensión o una diferencia de potencial (d.d.p.).
El voltaje a través de un par de terminales es una medida del trabajo requerido para mover la unidad
de carga positiva (1 C) a través del elemento. El voltaje será el mismo, independiente del camino
recorrido dentro del elemento para llegar del terminal A al B.
La unidad de voltaje es el
volt que es 1 J/C y se representa por V o U. Su denominación rinde tributo
al físico italiano del siglo XVIII (1745-1827) llamado Alessandro Giuseppe Anastacio Volta.
También se simboliza comúnmente con las letras v o u (para indicar dependencia del tiempo).
Se define el
voltaje como el trabajo requerido para mover una carga positiva unitaria (1 C) desde un
terminal al otro a través del elemento. Es decir:
dq
dw
q
w
v
q
=
=
0
lim
(2.3)
donde:
v: voltaje (V)
Elementos del circuito eléctrico
29
w: energía (J)
El voltaje de un punto no se mide de manera absoluta, como sucede por ejemplo con la masa de un
cuerpo físico, sino siempre con respecto a otro punto del circuito (en muchas ocasiones con respecto
a tierra). El voltaje es una medida de la energía potencial relacionada con dos puntos particulares;
sin hacer referencia a un segundo punto, el término voltaje no tiene sentido. Puede existir un voltaje
entre dos puntos sin que circule una corriente entre los mismos (batería sin carga conectada en sus
terminales, en vacío).
El sentido del voltaje se indica por un par de signos algebraicos (+, -). En la figura 2.6a), por
ejemplo, el signo + en el terminal A indica que el terminal A es 5 V positivo respecto a B, o que B
es 5 V negativo respecto a A, también se puede representar como en 2.6b).
Figura 2.6: Formas de representar el voltaje.
Otra representación emplea una flecha curva, donde la punta de la flecha indica el sentido de + a -
como se muestra en la figura 2.7, en la cual se indica que el terminal A es 5 V positivo respecto a B.
Figura 2.7: Otra forma de representar el voltaje.
También se emplea la notación con doble subíndice, de manera que el voltaje o la diferencia de
potencial entre el punto A y B se puede representar como V
AB
(voltaje de A con respecto a B), de
manera que V
AB
= V
A
- V
B
. El segundo subíndice corresponde al signo - o a la punta de flecha de las
representaciones anteriores. Las cargas positivas se moverán (convencionalmente) del punto de
mayor potencial al de menor potencial, excepto en las fuentes que estén suministrando energía
eléctrica al circuito.
Una diferencia de potencial (voltaje) asociada con una fuente de energía eléctrica (batería,
generador, celda fotoeléctrica, termopar, etc.) se denomina fuerza electromotriz (f.e.m.), simbolizada
comúnmente con la letra E (e). En un conductor metálico, los electrones libres, pueden moverse de
manera aleatoria; si se desea un movimiento ordenado de las cargas, se requiere de una fuerza
externa que ejerza un trabajo sobre las cargas. A esta fuerza se le denomina fuerza electromotriz
(f.e.m) y únicamente la poseen los diferentes generadores eléctricos.
Una f.e.m. mantiene una diferencia de potencial entre dos puntos, permitiendo la circulación estable
de corriente entre los mismos, si el circuito conectado a dichos puntos presenta un camino con una
resistencia no infinita. Aunque tanto la f.e.m. como la caída de voltaje, por ejemplo, en un resistor,
se miden en V, la primera se considera como causa (es capaz de hacer que circule una corriente
eléctrica) y la segunda como efecto.
En una fuente ideal de voltaje, la f.e.m. es igual a la diferencia de potencial en sus extremos, en el
caso de una fuente real de voltaje, la f.e.m. es igual a la diferencia de potencial en sus extremos en
circuito abierto (sin carga conectada).
El instrumento que se usa para medir el voltaje a través de un elemento se denomina
voltímetro. Un
voltímetro ideal tiene una resistencia interna infinita y actúa como un circuito abierto. El voltímetro
Elementos del circuito eléctrico
30
se coloca en paralelo con un elemento de circuito para determinar el voltaje a través de los
terminales del mismo.
En la figura 2.8 se muestra el símbolo de un voltímetro. Uno de los terminales del voltímetro está
marcado con el signo +.
Figura 2.8: Voltímetro midiendo el voltaje a través de R (v, V
ab
).
Si la lectura del voltímetro es de +10 V, el voltaje v (v
ab
) será igual a +10 V, si la lectura del
voltímetro es de -10 V, v será igual a -10 V.
La energía es la capacidad que tiene un sistema físico general y por tanto, un circuito eléctrico
cualquiera, para realizar un trabajo. La energía eléctrica que suministra una fuente de voltaje o de
corriente, fluye por los conductores del circuito, permitiendo que, por ejemplo, un bombillo
incandescente transforme esa energía en luz y calor, o un motor pueda mover un dispositivo
mecánico. La energía eléctrica que se consume en el movimiento de las cargas se transforma en luz,
calor, frío, movimiento, etc., en el circuito y en el dispositivo (carga) conectado al mismo ya que la
energía ni se crea ni se destruye, se transforma (
principio de la conservación de la energía).
La energía asociada con el movimiento de una carga q a través de una diferencia de potencial Vab,
está dada por:
W = V
ab
q
(2.4)
La energía se expresa en
joule (J), cuando Vab está dado en V y la carga q en C. Una batería de 12
V entrega 12 J de energía cada vez que una carga positiva de 1 C sale del borne positivo de la misma
(la atraviesa).
Se define la
potencia como la rapidez de cambio de la energía en el tiempo (velocidad a la que se
consume o genera la energía), es una medida de la cantidad de trabajo que puede ser realizado en la
unidad de tiempo y se representa por
P, p, p(t), es decir:
vi
dt
dq
dq
dw
dt
dw
p
=
=
=
(2.5)
En general, tanto el voltaje como la corriente son funciones del tiempo, por tanto, la potencia en
general será una cantidad variable en el tiempo. Al valor de p, dado por 2.4, se le denomina potencia
instantánea porque expresa la potencia en el instante en que se miden v e i.
La energía absorbida (o generada) en un intervalo de tiempo estará dada por:
)
(
)
(
+
=
t
to
o
t
w
pdt
t
w
(2.6)
La unidad de potencia que es 1 J/s es el watt (W). Su denominación es en memoria del inglés James
Watt (1736-1817), un inventor que diseñaba instrumentos matemáticos.
Elementos del circuito eléctrico
31
Se debe establecer un convenio por el que se pueda distinguir entre la energía suministrada al
elemento por alguna fuente exterior y la energía que puede proporcionar el propio elemento a algún
dispositivo externo.
Si un terminal del elemento es v volt positivo con respecto al otro terminal, y si una corriente i está
entrando al elemento a través del primer terminal, entonces una potencia p = v×i está siendo
absorbida (convención pasiva de los signos). Si el valor numérico del producto es negativo, el
elemento está absorbiendo potencia negativa, o sea, realmente está generando potencia y
entregándola a algún dispositivo externo.
No puede hacerse ninguna afirmación referida a la transferencia de energía, hasta tanto no se
especifique tanto la polaridad del voltaje a través del elemento, como la dirección en que circula la
corriente por el mismo.
Como en la figura 2.9a) la corriente entra por el terminal + del elemento, al elemento se le está
suministrando energía. En el caso de la fig. 2.9 b) el elemento está entregando energía.
Figura 2.9: Transferencia de energía.
En la figura 2.9a) se consume por el elemento 10 W y en la figura 2.9 b se consume -10 W (se
genera 10 W).
En muchos países de habla inglesa se emplea con gran frecuencia como unidad de medida de la
potencia el caballo de fuerza (HP). Un HP equivale a 745.69 W (aproximadamente a 746 W o 0.746
kW).
En la industria eléctrica se emplea como unidad de consumo de energía eléctrica el watt-hora (W-h)
o el kiloWatt-hora (kW-h) para medir miles de W-h. El consumo residencial e industrial se mide en
kW-h. Si una plancha eléctrica consume 1000 W y permanece encendida por una hora, el metro
contador, marcará 1kW-h en ese tiempo, que se añadirá a la cifra de energía consumida previamente.
En la documentación técnica de los equipos eléctricos se indica con claridad la potencia de consumo
de los mismos. En los motores generalmente existe una placa que se halla colocada en uno de sus
costados donde, junto a otros datos principales, aparece la potencia del mismo y en el caso de las
lámparas incandescentes y tubos de luz fría, el dato viene impreso en el cristal o en su base.
A los elementos que solo son capaces de recibir potencia (disiparla o almacenarla) se les llama
elementos pasivos, aquellos que son capaces de entregar potencia durante un tiempo ilimitado se
denominan elementos activos.
En un circuito eléctrico, en cada instante de tiempo, la suma de las potencias generadas siempre es
igual a la suma de las potencias absorbidas. Este planteamiento, que corresponde a la Ley de
conservación de la energía, se conoce como balance de potencias.
Ejemplo 2.3
Sea i = 4e
-50t
A y v = 20 - 30e
-50t
V para el elemento de circuito de la figura 2.10.
(a)¿Qué potencia ha sido absorbida por el elemento en t = 10 ms?
(b) ¿Qué energía es entregada al elemento en el intervalo, 0 < t < ?
Elementos del circuito eléctrico
32
Figura 2.10: Elemento de circuito del ejemplo 2.3.
R:
a)
p = v i
)
4
)(
30
20
(
50
50
t
t
e
e
p
-
-
-
=
en t = 10 ms = 10
-2
s:
)
4
)(
30
20
(
5
,
0
5
,
0
-
-
-
=
e
e
p
))
6065
,
0
(
4
))(
6065
,
0
(
30
20
(
-
=
p
=
)
426
.
2
)(
805
.
1
(
p
4.38 W
b)
(
)(
)
[
]
dt
e
e
pdt
w
t
t
-
-
-
=
=
0
50
50
0
4
30
20
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
0
100
0
50
0
100
0
50
100
120
50
80
120
80
t
t
t
t
e
e
dt
e
dt
e
w
=
-
=
-
+
-
-
=
2
.
1
6
.
1
)
1
0
(
2
.
1
)
1
0
(
6
.
1
w
0.4 J
MATLAB:
a)
>> (20-30*exp(-50*10*10^-3))*4*exp(-50*10*10^-3)
ans =
4.3769
b)
>> syms t
>> q=double(int((20-30*exp(-50*t))*4*exp(-50*t),t,0,inf))
q =
0.4000
Ejemplo 2.4
En la figura 2.11, sea v = 2t
2
- 8t + 6 V. La potencia que está siendo absorbida por el elemento de
circuito es p = 4(t
3
- 6t
2
+ 11t - 6) W. (a) ¿Qué energía se entrega al elemento desde t = 1 a t = 3 s?
(b) ¿Qué carga es entregada al elemento en el intervalo de tiempo 1 < t < 3 s?
Elementos del circuito eléctrico
33
Figura 2.11: Elemento de circuito del ejemplo 2.4.
R:
a)
dt
t
t
t
pdt
w
t
t
)
6
11
6
(
4
2
3
3
1
0
-
+
-
=
=
dt
tdt
dt
t
dt
t
-
+
-
=
3
1
3
1
2
3
1
3
3
1
24
44
24
4
3
1
3
1
2
3
1
3
3
1
4
24
)
2
/(
)
(
44
)
3
/(
)
(
24
)
4
/(
)
(
4
t
t
t
t
-
+
-
=
=
-
-
-
+
-
-
-
=
)
1
3
(
24
)
1
9
(
22
)
1
27
(
8
1
81
0
b)
vi
p
=
4
2
)
6
8
2
(
)
6
11
6
(
4
2
2
3
-
=
+
-
-
+
-
=
=
t
t
t
t
t
t
v
p
i
dt
tdt
dt
t
idt
q
-
=
-
=
=
3
1
3
1
3
1
3
1
4
2
)
4
2
(
=
-
-
-
=
-
=
)
4
12
(
1
9
4
)
2
/(
)
(
2
3
1
3
1
2
t
t
q
0
MATLAB:
a)
>> syms t
>> w=int(4*(t^3-6*t^2+11*t-6),'t',1,3)
w =
0
b)
>> q=int(4*(t^3-6*t^2+11*t-6)/(2*t^2-8*t+6),'t',1,3)
q =
0
Elementos del circuito eléctrico
34
Ejemplo 2.5
Determine la potencia que está siendo entregada a cada elemento de circuito en la figura 2.12.
Figura 2.12
: Circuito del ejemplo 2.5.
R:
P4 A = (8)(- 4) = - 32 W
P 8 V = (- 8)(2) = - 16 W
P 4 V = (4)(6) = 24 W
P 14 A = (4) (14) = 56 W
P 2 ix = (2 ix) (- 4) = (2) (4) (- 4) = - 32 W
MATLAB:
>> P=[-32 -16 24 56 -32];
>> bar(P)
>> xlabel('Elementos del circuito')
>> ylabel('Potencia entregada (W)')
>> title('Grafico de barras de la potencia entregada a cada elemento (W)')
Figura 2.13
: Gráfica del ejemplo 2.5.
Problemas de consolidación
2-3. Si 10000 C pasan a través del motor de arranque, para arrancar un automóvil y el voltaje de
arranque es de 10 V, ¿qué energía es entregada a dicho motor?
R:
100 kJ
Elementos del circuito eléctrico
35
2-4. Un sistema eléctrico con cinco elementos es mostrado en el diagrama siguiente. Determine la
potencia absorbida por cada elemento.
R:
P
A
= -96 W; P
B
= -24 W; P
C
= 480 W; P
D
= -480 W; P
E
= 120 W
2.3 Elementos del circuito eléctrico
Los elementos del circuito se clasifican de acuerdo con las relaciones entre la corriente que pasa por
el elemento y el voltaje a través del mismo (relación volt-ampere). Esta relación puede ser lineal o
no lineal (o lineal entre límites razonables de trabajo) y la constante de proporcionalidad es el valor
del elemento (magnitud del parámetro).
Si el voltaje a través de un elemento es directamente proporcional a la corriente que pasa por él, se
llama a este elemento resistor.
V
R
=k i
(k = R)
(2.7)
Otros tipos de elementos tienen un voltaje entre sus terminales que es proporcional a la derivada o a
la integral con respecto al tiempo, de la corriente, estos son el inductor y el capacitor.
v
L
= k di/dt (k =L)
(2.8)
v
C
= k i dt (k
=
1/C)
(2.9)
En estos elementos las relaciones v-i consisten en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes. En los elementos pasivos como el inductor y el capacitor, no existe ningún voltaje o
corriente en sus terminales si previamente no han sido energizados por medio de una fuente exterior
(condiciones iniciales).
También existen elementos en los que el voltaje es completamente independiente de la corriente o la
corriente es completamente independiente del voltaje; estos son las fuentes de voltaje y corriente
independientes (la salida de ambas es independiente del resto del circuito).
Además, existen clases especiales de fuentes en las cuales el voltaje o la corriente que entrega la
fuente, dependen de una corriente o voltaje en cualquier parte del circuito; tales fuentes se
denominan fuentes de voltaje y corriente dependientes o controladas.
· El Resistor
El elemento pasivo más sencillo es el resistor (informalmente resistencia). El resistor es un elemento
de circuito que se opone al paso de la corriente, esta oposición se cuantifica por el parámetro
denominado resistencia, la cual es una cantidad relativa a dos puntos. En un resistor se disipa la
energía eléctrica, empleándose, en muchos casos, como elemento de calefacción. Un resistor no
genera ni voltaje ni corriente en un circuito.
Los resistores cuya resistencia depende de la posición de un cursor se denominan potenciómetros y
los resistores cuya resistencia es función de la temperatura se denominan termistores.
Elementos del circuito eléctrico
36
Un físico y matemático alemán, llamado Georg Simon Ohm (1789-1854) en un artículo publicado
en 1827, titulado "El circuito galvánico investigado matemáticamente", estableció la relación
fundamental que hoy se llama ley de Ohm, la cual establece que el voltaje a través de muchos
materiales conductores es directamente proporcional a la corriente que circula por el material
(introduce el concepto de caída de voltaje) o sea:
v(t) = Ri(t)i(t) = v(t)/RR = v(t)/i(t)
(2.10)
La constante de proporcionalidad es R o r, que recibe el nombre de resistencia. En honor a la
memoria de Ohm, veintisiete años después de su muerte, en la Exposición Internacional de
Electricidad efectuada en París, en 1881, se adoptó como unidad de medida de la resistencia el Ohm,
la cual se simboliza con la letra griega omega mayúscula (
). La razón por la cual se acordó utilizar
la letra griega
en lugar de la "O" del alfabeto latino fue para evitar que se confundiera con el
número cero (0).
Un resistor como elemento simple de circuito (elemento ideal) solo posee resistencia (no posee
capacitancia ni inductancia).
Si la ecuación correspondiente a la ley de Ohm se representa en un sistema de coordenadas
rectangulares v-i, la gráfica correspondiente es una línea recta que pasa por el origen. La ecuación es
lineal y se considera como definición de una resistencia lineal (material óhmico). Cuando el eje de
ordenadas corresponde a los voltajes (V) y el eje de abscisas a las corrientes (A), la pendiente de la
línea recta corresponde al valor de la resistencia R (
).
Si el valor de la resistencia depende del voltaje aplicado al resistor o de la corriente que circule por
el mismo, se está en presencia de una resistencia no lineal y la gráfica v-i será una línea curva. Las
resistencias prácticas varían con la temperatura, corriente, voltaje, pero se aproximan a resistencias
lineales en un rango limitado de corrientes y condiciones ambientales. En este texto solo se
considerarán resistores lineales e invariantes en el tiempo.
Al analizar la ley de Ohm, puede señalarse que el voltaje aplicado a un resistor es la causa, la
corriente que circula por el resistor es el efecto y la resistencia representa la oposición a la
circulación de la corriente.
Para que el signo de la variable obtenida al aplicar la ley de Ohm sea correcto, la corriente debe
entrar por el terminal del elemento donde la referencia de voltaje sea positiva (+).
La resistencia de un conductor depende del material del cual está construido y de sus dimensiones,
pudiéndose calcular como:
A
xl
R
=
(2.11)
donde:
: resistividad (resistencia específica) del material conductor
l: longitud del conductor
A: área de la sección transversal del conductor
La resistividad rho () de una sustancia, se define como el valor de la resistencia de un cilindro de
esa sustancia que tiene una sección de un milímetro cuadrado y un metro de longitud. El coeficiente
de resistividad de los materiales (rho) varía en gran medida, de acuerdo al tipo de material. Un buen
conductor, como el cobre, posee un valor de de 0.0172; el nicromo, un material empleado
fundamentalmente para producir calor posee un valor de 1.5; el silicio, empleado para fabricar
Elementos del circuito eléctrico
37
diodos, transistores y circuitos integrados un valor de 1000 y un material aislante, como la
porcelana, un valor prácticamente infinito. Todos los valores señalados corresponden a una
temperatura de 20 ºC y están expresados en mm
2
/m.
La conductividad (), es el inverso de la resistividad. Mientras mayor sea la conductividad (sigma)
de un material, más fácilmente fluirá la corriente eléctrica por el mismo.
La resistencia de los materiales conductores también depende de la temperatura del material. En el
caso de los metales, la resistencia es directamente proporcional a la temperatura; sin embargo, en los
elementos semiconductores, como el silicio (Si) y el germanio (Ge), por ejemplo, ocurre todo lo
contrario, la resistencia y la temperatura se comportan de forma inversamente proporcional. La
temperatura de un conductor siempre se eleva al circular la corriente eléctrica por el mismo,
adquiriendo los valores más altos en los puntos donde el área es menor (mayor resistencia).
Experimentalmente, se ha demostrado que la resistencia R
2
de un conductor a la temperatura t
2
en
ºC, en función de la resistencia R
1
a la temperatura t
1
en grados centígrados, puede obtenerse
mediante la expresión:
R
2
= R
1
(1 +
1
(t
2
- t
1
))
(2.12)
Donde:
1:
coeficiente de temperatura de la resistividad del material a la temperatura t
1
.
Al usar las expresiones 2.11 y 2.12, se requiere prestar atención a las unidades de cada variable, para
obtener resultados correctos.
La figura 2.14 muestra los símbolos más frecuentes utilizados en circuitos para representar al
resistor.
Figura 2.14
: Formas de representar al resistor.
Un resistor con resistencia nula equivale a un cortocircuito (conductor ideal), el cual al ser colocado
entre los terminales de un elemento de circuito lo cortocircuita, en este caso el voltaje en los
terminales del elemento será nulo. Un cortocircuito es peligroso pues la corriente, que depende del
resto del circuito, puede alcanzar valores elevados, generándose en muchos casos una gran cantidad
de energía calorífica, que puede destruir al dispositivo o a la fuente de alimentación del mismo. Un
uso frecuente de los resistores es limitar la corriente en un circuito a un valor seguro.
Un circuito abierto corresponde a un resistor con resistencia infinita (apertura del circuito),
interrumpiéndose en esa rama la circulación de corriente. El voltaje entre los puntos de apertura
dependerá del resto del circuito.
De acuerdo al convenio de signos adoptado anteriormente, el producto v×i da la potencia absorbida
por el resistor. Esta potencia absorbida aparece físicamente como calor y es siempre positiva. Esta
transformación de la energía eléctrica en calor en un resistor, se denomina efecto Joule. La
resistencia es comparable a la fricción en un sistema mecánico.
La potencia disipada también puede calcularse como el producto de la resistencia eléctrica del
elemento, multiplicada por la intensidad al cuadrado, relación conocida como la ley de Joule.
p = i
2
R
(2.13)
Elementos del circuito eléctrico
38
El resistor es un elemento pasivo que no puede suministrar potencia o almacenar energía. Un
resumen de las expresiones para calcular la potencia absorbida por un resistor se muestra a
continuación:
p = v i = i
2
R = v
2
/R (2.14)
La energía absorbida por el resistor en un intervalo de tiempo, estará dada por:
dt
R
v
Rdt
i
w
t
t
-
-
=
=
2
2
(2.15)
Cuando la corriente es constante, la ley de Joule, permite expresar el calor disipado (calorías) en un
resistor, durante un tiempo t, mediante la expresión: Q = 0,24I
2
Rt.
La razón de la corriente al voltaje también es constante en una resistencia lineal, se denomina
conductancia: G = i/v y su unidad es el siemens (S). En algunos textos antiguos la unidad de
conductancia es el Mho, (Ohm escrito al revés), simbolizándose con la letra griega omega
mayúscula invertida (
) o con
-1
.
La conductancia está directamente relacionada con la facilidad que ofrece un material cualquiera al
paso de la corriente eléctrica. La conductancia es lo opuesto a la resistencia. A mayor conductancia,
menor es la resistencia y viceversa; a mayor resistencia, menor es la conductancia.
La conductancia es el inverso de la resistencia: G = 1/R. Se utiliza el mismo símbolo para
representar la R y la G. La conductancia es útil para trabajar con resistores en paralelo, pero es
mucho menos usada que la resistencia.
La potencia absorbida cuando se conoce la conductancia de un resistor, se calcula como:
p = v i = i
2
/G =v
2
G (2.16)
Todas las expresiones anteriores han sido descritas en función de valores instantáneos de i, v y p.
Debe destacarse que la corriente que pasa por R y el voltaje que existe entre sus terminales, varían
con el tiempo del mismo modo.
Empleando las leyes de Ohm y de Joule se pueden analizar circuitos sencillos.
Ejemplo 2.6
Encuentre la resistencia del resistor si:(a) Una corriente constante de 5 C/s entrega 10 kJ al elemento
en 4 min. (b) El disipa 1 kW cuando se conecta a una batería de 12 V. (c) ¿Qué potencia promedio
entrega la fuente v
s
= 80 cos 500 t V a un resistor de 5 en el intervalo de tiempo de 0
t 12
ms?
R:
a)
P = I
2
R
I = 5 C/s = 5 A
P =
t
W
=
s
J
60
4
10
10
3
×
×
= 41.666 W
R =
2
I
P
=
2
5
666
.
41
= 1.666
Elementos del circuito eléctrico
39
b)
P =
R
V
2
R =
=
=
=
1000
144
1000
)
12
(
2
2
P
V
0.144
c)
W
R
=
012
.
0
0
dt
p
=
dt
R
v
012
.
0
0
2
=
R
1
012
.
0
0
)
500
cos
80
(
t
2
=
5
6400
012
.
0
0
2
500
cos
dt
t
W
R
=
500
1
5
6400
×
{
2
1
[500 t
+ sen(500 t
)×cos(500 t
)] }
012
.
0
0
W
R
=
2
56
.
2
[500
)
012
.
0
(
+ sen (500
)
012
.
0
(
)×cos (500
)
0
(
))
012
.
0
(
-
] =
2
6
56
.
2
×
= 7.68 J
P =
t
W
R
=
012
.
0
68
.
7
= 640 W
MATLAB:
a)
>> P=10*10^3/(4*60)
P =
41.6667
>> R=P/5^2
R =
1.6667
c)
>> syms t
>> i=cos(500*pi*t)^2;
>> WR=6400/5*int(i,t,0,0.012)
WR =
192/25
>> P=WR/0.012
P =
640
Ejemplo 2.7
La resistencia a cd de un conductor que tiene una longitud l y una sección transversal uniforme de
área A es dado por R =
A
l
A
l
=
donde
)
(rho
es la resistividad eléctrica y
)
(sigma
es la
Elementos del circuito eléctrico
40
conductividad eléctrica. Si
= 5.8x10
7
m
S para el cobre: (a) ¿Qué longitud en pie de alambre de
cobre #18 (diámetro 1.024 mm) tiene una resistencia de 1 ? (b) Si un circuito impreso tiene una
cubierta conductora de cobre de de 0.0013 pulg. de grosor y 0.02 pulg. de ancho, que puede
conducir una corriente de 3 A a 60 ºC con seguridad; ¿Qué potencia entregará esta corriente a un
conductor de 6 pulg. de longitud?
R:
a)
R =
A
l
A =
2
r
= 3.141592 (0.512x10
3
-
)
2
= 0.82354x10
6
-
m
2
l = R
A = 1×5.8×10
7
×0.82354×10
6
-
= 47.765 m
l = 47.765 m (3.28 pie/m) = 156.66 pies
b)
R =
A
l
A = a x g = 0.02 x 0.0013 = 0.000026 pulg
2
A = 0.016764 x10
6
-
m
2
l = 6 × 0.0254 = 0.1524 m
R =
6
7
10
016764
.
0
10
8
.
5
1524
.
0
-
×
×
×
= 0.1567398
P = I
2
R = 3
2
x 0.1567398 = 9x0.1567398 = 1.4106 W
MATLAB:
a)
>> A=pi*(0.512*10^-3)^2
A =
8.2355e-007
>> sigma=5.8*10^7
sigma =
58000000
>> R=1
R =
1
>> % La longitud en pie L
>> L=R*sigma*A*3.28
Elementos del circuito eléctrico
41
L =
156.6721
Problemas de consolidación
2-5 Una resistencia tiene un voltaje aplicado de V = 1.5 mV. Calcular la intensidad de la corriente si
la potencia absorbida es: a) 27.75 nW; b) 1.20 W.
R: a) 18,5 A; b) 0,8 mA
2-6 Por una resistencia de 5 circula una corriente de i = 5x10
3
A en el intervalo de 0 t 2 ms.
Calcular la potencia instantánea y media.
R: 125x10
6
t
2
W; 167 W
· Fuentes de voltaje y de corriente
Las fuentes son los elementos de circuito eléctrico capaces de alimentar una red con energía
eléctrica, como resultado de la transformación de otras formas de energía, la cual es absorbida por
los restantes elementos del circuito (permiten que los dispositivos funcionen). Pueden ser
dependientes o independientes.
Fuentes independientes
Pueden ser de voltaje o de corriente. El voltaje o la corriente que entregan las fuentes independientes
solo dependen del tiempo, se representan en ese caso con minúsculas (v
s(t)
, v
s
, i
s(t)
o i
s
) pudiendo ser
también de valor constante, representándose en ese caso con mayúsculas (V
s
o I
s
). Los valores de las
fuentes independientes son fijos (no ajustables)
Fuente ideal de voltaje
Se caracteriza por tener un voltaje exactamente definido entre sus terminales que es completamente
independiente de la corriente que circula por ella. La corriente que circula por la fuente depende del
circuito conectado en sus terminales. La resistencia interna de la fuente ideal de voltaje (R
i
) es cero
(en la representación no aparece ningún resistor en serie con la fuente).
La característica v-i de una
fuente ideal de voltaje (generador ideal de voltaje o tensión), es una recta horizontal cuya ordenada
representa el valor V
s
en los bornes de la fuente, pues este valor no depende de la corriente que
puede entregar o recibir la misma.
La figura 2.15 muestra diferentes formas de representar una fuente ideal de voltaje (FIV) y su
característica v-i.
Figura 2.15: Representación y característica v-i de las FIV.
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- Ingeniero Electrónico Ileana Moreno Campdesuñer (Autor:in)Juan Curbelo Cancio (Autor:in), 2016, Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente directa, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/344433
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